Variáveis aleatórias e modelos teóricos unidimensionais

Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
Área Departamental de Matemática
Raciocínio Probabilístico e Simulação
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Lista de exercícios propostos n.o 03: Variáveis
aleatórias e modelos teóricos unidimensionais
Exercício 1.
Uma empresa escolhe um lote com três peças para analisar a sua qualidade.
As peças são classificadas em defeituosas ou não defeituosas. Através de
estudos anteriores, a empresa sabe que 10% das peças que recebe são defeituosas. Considere a variável aleatória X - “número de peças defeituosas no
lote”.
Exercício 3.
Suponha que a máquina 1 produz por dia o dobro das peças que são produzidas
pela máquina 2. No entanto 4% das peças fabricadas pela máquina 1 tendem
a ser defeituosas, enquanto que a máquina 2 produz somente cerca de 2% de
defeituosas. Admita que a produção diária das duas máquinas seja misturada.
Uma amostra aleatória de 4 peças é extraída da produção total. Considere a
variável aleatória X -“número de peças defeituosas na amostra”.
(a) Indique a função de probabilidade da variável aleatória X;
(a) Indique o espaço de resultados, S, da experiência aleatória.
(b) Indique a função de distribuição da variável aleatória X;
(b) Qual é o conjunto de valores que a variável aleatória X pode tomar?
(c) Determine a função de probabilidade da variável aleatória X.
(c) Qual a probabilidade que essa amostra contenha no máximo uma peça
defeituosa?
(d) Determine a função distribuição da variável aleatória X.
(d) Calcule o desvio padrão da variável aleatória X.
(e) Calcule P rX ď 1s, P rX ą 2s e P r2 ď X ă 3s.
(f ) Qual é a probabilidade da empresa encontrar no lote no máximo uma
peça defeituosa?
(g) Qual é a probabilidade da empresa encontrar no lote duas peças defeituosas?
(h) Calcule P rX ď 2 | X ą 0s.
(i) Determine o valor médio, a variância, o desvio padrão e o coeficiente
de variação da variável aleatória X.
Exercício 2.
Uma determinada turma do ISEL tem 20 alunos do sexo masculino e 10 do
sexo feminino. O professor de ALGA vai seleccionar aleatoriamente uma
amostra de 3 alunos para realizar um teste diagnóstico. Considere a variável
aleatória X - “número de alunos do sexo masculino na amostra”. Defina a
função de probabilidade da variável aleatória.
Exercício 4.
A procura diária de um determinado artigo é uma variável aleatória X, cuja
função de distribuição é dada por:
$
0
, xă0
’
’
’
’
’
’
’
’
0, 1 , 0 ď x ă 1
’
’
’
’
’
’
’
’
& 0, 25 , 1 ď x ă 2
.
F pxq “
’
’
0, 45 , 2 ď x ă 3
’
’
’
’
’
’
’
’
0, 65 , 3 ď x ă 4
’
’
’
’
’
’
%
1
, xě4
Determine a função de probabilidade da variável aleatória X.
Exercício 5.
Um número binário é constituído pelos dígitos zero e um. Suponha que um
número binário é formado por n dígitos. Suponha que a probabilidade de
aparecer um dígito incorrecto é p e que os erros em diferentes dígitos sejam
independentes uns dos outros.
(a) Qual a probabilidade de se formar um número incorrecto;
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(b) Se n “ 7, qual a probabilidade de encontrar três erros.
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Exercício 6.
O custo de um produto de rara procura comercializado num determinado
estabelecimento é de 5 e, e o preço de venda é de 7,5 e. O abastecimento
deste produto é feito no início de cada semana, sabendo-se que tal produto
se torna irrecuperável se não for vendido na semana em causa. Considere
a seguinte função de probabilidade para a procura semanal, X, em unidades
desse produto:
Exercício 8.
Como resultado da crise do Golfo, a produção de petróleo de um dos países
da OPEP (Organização dos países exportadores de petróleo) apresentou quebras da ordem dos 30% o que não lhe permitiu satisfazer integralmente os
compromissos anteriormente assumidos: o abastecimento de 8 navios tanque
americanos e 7 europeus. Sabendo que 70% da sua produção lhe permitiam
abastecer apenas 6 dos navios tanque, decidiu seleccionar aleatoriamente os
navios tanque a abastecer. Qual a probabilidade de serem seleccionados no
máximo 2 navios americanos?
x
f pxq
1
0, 1
3
0, 3
4
0, 2
5
0, 3
7
0, 1
Exercício 9.
Numa auto-estrada o número de acidentes rodoviários ocorridos num dia útil
comporta-se como uma variável de Poisson, de valor médio igual a 3.
Admitindo um stock inicial de 4 unidades, determine:
(a) Qual a probabilidade de que em determinado dia útil, nessa auto-estrada
não aconteça qualquer acidente?
(a) a probabilidade de haver falhas de stock;
(b) a probabilidade de haver sobras de stock;
(c) o valor esperado e a variância de X;
(b) Qual a probabilidade de que em 5 dias úteis, nessa auto-estrada aconteçam pelo menos 4 acidentes?
(d) a função de probabilidade do lucro semanal obtido com a comercialização deste produto.
(c) Qual a probabilidade de ao analisar aleatoriamente 6 dias, encontre no
máximo um dia em que ocorreram 4 acidentes?
Exercício 7.
Num determinado armazém estão armazenadas as embalagens de um produto
produzido diariamente por uma empresa. Sabe-se, de estudo anteriores, que
10% das embalagens estão deterioradas.
(d) Qual a probabilidade de ao analisar aleatoriamente 8 dias, encontre
3 dias em que ocorreram menos de dois acidentes e 4 dias em que
ocorreram mais de 5 acidentes?
(a) Se for efectuada uma inspecção sobre uma amostra de 10 embalagens
recolhidas ao acaso, qual a probabilidade de que a inspecção rejeite a
distribuição de mercadoria, dado que ela permite, no máximo, a presença de 3 deterioradas na amostra;
(e) Qual a probabilidade de, em certo dia, ter de esperar pelo menos 6 horas
até que ocorra o 1o acidente?
(b) Se uma empresa possui 100 armazéns nestas condições, em quantos se
pode esperar que haja rejeição?
(c) Um dos armazéns da empresa é inspeccionado, durante um ano, 15
vezes. Em cada inspecção é analisada uma amostra de 10 embalagens.
Qual a probabilidade de não encontrar embalagens deterioradas em 4
dessas amostras e encontrar apenas uma embalagem deteriorada em 5
amostras?
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Exercício 10. O número de defeitos num cabo eléctrico fabricado por uma
máquina tem distribuição de Poisson. A probabilidade de não haver defeitos
em cinquenta metros de cabo é 0,1353.
Exercício 13.
Um Sistema Automático de Detecção de Incêndios (SADI) é composto por
uma central de incêndios, botões de alarme, sirenes e detectores de incêndio.
Suponha que o tempo de funcionamento até avariar de um detector de incêndios, em anos, segue uma lei exponencial com parâmetro 0, 1. Sabendo que o
dispositivo não avariou nos primeiros oito anos, qual a probabilidade de não
avariar nos três anos seguintes?
(a) Determine a probabilidade de em oitenta metros de cabo eléctrico ter
pelo menos três defeitos;
(b) Sabendo que o fabricante destes cabos eléctricos obtém, por 50 metros
de cabo, um lucro de 20 e, se o cabo não tiver defeitos, 15 e, se o cabo
tiver um ou dois defeitos, e 10 ese o cabo tiver mais de dois defeitos,
qual é o lucro esperado por 50 metros de cabo?
(c) Qual a probabilidade de, em 5 amostras de 80 metros de cabo cada,
encontrar pelo menos 2 com pelo menos três defeitos?
(d) Calcule a probabilidade de se ter de percorrer pelo menos 40 metros de
cabo entre a ocorrência de dois defeitos consecutivos.
Exercício 11.
De um lote que contém 25 peças, das quais 5 são defeituosas, escolheramse 3 ao acaso. Seja a variável aleatória X -“o número de peças defeituosas
encontradas”.
(a) Defina a função de probabilidade da variável aleatória X, quando:
pa1 q as peças são escolhidas sucessivamente com reposição;
pa2 q as peças são escolhidas simultaneamente;
(b) Calcule o valor médio e o desvio padrão no caso de pa1 q e no caso de
pa2 q.
Exercício 12.
O tempo de funcionamento até falhar de um dado equipamento segue uma
distribuição exponencial com λ “ 0, 002 falhas/hora.
(a) Calcule a probabilidade do equipamento falhar entre as 300 e as 400
horas de funcionamento.
(b) Considerando desprezível o tempo de reparação, calcule a probabilidade
do equipamento falhar no máximo 3 vezes durante 2000 horas de funcionamento.
(c) Se por cada equipamento que falhe antes de atingir 200 horas de funcionamento se tiver 20 u.m. de prejuízo e por cada equipamento que falhe
depois das 300 horas de funcionamento um ganho de 40 u.m, calcule o
lucro esperado por cada 100 equipamentos.
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Exercício 14.
Num processo da fabricação de placas de vidro produzem-se pequenas bolhas
que se distribuem aleatoriamente pelas placas, com uma densidade média de
0, 4 bolhas por m2 .
(a) Calcule a probabilidade de numa placa de 4, 5 m2 haver pelo menos 1
bolha.
(b) Calcule a probabilidade de numa placa de 1200 dm2 haver no máximo
3 bolhas.
(c) Calcule a probabilidade de num conjunto de 6 placas de 4, 5 m2 , haver
pelo menos 4 sem bolhas.
Exercício 15.
O comprimento (em mm) de uma peça fabricada por uma máquina está associado a uma variável aleatória X com função densidade de probabilidade dada
por:
$ x
´ 18
, 2ďxă6
’
16
’
’
’
&
x
´ 16
` 58 , 6 ď x ď 10
f pxq “
.
’
’
’
’
%
0
, outros valores de x
Determine a função de distribuição da variável aleatória X.
Exercício 16.
A percentagem de álcool 100X num certo composto é uma variável aleatória
onde X apresenta a função densidade de probabilidade:
$
& kx3 p1 ´ xq , se 0 ă x ă 1
f pxq “
.
%
0
, fora do intervalo
(a) Mostre que k “ 20;
(b) Determine a função de distribuição de X;
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(c) Determine o valor médio e o desvio padrão de X;
“
‰
(d) Calcule P X ą 34 | X ą 21 ;
(e) Suponha que o preço de venda do composto depende do conteúdo
‰em
“
álcool do seguinte modo: o preço é c1 euros por litro, se X P 13 , 32 e
de c2 euros por litro, caso contrário. Se o custo de produção for de c3
euros por litro, calcule o lucro líquido esperado por litro.
Exercício 17.
Numa clínica, o tempo de espera (em minutos) de um doente é uma variável
aleatória normal com média de 45 minutos e desvio padrão de 15 minutos.
A direcção resolveu promover uma campanha de marketing, garantindo um
tempo máximo de espera. Se o doente não for atendido dentro desse período
a consulta será gratuita. Determine:
(a) O tempo máximo de espera garantido pela direcção, de forma que apenas
10% das consultas sejam gratuitas.
(c) Considere 5 doentes escolhidos ao acaso. Determine a probabilidade de
menos de 4 esperarem mais de 20 minutos.
Exercício 18.
Numa refinaria de açúcar existe uma máquina M que se destina a embalar
pacotes de açúcar. A quantidade de açúcar contida num pacote embalado por
M é uma variável aleatória X normalmente distribuída, de valor médio 7
gramas e desvio padrão 2 gramas. Após sairem da máquina de embalar, os
pacotes são metidos em caixas, contendo cada caixa 25 pacotes. Qual a probabilidade de numa caixa de pacotes embalados por M existir uma quantidade
de açúcar superior a 200 gramas?
Exercício 19.
A pluviosidade anual, medida em cm3 {m2 , numa determinada região A tem
sido estudada e revelou um comportamento normal com média 65 cm3 {m2
sendo possível concluir que em 14,92% dos anos estudados choveu mais que
85 cm3 {m2 .
(a) Qual o desvio padrão da variável aleatória que mede a pluviosidade
anual nessa região?
3
2
(b) Numa outra região B a pluviosidade anual tem média 75 cm {m e
desvio padrão 22 cm3 {m2 . Qual a probabilidade da pluviosidade anual
total das duas regiões não ultrapassar os 138 cm3 {m2 ?
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(a) Determine a média e o desvio padrão desta distribuição;
(b) Considere 10 alunos escolhidos ao acaso. Determine a probabilidade de
que menos de 2 alunos tenham nota inferior a 10 valores;
(c) Considere agora uma amostra de 12 alunos escolhidos ao acaso. Determine a probabilidade de 3 alunos terem nota inferior a 10 valores e
7 alunos terem nota entre 10 e 14 valores.
Exercício 21.
Uma variável aleatória X contínua tem distribuição
uniforme em determi?
nado intervalo com valor médio µ “ 9 e σ “ 2 3.
(a) Determine a distribuição referida;
(b) A fracção de clientes que esperam menos de 20 minutos.
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Exercício 20.
As classificações dos alunos de um curso de Inglês têm uma distribuição aproximadamente normal. Sabe-se que 10% dos alunos têm classificação superior
a 16 valores e 15% têm classificação inferior a 8 valores.
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(b) Determine P r4 ď X ă 10s;
(c) Determine P rX ą 8s.
Exercício 22.
O montante de depósitos à ordem efectuados diariamente, em certa agência
bancária, é aleatório com distribuição normal de média 120 unidades monetárias e variância 64.
(a) Determine a percentagem de dias em que o montante de depósitos à
ordem se situa entre 105 e 135 unidades monetárias;
(b) Considere uma amostra aleatória de 100 dias.
pb1 q Determine a probabilidade do montante médio diário de depósitos
ser de pelo menos 122 unidades monetárias;
pb2 q Determine a probabilidade do montante total de depósitos efectuados durante os 100 dias ser no máximo de 12120 unidades monetárias;
(c) Determine o limite máximo do montante de depósitos à ordem para os
10% de dias com menos depósitos.
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Exercício 23.
O tempo de duração dos anúncios publicitários, em segundos, numa estação
de televisão são bem modelados por uma distribuição uniforme no intervalo
r10, 30s.
(a) Qual a probabilidade de um anúncio durar menos de 15 segundos?
(b) Obteve-se uma amostra aleatória de 70 anúncios independentes.
pb1 q Qual a probabilidade de que a média dos tempos dos anúncios seja
de pelo menos 19 segundos?
pb2 q Qual a probabilidade do tempo total dos anúncios da amostra seja
no máximo 1415 segundos?
Exercício 24.
O tempo entre avarias de um determinado modelo de máquinas é uma variável aleatória exponencial com média de 1000 horas.
Soluções:
Exercício 1.
(a) Considerando o acontecimento D - “peça ser defeituosa” temos
␣
`
˘ `
˘ `
˘ `
˘
S “ pD, D, Dq , D, D, D , D, D, D , D, D, D , D, D, D ,
`
˘ `
˘ `
˘(
D, D, D , D, D, D , D, D, D .
(b) S “ t0, 1, 2, 3u.
(c) Considerando a variável aleatória X - “número de peças defeituosas
em 3” temos que X „ b pn “ 3, p “ 0, 1q. A função de probabilidade da
variável é dada por:
f pxq “ 3Cx p0, 1qx p0, 9q3´x ,
x “ 0, 1, 2, 3
obtendo-se
(a) Qual a probabilidade de uma máquina destas estar a funcionar ao fim
de 1100 horas?
x
f pxq
0
0, 729
1
0, 243
2
0, 027
3
0, 001
(b) Suponha que se testou uma amostra aleatória de 100 máquinas desse
modelo que funcionam de forma independente.
pb1 q Determine a probabilidade do tempo total entre avarias, para esta
amostra, ser superior a 100500 horas.
pb2 q Determine a probabilidade do tempo médio entre avarias, para esta
amostra, se situar entre 900 horas e 1100 horas.
Exercício 25.
Uma fábrica está equipada com 6 máquinas, de características idênticas e de
funcionamento independente, para a produção de certo tipo de peças. Admita
que o custo de manutenção semanal (em euros) de cada máquina é uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo r0; 50s. Na elaboração
do orçamento anual (52 semanas) foi considerada uma verba de 8000 euros
para a manutenção das seis máquinas. Qual a probabilidade da verba de 8000
euros ser suficiente?
(d) A função de distribuição é dada por:
$
0
’
’
’
’
& 0, 729
0, 972
F pxq “
’
’
’ 0, 999
’
%
1
,
,
,
,
,
xă0
0ďxă1
1ďxă2 .
2ďxă3
xě3
(e) Temos P rX ď 1s “ f p0q ` f p1q “ 0, 972, P rX ą 2s “ f p3q “ 0, 001
e P r2 ď X ă 3s “ f p2q “ 0, 027.
(f ) P rX ď 1s “ f p0q ` f p1q “ 0, 972.
(g) P rX “ 2s “ f p2q “ 0, 027.
(h) Temos P rX ď 2 | X ą 0s “
P r0ăXď2s
P rXą0s
“ 0, 996.
(i) µ “ 0ˆ0, 729`1ˆ0, 243`2ˆ0, 027`3ˆ0, 001 “ nˆp “ 0, 3, σ 2 “ 02 ˆ
0, 729`1ˆ0,
243`2ˆ0, 027`3ˆ0, 001´p0, 3q2 “ nˆpˆp1 ´ pq “ 0, 27,
a
σ “ n ˆ p ˆ p1 ´ pq “ 0, 5196 e Cv “ µσ ˆ 100% “ 173, 2%.
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Exercício 2. Considerando a variável aleatória X - “número de alunos do
sexo masculino na amostra” temos que X „ h pN “ 30, n “ 3, K “ 20q. A
função de probabilidade da variável é dada por:
20
f pxq “
Cx ˆ 10C3´x
,
30C
3
(b)
x “ 0, 1, 2, 3
F pxq “ P rX ď xs “
obtendo-se
0
0, 02956
x
f pxq
1
0, 22167
2
0, 46798
3
0, 28079
$
0
, xă0
’
’
’
’
’
’
’
’
0, 874391 , 0 ď x ă 1
’
’
’
’
’
’
’
’
& 0, 99375 , 1 ď x ă 2
’
’
0, 99986
’
’
’
’
’
’
’
’
0, 99999
’
’
’
’
’
’
%
1
, 3ďxă4
, xě4
(c) P rX ď 1s “ f p0q ` f p1q “ 0, 99375;
Exercício 3.
(a) Comecemos por obter a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso
ser defeituosa. Consideremos os acontecimentos:
‚ M2 - “peça ser produzida pela máquina M2 ”
?
0, 1276 “
• P rX ď 0s “ F p0q “ f p0q “ 0, 1
‚ D - “peça ser defeituosa”.
• P rX ď 1s “ F p1q “ f p0q ` f p1q “ 0, 25 ô f p1q “ 0, 15
Temos que:
‚ P rM2 s “
(d) Temos que V ar rXs “ np p1 ´ pq “ 0, 1276 logo σ “
0, 3572.
Exercício 4. Os valores assumidos pela variável aleatória X são 0, 1, 2, 3, 4.
Temos:
‚ M1 - “peça ser produzida pela máquina M1 ”
‚ P rM1 s “
.
, 2ďxă3
• P rX ď 2s “ F p2q “ f p0q ` f p1q ` f p2q “ 0, 45 ô f p2q “ 0, 2
2
3
1
3
‚ P rDs “ P rD X M1 s ` P rD X M2 s “ 32 ˆ 0, 04 ` 13 ˆ 0, 02 “ 0, 033
“ ‰
‚ P D “ 1 ´ P rDs “ 1 ´ 0, 033 “ 0, 967.
Considerando a variável aleatória X - “número de peças defeituosas na
amostra” temos que X „ b pn “ 4, p “ 0, 033q. A função de probabilidade da variável é dada por:
x
4
4´x
f pxq “ Cx p0, 033q p0, 967q
,
• P rX ď 3s “ F p3q “ f p0q ` f p1q ` f p2q ` f p3q “ 0, 65 ô f p3q “ 0, 2
• P rX ď 4s “ F p4q “ f p0q ` f p1q ` f p2q ` f p3q ` f p4q “ 1 ô f p4q “
0, 35
e a função de probabilidade é dada por
x
f pxq
x “ 0, 1, 2, 3, 4,
0
0, 1
1
0, 15
2
0, 2
3
0, 2
4
0, 35
obtendo-se
x
f pxq
0
0, 874391
1
0, 119359
2
0, 006110
3
0, 000139
Exercício 5. Considerando a variável aleatória X - “número de dígitos
incorrectos em n” temos que X „ b pn, pq. A função de probabilidade da
variável é dada por:
4
0, 000001
f pxq “ nCx px p1 ´ pqn´x ,
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x “ 0, 1, . . . , n.
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(a) P rX ě 1s “ 1 ´ P rX ă 1s “ 1 ´ f p0q “ 1 ´ p1 ´ pqn ;
7
3
4
Exercício 7.
4
3
(b) f p3q “ C3 p p1 ´ pq “ 35p p1 ´ pq .
(a) Considerando a variável aleatória X - “número de embalagens, em 10,
deterioradas” temos que X „ b pn “ 10, p “ 0, 1q. A função de probabilidade da variável é dada por:
Exercício 6.
(a) P rX ą 4s “ f p5q ` f p7q “ 0, 4;
f pxq “ 10Cx p0, 1qx p0, 9q10´x ,
(b) P rX ă 4s “ f p1q ` f p3q “ 0, 4;
x “ 0, 1, . . . , 10
logo P rX ą 3s “ 1 ´ P rX ď 3s “ 1 ´ rf p0q ` f p1q ` f p2q ` f p3qs “
0, 013;
(c) E rXs “ 4 e V ar rXs “ 2, 4;
(d) Consideremos a variável aleatória L - “lucro semanal em e”. O custo
semanal associado à aquisição do stock é de 20 e. Como as unidades se
tornam irrecuperáveis se não forem vendidas na semana em causa, as
unidades não podem ser aproveitadas para a semana seguinte. Se forem
procuradas 5 ou 7 unidades do produto, só são vendidas 4 unidades.
Assim temos:
‚ X “ 1 ùñ L “ 7, 5 ´ 20 “ ´12, 5
(b) Considerando a variável aleatória Y - “número de armazéns, em 100,
em que há rejeição da distribuição de mercadoria” temos que Y „
b pn “ 100, p “ 0, 013q. O valor esperado da variável é dado por
E rY s “ n ˆ p “ 1, 3 » 1armazém;
(c) Considerando as variáveis
‚ Y1 - “número de amostras, em 15, sem embalagens deterioradas”;
‚ X “ 3 ùñ L “ 7, 5 ˆ 3 ´ 20 “ 2, 5
‚ Y2 - “número de amostras, em 15, com uma embalagem deteriorada”;
‚ X “ 4 ùñ L “ 7, 5 ˆ 4 ´ 20 “ 10
‚ X “ 5 ùñ L “ 7, 5 ˆ 4 ´ 20 “ 10
‚ Y3 - “número de amostras, em 15, com mais do que uma embalagem deteriorada”;
‚ X “ 7 ùñ L “ 7, 5 ˆ 4 ´ 20 “ 10
temos que
e
‚ P rL “ ´12, 5s “ P rX “ 1s “ 0, 1
pY1 , Y2 , Y3 q „ M pn “ 15; p1 “ 0, 3487, p2 “ 0, 3874, p3 “ 0, 2639q
‚ P rL “ 2, 5s “ P rX “ 3s “ 0, 3
sendo
‚ P rL “ 10s “ P rX “ 4s ` P rX “ 5s ` P rX “ 7s “ 0, 6.
‚ p1 “ P rX “ 0s “ 10C0 p0, 1q0 p0, 9q10 “ 0, 3487;
Obtemos a função de probabilidade:
l
f plq
´12, 5
0, 1
2, 5
0, 3
‚ p2 “ P rX “ 1s “ 10C1 p0, 1q p0, 9q9 “ 0, 3874;
‚ p3 “ 1 ´ P rX ď 1s “ 1 ´ 0, 3487 ´ 0, 3874 “ 0, 2639.
10
0, 6
A probabilidade pedida é:
15!
p0, 3487q4 p0, 3874q5 p0, 2639q6 “
4!5!6!
“ 0, 0275.
P rY1 “ 4, Y2 “ 5, Y3 “ 6s “
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Exercício 8. Considerando a variável aleatória X - “número de navios
americanos abastecidos, em 6” temos que X „ h pN “ 15, n “ 6, K “ 8q. A
função de probabilidade da variável é dada por:
8
f pxq “
Cx ˆ 7C6´x
,
15C
6
(d) Considerando as variáveis
‚ Y1 - “número de dias, em 8, em que ocorrem menos de 2 acidentes”;
‚ Y2 - “número de dias, em 8, em que ocorrem entre 2 e 5 acidentes”;
x “ 0, 1, . . . , 6.
‚ Y3 - “número de dias, em 8, em que ocorrem mais de 5 acidentes”;
A probabilidade pedida é
temos que
P rX ď 2s “ f p0q ` f p1q ` f p2q “ 0, 231.
pY1 , Y2 , Y3 q „ M pn “ 8; p1 “ 0, 199, p2 “ 0, 717, p3 “ 0, 084q ,
Exercício 9.
sendo
(a) Considerando a variável aleatória X - “número de acidentes por dia
útil” temos que X „ P pλ “ 3q. A função de probabilidade da variável
é dada por:
3x e´3
, x “ 0, 1, . . . .
f pxq “
x!
A probabilidade pedida é
(b) Considerando a variável aleatória X 1 - “número de acidentes em 5 dias
úteis” temos que X 1 „ P pλ “ 3 ˆ 5 “ 15q. A função de probabilidade
da variável é dada por:
15x e´15
,
x!
‚ p2 “ P r2 ď X ď 5s “ f p2q ` f p3q ` f p4q ` f p5q “ 0, 717;
‚ p3 “ P rX ą 5s “ 1 ´ 0, 199 ´ 0, 717 “ 0, 084.
A probabilidade pedida é:
P rY1 “ 3, Y2 “ 1, Y3 “ 4s “
P rX “ 0s “ f p0q “ 0, 0498;
f pxq “
‚ p1 “ P rX ă 2s “ f p0q ` f p1q “ 0, 199;
(e) Considerando a variável aleatória T - “tempo
em horas, até
` de espera,
˘
ao primeiro acidente” temos que T „ exp λ “ 81 , em que µ “ λt ô
3 “ λ ˆ 24 ô λ “ 18 . A função de distribuição da variável é dada por:
1
F ptq “ 1 ´ e´ 8 t ,
x “ 0, 1, . . . .
P rX 1 ě 4s “ 1´P rX 1 ă 4s “ 1´rf p0q ` f p1q ` f p2q ` f p3qs “ 0, 9998;
(c) Considerando a variável aleatória Y - “número de dias, em 6, em que
ocorreram 4 acidentes” temos que Y „ b pn “ 6, p “ 0, 168q, sendo p “
P rX “ 4s “ f p4q “ 0, 168. A função de probabilidade da variável é
dada por:
f pyq “ 6Cy p0, 168qy p0, 832q6´y ,
P rT ě 6s “ 1 ´ P rT ă 6s “ 1 ´ F p6q “ 0, 472.
Exercício 10.
(a) Considerando a variável aleatória X - “número de defeitos num cabo
de 50 metros” temos que X „ P pλq. A função de probabilidade da
variável é dada por:
f pxq “
y “ 0, 1, . . . , 6.
λx e´λ
,
x!
x “ 0, 1, . . . .
Temos que
A probabilidade pedida é
P rY ď 1s “ f p0q ` f p1q “ 0, 734;
03 - Variáveis aleatórias e modelos teóricos unidimensionais
t ě 0.
A probabilidade pedida é
A probabilidade pedida é
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8!
p0, 199q3 p0, 717q p0, 084q4 “ 0, 00008;
3!1!4!
P rX “ 0s “ 0, 1353 ô
15/27
λ0 e´λ
“ 0, 1353 ô λ “ 2.
0!
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Agora vamos definir a variável aleatória `X 1 - “número de defeitos
num
˘
1
cabo de 80 metros”. Temos que X 1 „ P λ “ 25
ˆ 80 “ 3, 2 pois λt “
1
2 ô λ ˆ 50 “ 2 ô λ “ 25
por metro. A função de probabilidade da
variável é dada por:
f pxq “
p3, 2qx e´3,2
,
x!
(d) Considerando a variável aleatória T - “comprimento,
em˘ metros, entre
`
1
dois defeitos consecutivos” temos que T „ exp λ “ 25
, em que µ “
1
λt ô 2 “ λ ˆ 50 ô λ “ 25 por metro. A função de distribuição da
variável é dada por:
1
F ptq “ 1 ´ e´ 25 t ,
x “ 0, 1, . . . .
t ě 0.
A probabilidade pedida é
A probabilidade pedida é
P rX 1 ě 3s “ 1 ´ P rX 1 ă 3s “ 1 ´ rf p0q ` f p1q ` f p2qs “ 0, 6201;
(b) Consideremos a variável aleatória L - “lucro por 50 metros de cabo”
que pode assumir os valores 10, 15 e 20. Temos que:
‚ P rL “ 20s “ P rX “ 0s “ 0, 1353;
‚ P rL “ 15s “ P rX “ 1s ` P rX “ 2s “ 0, 5413;
‚ P rL “ 10s “ P rX ą 2s “ 1 ´ P rX ď 2s “ 0, 3234.
P rT ě 40s “ 1 ´ P rT ă 40s “ 1 ´ F p40q “ 0, 2019.
Exercício 11.
pa1 q Considerando a variável`aleatória X ˘- “número de peças defeituosas
em 3” temos que X „ b n “ 3, p “ 51 . A função de probabilidade da
variável é dada por:
ˆ ˙x ˆ ˙3´x
4
1
, x “ 0, 1, 2, 3
f pxq “ 3Cx
5
5
obtendo-se
Logo
x
f pxq
10
0, 3234
15
0, 5413
x
f pxq
20
0, 1353
O lucro esperado por 50 metros de cabo é dado por:
E rLs “ 10 ˆ 0, 3234 ` 15 ˆ 0, 5413 ` 20 ˆ 0, 1353 “ 14, 06;
0
1
2
3
64
125
48
125
12
125
1
125
pa2 q Considerando a variável aleatória X - “número de peças defeituosas em
3” temos que X „ h pN “ 25, n “ 3, K “ 5q. A função de probabilidade
da variável é dada por:
5
(c) Considerando a variável aleatória Y - “número de cabos de 80 metros,
em 5, com pelo menos 3 defeitos” temos que Y „ b pn “ 5, p “ 0, 6201q,
sendo p “ P rX 1 ě 3s “ 1 ´ P rX 1 ă 3s “ 1 ´ rf p0q ` f p1q ` f p2qs “
0, 6201. A função de probabilidade da variável é dada por:
f pyq “ 5Cy p0, 6201qy p0, 3799q5´y ,
f pxq “
Cx ˆ 20C3´x
,
25C
3
x “ 0, 1, 2, 3
obtendo-se
x
f pxq
y “ 0, 1, . . . , 5.
0
1
2
3
57
115
19
46
2
23
1
230
A probabilidade pedida é
P rY ě 2s “ 1 ´ P rY ă 2s “ 1 ´ rf p0q ` f p1qs “ 0, 9275;
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pb1 q µ “ n ˆ p “
3
5
pb2 q µ “ n ˆ p “
3
5
?
a
n ˆ p ˆ p1 ´ pq “ 512 ;
b
b
´n
e σ “ n ˆ p ˆ p1 ´ pq ˆ N
“ 33
.
N ´1
75
eσ“
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Exercício 12.
(a) Considerando a variável aleatória T - “tempo de funcionamento até falhar de um dado equipamento, em horas” temos que T „ exp pλ “ 0, 002q.
A função de distribuição é dada por:
F ptq “ 1 ´ e´0,002t ,
P rT ą 8 ` 3 | T ą 8s “
P r300 ď T ď 400s “ F p400q ´ F p300q “ 0, 0995.
(b) Considerando a variável aleatória X - “número de falhas de um dado
equipamento, em 2000 horas” temos que X „ P pλ “ 0, 002 ˆ 2000 “ 4q.
A função de probabilidade da variável é dada por:
4x e´4
,
x!
F ptq “ 1 ´ e´0,1t ,
t ě 0.
A probabilidade pedida é
t ě 0.
A probabilidade pedida é
f pxq “
Exercício 13. Considerando a variável aleatória T - “tempo de funcionamento até avariar, em anos, de um detector de incêndios” temos que
T „ exp pλ “ 0, 1q. A função de distribuição é dada por:
x “ 0, 1, . . . .
No entanto, como a distribuição exponencial não tem memória, temos que
P rT ě a ` b | T ě as “ P rT ě bs. Logo poderíamos ter calculado apenas
P rT ą 3s “ 1 ´ F p3q “ 0, 7408.
Exercício 14.
(a) Considerando a variável aleatória X - “número de bolhas por m2 ” temos
que X „ P pλ “ 0, 4q. Vamos definir a nova variável aleatória X 1 - “número de bolhas por 4, 5 m2 ”. Temos que X 1 „ P pλ “ 0, 4 ˆ 4, 5 “ 1, 8q.
A função de probabilidade da variável é dada por:
A probabilidade pedida é
f pxq “
P rX ď 3s “ f p0q ` f p1q ` f p2q ` f p3q “ 0, 4335.
P rT ą 11s
1 ´ F p11q
“
“ 0, 7408.
P rT ą 8s
1 ´ F p8q
p1, 8qx e´1,8
,
x!
x “ 0, 1, . . . .
A probabilidade pedida é
(c) Consideremos a variável aleatória L - “lucro por cada equipamento” que
pode assumir os valores ´20 , 0 e 40. Temos que:
‚ P rL “ ´20s “ P rT ă 200s “ F p200q “ 0, 3297
‚ P rL “ 0s “ P r200 ď T ď 300s “ F p300q ´ F p200q “ 0, 1215
P rX 1 ě 1s “ 1 ´ P rX 1 ă 1s “ 1 ´ f p0q “ 0, 8347.
(b) Vamos definir a nova variável aleatória X 2 - “número de bolhas por
12 m2 ”. Temos que X 2 „ P pλ “ 0, 4 ˆ 12 “ 4, 8q. A função de probabilidade da variável é dada por:
‚ P rL “ 40s “ P rT ą 300s “ 1 ´ P rX ď 300s “ 1 ´ F p300q “
0, 5488.
f pxq “
p4, 8qx e´4,8
,
x!
x “ 0, 1, . . . .
A probabilidade pedida é
logo
l
f plq
´20
0, 3297
0
0, 1215
P rX 2 ď 3s “ f p0q ` f p1q ` f p2q ` f p3q “ 0, 2942.
40
0, 5488
(c) Considerando a variável aleatória Y - “número de placas de 4, 5 m2
sem bolhas, em 6” temos que Y „ b pn “ 6, p “ 0, 1653q, sendo p “
P rX 1 “ 0s “ f p0q “ 0, 1653. A função de probabilidade da variável é
dada por:
O lucro esperado por cada equipamento é dado por:
E rLs “ ´20 ˆ 0, 3297 ` 0 ˆ 0, 1215 ` 40 ˆ 0, 5488 “ 15, 358u.m..
f pyq “ 6Cy p0, 1653qy p0, 8347q6´y ,
y “ 0, 1, . . . , 6.
A probabilidade pedida é
P rY ě 4s “ f p4q ` f p5q ` f p6q “ 0, 0084.
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Exercício 15. Para obter a função de distribuição teremos que considerar
os seguintes casos:
• Para x ă 2:
żx
´8
• Para 2 ď x ă 6:
ż2
´8
0 ds `
żxˆ
2
´8
0 ds “ 0;
s
1
´
16 8
˙
x2 x 1
ds “
´ ` ;
32 8 8
• Para 6 ď x ď 10:
˙
˙
żxˆ
ż2
ż6ˆ
s
x2 5
1
5
17
s
´
ds `
´ `
ds “ ´ ` x ´ ;
0 ds `
16 8
16 8
32 8
8
6
´8
2
• Para x ą 10:
˙
˙
ż2
ż 10 ˆ
żx
ż6ˆ
1
s
5
s
´
ds `
´ `
ds `
0 ds “ 1;
0 ds `
16 8
16 8
6
10
´8
2
A função de distribuição desta variável será:
$
0
,
’
’
’
’
’
’
2
’
’
,
& x32 ´ x8 ` 18
F pxq “
’
2
’
’ ´ x32 ` 85 x ´ 17
,
’
8
’
’
’
’
%
1
,
.
6 ď x ď 10
´8
1
0 ds “ 1;
será:
,x ď 0
, 0ăxă1 ;
,x ě 1
(c) Queremos calcular:
ş1
‚ µ “ 0 x r20x3 p1 ´ xqs dx “ 32 ;
` ˘2
ş1
‚ σ 2 “ E rX 2 s ´ rE rXss2 “ 0 x2 r20x3 p1 ´ xqs dx ´ 23 “ 0, 0317;
?
‚ σ “ 0, 0317 “ 0, 178;
3
4
|Xą
1
2
‰
“
P rXą 34 s
P rXą 12 s
“
1´F p 43 q
1´F p 21 q
“ 0, 4519;
(a) Considerando a variável aleatória X - “tempo de espera de um doente,
em minutos” temos que X „ N pµ “ 45; σ “ 15q. Temos que
ȷ
„
a ´ 45
“ 0, 9 ô
P rX ą as “ 0, 1 ô P rX ď as “ 0, 9 ô P Z ď
15
a ´ 45
ô 1, 282 “
ô a “ 64, 2minutos;
15
P rX ă 20s “ P rZ ă ´1, 67s “ Φ p´1, 67q “ 0, 0475;
0
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żx
(b) A probabilidade pedida é:
0 ds “ 0;
– Para 0 ă x ă 1:
ż0
żx
0 ds `
20s3 p1 ´ sq ds “ x4 p5 ´ 4xq ;
´8
0
20s3 p1 ´ sq ds `
Exercício 17.
x ą 10
(b) Para obter a função de distribuição teremos que considerar os seguintes
casos:
żx
ż1
(e) Consideremos a variável aleatória L “- “lucro por‰ litro”` que
˘ pode
` ˘tomar os valores c1 e c2 . Temos que P 31 ď X ď 32 “ F 23 ´ F 31 “
0, 4156. Logo o lucro esperado é dado por: E rLs “ 0, 4156c1`0, 5844c2´
c3 .
Exercício 16.
ş `8
ş1
(a) ´8 f pxq dx “ 1 ô 0 kx3 p1 ´ xq dx “ 1 ô k “ 20;
– Para x ď 0:
0 ds `
A função de distribuição desta variável
$
0
’
’
’
’
&
x4 p5 ´ 4xq
F pxq “
’
’
’
’
%
1
“
(d) P X ą
xă2
2ďxă6
– Para x ě 1:
ż0
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(c) Considerando a variável aleatória Y - “número de doentes que esperam
mais de 20 minutos, em 5” temos que Y „ b pn “ 5, p “ 0, 9525q, sendo
p “ P rX ą 20s “ 1 ´ P rX ă 20s “ 1 ´ 0, 0475 “ 0, 9525. A função
de probabilidade da variável é dada por:
f pyq “ 5Cy p0, 9525qy p0, 0475q5´y ,
y “ 0, 1, . . . , 5.
A probabilidade pedida é
P rY ă 4s “ 1 ´ P rY ě 4s “ 1 ´ rf p4q ` f p5qs “ 0, 021.
Exercício 18. Considerando a variável aleatória X - “quantidade de açúcar
por pacote” temos que X „ N pµ “ 7; σ “ 2q. A quantidade de açúcar em
25 pacotes é dada pelařvariável aleatória Y - “quantidade de açúcar em 25
pacotes” em que Y “ 25
i“1 Xi „ N pµ “ 175; σ “ 10q, usando a aditividade
da distribuição normal. A probabilidade pedida é:
Exercício 20.
(a) Considerando a variável aleatória X - “classificações dos alunos de um
curso de Inglês” temos que X „ N pµ; σq. Temos:
“
‰
‚ P rX ą 16s “ 0, 1 ô P rX ď 16s “ 0, 9 ô P Z ď 16´µ
“ 0, 9 ô
σ
1, 282 “ 16´µ
;
σ
‰
“
“ 0, 15 ô ´1, 036 “ 8´µ
.
‚ P rX ă 8s “ 0, 15 ô P Z ă 8´µ
σ
σ
Resolvendo um sistema com estas duas equações obtemos µ “ 11, 6 e
σ “ 3, 45;
(b) Considerando a variável aleatória Y - “número de alunos, em 10, com
nota inferior a 10” temos que Y „ b pn “ 10, p “ 0, 3228q, sendo p “
P rX ă 10s “ P rZ ă ´0, 46s “ 0, 3228. A função de probabilidade da
variável é dada por:
f pyq “ 10Cy p0, 3228qy p6772q10´y ,
P rY ą 200s “ 1 ´ P rY ď 200s “ 1 ´ P rZ ď 2, 5s “ 0, 0062.
y “ 0, 1, . . . , 10.
A probabilidade pedida é
Exercício 19.
(a) Considerando a variável aleatória X - “índice de pluviosidade anual na
região A” temos que X „ N pµ “ 65; σq. Temos que
P rX ą 85s “ 0, 1492 ô P rX ď as “ 0, 8508
„
ȷ
85 ´ 65
ô P Zď
“ 0, 8508 ô
σ
20
ô σ » 19cm3 {m2 ;
ô 1, 04 “
σ
P rY ă 2s “ f p0q ` f p1q “ 0, 117.
(c) Considerando as variáveis
‚ Y1 - “número de alunos, em 12, com nota inferior a 10”;
‚ Y2 - “número de alunos, em 12, com nota entre 10 e 14”;
‚ Y3 - “número de alunos, em 12, com nota superior a 14”;
temos que
(b) Temos que as variáveis aleatórias X - “índice de pluviosidade anual na
região A” em que X „ N pµ “ 65; σ “ 19q e Y - “índice de pluviosidade
anual na região B” em que Y „ N pµ “ 75; σ “ 22q. Considerando a
variável aleatória W “ X ` Y e usando a aditividade da distribuição
normal temos que W „ N pµ “ 140; σ “ 29, 1q. A probabilidade pedida
é:
P rW ď 138s “ P rZ ď ´0, 07s “ 0, 4721.
pY1 , Y2 , Y3q „ M pn “ 12; p1 “ 0, 3228, p2 “ 0, 4352, p3 “ 0, 242q
sendo
‚ p1 “ P rX ă 10s “ 0, 3228;
‚ p2 “ P r10 ď X ď 14s “ P r´0, 46 ď Z ď 0, 7s “ Φ p0, 7q´Φ p´0, 46q “
0, 4352;
‚ p3 “ P rX ą 14s “ 1 ´ P rZ ă 0, 7s “ 0, 242.
A probabilidade pedida é:
P rY1 “ 3, Y2 “ 7, Y3 “ 2s “
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12!
p0, 3228q3 p0, 4352q7 p0, 242q2 “ 0, 046.
3!7!2!
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Área Departamental de Matemática
Raciocínio Probabilístico e Simulação
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Exercício 21.
Exercício 23.
(a) Temos que X „ U pa; bq com µ “ 9 ô
a`b
2
2
“ 9 ô a ` b “ 18 e
σ 2 “ 12 ô pb´aq
“ 12 ô pb ´ aq2 “ 144. Resolvendo um sistema com
12
estas duas equações obtemos a “ 3 e b “ 15. Logo X „ U p3; 15q;
(b) Temos
F pxq “
$
0
’
’
’
’
&
’
’
’
’
%
,x ă 3
x´3
12
, 3 ď x ď 15 .
1
, x ą 15
A probabilidade pedida é: P rX ă 15s “ F p15q “ 0, 25.
A probabilidade pedida é: P r4 ď X ă 10s “ F p10q ´ F p4q “
(c) A probabilidade pedida é: P rX ą 8s “ 1 ´ F p8q “
6
.
12
7
.
12
Exercício 22.
(a) Considerando a variável aleatória X - “montante de depósitos à ordem
diários” temos que X „ N pµ “ 120; σ “ 8q. Calculemos a probabilidade:
P r105 ď X ď 135s “ P r´1, 88 ď Z ď 1, 88s “ 0, 9399.
A percentagem pedida é 93,99%.
pb1 q Considerando a variável aleatória X - “montante médio diário de depósitos à ordem na amostra”
´ e usando a aditividade
¯ da distribuição
8
normal temos que X „ N µ “ 120; σ “ ?100
“ 0, 8 . A probabilidade
pedida é:
“
‰
P X ě 122 “ 1 ´ P rZ ă 2, 5s “ 0, 0062;
pb2 q O montante total depositado nos 100 dias é dado pela variávelřaleatória
Y - “montante total depositado nos 100 dias” em que Y “ 100
i“1 Xi „
N pµ “ 12000; σ “ 80q. Usando a aditividade da distribuição normal
tem-se a probabilidade pedida dada por:
P rY ď 12120s “ P rZ ď 1, 5s “ 0, 9332;
„
ȷ
a ´ 120
P rX ď as “ 0, 1 ô P Z ď
“ 0, 1 ô
8
a ´ 120
ô ´1, 282 “
ô
8
ô a “ 109, 74um.
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pb1 q Considerando a variável aleatória X - “tempo médio de duração dos
anúncios na
limite central teremos então
´ amostra” e usando o teorema
¯
5,77
que X „N
“ 10`30
“ 20 e
9
µ “ 20; σ “ ?
“ 0, 69 , pois µX “ a`b
2
2
70
b
b
2
2
pb´aq
p30´10q
σX “
“
“ 5, 77. Podemos usar o teorema limite
12
12
central porque n ą 30. A probabilidade pedida é:
“
‰
P X ě 19 “ 1 ´ P rZ ă ´1, 45s “ 0, 9265.
pb2 q Consideremos a variável aleatória Y - “tempo total de duração dos
anúncios na amostra”.
Usando o teoremablimite central tem-se
que
´
¯
ř
9
µ “ 70 ˆ 20 “ 1400; σ “ 70 ˆ 400
Y “ 70
“ 48, 3 . Podei“1 Xi „N
12
mos usar o teorema limite central porque n ą 30. A probabilidade
pedida é:
P rY ď 1415s “ P rZ ď 0, 31s “ 0, 6217.
Exercício 24.
(a) Considerando a variável aleatória T - “tempo entre avarias, em horas”
temos que T „ exp pλ “?q. Como E rT s “ 1000 ô λ “ 0, 001 vem
T „ exp pλ “ 0, 001q com F ptq “ 1 ´ e´0,001t , t ą 0. A probabilidade
pedida é:
P rT ą 1100s “ 1 ´ F p1100q “ 0, 3329;
pb1 q Consideremos a variável aleatória Y - “tempo total entre avarias nas
100
Usando o teorema limite?central tem-se que Y ˘“
`
ř100 máquinas”.
9
µ “ 100
“ 100000; σ “ 100 ˆ 1000000 “ 10000 , pois
i“1 Ti „N
bˆ 1000
?
µT “ 1000 e σT “ λ12 “ 1000000 “ 1000. Podemos usar o teorema
limite central porque n ą 30. A probabilidade pedida é:
(d) Temos que
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(a) Considerando a variável aleatória X - “tempo de duração dos anúncios
publicitários, em segundos” temos que X „ U p10; 30q com
$
0
, x ă 10
’
’
’
’
&
x´10
, 10 ď x ď 30 .
F pxq “
20
’
’
’
’
%
1
, x ą 30
P rX ą 100500s “ 1 ´ P rZ ď 0, 05s “ 0, 4801.
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pb2 q Considerando a variável aleatória T - “tempo médio entre avarias na
amostra”
b
´ e usando o teorema limite
¯ central teremos a variável aleatória
1
T „N
9
µ “ 1000; σ “ ?1000
“
100
,
pois
µ
“
1000
e
σ
“
“
T
T
λ2
100
?
1000000 “ 1000. Podemos usar o teorema limite central porque n ą
30. A probabilidade pedida é:
“
‰
P 900 ď T ď 1100 “ P r´1 ď Z ď 1s “ D p1q “ 0, 6826.
Exercício 25. Considerando a variável aleatória X - “custo, em euros, de
2
cada máquina por semana” temos que X „ U p0; 50q em que µX “ 25 e σX
“
208, 33. O custo anual com a manutenção das 6 máquinas é dado pela variável aleatória Y - “custo anual com a manutenção
das 6 máquinas”. Usando o
ř
teorema limite central tem-se que Y “ 52ˆ6“312
Xi „N
9 pµ “ 7800; σ “ 254, 95q.
i“1
Podemos usar o teorema limite central porque n ą 30. A probabilidade pedida
é:
P rY ď 8000s “ P rZ ă 0, 78s “ 0, 7823.
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