Soluções da Lista 1 - Prof. Rodrigo Nobre Fernandez

Universidade Federal de Pelotas
Disciplina de Microeconomia 1
Professor Rodrigo Nobre Fernandez
Lista 1 - Soluções
1) Suponha que existam apenas dois bens e o governo resolve controlar os preços desses bens
do seguinte modo: o preço é R$ 1,00 até 5 unidades adquiridas, e o preço é R$ 2,00 para unidades
adicionais (acima das primeiras 5 unidades adquiridas). Suponha que João tem uma renda de R$
10,00.
a) Ilustre graficamente a reta orçamentária de João.
S: O governo cobra R$ 2,00 apenas para as quantidades superiores a cinco unidades compradas de cada bem.
Se o indivíduo decidir comprar 6 unidades de um dos bens, ele pagará R$ 1,00 pelas cinco primeiras unidades
e R$ 2,00 pela sexta unidade adquirida. Portanto, a reta orçamentária é descrita pelo gráfico abaixo:
b) Descreva a reta orçamentária em termos algébricos.
S: Na reta orçamentária abaixo, o número 5 em cada equação é o valor das cinco primeiras unidades
compradas por 1 real. Os termos 2 (x2 − 5) e 2 (x1 − 5) são as quantidades de x1 e x2 que excedem 5 unidades,
multiplicadas pelo preço nesse caso, igual a 2.
(
x1 + 2 (x2 − 5) + 5 = 10 ,se x2 > 5, 0 ≤ x1 ≤ 5
x2 + 2 (x1 − 5) + 5 = 10 ,se x1 > 5, 0 ≤ x2 ≤ 5
2) Suponha uma economia com dois bens, denotados por x e y. A reta orçamentária de Maria
é
M
pM
x x + py y
M
J
J
= mM e a reta orçamentária de João é pJx x + pJy y = mJ , onde pM
x /py 6= px /py . Ou seja,
o custo de mercado entre x e y para Maria é diferente do custo de mercado para João. Maria e
João decidem se casar e formar uma família onde a renda dos dois é gasta em conjunto, apesar
de que os preços dos bens para cada um deles continuam os mesmos de antes.
a) Defina a restrição orçamentária do casal.
J
J
e py = min pM
e
S: A restrição orçamentária do casal é px x + py y = m , onde px = min pM
x , px
y , py
m = mM + mJ .
b) Haverá especialização na compra dos bens?
S: Sim. Quem comprará um determinado bem é quem tem acesso ao menor preço deste bem. Por exemplo,
J
se px = pM
x e py = px , ou seja, se Maria tem acesso a um preço mais barato para o bem x e João tem acesso a
um preço mais barato para o bem y, Maria se especializa na compra do bem x e João se especializa na compra
do bem y.
1
3) Suponha um consumidor que tenha preferências definidas entre cestas compostas por dois
bens do seguinte modo: se (x1 , x2 ) > (y1 , y2 ) (ou seja, x1 > y1 e x2 > y2 ), então x y . Se (x1 , x2 ) <
(y1 , y2 )(ou seja, x1 < y1 e x2 < y2 ), então y x. Finalmente, se (x1 , x2 ) = (y1 , y2 ), então x ∼ y. Essas
preferências são (justifique sua resposta):
a) Completas?
S: Não. Duas cestas tais como (x1 , x2 ) e (y1 , y2 ) com x1 > y1 e x2 < y2 não são comparáveis , para o sistema
de preferências considerado (por exemplo, (1,2) e (2,1) não são comparáveis: não podemos dizer qual cesta é
melhor ou se são indiferentes).
b) Transitivas?
S: Sim. Temos que mostrar que se a cesta x é preferível à cesta y e a cesta y é preferível à cesta z, então a
cesta x é preferível a cesta z. Note que se x y então (x1 , x2 ) ≥ (y1 , y2 ) e se y z (y1 , y2 ) ≥ (z1 , z2 ). Portanto,
(x1 , x2 ) ≥ (z1 , z2 ) e então x z. Ou seja, essas preferências são transitivas.
c) Monotônicas?
S: Sim, por definição (“quanto mais, melhor”).
d) Convexas?
S: Sim, pois se x e y são duas cestas de bens tais x ∼ y, então (x1 , x2 ) = (y1 , y2 ), e portanto λx + (1 − λ) y =
x, ∀λ ∈ [0, 1], o que por sua vez significa λx + (1 − λ) y x, ∀λ ∈ [0, 1].
4) Suponha que uma pessoa esteja consumindo uma cesta de bens tal que a sua utilidade
marginal de consumir o bem A é 12 e a sua utilidade marginal de consumir o bem B é 2. Suponha
também que os preços dos bens A e B são R$2 e R$1, respectivamente e que as preferências desse
consumidor são estritamente convexas.
a) Essa pessoa está escolhendo quantidades ótimas dos bens A e B? Caso não esteja, qual bem ela deveria
consumir relativamente mais (não se preocupe com a restrição orçamentária nesse item)?
S: Denote a cesta de bens que essa pessoa consome por x. Para essas quantidades de bens, temos que:
∂u(x)
∂xA
∂u(x)
∂xB
= 6 6= 2 =
pA
pB
A TMS entre A e B é maior do que a relação de preços entre A e B. Nesse caso, o consumidor pode aumentar
sua utilidade se consumir mais do bem A e menos do bem B, pois no mercado ele pode trocar 2 unidades de B
por uma unidade de A e tal troca vai aumentar sua utilidade em uma razão de seis vezes.
b) A sua resposta para o item a) depende do valor da utilidade marginal? Explique
S: Não, depende apenas da relação entre as utilidades marginais, que permanece a mesma qualquer que seja
a função de utilidade usada para representar as preferências.
5) Suponha que Ana consome apenas pão e circo, e suas preferências são estritamente convexas.
Um certo dia o preço do pão aumenta e o preço do circo diminui. Ana continua tão feliz quanto
antes da mudança de preços (a renda de Ana não mudou).
a) Ana consume mais ou menos pães após a mudança de preços?
b) Ana consegue agora comprar a cesta que comprava antes?
S: (a e b juntos) Nesse caso, pão se torna mais caro relativamente ao circo. A reta orçamentária se torna
mais inclinada. Essa mudança na reta orçamentária é tal que o indivíduo alcança o mesmo nível de utilidade
de antes (ou seja, a nova reta orçamentária tangenciará a mesma curva de indiferença que a reta orçamentária
original tangenciava.). O gráfico abaixo mostra que Ana consome menos pães do que antes (equilíbrio muda de
E para Ê) e que cesta que ela consumia antes (E) não é mais possível de ser adquirida aos novos preços.
2
6) Considere a utilidade u (x1 , x2 ) =
√
ax1 + bx2 .
a) Calcule a TMS entre os dois bens. Desenhe o mapa de indiferença dessa utilidade.
√
S: Uma curva de indiferença em particular pode ser encontrada fazendo-se u (x1 , x2 ) = u , ou seja, u =
ax1 + bx2 , logo ax1 + bx2 = u2 . Isto quer dizer que o mapa de indiferença dessa utilidade tem a mesma forma
do que o mapa de indiferença para a utilidade ũ (x1 , x2 ) = ax1 +bx2 . Portanto, esta utilidade também representa
bens substitutos perfeitos. A curva de indiferença é:
Observe que a TMS de u, é igual a TMS de u
e:
u
T M S12
(x1 , x2 ) = −
0.5 (ax1 + bx2 )−0.5 a
0.5 (ax1 + bx2 )−0.5 b
a
e
u
(x1 , x2 )
= − = T M S12
b
b) Encontre as funções de demandas ótimas para o consumidor.
S: O problema do consumidor é atingir o nível mais alto de utilidade, dada a restrição orçamentária. Como
os bens são perfeitamente substitutos, o consumidor comprará o bem que for relativamente mais barato: o bem
que tiver menor preço dividido pelo coeficiente da utilidade. As funções de demanda:
(
xM
1 (p1 , p2 , m) =
0
(
xM
2
(p1 , p2 , m) =
m/p1 , se p1 /a < p2 /b
se p1 /a > p2 /b
m/p2 , se p1 /a > p2 /b
0
3
se p1 /a < p2 /b
No caso em que p2 /b = p1 /a, o consumidor é indiferente entre qual dos bens comprar, pois a TMS é sempre
igual à relação de preços dos bens. Nesse caso, o consumidor comprará qualquer quantidade de x∗1 e x∗2 tal que
satisfaça a sua reta orçamentária p1 x∗1 + p2 x∗2 = m.
c) Agora suponha que a=b=1 e p1 = 1, p2 = 2 e m = 100. Ilustre graficamente a solução neste caso. Qual
a TMS na cesta ótima? Para este caso, vale a condição de igualdade de TMS e relação de preços? Discuta
intuitivamente sua resposta.
S: O gráfico abaixo ilustra a solução neste caso.
Na cesta ótima, x∗1 = 100 e x∗2 = 0, não é válida a igualdade entre TMS e relação de preços (T M S = −1 6=
0.5 = −p1 /p2 ). Isto ocorre porque estamos em uma solução de canto: apenas o bem 1 é consumido. Se fosse
possível, o indivíduo continuaria a trocar o bem 2 pelo bem 1, mas ele já está no limite, sem mais nenhuma
quantidade do bem 2 para trocar pelo bem 1. A igualdade entre as TMS e a relação de preços é válida para
soluções interiores, ou seja, cestas tais que as quantidades dos bens são todas positivas (estritamente maiores
do que zero).
7) Considere a utilidade u (x1 , x2 ) = (min {ax1 , bx2 })2 .
a) Calcule a TMS entre os dois bens. Desenhe o mapa de indiferença dessa utilidade.
S: Procedemos como na questão anterior: uma curva de indiferença em particular pode ser encontrada
√
fazendo-se u (x1 , x2 ) = u , ou seja, u = (min {ax1 , bx2 })2 , logo u = min {ax1 , bx2 }. Isto quer dizer que o mapa de
indiferença desta utilidade tem o mesmo formato do que o mapa de indiferença da utilidade ũ = min {ax1 , bx2 }.
Portanto, esta utilidade também representa bens complementares perfeitos. A curva de indiferença é ilustrada
na figura abaixo.
A TMS entre os dois bens não está bem definida, pois a utilidade não é diferenciável. Porém, podemos dizer
que ela será igual a zero ou a infinito, dependendo da cesta em que for calculada. Se a cesta (x1 , x2 ) for tal
que x1 < x2 , então T M S12 (x1 , x2 ) = 0, pois neste caso o consumidor não está disposto a trocar o bem 1 pelo
bem 2. Se a cesta (x1 , x2 ) for tal que x1 > x2 , então T M S12 (x1 , x2 ) = +∞, pois neste caso o consumidor está
disposto a trocar o bem 1 pelo bem 2 qualquer que seja a taxa de troca ( a TMS é uma medida local, vale
apenas para uma vizinhança da cesta em questão.) . Finalmente, se a cesta (x1 , x2 ) for tal que x1 = x2 , então
T M S12 (x1 , x2 ) não está definida.
4
b) Encontre as funções de demandas ótimas para o consumidor.
S: Como podemos observar no gráfico acima, essa curva toca a reta orçamentária no ponto E. No caso geral,
a 6= b , o consumidor iguala os argumentos da função de mínimo: ax1 = bx2 . Portanto,
a
b x1
= x2 .
O consumidor compra mais do bem que tiver o coeficiente a ou b menor: para este bem, ele precisa de
uma quantidade maior para cada unidade do outro bem. Substituindo
a
b x1
= x2 na restrição orçamentária
encontramos as funções de demanda:
xM
1 (p1 , p2 , m) =
m
p1 +
a
b
p2
e xM
2 (p1 , p2 , m) =
a
b p1 +
m
a
b
p2
c) Agora suponha que a=b=1 e p1 = 1, p2 = 2 e m = 100. Ilustre graficamente a solução neste caso. Suponha agora que os preços mudaram para suponha que a=b=1 e p1 = 2, p2 = 2 e a renda não se modificou.
Calcule e ilustre graficamente a solução neste caso. Compare as duas soluções encontradas nesse item. Discuta
intuitivamente sua resposta.
100
m
∗
∗
S: Para o primeiro caso, temos que x∗1 = x∗2 = p1m
+p2 = 3 . Para o segundo caso, temos que x1 = x2 = p1 +p2 =
100
3 .
Portanto, a cesta ótima é a mesma em ambos. Isto ocorre porque, no caso de bens complementares perfeitos
onde a=b, os dois bens devem sempre ser consumidos na proporção de um para um. Podemos dizer que o bem
1 e o bem 2 formam um único bem, cujo o preço é p1 + p2 . Como nos dois casos, o preço deste “bem conjunto”
não mudou, o consumo dele continua o mesmo. Veja o gráfico abaixo:
8) Encontre as demandas ótimas para os seguintes casos, onde α, β e ρ ∈]0, +∞[:
5
a) u (x1 , x2 ) = αlnx1 + βlnx2
S: Vamos montar o Lagrangiano:
L = αlnx1 + βlnx2 + λ [m − p1 x1 − p2 x2 ]
As CPOS são:
Lx1 = α
1
= λp1
x1
(1)
Lx2 = α
1
= λp2
x2
(2)
Lλ = m = p1 x1 + p2 x2
(3)
Dividindo (1) por (2) e isolando x2 teremos que:
x∗2 = x1
p1
β
α
p2
(4)
Substituindo (4) em (3) encontramos que:
x∗1 =
x∗2
α
α+β
β
α+β
m
p1
(5)
m
p2
(6)
Inserindo (5) em (4) temos que:
α
=
β
b) u (x1 , x2 ) = x1α+β x2α+β
S: Faça a seguinte transformação na função
α
α+β
=Φ e
β
α+β
1−Φ
= 1 − Φ então teremos que u (x1 , x2 ) = xΦ
.
1 x2
Observe que a função de utilidade é igual a anterior (letra a) elevada a
1
α+β
o que constitui uma transformação
1−Φ
crescente, pois α e β são maiores que zero. Portanto a função de utilidade u (x1 , x2 ) = xΦ
é uma versão
1 x2
β
loglinearizada de u (x1 , x2 ) = xα
1 x2 .
O Lagrangiano é idêntico ao da letra a, bem como o método de resolução, e dessa forma você obterá as
seguintes demandas:
x∗1 = Φ
m
α m
=
p1
α + β p1
x∗2 = (1 − Φ)
m
β m
=
p2
α + β p2
(7)
(8)
c)u (x1 , x2 ) = (x1 − a)α (x2 − b)β
S:Vamos montar o Lagrangiano:
L = (x1 − a)α (x2 − b)β + λ [m − p1 x1 − p2 x2 ]
As CPOS são:
Lx1 = α (x1 − a)α−1 (x2 − b)β = λp1
(9)
Lx2 = β (x1 − a)α (x2 − b)β−1 = λp2
(10)
6
Lλ = m = p1 x1 + p2 x2
(11)
Dividindo (9) por (10) e isolando x2 teremos que:
x∗2 =
1
[p1 β (x1 − a) + αp2 b]
αp2
(12)
Substituindo (12) em (11) encontramos que:
x∗1 =
1
[α (m − p2 b) + p1 βa]
(α + β) p1
(13)
x∗2 =
1
[β (m − p1 a) + αp2 b]
(α + β) p2
(14)
Inserindo (13) em (12) temos que:
d) u (x1 , x2 ) = xρ1 + xρ2
1/ρ
S:
L = xρ1 + xρ2
ρ1
λ [m − p1 x1 − p2 x2 ]
As CPOs são:
1−ρ
ρ
xρ−1
= λp1
1
(15)
ρ1 −1
xρ−1
= λp2
2
(16)
xρ1 + xρ2
xρ1 + xρ2
Lλ = m = p1 x1 + p2 x2
(17)
Dividindo (15) por (16) teremos que:
x2 = x1
p1
p2
1
ρ−1
(18)
Substituindo na equação (17):
1
x1 =
mp1ρ−1
ρ
ρ
(19)
p1ρ−1 + p1ρ−1
Inserindo (19) em (18) teremos:
1
x2 =
mp2ρ−1
ρ
ρ
(20)
p1ρ−1 + p1ρ−1
0.5
e) u (x1 , x2 ) = x0.5
1 + x2
S:Vamos montar o Lagrangiano:
0.5
L = x0.5
1 + x2 + λ [m − p1 x1 − p2 x2 ]
As CPOS são:
Lx1 = 0.5x−0.5
= λp1
1
7
(21)
Lx2 = 0.5x−0.5
= λp2
2
(22)
Lλ = m = p1 x1 + p2 x2
(23)
Dividindo (21) por (22) e isolando x2 teremos que:
x∗2
= x1
p1
p2
2
(24)
Substituindo (22) em (23) encontramos que:
x∗1
p2
=m
p1 p2 + p21
(25)
Inserindo (25) em (24) temos que:
x∗2
p1
=m
p1 p2 + p22
8
(26)