Significância do Coeficiente de Correlação A primeira

Estatística II – Antonio Roque – Aula 15
Significância do Coeficiente de Correlação
A primeira coisa que vamos tentar fazer nesta aula é apresentar o conceito de significância
do coeficiente de correlação. Uma vez entendido este conceito, vocês verão fórmulas
matemáticas para o cálculo da significância. Essas fórmulas serão mais difíceis de serem
explicadas neste curso, mas espera-se que vocês as aceitem com base no entendimento do
que é a significância de um valor de correlação e do porquê da sua importância.
Para apresentar o conceito de significância, consideremos o seguinte exemplo. Suponha
que a Comissão de Graduação (CG) da Universidade tenha pedido a duas turmas
diferentes do curso de psicologia, por exemplo, a turma do segundo ano e a turma do
terceiro ano, para avaliar três professores do curso. Vamos supor que cada turma tenha
feito duas disciplinas diferentes com cada professor, de maneira que os alunos tenham um
bom conhecimento deles e de suas capacidades didáticas. A avaliação consiste de
questionários distribuídos entre os alunos, cobrindo temas como dedicação do professor,
capacidade de explicação, conhecimento da matéria, educação etc.
Vamos supor que os questionários foram preenchidos por todos os alunos (infelizmente,
algo raro na realidade) e entregues à CG. Os membros da CG fizeram, então, os cálculos
das pontuações dos professores segundo a avaliação de cada turma (que envolveram
médias das notas dadas pelos alunos de cada turma). Os resultados estão apresentados na
tabela abaixo, tanto em termos da pontuação de cada professor como em termos da sua
posição no ranking (vamos supor que as notas de cada professor variam numa escala de 1
a 5 e que dois professores não possam ter notas iguais).
Turma do 2o ano
Turma do 3o ano
Professor
Nota
Posição no ranking
Nota
Posição no ranking
A
3,5
2
4
2
B
4
1
4,5
1
C
3,2
3
3
3
1
Estatística II – Antonio Roque – Aula 15
Vamos considerar apenas as colunas que dão as classificações dos professores em termos
da sua posição no ranking. Observe que as posições dos três professores nos rankings das
duas turmas são as mesmas. Isto implica que a correlação das avaliações dos três
professores feitas pelas duas turmas é perfeita. De fato, o cálculo do coeficiente de
correlação de Spearman nos dá rS = 1 (mostre isso como exercício).
A questão que se põe é: o coeficiente de correlação é +1, indicando uma correlação
perfeita, mas será que isso não ocorreu apenas por coincidência? Dito de outra forma, quão
significante é o valor rS = 1?
Em estatística, aborda-se a questão da significância de um resultado usando-se o conceito
de hipótese nula. A hipótese nula (H 0) simplesmente assume que um dado resultado
estatístico foi obtido apenas por acaso, devido a flutuações probabilísticas dos eventos
sendo medidos, e não devido a um efeito real que cause o resultado. Sempre que se
trabalha com uma hipótese para explicar um dado fenômeno, temos que considerar a
possibilidade de pelo menos uma hipótese concorrente a ela. No caso da estatística, a
hipótese concorrente é chamada de hipótese alternativa (HA).
No nosso exemplo, o resultado empírico é que a correlação entre as avaliações dos três
professores feitas pelas duas turmas é perfeita (rS = 1). Como hipótese nula, vamos
considerar que esse resultado é pura coincidência e, portanto, que nada de mais profundo
possa ser retirado dele. Já a hipótese alternativa considera o contrário, que o resultado é
devido a uma real similaridade das opiniões dos alunos das duas turmas sobre os três
professores, ou seja, que a correlação é significante.
Uma vez que as duas hipóteses tenham sido enunciadas e os seus significados estejam bem
claros na mente do pesquisador, a estratégia usada pela Estatística consiste em atacar a
hipótese nula. Isso é feito com a seguinte pergunta: se a hipótese nula estiver correta e o
resultado obtido for devido apenas ao acaso, qual a probabilidade de que ele ocorra?
No nosso exemplo, se o resultado obtido for apenas obra do acaso, para calcular a
probabilidade dele temos que considerar todos os resultados possíveis.
2
Estatística II – Antonio Roque – Aula 15
De quantas maneiras os três professores podem ser ordenados pela turma do 2o ano? Como
temos 3 professores, o número de maneiras é 3! = 3.2.1 = 6 (veja abaixo).
Possibilidades de rankeamento pela turma do 2o ano
Professor
A
1
1
2
2
3
3
B
2
3
1
3
1
2
C
3
2
3
1
2
1
Igualmente, os 3 professores podem ser ordenados pela turma do 3o ano de 6 maneiras
diferentes (as mesmas mostradas acima). Desta forma, como cada turma pode ordenar os 3
professores de 6 maneiras diferentes, o número de possíveis maneiras diferentes em que os
3 professores podem ser rankeados pelas duas turmas em conjunto é 6x6 = 36 (veja
abaixo).
Maneiras
Prof.
1
2
2o 3o 2o 3o
3
4
2o 3o 2o 3o
5
2o 3o
6
7
8
9
2o 3o 2o 3o 2o 3o 2o 3o
10
11
2o 3o 2o 3o
12
13
2o 3o
2o 3o
14
15
16
2o 3o 2o 3o 2o 3o
17
18
2o 3o
2o 3o
A
11
11
12
12
13
13
11
11
12
12
13
13
21
21
22
22
23
23
B
22
23
21
23
21
22
32
33
31
33
31
32
12
13
11
13
11
12
C
33
32
33
31
32
31
23
22
23
21
22
21
33
32
33
31
32
31
rS
1
0,5
0,5
-0,5
-0,5
-1
0,5
1
-0,5
0,5
-1
-0,5
0,5
-0,5
1
-1
0,5
-0,5
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
Maneiras
19
Prof.
2o 3o
A
21
21
22
22
23
23
31
31
32
32
33
33
31
31
32
B
32
33
31
33
31
32
12
13
11
13
11
12
22
23
C
13
12
13
11
12
11
23
22
23
21
22
21
13
rS
-0,5
0,5
-1
1
-0,5
0,5
-0,5
-1
0,5
-0,5
1
0,5
-1
2o 3o 2o 3o
2o 3o 2o 3o
2o 3o 2o 3o
2o 3o 2o 3o 2o 3o 2o 3o 2o 3o
35
36
2o 3o
2o 3o
32
33
33
21
23
21
22
12
13
11
12
11
-0,5
-0,5
0,5
0,5
1
2o 3o 2o 3o
2o 3o 2o 3o
A última linha dessa tabela dá os valores do coeficiente de correlação de Spearman rS para
cada um dos 36 casos possíveis. Vemos que em seis deles a correlação entre as avaliações
das duas turmas é positiva e perfeita (rS = 1).
Dadas todas as possibilidades acima, a probabilidade de se obter uma situação como a do
exemplo, em que rS = 1 é:
p=
número de maneiras em que rS = 1 pode ocorrer 6
=
= 0,167.
número de combinações possíveis
36
3
Estatística II – Antonio Roque – Aula 15
Isto quer dizer que caso o resultado obtido no experimento seja fruto de mero acaso, a
probabilidade de ele ocorrer é de 16,7%.
Se você achar que este valor de probabilidade é suficientemente baixo (onde o critério de
definição de “suficientemente baixo” tem que ser previamente definido), você pode
rejeitar a hipótese nula. A idéia é a de que, se a probabilidade de o resultado ser obtido por
mero acaso for muito baixa, deve-se considerar que a hipótese do acaso não é
suficientemente forte para explicar o ocorrido e, portanto, que a hipótese alternativa tem
mais chances de oferecer uma explicação melhor.
Normalmente, o limiar do valor de probabilidade abaixo do qual a hipótese nula é rejeitada
é 5% (p = 0,05). Se a probabilidade do evento caso a hipótese nula esteja certa for menor
que 5%, rejeita-se a hipótese nula; caso a probabilidade for maior que 5%, não se pode
rejeitar a hipótese nula.
A probabilidade de se obter a classificação dos dois professores do nosso exemplo por
mero acaso é de 16,7%, um valor bem maior que 5%. Sendo assim, mesmo com o valor de
rS tendo sido máximo, não se pode concluir que ele é significante. A probabilidade de que
ele tenha sido gerado apenas pelo acaso é muito grande.
O que aconteceria se a CG pedisse para as duas turmas avaliar quatro professores e os dois
rankings feitos por elas fossem perfeitamente iguais, de maneira que novamente rS = 1?
Neste caso, cada turma poderia ordenar os quatro professores de 4! = 4.3.2.1 = 24
maneiras diferentes e o número de pareamentos possíveis dos dois ordenamentos seria
24x24 = 576. Desses, há 24 deles em que os rankeamentos são exatamente iguais. Desta
forma, a probabilidade de se obter um pareamento idêntico por puro acaso é, neste caso,
p=
24
= 0,042.
576
Este valor é agora menor que o limiar de rejeição da hipótese nula, p = 0,05. Neste
segundo caso, o acaso não é suficiente para explicar o resultado obtido (a um nível de
significância de 0,05) e, portanto, a hipótese nula deve ser rejeitada.
4
Estatística II – Antonio Roque – Aula 15
Estes dois exemplos são muito simples e tiveram por objetivo apenas ilustrar o conceito de
significância. Espero que eles tenham mostrado que um valor alto do coeficiente de
correlação, tanto faz se for r ou rS, não é suficiente para se acreditar que existe de fato uma
relação entre as duas variáveis.
Quando o tamanho n da amostra é pequeno, é relativamente fácil (isto é, muito provável)
obter um pareamento perfeito entre as duas variáveis apenas pelo acaso. Em um caso
assim, tanto as regras da pesquisa científica como as regras do bom senso nos indicam que
não devemos considerar um valor alto de r como significante. Por outro lado, quando n for
grande, mesmo valores baixos do coeficiente de correlação (por exemplo, r = 0,2 ou
menor) são difíceis de ser obtidos por mero acaso e, portanto, são considerados como
significantes. É por isso que é muito comum hoje em dia lermos reportagens em jornais
dizendo que algum estudo mostrou que “existe uma pequena, mas significante” tendência
de algo (em geral, associada a uma pesquisa sobre a correlação entre algum alimento e
alguma condição da saúde humana).
Teste de Significância para o Coeficiente de Correlação de Pearson
Agora que já fizemos uma discussão sobre o que é a significância do coeficiente de
correlação e de porque é importante testar a significância dele quando se faz um estudo de
correlação, vamos apresentar os passos necessários para se fazer um teste de significância
para o coeficiente de correlação de Pearson entre duas variáveis X e Y.
Primeiramente, vamos definir qual é objetivo do teste. Quando se coleta uma amostra de n
pares de valores das variáveis (X, Y) e se calcula o seu coeficiente de correlação r, o que se
quer saber é se esse valor de r é significante. Para se fazer isso, vai-se assumir como
hipótese nula H 0 que não existe correlação para a população das variáveis X e Y (o que
implicaria que o valor obtido para r ocorreu por mero acaso).
Costuma-se denotar o coeficiente de correlação para a população das variáveis X e Y por ρ
(não confundir com o coeficiente de correlação de Spearman).
5
Estatística II – Antonio Roque – Aula 15
Portanto, temos dois coeficientes de correlação: um para a população de valores de X e Y,
denotado por ρ, que é puramente teórico; e o outro para uma amostra de n pares (xi, yi), i =
1, ..., n, retirada da população, denotado por r. A figura abaixo ilustra a situação.
O valor de r é usado para estimar o coeficiente de correlação ρ e o teste de significância
desse valor consiste em assumir como H0 que ρ = 0 (ausência de correlação) para verificar
se sob tal hipótese o valor obtido para r é muito ou pouco provável. Se a probabilidade de
se obter o valor de r for menor que um certo valor crítico (por exemplo, 0,05), rejeita-se
H 0 e assume-se como mais provável a hipótese alternativa, segundo a qual ρ ≠ 0.
Os passos para se fazer um teste de significância para o coeficiente de correlação de
Pearson serão apresentados aqui na forma de uma receita. Embora eles sejam dados como
uma receita, vocês devem ter em mente que eles, na verdade, podem ser justificados
matematicamente de maneira rigorosa, desde que a condição na qual eles se baseiam seja
satisfeita.
Condição para o teste de significância do coeficiente de correlação de Pearson entre
X e Y: a distribuição de probabilidade conjunta para a população das variáveis X e Y é
normal bidimensional.
Não se assuste com o enunciado acima. Ele apenas quer dizer que se tivéssemos acesso à
população das variáveis X e Y e fizéssemos um gráfico das freqüências de ocorrência
conjunta de pares de valores (x, y), esse gráfico seria bem aproximado pela função teórica
que generaliza a função normal para duas dimensões, cujo gráfico é mostrado abaixo.
6
Estatística II – Antonio Roque – Aula 15
Em geral, quando se trabalha com amostras de n pares de valores (x, y) onde n ≥ 30, a
condição de normalidade das duas variáveis é satisfeita.
Assumindo que a condição acima é válida, temos as seguintes hipóteses:
•
H0: ρ = 0;
•
HA: ρ ≠ 0.
Siga, então, os passos:
1. Escolha um valor crítico α para a significância. Por exemplo, α = 0,05;
2. Como a amostra contém n pares de dados, consulte uma tabela da distribuição t de
Student e obtenha o valor de t(gl) para o valor de α escolhido, onde gl = n − 2;
3. Calcule a variável,
t0 = r
n−2
;
1− r 2
4. Se t0 > t(gl) ou t0 < −t(gl), rejeita-se H0. Caso contrário, não se rejeita H0.
a. Se H0 for rejeitada, deve-se concluir que o valor de r obtido para a amostra é
significante e que existe correlação r entre as variáveis X e Y com nível de
significância igual a α (a probabilidade p de se errar é menor a α);
b. Se H 0 não for rejeitada, deve-se concluir que o valor obtido de r não é
significante: tanto pode haver correlação r como não haver correlação (ρ = 0).
7
Estatística II – Antonio Roque – Aula 15
Quando se apresenta o resultado de um teste como este em um artigo científico, a norma
recomendada pela Associação Americana de Psicologia é a seguinte:
•
Quando o resultado do teste (por exemplo, r = −0,243) dá que o valor de r é
significante:
r = −0,243*, p < 0,05.
•
Quando o resultado do teste dá que o valor de r não é significante:
r = −0,243, ns.
Teste de Significância para o Coeficiente de Correlação de Spearman
O coeficiente de correlação de Spearman é um tipo de medida estatística que os
estatísticos chamam de não-paramétrica. O coeficiente de correlação de Pearson, ao
contrário, é uma medida chamada de paramétrica. O significado disso é que não há
restrições para o teste de significância do coeficiente de correlação de Spearman, ao passo
que o teste de significância para o coeficiente de correlação de Pearson depende da
condição de normalidade da distribuição bidimensional de X e Y (ou de se tomar uma
amostra com n > 30).
Como não há restrições para o teste de significância do coeficiente de correlação de
Spearman, ele pode ser aplicado sempre. Os passos para o teste são os mesmos
apresentados acima para o teste de significância para o coeficiente de correlação de
Pearson:
•
A hipótese nula é H0: ρ = 0; e a hipótese alternativa é H A: ρ ≠ 0.
•
Escolhe-se um nível de significância α;
•
Consulta-se uma tabela da distribuição t de Student para se obter o valor de t(gl) para o
valor de α escolhido, onde gl = n − 2;
n−2
;
1− r2
•
Calcula-se a variável t 0 = r
•
Se t0 > t(gl) ou t0 < −t(gl), rejeita-se H 0; caso contrário, não se rejeita H0.
8
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Um resumo do procedimento recomendado quando se quer fazer um teste de significância
para o coeficiente de correlação entre duas variáveis X e Y está dado no diagrama abaixo.
9
Estatística II – Antonio Roque – Aula 15
Exemplo.
Vários trabalhos indicam que estudantes universitários lidam com stress diariamente e que
isso pode ter um impacto em sua saúde. Para pesquisar a relação entre stress e saúde foi
feito um estudo de correlação com um grupo de estudantes universitários voluntários.
Os sujeitos eram 50 estudantes universitários, 25 do sexo feminino e 25 do sexo
masculino. A cada um foi entregue um questionário, para ser preenchido em casa e
devolvido ao pesquisador em dois dias. O questionário era composto de duas partes.
A primeira era um questionário sobre stress que pedia ao sujeito para indicar, de uma lista
de 31 situações estressoras, quais ele tinha vivenciado nos últimos 12 meses. Cada
situação estressora tem um escore, conhecido apenas pelo pesquisador, e a soma deles
resulta no escore geral de stress do sujeito; quanto maior este escore, mais estressante foi a
vida do sujeito nos últimos 12 meses.
A outra parte do questionário era um questionário de avaliação de saúde, que testa 8
critérios de saúde de uma pessoa. Os critérios são: (1) funcionamento físico, (2) limitações
nas atividades diárias devido a problemas físicos, (3) limitações nas atividades diárias
devido a problemas emocionais, (4) fadiga/falta de energia, (5) bem-estar emocional, (6)
funcionamento social, (7) dor e (8) saúde geral. Quanto maior o escore do sujeito em cada
um dos critérios desse questionário, mais saudável ele está neste critério.
Os dois questionários usados (para medir stress e para medir saúde) estão disponíveis na
internet (em inglês):
•
Stress survey (2001). Morehead State University Life Enhancement Office. Site:
http://www.morehead-st.edu/units/development/life/stress/survey.html
•
RAND 36-item Health Survey 1.0 (1995). RAND Health Organization. Site:
http://www.rand.org/health/surveys/sf36item/
10
Estatística II – Antonio Roque – Aula 15
Os escores obtidos na pesquisa estão mostrados na tabela abaixo.
Sujeito
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Sexo
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
Stress
245
185
203
186
239
58
288
264
250
488
12
95
245
131
225
235
25
118
115
249
438
414
275
188
180
63
136
229
127
106
60
267
310
355
102
171
73
66
139
37
7
111
121
403
164
336
111
138
364
103
1
20
90
85
60
100
90
50
85
95
70
100
95
100
100
100
80
100
95
95
100
80
100
100
80
25
95
90
60
100
25
80
95
100
100
55
100
90
100
85
95
60
95
95
100
95
95
100
100
100
50
2
5
100
100
50
100
100
75
100
100
100
100
50
100
100
15
100
100
100
100
75
100
25
100
75
25
100
100
15
100
100
100
100
100
100
75
100
75
100
100
100
100
100
100
100
100
50
100
100
100
75
Escores
4
5
5
25
36
100
30
60
68
45
72
33
60
44
100
50
73
100
50
52
100
10
92
100
35
72
100
60
80
10
40
68
100
60
68
66
50
56
100
60
64
100
85
92
33
50
64
100
40
64
100
55
88
100
60
84
18
30
52
10
60
96
33
40
88
100
65
76
100
60
92
100
60
68
10
45
48
33
55
52
100
55
52
15
55
68
100
80
80
100
80
96
100
60
92
66
25
28
100
80
76
100
60
80
66
40
76
66
75
80
100
50
76
5
55
28
100
45
76
5
65
72
100
35
44
9
70
88
100
70
76
33
55
72
66
50
92
66
80
100
100
40
48
33
75
76
5
75
60
66
80
64
3
6
75
90
75
75
100
88
25
100
88
75
100
62
75
100
75
100
100
75
75
75
100
100
100
75
37
100
75
50
100
100
87
50
100
100
62
75
100
50
100
100
75
87
100
100
100
100
100
75
62
62
7
70
75
90
78
100
100
22
90
77
57
90
77
100
77
65
58
100
77
100
100
100
90
100
77
67
57
100
65
90
90
100
65
100
100
77
77
70
80
90
90
100
100
100
90
100
100
100
100
100
90
8
20
90
50
60
85
85
35
55
40
65
65
35
55
80
25
65
55
75
65
80
75
80
100
55
40
65
65
70
100
100
80
20
95
75
50
75
85
70
35
85
80
70
80
85
85
100
50
95
85
75
11
Estatística II – Antonio Roque – Aula 15
Os coeficientes de correlação de Pearson para as correlações entre o escore de stress e
cada um dos escores de saúde estão mostrados na tabela abaixo. Podemos usar o
coeficiente de correlação de Pearson neste caso porque a amostra é grande (contém mais
de 30 dados)
Correlação Stress x 1 Stress x 2 Stress x 3 Stress x 4 Stress x 5 Stress x 6 Stress x 7 Stress x 8
r
t0
0,030
0,211
-0,177
-1,247
-0,171
-1,205
-0,094
-0,654
A última linha da tabela acima dá os valores de t 0 = r
0,166
1,166
-0,011
-0,079
-0,114
-0,793
-0,001
-0,006
n−2
48
=r
necessários para o
2
1− r
1− r 2
teste de significância (note que gl = 50 − 2 = 48).
Consultando uma tabela para a distribuição t de Student (por exemplo, a tabela da próxima
página), vemos que (para α = 0,05) em todos os casos acima −t(48) < t0 < t(48). Portanto,
nenhuma dessas correlações é significante para um valor de α = 0,05.
A tabela da distribuição t de Student dada na próxima página não mostra os valores de t
para o valor de gl do problema (48), mas note que para gl = 40 o valor de t associado à
probabilidade p = 0,05 é 2,0211. Este valor já é maior (em módulo) que qualquer um dos
valores de t0 listados na tabela, de maneira que o valor de t(48) será maior ainda (note que
os valores de t(gl) crescem com gl).
Como, para α = 0,05, os valores de t0 estão entre −t(48) e t(48), a probabilidade de eles
serem obtidos não é menor que α e, portanto, não devemos rejeitar a hipótese nula.
Concluímos, portanto, que os valores dos coeficientes de correlação obtidos não são
significantes.
12
Estatística II – Antonio Roque – Aula 15
Tabela. Distribuição t de Student
A primeira coluna indica o número de graus de liberdade (gl).
Os cabeçalhos das outras colunas dão a probabilidade (p) de que t
exceda numericamente o valor da casa (o valor da área pintada).
p
g.l.
0,50
0,25
0,10
0,05
12,706
0,025
25,542
0,01
0,005
63,657
127,32
1
1,00000
2,4142
6,3138
2
0,81650
1,6036
2,9200
4,3027
6,2053
9,9248
3
0,76489
1,4226
2,3534
3,1825
4,1765
5,8409
7,4533
4
0,74070
1,3444
2,1318
2,7764
3,4954
4,6041
5,5976
5
0,72669
1,3009
2,0150
2,5706
3,1634
4,0321
4,7733
6
0,71756
1,2733
1,9432
2,4469
2,9687
3,7074
4,3168
7
0,71114
1,2543
1,8946
2,3646
2,8412
3,4995
4,0293
8
0,70639
1,2403
1,8595
2,3060
2,7515
3,3554
3,8325
9
0,70272
1,2297
1,8331
2,2622
2,6850
3,2498
3,6897
10
0,69981
1,2213
1,8125
2,2281
2,6338
3,1693
3,5814
11
0,69745
1,2145
1,7959
2,2010
2,5931
3,1058
3,4966
12
0,69548
1,2089
1,7823
2,1788
2,5600
3,0545
3,4284
13
0,69384
1,2041
1,7709
2,1604
2,5326
3,0123
3,3725
14
0,69242
1,2001
1,7613
2,1448
2,5096
2,9768
3,3257
15
0,69120
1,1967
1,7530
2,1315
2,4899
2,9467
3,2860
16
0,69013
1,1937
1,7459
2,1199
2,4729
2,9208
3,2520
17
0,68919
1,1910
1,7396
2,1098
2,4581
2,8982
3,2225
18
0,68837
1,1887
1,7341
2,1009
2,4450
2,8784
3,1966
19
0,68763
1,1866
1,7291
2,0930
2,4334
2,8609
3,1737
14,089
20
0,68696
1,1848
1,7247
2,0860
2,4231
2,8453
3,1534
21
0,68635
1,1831
1,7207
2,0796
2,4138
2,8314
3,1352
22
0,68580
1,1816
1,7171
2,0739
2,4055
2,8188
3,1188
23
0,68531
1,1802
1,7139
2,0687
2,3979
2,8073
3,1040
24
0,68485
1,1789
1,7109
2,0639
2,3910
2,7969
3,0905
25
0,68443
1,1777
1,7081
2,0595
2,3846
2,7874
3,0782
26
0,68405
1,1766
1,7056
2,0555
2,3788
2,7787
3,0669
27
0,68370
1,1757
1,7033
2,0518
2,3734
2,7707
3,0565
28
0,68335
1,1748
1,7011
2,0484
2,3685
2,7633
3,0469
29
0,68304
1,1739
1,6991
2,0452
2,3638
2,7564
3,0380
30
0,68276
1,1731
1,6973
2,0423
2,3596
2,7500
3,0298
40
0,68066
1,1673
1,6839
2,0211
2,3289
2,7045
2,9712
60
0,67862
1,1616
1,6707
2,0003
2,2991
2,6603
2,9146
120
0,67656
1,1559
1,6577
1,9799
2,2699
2,6174
2,8599
∞
0,67449
1,1503
1,6449
1,9600
2,2414
2,5758
2,8070
13