CÁLCULO DO HISTÓRICO DE POTÊNCIA NUCLEAR PARA

XVI Encontro de Modelagem Computacional
IV Encontro de Ciência e Tecnologia de Materiais
III Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional
Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC), Ilhéus/BA, Brasil. 23-25 out. 2013.
CÁLCULO DO HISTÓRICO DE POTÊNCIA NUCLEAR PARA SISTEMAS
SUBCRÍTICOS UTILIZANDO A FORMULA DE EULER-MACLAURIN
Edson Henrice Junior - [email protected]
COPPE-UFRJ, Department of Nuclear Engineering, C.P. 68509, Cidade Universitária 21941-914 Rio de Janeiro, Brazil
Alessandro da Cruz Gonçalves - [email protected]
COPPE-UFRJ, Department of Nuclear Engineering, C.P. 68509, Cidade Universitária 21941-914 Rio de Janeiro, Brazil
Daniel Arthur Pinheiro Palma – [email protected]
Comissão Nacional de Energia Nuclear (CNEN) – Sede, Rua General Severiano, 90, 22.290901 - Rio de Janeiro, RJ
Abstract. Neste trabalho é apresentado um método eficiente de cálculo da reatividade da
formulação inversa da cinética pontual para sistemas subcríticos utilizando-se um a formula
de Euler-Maclaurin para o cálculo do histórico de potência. Em função da sua precisão, este
método não necessita de uma grande quantidade de pontos para este cálculo, fornecendo
ótimos resultados com baixo custo computacional.
Keywords: Sistemas subcríticos, Histórico de potência nuclear, Fórmula do somatório de
Euler-Maclaurin
1.
INTRODUÇÃO
Atualmente novas propostas de reatores nucleares estão sendo estudadas para mitigar
algumas dificuldades da indústria nuclear, levando a diminuição do tempo de armazenamento
dos combustíveis já utilizados nos núcleos dos reatores e o aumento da segurança dos
reatores. Com isto, uma proposta de utilização de um reator com um núcleo subcrítico está
sendo amplamente pesquisada, denominado como Accelerator Driven Systems (ADS). Este
núcleo subcrítico é guiado por um feixe de prótons altamente energéticos gerados por um
acelerador linear. Esses prótons, ao colidirem com um alvo apropriado, geram, a partir de
reações de spallation (MUKAIYAMA et al. 2001), os nêutrons necessários para a manutenção
da fissão nuclear dentro do reator, produzindo energia. Cada próton acelerado possui uma
energia extremamente alta, e ao colidir com o alvo, produz assim até dezenas de nêutrons.
O controle da quantidade de nêutrons dentro deste núcleo se daria principalmente pela
variação da intensidade do feixe de prótons, o que analogamente também pode ocorrer com a
variação da reatividade devido à inserção ou retirada das barras de controle em um reator
crítico de potência.
Em decorrência de características peculiares que são mais intensamente alteradas durante
a operação destes sistemas, como a transmutação de actinídeos menores e elementos
transurânicos e consequentes alterações isotópicas no combustível, mudanças na reatividade
em função do efeito Doppler e mudanças na densidade do refrigerante (SCHICORR, 2001),
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poderia haver variações significativas nos parâmetros de segurança. Portanto, para a utilização
desses reatores estudos ainda devem ser realizados e um destes campos de estudos é o
comportamento cinético destes reatores, necessário também para prever as consequências de
distúrbios operacionais e acidentes ocasionados nestes sistemas.
Diferentes formalismos para as equações da cinética pontual para reatores subcríticos têm
sido estudados, como por exemplo, as propostas de Gandini & Salvatore, (2002), Nishihara et
al. (2003) e Silva (2011). Neste trabalho, a partir da equação proposta por Silva (2011), será
apresentada uma formulação para o cálculo da reatividade.
2.
CONSIDERAÇÕES TEORICAS
As equações da cinética pontual baseada no Termo Adjunto de Fonte (SILVA et al.,
2010) especificamente para descrever sistemas subcríticos, podem ser representadas por:
Λ εeff
I
dP ( t )
= ( ρ ε − β effε ) P ( t ) + ∑ λi Ciε ( t ) − ξ P(t ) + Qε (t ) ,
dt
i =1
d ε
Ci ( t ) = βiε,eff P(t ) − λi Ciε ( t ) .
dt
(1)
(2)
Para manter as mesmas unidades dos conjuntos das equações da cinética pontual para
sistemas críticos existentes na literatura é possível proceder com a seguinte redefinição:
Ciε ( t )
C i (t ) = ε
Λ eff
q (t ) =
,
(3)
Qε (t )
.
Λεeff
(4)
o que possibilita escrever o novo conjunto de equações da cinética pontual para sistemas
subcríticos da seguinte forma:
ε
ε
ξ P(t )
dP(t ) ( ρ (t ) − β eff ) P(t ) I =
+ ∑ λi C i ( t ) − ε + q(t ) ,
ε
dt
Λ eff
Λ eff
i =1
(5)
i (t ) β ε P (t )
dC
i (t ) .
= i ε − λi C
dt
Λ eff
(6)
Fazendo a integração da eq. (6), obtém-se:
t
i (t ) =
C
∫
−∞
β iε e
− λ i ( t − t ')
ε
Λ eff
P (t ')
dt ' .
(7)
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Isolando-se ρ ε (t ) na eq. (5):
ε
ε
ρ (t ) = ( β eff
Λεeff dP(t ) Λεeff I Λεeff
+ξ) +
−
∑ λi C i ( t ) − P(t ) q(t ) .
P(t ) dt
P(t ) i =1
(8)
Substituindo a eq. (7) em (8), tem-se então:
ε
ε
ρ (t ) = β eff
 P0 e− λi t t − λi (t −t′)

Λεeff 
dP(t ) 
1 I
ε
+ξ +
λi βi 
+ ∫e
P (t ′)dt ′ . (9)
∑
 −q(t ) +
−
P (t ) 
dt  P (t ) i =1
0
 λi

Com a intenção de solucionar a integral da eq. (9), que representa o histórico de potência,
será utilizada a formula de Euler-Maclaurin:
b
T
T2
F(a + k T ) = ∫ F (u) d u − [ F (a) + F (b) ] + [ F '(b) − F '(a )] +
∑
2
12
k =1
a
n −1
T4
T6
 F (3) (b) − F (3) (a )  +
 F (5) (b) − F (5) (a )  +
.
720
30240 
2n
T8
p −1 T Bn
 F (7) (b) − F (7) (a )  + ... + ( −1)
 F (2 n −1) (b) − F (2 n −1) (a ) 
−
1209600
(2n)!
−
(10)
Onde:
b = nT
.
(11)
Sendo T o tamanho do passo de tempo, e n a quantidade de passos dada. Em função dos
limites da integral, pode-se escrever também:
T=
b−a
,
n
(12)
e Bn são chamados de números de Bernoulli, que podem ser obtidos a partir da seguinte série
(Arfken, 2007):
∞
Bn x n
x
=
∑
e x − 1 n =0 n !
,
que converge para x < 2π .
(13)
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Diferenciando essa série de potências repetidas vezes e então estabelecendo x = 0 ,
obtém-se:
 d n  x 
Bn =  n  x   .
(14)
 dx  e − 1   x =0
Para n = 1 , tem-se:
d  x 
1
xe x
B1 =  x  = x
−
dx  e − 1  x =0 e − 1 ( e x − 1)2
=−
1
2
.
(15)
x =0
Utilizando-se o método de resíduos ou partindo-se da representação de produto infinito de
sen( x) , é possível obter (Arfken, 2007):
n −1
( −1) 2 ( 2n )! ∞ p −2 n .
B2 n =
∑
2n
p =1
( 2π )
(16)
Tabela 1 : Números de Bernoulli
N
Bn
0
1
2
4
6
8
10
1
-0,5
1/6
-1/30
1/42
-1/30
5/66
Então, considerando apenas até o termo B2 , pode-se obter:
b
n −1
a
k =1
∫ F (u) d u =∑ F(a + k T ) +
1
1
[ F (a) + F (b)] −  F (1) (b) − F (1) (a)  .
2
12
(17)
E ainda, efetuando-se a distinção entre uma função contínua de uma integral e de uma
função discreta de uma soma, faz-se:
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F ( a + kT ) = hi [b − kT ] P ( a + kT ) .
(18)
Mas para o caso em estudo, no limite inferior da integral estudada, a = 0 . Portanto:
F ( kT ) = hi [b − kT ] P ( kT ) ,
(19)
onde
hi ( b − kT ) → λi βi e
− λi ( t − t ')
.
(20)
Derivando a eq. (19) nos obtemos:
F ( ) (kT ) = hi ( ) ( b − kT ) P ( kT ) + hi ( b − kT ) P ( ) ( kT ) .
1
1
1
(21)
Para F (kT ) = F (b) , a eq. (21) fica:
(1)
F (1) (b) = hi (1) [ 0] P [b] + hi [ 0] P [b] ,
(22)
e para F (kT ) = F (0) , obtém-se então:
F (1) (0) = hi (1) [b ] P [ 0] + hi [b ] P(1) [ 0] .
(23)
Substituindo as eq. (19) e de (21) a (23) na eq. (17), obten-se:
t
n −1
− λ ( t −t )
∫ e i P(t ′)dt ′ = T ⋅ ∑ hi [b − kT ] P [ kT ] +
′
k =1
0
T
 hi [b ] P [ 0] + hi [ 0] P [ b]
2
.
2
−
T  (1)
(1)
(1)
hi [ 0] P [b ] + hi [ 0] P [b ] − hi (1) [b ] P [ 0] + hi [b ] P [ 0] 


12
Sendo T o tamanho do passo de tempo, e n , a quantidade total de passos a ser dada.
Somando e subtraindo os seguintes termos:
(24)
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T ⋅ hi [b ] P [ 0 ] ,
(25)
T ⋅ hi [ 0 ] P [b ] ,
(26)
na eq. (24), é possível redefinir o somatório, obtendo-se:
t
n
− λ ( t −t )
∫ e i P(t ′)dt ′ = T ⋅ ∑ hi [b − kT ] P [ kT ] −
′
k =0
0
T
 hi [b ] P [ 0] + hi [ 0] P [b ]
2
.
(27)
2
T
(1)
(1)
−  hi (1) [ 0] P [b ] + hi [ 0] P [b ] − hi (1) [b ] P [ 0] + hi [b ] P [ 0] 

12 
Substituindo-se a eq. (27) na eq. (9), pode-se obter:
ρ ε (t ) = βeffε + ξ +
− λi t
Λεeff 
dP(t )  1 I
ε P0 e
q
t
−
(
)
+
−
λ
β
∑ i i λ


dt  P(t ) i =1
P(t ) 
i
I
T
 n
T

⋅ ∑ λi βiε ∑ hi [b − kT ] P [ kT ] −  hi [b] P [ 0] + hi [ 0] P [b ] 
.
P(t ) i =1
2
 k =0

T2 I
(1)
(1)
λi βiε  hi (1) [ 0] P [b ] + hi [ 0] P [b ] − hi (1) [b] P [ 0] + hi [b ] P [ 0] 
−
∑


12 P(t) i =1
3.
(28)
RESULTADOS
Para o cálculo da reatividade a partir da eq. (28) foi criado um programa utilizando-se o
software Maple 14. A eq. (9) foi utilizada como método de obtenção de uma solução de
referência.
Para a efetuação dos cálculos da reatividade através da eq. (9) e eq.(28), fez-se necessário
a escolha de uma função que descrevesse de forma aproximada o comportamento temporal da
potência em alguns casos de um reator. Então, para isto, foi utilizada a função exponencial em
dois casos distintos, quais sejam: P (t ) = e0,1235t e P (t ) = e11,6442t . Os parâmetros nucleares
utilizados neste artigo tiveram como referência o artigo Nishihara et al. (2003).
Para o comportamento temporal da fonte externa, foi escolhida a seguinte função:
q ( t ) = 5000 + 1000t .
(29)
Com isto, foi possível efetuar os cálculos do método de referência, eq. (9), e o método
proposto neste artigo, eq. (28).
Na Tabela 2, são apresentados os resultados considerando-se um passo de tempo
T = 0, 01s e a potência como P (t ) = e0,1235t .
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Tabela 2 – Comparativo entre a solução de referência e o
método proposto para P (t ) = e0,1235t .
Tempo (s) Referência (eq. (9)) (em pcm) Calculado (eq. (28)) (em pcm) Desvio %
1
-221,76
-221,75
0,001
10
-163,68
-163,68
0,003
20
-61,66
-61,66
0,008
30
-4,80
-4,79
0,105
40
19,65
19,65
0,026
50
29,05
29,06
0,017
60
32,46
32,46
0,016
70
33,64
33,65
0,015
80
34,04
34,05
0,015
Na Figura 1, pode ser observado o comportamento temporal da reatividade conforme
apresentado na Tabela 1.
Figura 1 – Variação temporal da reatividade para a potência P (t ) = e0,1235t .
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São apresentados na Tabela 4 os resultados obtidos da reatividade para o comportamento
temporal da potencia na forma a P (t ) = e11,6442t e com um passo de tempo T = 0, 01s .
Tabela 3 – Comparativo entre a solução de referência e o
método proposto para P (t ) = e11,6442t .
Tempo (s) Referência (eq. (9)) (em pcm) Calculado (eq. (28)) (em pcm) Desvio %
0
-226,37
-226,37
0,000
10
210,51
210,59
0,037
20
210,51
210,59
0,037
30
210,51
210,59
0,037
40
210,51
210,59
0,037
50
210,51
210,59
0,037
60
210,51
210,59
0,037
70
210,51
210,59
0,037
80
210,51
210,59
0,037
Para os resultados mostrados na Tabela 3, o gráfico apresentado na Figura 2 pode ser
elaborado:
Figura 2 – Variação temporal da reatividade para a potência P (t ) = e11,6442t .
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4.
CONCLUSÃO
Efetuando-se uma comparação entre o método de referência e o método proposto, eqs. (9)
e (28), pode-se observar através da análise dos resultados apresentados nas Tabelas 2 e 3 que
o método utilizado se mostrou bastante eficiente e acurado, com erros inferiores a 0, 2% ,
mesmo utilizando-se um passo de tempo T = 0, 01s . Em função da precisão e da facilidade de
implementação, este método pode ser uma alternativa aos métodos numéricos tradicionais
utilizados para o cálculo do histórico de potência para sistemas subcríticos.
REFERENCES
Arfken, G., Weber, H., (2007), “Física matemática: métodos matemáticos para engenharia e física. “ 6º ed.,
Campus/Elsevier, Rio de Janeiro
Gandini, A., Salvatore, M., (2002), “The physics of subcritical multiplying systems”, Nuclear Science and
Technology, 39, pp.673-686
Mukaiyama T., Takizuka T., Mizumoto M., Ikeda Y., Ogawa T., Hasegawa A., Takada H., Takano H., (2001).
“Review of Research and Development of Accelerator-Driven System in Japan for Transmutation of LongLived Nuclides”. Progress in Nuclear Energy, 38, 107-134
Nishihara, K., Iwasaki, T., Udagaua, Y., (2003), “A new static and dynamic one-point equation and analytic and
numerical calculations for subcritical system”, Journal of Nuclear Science and Technology, 481, pp.481-492.
Schicorr, W. M., (2001), “Assessments of the kinetic and dynamictransientbehavior of sub-criticalsystems
(ADS) in comparison to criticalreactorsystems” Nuclear Engineering and Design, 210, 95-123
Silva, C., (2011), “Uma Nova Função Importância para a Análise de Sistemas Subcríticos”. D.Sc. Dissertação,
Programa de Engenharia Nuclear / COPPE-Universidade Federal do Rio de Janeiro. Rio de Janeiro, Brasil.
Suescún-Díaza, D., Rodríguez-Sarastyb J. A., Figueroa-Jiméneza, J. H., (2013), “Reactivity calculation using
the Euler–Maclaurin formula”, Annals of Nuclear Energy, V. 53, 104–108
NUCLEAR POWER HISTORY CALCULATION FOR SUBCRITICAL SYSTEMS
USING EULER-MACLAURIN FORMULA
Abstract: This paper presents an efficient method for calculating the reactivity using inverse
point kinetic equation for subcritical systems by applying the Euler-Maclaurin summation
formula to calculate the nuclear power history. In accordance with the accuracy of the
numerical results, this method does not require a large number of points for calculation,
providing accurate results with low computational cost.
Keywords: Subcritical systems, Nuclear power history, Euler-Maclaurin summation formula