x 1

UEFS
Disciplina: Análise Microeconômica I
Prof.(a) : Maria Margarida R. Costa
Notas de Aula sobre a Demanda
1. O problema do consumidor
As preferências e a reta orçamentária contêm informações sobre o comportamento do
consumidor. As preferências ou as utilidades refletem o gosto do consumidor, sem
considerar o que de fato pode ser adquirido. A reta orçamentária reflete as
possibilidades de compra do consumidor, sem considerar suas preferências. Desta
forma, o problema do consumidor associa esses dois conceitos ao caracterizar o
problema como a maximização da utilidade sujeita à restrição orçamentária.
O consumidor pode escolher entre n bens, x1, x2, .... , xn, que podem ser comprados
pelos preços de mercado p1, p2......, pn, respectivamente. Denotamos uma cesta de bens
por x = (x1, x2, ...., xn) e um vetor de preços por p = (p1, p2, ...., pn).
O problema do consumidor pode ser escrito como:
Dadas estas condições o consumidor escolhe os bens que maximizam a sua utilidade e
que estão dentro da sua possibilidade de consumo, i.e., satisfazem a sua restrição
orçamentária.
Para resolver esse problema, montamos a “função Lagrange”:
, onde λ
é o multiplicador de Lagrange.
As condições de primeira ordem (CPO) desse problema são:
As condições de primeira ordem (CPO) são necessárias, mas não suficientes para
garantir a “otimalidade” da solução. Para confirmar que as cestas encontradas usando as
CPO são ótimas é necessário verificar as condições de segunda ordem (CSO) do
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problema. No entanto, assumiremos que as CSO para o problema do consumidor estão
satisfeitas. Se dividirmos as duas das primeiras equações acima, obtemos
(3)
O lado esquerdo da equação é a TMS, que representa o valor marginal do bem i em
termos do bem j (a inclinação da Curva de Indiferença). O lado direito dessa equação é
o custo de mercado do bem i em termos do bem j ( a inclinação da Restrição
Orçamentária).
A equação (3) diz que para a escolha ótima do consumidor, para quaisquer dois bens, o
valor relativo deles em termos das preferências do consumidor deve ser igual ao
valor de mercado desses bens.
Graficamente: no ponto ótimo de consumo, a inclinação da curva de indiferença nesse
ponto (que mede a TMS) é igual à inclinação da restrição orçamentária (que mede a
taxa de troca de mercado dos dois bens). A figura abaixo ilustra essa situação, onde o
ponto de equilíbrio (ponto ótimo) de consumo é representado por E, o ponto de
tangência da curva de indiferença com a restrição orçamentária (o ponto onde essas
duas curvas têm a mesma inclinação).
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2. Funções de Demanda
A solução do problema do consumidor corresponde às demandas dos bens como
funções dos preços de do nível de renda:
As funções de demanda acima são chamadas demandas Marshallianas. Revelam qual
é a escolha ótima do consumidor quando os preços são p1, p2,... ,pn e a renda m.
3. Exemplos
3.1 Bens Substitutos. Dois bens são substitutos perfeitos se o consumidor aceita
substituir um pelo outro a uma taxa constante.
Se x1 e x2 são bens substitutos, a função utilidade que representa essa relação é dada por
U(x1, x2) = ax1 + bx2; a > 0; b > 0
Os parâmetros a e b determinam a taxa de substituição entre os bens. No exemplo de
gasolina e álcool para um carro flex, a = b, são iguais a 1. Graficamente:
x2
U = x 1 + x2
𝑚
𝑝2
Hip: p2 = 2p1
E
𝑚
𝑝1
X1
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O problema do consumidor é atingir a curva de indiferença mais alta, dada a restrição
orçamentária. Então ele comprará o bem que for relativamente mais barato. Se a = b = 1
e U(x1; x2) = x1 + x2, o consumidor compra o bem que tiver o preço menor (se os dois
bens tiverem o mesmo preço, tanto faz para o consumidor, ele comprará qualquer cesta
dos dois bens).
A função de demanda é:
Graficamente:
P1
X2
Curvas de
indiferença
Curva de demanda
p1=p2
Curva de preçoconsumo
X1
X1
m/p1
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3.2. Bens Complementares perfeitos - Dois bens são complementares perfeitos se são
consumidos conjuntamente, em combinações fixas. Se x1 e x2 são bens complementares
perfeitos, a função de utilidade que representa essa relação é dada por:
U(x1; x2) = min {ax1, bx2 };
a > 0; b > 0
Os números a e b refletem o grau de complementaridade dos bens. No caso de sapatos,
a = b = 1.
No caso dos óculos, 2 lentes (bem x1) para 1 armação (bem x2), então a = 2b.
Graficamente, a escolha ótima é dada por :
x2
P1
x2 = x1
E’
”
U3
Curva de
demanda
U2
U1
x1
x1
O consumidor escolhe a cesta de bens na curva de indiferença que representa o maior
nível de satisfação possível – ponto E. A cesta de bens ótima significa consumir
quantidades iguais do bem (quando a = b = 1).
Como não há como substituir os bens: se a = b = 1, então U(x1; x2) = min {x1, x2}, o
consumidor compra os dois bens em quantidades iguais, independente da relação dos
preços. Portanto x1 = x2 = x* e substituindo na restrição orçamentária, termos:
x1(p1,p2,m) = x2(p1,p2,m) =
𝒎
𝒑𝟏+𝒑𝟐
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3.3. Utilidade Cobb-Douglas. Para o caso de dois bens, vimos que as demandas geradas
por uma utilidade Cobb-Douglas U(x1,x2) = x1αx21-α 0 < α < 1, são
x1 = α
𝒎
e
𝒑𝟏
x2 = (1-α)
𝒎
𝒑𝟐
4. A Curva de demanda
É (quase sempre) negativamente inclinada: se o preço do bem aumenta, compramos
menos desse bem. Essa propriedade é chamada de lei da demanda. A exceção é o caso
dos bens de Giffen.
4.1. Lei da Demanda: Para qualquer bem ou serviço, a lei da demanda afirma que se
consome mais quando o preço diminui (ou que se consome menos quando o preço
aumenta), mantendo–se as demais variáveis constantes (condição ceteris paribus).
preço
Curva de demanda
quantidade
Existem duas formas de se interpretar a curva de demanda:
a. Para cada preço alternativo, sabemos qual será a quantidade demandada pelo
consumidor, ou
b. Dado que a demanda é negativamente inclinada , pode-se afirmar que o valor
marginal de um bem é decrescente. A função de demanda inversa p(x) mede essa
relação do valor marginal com a quantidade consumida: quanto o consumidor está
disposto a pagar pela última unidade x consumida. Sempre que a função de demanda
for negativamente inclinada, podemos achar a função de demanda inversa desse
consumidor.
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4.2. Mudanças na curva e da curva
Quando estudamos o que ocorre com a quantidade demandada quando o preço do bem
varia, todo o resto constante, estamos estudando uma mudança ao longo da curva de
demanda:
p
Alteração no preço do bem
D
x
A quantidade de um bem a ser demandada é uma função do preço do produto e de um
conjunto de outros fatores, como os preços de outros bens e a renda, expressos
explicitamente na função de demanda e também de fatores implícitos, como o tamanho
da população, a renda per capita, os gostos, a expectativa sobre preços futuros, o clima,
etc. Se esses outros determinantes da demanda não se alterarem, uma mudança no preço
do bem provocará uma mudança na quantidade demandada. Ou seja, um movimento ao
longo da curva, como mostra o gráfico acima.
Se algum dos outros determinantes da demanda mudar, o resultado será um
deslocamento de toda a curva de demanda, que pode gerar tanto um aumento como uma
queda da quantidade demandada para cada nível de preço dependendo da direção do
deslocamento.
p
Alteração de outra variável
D’
D
x
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5. Função de Utilidade Quase-linear
Para o caso de dois bens, essa utilidade é dada por: U(x1, x2) = v(x1) + x2
ou seja, a utilidade_é linear em um bem apenas. Essa utilidade gera demandas com
características importantes. O problema do consumidor nesse caso é dado por:
Max g(x1) + x2 s.a
p1x1 + p2x2 = m
Usando a reta orçamentária, obtemos que x2 = m/p2 - (p1/p2)x1. Substituindo esse valor de
x2 na função utilidade, obtemos:
Nesse caso a solução é interior
A curva de demanda inversa é dada por
𝒑𝟏(𝒙𝟏) = 𝒈′ (𝒙𝟏)𝒑𝟐
. Isto é a função de demanda inversa do bem 1 é a derivada da
função de utilidade multiplicada por p2. A demanda do bem 1 depende apenas da
relação de preços dos bens. A demanda do outro bem é obtida substituindo a demanda
do bem 1 na restrição orçamentária:
As demandas quase lineares apresentam essa propriedade da demanda de um dos bens
não depender da renda . O efeito de uma alteração da renda na demanda do bem 1 é
nulo: uma variação na renda não altera a quantidade consumida do bem 1. Qualquer
modificação na renda afeta apenas a demanda do bem 2. Por exemplo, se a renda do
consumidor aumentar, todo esse aumento será gasto apenas no bem 2.
IMPORTANTE: a demanda não será independente da renda para todos os valores da
renda: se a renda for muito baixa, o consumidor não conseguirá comprar nada do bem 1.
Graficamente, as curvas de indiferença de uma função de utilidade quase linear são
verticalmente paralelas: para qualquer quantidade do bem, as inclinações de duas curvas
de indiferença diferentes serão iguais.
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Exemplo retirado do livro de Varian (p. 123)
Seja U(x1; x2) = ln x1 + x2.
O problema do consumidor é: max x1 ln x1 + m/p2 - (p1/p2)x1
A CPO (condição de primeira ordem) é :
A demanda do outro bem é obtida substituindo a demanda do bem 1 na restrição
orçamentária
IMPORTANTE: Observe que se p2 > m, o consumidor não consegue comprar a
quantidade p2/p1 do bem 1. Nesse caso, o consumidor compra apenas o bem 1, e
portanto x2* = 0
As funções de utilidade quase-lineares, devido ao fato de gerarem demandas com uma
estrutura simples, são muito usadas em economia, especialmente na análise de bemestar.
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Lembre-se que as curvas de indiferença para funções quase-lineares
são versões
“deslocadas” de uma curva de indiferença. Se deslocarmos a restrição orçamentária para
fora, se uma curva de indiferença tangenciar a reta orçamentária numa cesta (x1*, x2*),
então, outra curva de indiferença tangenciará em (x1*, x2*+ k) para qualquer constante
k. O aumento da renda não altera em nada a demanda do bem 1, e toda a renda
adicional vai para o consumo do bem 2 – Efeito-renda nulo.
Graficamente vemos que a curva de Engel para o bem 1 é uma linha vertical.
x2
Curva de renda
consumo
m
Curva de Engel
Curvas de indiferença
Retas orçamentárias
x1
x1
Referências:
Varian, H. – Microeeconomia – Princípios Básicos, Cap. 6
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