lógica, indução e iniciação matemática

NOTAS DE AULA:
LÓGICA, INDUÇÃO E INICIAÇÃO
MATEMÁTICA
Notas de Aula:
Lógica, Indução e Iniciação Matemática
André Luiz Galdino
3
SUMÁRIO
1. Noções de Análise Combinatória
3
4
1.1 Princípio da Regra da Soma e da Regra do Produto
1.2 Fatorial
1.3 Arranjos Simples e com Repetição
1.4 Permutações Simples e com Repetição
1.5 Combinações Simples
4
12
16
24
33
1.6 Coe ciente Binomial e Binômio de Newton
2. Noções de Lógica Matemática
38
54
2.1 Cálculo Proposicional
55
2.2 Tabelas Verdade
2.3 Contingência, Tautologia e Contra-Tautologia
67
75
2.4 Implicação e Equivalência Tautológica
3. Enunciados, Demonstrações e Paradoxos
3.1 De nições, Teoremas e Demonstrações
3.2 Tipos de Demonstrações
78
82
82
89
3.3 Paradoxos, So smas e Falácias
4. Indução Matemática e Princípio da Casa dos Pombos
96
103
4.1 Princípio da Boa Ordenação
103
4.2 Princípio da Indução Matemática
107
4.3 Princípio da Indução Completa
114
4.4 Princípio da Casa dos Pombos
121
1. Noções de Análise Combinatória
Desde pequenos, aprendemos a contar. E é impossível imaginar uma vida
sem contar, agrupar, escolher e assim por diante. Neste sentindo, a análise combinatória vem nos fornecer técnicas para que possamos realizar
contagens com eficiência, brevidade e precisão. De forma geral, a análise
combinatória é fundamentada em dois princípios básicos: o Princípio da
Regra da Soma e o Princípio da Regra do Produto. Além disso, suas
principais ferramentas são o Arranjo, a Permutação e a Combinação.
1.1 Princípio da Regra da Soma e da Regra do Produto
Definição 1.1. O Princípio da Regra da Soma nos diz que, se um evento
E1 pode ocorrer de m1 maneiras, um segundo evento E2 pode ocorrer de
m2 maneiras, e assim sucessivamente até o n-ésimo evento En que pode
ocorrer de mn maneiras e, além disso, os eventos E1 , E2 , ..., En não
podem ocorrer simultaneamente, ou seja, são eventos disjuntos, então o
número total de ocorrências será dado pela soma:
m1 + m2 + m3 + · · · + mn .
Exemplo 1.2. Em uma sacola existem 7 bolas brancas e 5 bolas pretas.
Em um jogo de sorteio, qual o número máximo de pessoas participantes,
sendo que cada pessoa deve pegar apenas uma bola da sacola?
Solução. Como cada pessoa pode pegar apenas uma bola da sacola,
então 7 pessoas devem pegar uma bola branca cada e 5 pessoas devem
pegar uma bola preta cada. Uma vez que pegar uma bola branca ou
pegar uma bola preta são eventos disjuntos, pelo Princípio da Regra da
Soma, temos que o número máximo de pessoas é dado por 7 + 5 = 12.
Exemplo 1.3. [Gentil et al. 1996] Três companhias de ônibus e 2 companhias de aviação cobrem o percurso entre as cidades A e B. De quantos
modos diferentes podemos viajar entre essas duas cidades?
Solução. A forma que escolhermos de viajar, ônibus ou avião, independe uma da outra. Isto é, viajar de ônibus ou avião é uma opção, não
interferindo uma escolha na outra, como mostra a Figura 1.1. Então,
para irmos de A até B, podemos optar por: 3 maneiras diferentes, se
formos de ônibus, ou 2 maneiras diferentes, se formos de avião. Logo,
pelo Princípio da Regra da Soma, o total de possibilidades existentes
para ir de A até B é 3 + 2 = 5.
4
ônibus 1
A
ônibus 2
Avião 1
B
A
ônibus 3
B
Avião 2
Figura 1.1: Formas de viajar entre as cidades A e B.
Definição 1.4. O Princípio da Regra do Produto, também conhecido
como Princípio Fundamental da Contagem, nos diz que, se um evento
ocorre em n situações independentes e sucessivas, tendo a primeira situação ocorrendo de m1 maneiras, a segunda situação ocorrendo de m2
maneiras e assim sucessivamente até a n-ésima situação ocorrendo de
mn maneiras, temos que o número total de ocorrências será dado pelo
produto:
m1 · m2 · m3 · · · · · mn .
Exemplo 1.5. Suponhamos que temos quatro caixas de diferentes cores:
Verde, Laranja, Azul e Branca. De quantas maneiras diferentes podemos
empilhar tais caixas sobre uma mesa?
Solução. Na escolha da primeira caixa a ser colocada sobre a mesa há
4 possibilidades: Verde, Laranja, Azul e Branca. Uma vez escolhida a
primeira caixa, digamos a Azul, na escolha da segunda caixa, a ser colocada sobre a primeira, temos 3 possibilidades: Verde, Laranja e Branca.
Se a segunda caixa escolhida é a Verde, na escolha da próxima caixa temos 2 possibilidades: Laranja e Branca. Se escolhemos a terceira caixa
como sendo a Branca, para a quarta caixa, sem dúvida, haverá apenas
1 possibilidade: Laranja.
Tabela 1.1: Possibilidades de empilhar as 4 caixas.
4a caixa
1 possibilidade
3a caixa
2 possibilidades
2a caixa
3 possibilidades
1a caixa
4 possibilidades
Então, temos 4 possibilidades para a 1a caixa, 3 possibilidades para
a 2 caixa, 2 possibilidades para a 3a caixa e 1 possibilidade para a 4a
caixa, como mostra a Tabela 1.1. Portanto, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de possibilidades, maneiras diferentes de se
empilhar as caixas sobre a mesa, é 4 · 3 · 2 · 1 = 24 (veja Figura 1.2).
a
5
2a caixa
1 caixa
a
2 caixa
a
2 caixa
a
2 caixa
a
1a caixa
2a caixa
2a caixa
mesa
2a caixa
1 caixa
a
2 caixa
a
2 caixa
a
2 caixa
a
1a caixa
2a caixa
2 caixa
a
3a caixa
4a caixa
3a caixa
4a caixa
3a caixa
4a caixa
3a caixa
4a caixa
3a caixa
4a caixa
3a caixa
4a caixa
3a caixa
4a caixa
3a caixa
4a caixa
3a caixa
4a caixa
3a caixa
4a caixa
3a caixa
4a caixa
3a caixa
4a caixa
3a caixa
4a caixa
3a caixa
4a caixa
3a caixa
4a caixa
3a caixa
4a caixa
3a caixa
4a caixa
3a caixa
4a caixa
3a caixa
4a caixa
3a caixa
4a caixa
3a caixa
4a caixa
3a caixa
4a caixa
3a caixa
4a caixa
3a caixa
4a caixa
Figura 1.2: Árvore de possibilidades para empilhar as 4 caixas.
6
Exemplo 1.6. [Gentil et al. 1996] Se uma pessoa tem 4 calças diferentes
e 3 camisas diferentes, de quantas formas ela pode se vestir?
Solução. Observando a árvore de possibilidades, Figura 1.3, vemos que
na escolha da calça temos 4 possibilidades e, para cada calça escolhida,
temos na escolha da camisa 3 possibilidades. Então, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de possibilidades é 4 · 3 = 12. Portanto,
a pessoa possui 12 formas diferentes de se vestir.
camisa 1
calça 1
camisa 2
camisa 3
camisa 1
calça 2
camisa 2
camisa 3
pessoa
camisa 1
calça 3
camisa 2
camisa 3
camisa 1
calça 4
camisa 2
camisa 3
Figura 1.3: Árvore de possibilidades para a escolha das calças e camisas.
Exemplo 1.7. [Gentil et al. 1996] Para irmos da cidade A até a cidade
C, obrigatoriamente passamos pela cidade B. Três companhias de ônibus
cobrem o percurso entre A e B, e duas companhias de aviação ligam B
e C. De quantos modos diferentes é possível viajar de A até C?
Solução. Para irmos de A até B temos 3 possibilidades diferentes de
ônibus, e para irmos de B até C temos 2 possibilidades diferentes de
avião, como mostra a Figura 1.4a. Observe ainda que para cada escolha
de ônibus, para ir de A até B, temos 2 opções de escolha de avião para
ir de B até C, como mostra a Figura 1.4b.
7
Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de possibilidades existentes, modos diferentes que podemos viajar de A até C, é
3 · 2 = 6.
ônibus 1
A
ônibus 2
avião 1
B
C
avião 2
ônibus 3
(a) Opções de viajar de A até C.
ônibus 1
viajar
ônibus 2
ônibus 3
avião 1
avião 2
avião 1
avião 2
avião 1
avião 2
(b) Árvore de possibilidades.
Figura 1.4: Opções e árvore de possibilidades de viajar entre as cidades A, B e C.
Exemplo 1.8. [Veia 2009] Suponha que você deseja ir da cidade A para
a cidade D, e tenha as opções observadas na Figura 1.5. De quantas
maneiras possíveis você poderá fazer a sua viagem escolhendo apenas
um dos caminhos?
B
A
D
C
Figura 1.5: Formas de viajar entre as cidades A, B, C e D.
8
Solução. Veja as seguintes opções para ir de A para D:
1a Opção: Ir de A para D passando por B.
A
B
D
Figura 1.6: Formas de viajar de A para D passando por B.
Neste caso, temos que ir de A para B e depois de B para D. Como
mostra a Figura 1.6 há apenas 1 possibilidade para ir de A para B
e apenas 1 possibilidade para ir de B para A. Logo, pelo Princípio
Fundamental da Contagem, temos 1 · 1 = 1 possibilidade de irmos de
A até D passando por B.
2a Opção: Ir de A para D direto.
A
D
Figura 1.7: Formas de viajar de A para D direto.
Aqui, sem dúvida, temos apenas 2 possibilidades para irmos de A para
D direto.
3a Opção: Ir de A para D passando por C.
A
C
D
Figura 1.8: Formas de viajar de A para D passando por B.
Por fim, como mostra a Figura 1.8, temos 2 possibilidades para ir de
A para C e 1 possibilidade para ir de C para D. O que dá 2 · 1 = 2
possibilidades, segundo o Princípio Fundamental da Contagem. Ou seja,
temos 2 possibilidades para ir de A até D passando por C.
É fácil ver que nenhuma das 3 opções apresentadas interferem uma
na outra, ou seja, aplicando o Princípio da Regra da Soma, o total de
possibilidades que temos para ir de A até D é 1 + 2 + 2 = 5.
Note, que no Exemplo 1.8 usamos tanto o Princípio Fundamental da
Contagem quanto o Princípio da Regra da Soma.
9
Exercícios Propostos
1. [Gentil et al. 1996] Quantos automóveis podem ser licenciados no sistema em que cada placa é formada por 2 letras
(de um total de 26) e 4 algarismos (de 0 a 9)?
2. Um comprador deseja comprar um veículo de uma concessionária. A concessionária tem 23 carros e 14 caminhões em
estoque. Quantas possíveis escolhas o comprador pode ter?
3. [Gentil et al. 1996] O centro cívico de uma escola realiza
eleições para preenchimento das vagas de sua diretoria.
Para presidente, apresentam-se 5 candidatos; para vicepresidente, 8 candidatos; e para secretário, 6 candidatos.
Quantas chapas podemos formar?
4. (UFBA) Existem 5 ruas ligando os supermercados S1 e S2 e
3 ruas ligando os supermercados S2 e S3 . Quantos trajetos
diferentes existem para ir de S1 a S3 , passando por S2 ?
5. Existem oito professores do sexo masculino e cinco professores do sexo feminino para a disciplina de matemática discreta em uma universidade. De quantas formas um estudante pode escolher um professor?
6. (PUC/BA) Pretende-se pintar as quatro faixas horizontais
de uma bandeira usando-se no máximo quatro cores: azul,
branca, verde e amarela. Se duas faixas consecutivas não
podem ser pintadas de uma mesma cor, então determine o
número de bandeiras distintas que poderão ser pintadas.
7. Quantos são os números naturais de dois algarismos que são
múltiplos de 5?
8. Eu possuo 4 pares de tênis e 10 pares de meias. De quantas
maneiras poderei me calçar utilizando um par de meias e
um de tênis?
10
9. Considerando os mesmos últimos 4 dígitos do seu telefone,
quantos números de quatro dígitos sem repetições de dígitos
existem?
10. [Escola 2014] Na criação da senha de uma conta bancária,
o cliente é informado que deve ser feita uma combinação de
seis números sem repetição. Os números utilizados devem
ser os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Determine o
número possível de senhas que podem ser criadas.
11. [Escola 2014] Em uma empresa de informática, o código de
acesso dos funcionários deve ser criado utilizando três letras
e quatro números, sem repetição. Sabendo que o código
pode ser criado utilizando três letras entre 26, e quatro números entre 10 algarismos, determine o possível número de
códigos que podem ser criados.
12. [Escola 2014] Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4 e 6? E de algarismos distintos?
13. (FUVEST - 2010) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos
para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 podem ser usados e um mesmo algarismo
pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa,
Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é,
o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De
quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha?
14. [Martins 2014] Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente de restaurante, tendo disponível 3 tipos
de arroz, 2 de feijão, 3 de macarrão, 2 tipos de cervejas e
3 tipos de refrigerante, sendo que o cliente não pode pedir
cerveja e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigatoriamente tenha de escolher uma opção de cada alimento?
11
1.2 Fatorial
Definição 1.9. Considerando n um número natural diferente de zero e
maior que 1, definimos como fatorial de n, e denotamos por n!, o produto
dado por:
n! = n · (n ≠ 1) · (n ≠ 2) · (n ≠ 3) · · · · · 3 · 2 · 1.
Quando conveniente, e não oferecer dúvidas, omitiremos o símbolo “·”
de multiplicação na expressão acima.
Note que na Definição 1.9 não consideramos n = 0 e nem n = 1. No
entanto, sem prejuízo podemos definir 0! = 1 e 1! = 1. Além disso, a
Definição 1.9 restringe o fatorial apenas aos números naturais, ou seja,
se tivermos algo como (n ≠ 5)! temos, obrigatoriamente, uma condição
de existência a ser satisfeita que é n ≠ 5 Ø 0, ou seja, n Ø 5.
Exemplo 1.10. Calcule o fatorial de 4, 5, 6 e 7.
Solução.
1) 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24.
2) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.
3) 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720.
4) 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040.
Exemplo 1.11. Calcule
6!
9!
e
.
4! 11!
Solução.
1)
6!
6·5·4·3·2·1
=
= 6 · 5 = 30.
4!
4·3·2·1
2)
9!
9·8·7·6·5·4·3·2·1
1
1
=
=
=
.
11!
11 · 10
110
11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
Observe que o uso da Definição 1.9 pode se tornar um tanto quanto
inconveniente, dependendo do número natural em questão. Por exemplo,
se queremos calcular 200!. No entanto, para facilitar alguns cálculos
podemos nos valer de uma simples propriedade, que é a simplificação
de fatoriais. A saber:
n! = n · (n ≠ 1)!.
12
Exemplo 1.12. Calcule 8!, 9!,
Solução.
11!
9! 7!
e
.
7!
8! 10!
1) 8! = 8 · (8 ≠ 1)! = 8 · 7! = 8 · 5040 = 40320.
2) 9! = 9 · 8! = 9 · 40320 = 362880.
3)
11!
11 · 10 · 9 · 8 · 7!
=
= 11 · 10 · 9 · 8 = 7920.
7!
7!
4)
9! 7!
9! 7!
1
1
=
=
=
.
8! 10!
8
·
10
80
8 · 7! 10 · 9!
Exemplo 1.13. Simplifique a expressão
Solução.
(n + 1)!
(n ≠ 1)!
(n + 1)!
, onde n Ø 1.
(n ≠ 1)!
=
(n + 1) · (n + 1 ≠ 1) · (n + 1 ≠ 2)!
(n ≠ 1)!
=
⇠
(n + 1) · n · ⇠
(n⇠
≠⇠
1)!
= n(n + 1).
⇠
(n⇠
≠⇠
1)!
⇠
Exemplo 1.14. Determine o valor de n tal que (n + 2)! = 20 · n!.
Solução. A ideia principal desse tipo de problema é eliminar o fatorial.
Vejamos:
(n + 2)! = 20 · n!
(n + 2) · (n + 2 ≠ 1) · (n + 2 ≠ 2)! = 20 · n!
(n + 2) · (n + 1) · ⇢
n!
= 20 · ⇢
n!
(n + 2) · (n + 1) = 20
Observe que a última equação obtida não contém fatorial. Mais ainda,
tal equação é na verdade uma equação do 2o grau. De fato,
(n + 2) · (n + 1) = 20
n2 + 3n + 2
= 20
n2 + 3n ≠ 18
= 0
Sendo assim, usando a Fórmula de Baskara podemos encontrar as raízes
da última equação, as quais são n1 = ≠6 e n2 = 3. Consequentemente,
as possíveis soluções do problema são n = ≠6 ou n = 3. Mas como não
existe fatorial de números negativos, veja Definição 1.9, eliminamos a
possibilidade n = ≠6. Portanto, a solução do problema é n = 3.
13
Exemplo 1.15. [Gentil et al. 1996] Dada a expressão
1
1
+
,
(n ≠ 4)! (n ≠ 3)!
com n Ø 4, efetuar as operações indicadas, simplificando o resultado.
Solução. Como se trata de uma adição de frações de denominadores
diferentes, devemos reduzir a expressão ao mesmo denominador. Sendo
assim, sabendo que (n ≠ 3)! = (n ≠ 3)(n ≠ 4)!, temos:
1
1
+
(n ≠ 4)! (n ≠ 3)!
=
(n ≠ 3)! + (n ≠ 4)!
(n ≠ 3)! · (n ≠ 4)!
=
(n ≠ 3) · (n ≠ 4)! + (n ≠ 4)!
(n ≠ 3)! · (n ≠ 4)!
=
⇠ + (n⇠
⇠
(n ≠ 3) · ⇠
(n⇠
≠⇠
4)!
4)!
⇠ ≠⇠
⇠
(n ≠ 3)! · ⇠
(n⇠
≠⇠
4)!
=
(n ≠ 3) + 1
(n ≠ 3)!
=
n≠2
.
(n ≠ 3)!
Exemplo 1.16. [Gentil et al. 1996] Exprimir, por meio de fatoriais, a
expressão (x + 3)(x + 2).
Solução. Lembrando que podemos expressar o número 1 como sendo a
divisão de dois números iguais e diferentes de zero temos:
(x + 3)(x + 2) = (x + 3)(x + 2) · 1
= (x + 3)(x + 2) ·
14
(x + 1) · x · (x ≠ 1) · · · · · 2 · 1
(x + 1) · x · (x ≠ 1) · · · · · 2 · 1
=
(x + 3)(x + 2) · (x + 1) · x · (x ≠ 1) · · · · · 2 · 1
(x + 1) · x · (x ≠ 1) · · · · · 2 · 1
=
(x + 3)!
.
(x + 1)!
Exercícios Propostos
1. [Gentil et al. 1996] Calcule o valor de:
(a) (13 ≠ 6)!
(b) (3 + 2 · 4 ≠ 5)!
8! · 5!
(c)
6! · 9!
(d) 3! + 4! · 2 ≠ 4 · 5!
(e) 5! · 3 · 4 ≠ (≠2 + 3 · 2 + 3)!
10! · 7!
(f)
2 · 5! · 12!
2. [Gentil et al. 1996] Classifique as sentenças abaixo em verdadeiras ou falsas:
(a) 10! + 10! = 2 · 10!
(b) 7! ≠ 7! = 1
(c) (5 ≠ 4)! = 5! ≠ 4!
(d) 6 · 5! = 6!
3. [Gentil et al. 1996] Simplifique as expressões:
(n ≠ 3)!
(n ≠ 5)!
(n + 2)!
(b)
n!
(n + 3)! (n ≠ 2)!
(c)
n! (n ≠ 1)!
(n + 1)! (n + 3)!
(d)
(n + 2)! (n + 4)!
(a)
(e)
(n + 4)!
(n2 + 7n + 12) · n!
(f)
(n ≠ 2)! (n + 1)!
+
(n ≠ 3)! (n ≠ 2)!
(g)
(3n)!
n!
4. [Gentil et al. 1996] Resolva as seguintes equações:
(a)
8 · (x + 3)!
=2
(x + 4)!
(c)
(b)
x!
20 · x!
=
(x ≠ 4)!
(x ≠ 2)!
(d)
x!
(x + 1)!
+
(x ≠ 2)!
x!
(x + 2)!
(x + 1)!
=
2 · (x ≠ 6)!
(x ≠ 7)!
5. Exprima (x + 8)(x + 7)(x + 6) por meio de fatoriais.
15
1.3 Arranjos Simples e com Repetição
Definição 1.17. Seja A um conjunto com n elementos distintos e p um
número natural, tal que n Ø p. Arranjo simples é o número de maneiras
distintas que podemos escolher p elementos distintos do conjunto A, onde
a ordenação desses elementos forma agrupamentos distintos. Denotamos
o número de arranjos simples de n elementos tomados p a p por An,p .
Sendo A um conjunto com n elementos distintos, podemos escolher
p elementos distintos do conjunto A da seguinte forma:
Tabela 1.2: Arranjo simples.
1o elemento
Temos n possibilidades, pois não escolhemos nenhum
elemento ainda.
2o elemento
Temos n≠1 possibilidades, pois já escolhemos um elemento anteriormente.
3o elemento
Temos n ≠ 2 possibilidades, pois já escolhemos dois
elementos anteriormente.
4o elemento
Temos n ≠ 3 possibilidades, pois já escolhemos três
elementos anteriormente.
..
.
..
.
po elemento
Temos n ≠ (p ≠ 1) possibilidades, pois já escolhemos
p ≠ 1 elementos anteriormente.
Consequentemente, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total
de possibilidades que temos, isto é, o total de arranjo simples é:
An,p
= n(n ≠ 1)(n ≠ 2) · · · · · (n ≠ (p ≠ 1))
= n(n ≠ 1) · · · · · (n ≠ p + 1) ·
=
=
16
(n ≠ p)(n ≠ p ≠ 1) · · · · · 2 · 1
(n ≠ p)(n ≠ p ≠ 1) · · · · · 2 · 1
n(n ≠ 1) · · · · · (n ≠ p + 1)(n ≠ p)(n ≠ p ≠ 1) · · · · · 2 · 1
(n ≠ p)(n ≠ p ≠ 1) · · · · · 2 · 1
n!
.
(n ≠ p)!
Exemplo 1.18. [Gentil et al. 1996] Com os algarismos 4, 6, 8 e 9, quantos números possíveis de 2 algarismos distintos podemos formar?
Solução. O problema se resume em agrupar os quatro algarismos dados de dois em dois. Como os dois algarismos devem ser distintos, temos
que a troca de posição dos algarismos em cada grupo de dois implica o
aparecimento de números diferentes, por exemplo, 68 ”= 86. Logo, estamos lidando com um problema de arranjo simples e temos que arranjar
4 elementos tomados 2 a 2:
A4,2 =
4!
24
4!
=
=
= 12.
(4 ≠ 2)!
2!
2
Portanto, é possível formar 12 números distintos de 2 algarismos distintos
com os algarismos 4, 6, 8 e 9.
Exemplo 1.19. [Escola 2014] Em uma empresa, quinze funcionários se
candidataram para as vagas de diretor e vice-diretor financeiro. Eles
serão escolhidos através do voto individual dos membros do conselho da
empresa. Vamos determinar de quantas maneiras distintas essa escolha
pode ser feita.
Solução. Na verdade, o que temos é um problema de arranjo simples,
onde queremos agrupar 15 pessoas tomadas 2 a 2. Ou seja,
A15,2 =
15!
15 · 14 · 13!
15!
=
=
= 15 · 14 = 210.
(15 ≠ 2)!
13!
13!
Portanto, os cargos poderão ser ocupados de 210 maneiras distintas.
Exemplo 1.20. [Escola 2014] Um número de telefone é formado por
8 algarismos. Determine quantos números de telefone podemos formar
com algarismos diferentes, que comecem com 2 e terminem com 8.
Solução. O número 2 deve ser fixado na 1a posição e o número 8 na
última. Restaram, portanto, 6 posições e 8 algarismos, pois eles precisam
ser diferentes. Considerando que a ordem dos algarismos diferencie dois
números de telefone, vamos arranjar 8 algarismos tomados 6 a 6.
A8,6 =
8!
8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2!
=
= 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 = 20160.
(8 ≠ 6)!
2!
Portanto, podemos formar 20.160 números de telefones com algarismos
distintos e que comecem com 2 e terminem com 8.
Exemplo 1.21. [Escola 2014] Em uma urna de sorteio de prêmios existem dez bolas enumeradas de 0 a 9. Determine o número de possibilidades existentes num sorteio, cujo prêmio é formado por uma sequência
de 6 algarismos.
17
Solução. O problema consiste em arranjar 10 algarismos tomados 6 a 6:
A10,6 =
10!
10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4!
=
= 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 = 151200.
(10 ≠ 6)!
4!
Portanto, o sorteio terá 151.200 possibilidades de sequência de 6 algarismos.
Exemplo 1.22. [Escola 2014] Uma família é composta por seis pessoas
(pai, mãe e quatro filhos) que nasceram em meses diferentes do ano.
Calcule as sequências dos possíveis meses de nascimento dos membros
dessa família.
Solução. Sabemos que 1 ano é composto de 12 meses, então devemos determinar o número de sequências através do arranjo de 12 meses,
tomados 6 a 6. Sendo assim,
A12,6 =
12!
12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6!
=
= 12·11·10·9·8·7 = 665280.
(12 ≠ 6)!
6!
Portanto, podemos formar 665.280 sequências dos possíveis meses de
nascimento dos membros dessa família.
Exemplo 1.23. [Noé 2014] Um campeonato de futsal será decidido em
um quadrangular final envolvendo as seguintes seleções: Brasil, Itália,
Espanha e Argentina. De quantas maneiras distintas o pódio poderá ser
formado.
Solução. O pódio deverá contar com três seleções, 1o , 2o e 3o lugares.
De modo que 4 seleções disputam o 1o lugar, 3 seleções disputam o 2o
lugar e 2 seleções disputam o 3o lugar. Assim, devemos arranjar 4 times
tomados 3 a 3, ou seja,
A4,3 =
4!
4 · 3 · 2 · 1!
=
= 4 · 3 · 2 = 24.
(4 ≠ 3)!
1!
Portanto, o pódio deverá ser formado por 24 maneiras distintas.
Exemplo 1.24. [Noé 2014] Para ocupar os cargos de presidente e vicepresidente da Câmara Federal, candidataram-se dez deputados federais.
De quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita?
Solução. Temos dez candidatos para ocuparem duas vagas, dessa forma,
temos o seguinte arranjo simples A10,2 , dado por:
A10,2 =
10!
10 · 9 · 8!
=
= 10 · 9 = 90.
(10 ≠ 2)!
8!
Portanto, a escolha pode ser realizada de 90 maneiras distintas.
18
Exemplo 1.25. (UFOP) No meio da “invasão tecnológica” que toma
conta de nossas vidas, dona Antônia esqueceu sua senha bancária justamente na hora de efetuar um saque. Ela lembra que a senha é formada
por quatro dígitos distintos, sendo o primeiro 5 e o 6 aparece em alguma
outra posição. Qual é o número máximo de tentativas que o banco deveria permitir para que dona Antônia consiga realizar o saque?
Solução. O problema nos informa que o primeiro dígito é o número 5, e
o número 6 estará em algum dos outros três dígitos. Sendo assim, para os
outros dois dígitos temos que escolher entre os números 0, 1, 2, 3, 4, 7, 8 e
9. Ou seja, devemos escolher dois dígitos distintos entre oito números e,
consequentemente, teremos A8,2 possibilidades de escolha para os outros
dois dígitos restantes. No entanto, podemos ter os seguintes casos:
1o Caso: Neste caso vamos assumir que o 6 é o segundo dígito:
4o dígito
2o dígito
3o dígito
4o dígito
5
6
8 possibilidades
7 possibilidades
2o Caso: Aqui assumimos que o 6 é o terceiro dígito:
1o dígito
2o dígito
3o dígito
4o dígito
5
8 possibilidades
6
7 possibilidades
3o Caso: Por fim vamos assumir que o 6 é o quarto dígito:
1o dígito
2o dígito
3o dígito
4o dígito
5
8 possibilidades
7 possibilidades
6
Observe que em cada um dos casos anteriores, teremos A8,2 possibilidades de escolha para os dois dígitos restantes. Consequentemente, teremos
a resposta somando as possibilidades de cada caso, ou seja:
A8,2 + A8,2 + A8,2 = 3 · A8,2 .
Portanto, o número máximo de tentativas que o banco deveria permitir é:
3 · A8,2 = 3.
8!
8 · 7 · 6!
=
= 3 · 8 · 7 = 168.
(8 ≠ 2)!
6!
19
Definição 1.26. Seja A um conjunto com n elementos distintos e p
um número natural, tal que n Ø p. Arranjo com repetição é o número
de maneiras distintas que podemos escolher p elementos, que podem se
repetir, do conjunto A. Denotamos o número de arranjo com repetição
por ARn,p .
Sendo A um conjunto com n elementos distintos, podemos escolher
p elementos do conjunto A, que podem se repetir, da seguinte forma:
Tabela 1.3: Arranjo com repetição.
1o elemento
Temos n possibilidades
2o elemento
Temos n possibilidades (os elementos podem se repetir)
3o elemento
Temos n possibilidades (os elementos podem se repetir)
4o elemento
Temos n possibilidades (os elementos podem se repetir)
..
.
..
.
po elemento
Temos n possibilidades (os elementos podem se repetir)
Consequentemente, pelo Princípio Fundamental da Contagem, Definição 1.4, o total de possibilidades que temos, isto é, o total de arranjo
com repetição é:
p
ARn,p = n
¸ · n ·˚˙· · · · n˝ = n .
p vezes
Exemplo 1.27. Qual o total de placas de carro que podem ser construídas com 3 letras do alfabeto brasileiro?
Solução. O alfabeto brasileiro é composto por 26 letras. E para formar
as placas com 3 letras podemos repeti-las, ou seja, temos 26 possibilidades de escolha para a primeira letra, 26 possibilidades de escolha para a
segunda letra e, finalmente, 26 possibilidades de escolha para a terceira
letra. Sendo assim, há aqui um problema de arranjo com repetição, onde
devemos arranjar 26 letras tomadas 3 a 3. Então temos:
AR26,3 = 263 = 17576.
Portanto, podemos formar 17.576 placas de carro com 3 letras do alfabeto
brasileiro.
Exemplo 1.28. Qual o total de placas de carro que podem ser construídas com 4 dígitos?
20
Solução. Sabemos que há apenas 10 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e
que para formar as placas com 4 dígitos podemos repetir dígitos, ou seja,
temos 10 possibilidades de escolha para o primeiro, para o segundo, para
o terceiro e para o quarto digito. Sendo assim, temos aqui um problema
de arranjo com repetição, onde devemos arranjar 10 dígitos tomados 4
a 4. Então temos:
AR10,4 = 104 = 10000.
Portanto, podemos formar 10.000 placas de carro com 4 dígitos.
Exemplo 1.29. Qual o total de placas de carro que podem ser construídas com 3 letras do alfabeto brasileiro e 4 dígitos?
Solução. Como vimos no Exemplo 1.27, temos AR26,3 maneiras diferentes para formar placas com apenas 3 letras e podendo repeti-las.
Além disso, o Exemplo 1.28 nos mostra que existem AR10,4 maneiras
diferentes para formar placas com apenas 4 dígitos e podendo repetilos. Consequentemente, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos AR26,3 · AR10,4 maneiras diferentes para formar placas com 3 letras
e 4 dígitos.
AR26,3 · AR10,4 = 263 · 104 = 175760000.
Portanto, existem 175.760.000 maneiras diferentes de formar placas de
carro com 3 letras do alfabeto brasileiro e 4 dígitos.
Exemplo 1.30. [Silva 2013] Quatro amigos dirigem-se a uma pastelaria
para comprarem, cada um, um bolo. Nessa pastelaria existem 7 bolos
diferentes à escolha. De quantas maneiras diferentes pode ser feita a
escolha dos bolos?
Solução. Cada amigo poderá escolher entre os 7 bolos disponíveis.
Além disso, nada impede que mais de um amigo escolha o mesmo bolo.
Por isso, devemos aplicar o arranjo com repetição de 7 elementos tomados 4 a 4:
AR7,4 = 74 = 2401.
Logo, os quatro amigos podem escolher os bolos de 2.401 maneiras diferentes.
21
Exercícios Propostos
1. [Gentil et al. 1996, Giovanni, Bonjorno e Giovanni-Jr. 1994]
Calcule:
(a) A7,4
(e) Am+1,m
2
(b) (A5,2 )
(c) An,n
A5,2 + A6,1 ≠ A5,3
(d)
A10,2 ≠ A7,3
(f) 2 · A9,1
(g) An,0
A6,2 + A4,3 ≠ A5,2
(h)
A9,2 + A8,1
2. [Giovanni, Bonjorno e Giovanni-Jr. 1994] Quantos números
pares de 4 algarismos podemos formar com os algarismos 0,
1, 2, 3, 4, 5 e 6, sem repeti-los?
3. [Giovanni, Bonjorno e Giovanni-Jr. 1994] Determine o valor de x tal que:
(a) Ax,3 = 4 · Ax,2
Ax,6 + Ax,5
(b)
=9
Ax,4
(c) Ax,2 = 9 · Ax,1
(d) Ax,2 = 12
4. [Giovanni, Bonjorno e Giovanni-Jr. 1994] Determine o valor de n tal que:
An,2 + An≠1,2 + An≠2,2 = 20.
5. [Didática 2014] Qual o número de anagramas que podemos
formar com as letras da palavra PADRINHO?
6. [Didática 2014] Otávio, João, Mário, Luís, Pedro, Roberto
e Fábio estão apostando corrida. Quantos são os agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados?
7. Usando os algarismos 1, 2, 3, 5, 7 e 9 quantos números de
4 dígitos podem ser formados de modo que pelo menos 2
algarismos sejam iguais?
22
8. [Silva 2013] Em uma escola está sendo realizado um torneio
de futebol de salão, no qual dez times estão participando.
Quantos jogos podem ser realizados entre os times participantes em turno e returno?
9. [Silva 2013] Em um torneio internacional de natação participaram cinco atletas europeus, dois americanos e um brasileiro.
(a) De quantos modos distintos poderão ser distribuídas
as medalhas de ouro, prata e bronze?
(b) Em quantos resultados só aparecem atletas europeus
nas três primeiras posições?
(c) Em quantos resultados o atleta brasileiro recebe medalha?
(d) Supondo que o atleta brasileiro não recebeu medalha,
determine o número de resultados em que há mais atletas europeus do que americanos no pódio?
10. [Silva 2013] Numa reunião de 7 pessoas há 9 cadeiras. Determine de quantos modos distintos as 7 pessoas podem
sentar-se nas 9 cadeiras.
11. [Gentil et al. 1996] Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os 5 primeiros números naturais diferentes
de zero?
12. [Gentil et al. 1996] De quantas formas podemos responder
a 40 questões de um simulado com 5 alternativas diferentes
para cada questão?
13. [Gentil et al. 1996] Com os algarismos 2, 3 e 4, quantos números com 3 algarismos distintos podemos formar?
14. [Gentil et al. 1996] Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos de 1 a 9?
23
1.4 Permutações Simples e com Repetição
Permutação de n elementos distintos nada mais é do que todo agrupamento formado pelos n elementos, sendo um agrupamento distinto
de outro quando em cada um dos dois houver, pelo menos, dois dos n
elementos em ordens diferentes.
Definição 1.31. Definimos como permutação simples de n elementos
todo arranjo simples de n elementos, tomados n a n.
Assim, denotando a permutação simples de n elementos por Pn temos:
Pn = An,n =
ou seja,
n!
n!
=
= n!,
(n ≠ n)!
0!
Pn = n!.
Note que, segundo a Definição 1.31, a ordem numa permutação é
importante, além de que numa permutação simples de n elementos distintos não é permitido repetir os elementos.
Exemplo 1.32. [Veia 2009] Quantos anagramas podemos formar com
as letras da palavra POR?
Solução. Um anagrama de uma palavra corresponde a qualquer permutação das letras dessa palavra, de modo a formar ou não outras palavras.
Ou seja, um anagrama da palavra POR é qualquer permutação que podemos construir com as letras P, O e R. Logo, de acordo com a Tabela
1.4, podemos formar 6 anagramas com a palavra POR.
Tabela 1.4: Anagramas da palavra POR.
Fixando P na 1a posição
POR
PRO
Fixando O na 1a posição
ORP
OPR
Fixando R na 1a posição
ROP
RPO
Como as letras da palavra POR são distintas, o que há na Tabela 1.4 é
uma permutação simples das 3 letras P, O e R. Sendo assim, poderíamos
responder a pergunta “Quantos anagramas podemos formar com as letras
da palavra POR?” simplesmente calculando a permutação simples de 3
elementos, ou seja,
P3 = 3! = 6.
24
Exemplo 1.33. [Veia 2009] De quantas maneiras diferentes podemos
dispor um conjunto de 4 objetos distintos?
Solução. Temos aqui um caso de permutação simples, pois, desejamos
permutar 4 objetos distintos. Isto é:
P4 = 4! = 24.
Logo, podemos organizar os 4 objetos de 24 maneiras distintas.
Exemplo 1.34. [Veia 2009] Considere a palavra PARTO.
a) Quantos anagramas podemos formar com essa palavra?
Solução. Uma vez que a palavra PARTO possui 5 letras, podemos
formar P5 anagramas distintos, ou seja,
P5 = 5! = 120.
b) Quantos anagramas começam com uma consoante e terminam com
uma vogal?
Solução. Na palavra PARTO temos 3 consoantes (P, R, T) e 2 vogais
(A, O). Assim, 3 possibilidades para começar com uma consoante e
duas possibilidades para terminar com uma vogal. Então, para cada
consoante e cada vogal escolhidas para a 1a e última possibilidades,
as 3 letras restantes permutam-se entre si. Veja Tabela 1.5.
Tabela 1.5: Anagramas começando com uma consoante e terminando com uma vogal.
1a (consoante)
3 possibilidades
3
2a
3a
4a
permutação simples de 3 letras
5a (vogal)
2 possibilidades
P3
2
Portanto, o total de anagramas começando com uma consoante e
terminando com uma vogal é 36, pois,
3 · P3 · 2 = 3 · 3! · 2 = 3 · 6 · 2 = 36.
c) Quantos anagramas podemos formar com as consoantes aparecendo
juntas?
Solução. Observe que devemos permutar as duas vogais com as três
consoantes juntas, ou seja, devemos permutar 3 elementos distintos.
A saber, 2 elementos que são as vogais mais 1 elemento que é as três
consoantes juntas (veja Tabela 1.6). Além disso, as três consoantes
25
também devem ser permutadas entre si, isto é, devemos permutar
estes 3 elementos separadamente. Portanto, o total de anagramas
com as consoantes aparecendo juntas é dado por:
P3 · P3 = 3! · 3! = 6 · 6 = 36.
Tabela 1.6: Exemplo de anagramas com as consoantes aparecendo juntas.
1 vogal
PRT
1 vogal
TPR
1 vogal
1 vogal
1 vogal
1 vogal
RTP
Exemplo 1.35. [Didática 2014] Quantos anagramas podemos formar a
partir da palavra ORDEM?
Solução. Como a palavra ORDEM possui 5 letras distintas, devemos
calcular o número de permutações simples de 5 elementos distintos. Temos então:
P5 = 5! = 120.
Portanto, o número de anagramas que podemos formar a partir da palavra ORDEM é igual 120.
Exemplo 1.36. [Didática 2014] Na fila do caixa de uma padaria estão
três pessoas. De quantas maneiras elas podem estar posicionadas nesta
fila?
Solução. O problema apresentado é facilmente resolvido com permutação simples das 3 pessoas, então:
P3 = 3! = 6.
Logo, as três pessoas podem estar posicionadas de seis maneiras diferentes na fila.
Exemplo 1.37. [Escola 2014] De quantas maneiras distintas podemos
organizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paula e Silvia para a produção
de um álbum de fotografias promocionais?
Solução. Note que o princípio a ser utilizado na organização das modelos será o da permutação simples, pois formaremos agrupamentos que
se diferenciarão somente pela ordem dos elementos. Portanto, o número
de posições possíveis é P5 = 5! = 120.
26
Definição 1.38. Definimos como permutação com elementos repetidos
todo agrupamento que podemos formar com um certo número de elementos, onde um ou mais elementos se repetem, e a diferença entre um
agrupamento e outro se dê apenas pela mudança de posição entre seus
elementos.
Suponhamos que temos n elementos, dentre os quais um primeiro elemento se repete n1 vezes, um segundo elemento se repete n2 vezes, um
terceiro elemento se repete n3 vezes, e assim até um m-ésimo elemento
que se repete nm vezes, com n1 + n2 + n3 + · · · + nm Æ n. Se queremos determinar quantas permutações podemos construir com esses n
elementos, não basta simplesmente calcular Pn , uma vez que alguns elementos se repetem, e elementos repetidos não geram novas possibilidades
de agrupamentos, pois, os elementos são iguais.
Por exemplo, considere os elementos {x, x, y}. Como temos 3 elementos podemos fazer P3 permutações entre eles.
Porém, como x se repete 2 vezes, o número de permutações que podemos realizar entre eles é dado por P2 , e estas permutações estão entre
todas as P3 permutações possíveis.
Uma vez que o elemento x se repete 2 vezes, e ao permutá-los entre
si não alteramos o agrupamento, como mostra a Tabela 1.7, é necessário
excluir tais permutações do total P3 possível de permutações.
Sendo assim, o total de permutações diferentes possíveis com os elementos {x, x, y}, como mostra a Tabela 1.7, é dado por:
P32 =
P3
3!
=
= 3,
P2
2!
onde P32 denota a permutação de 3 elementos com um dos elementos
repetindo 2 vezes.
Tabela 1.7: O elemento x se repete 2 vezes.
x permuta com x
x permuta com x
x permuta com x
x
y
x
x
y
x
y
x
x
y
x
x
x
x
y
x
x
y
27
De um modo geral, se temos n elementos dentre os quais um primeiro
elemento se repete n1 vezes, um segundo elemento se repete n2 vezes,
um terceiro elemento se repete n3 vezes, e assim por diante, um m-ésimo
elemento se repete nm vezes, com n1 + n2 + n3 + · · · + nm Æ n, então o
total de permutação com elementos repetidos é dado por:
Pn
n1 ,n2 ,n3 ,...,nm
=
n!
.
n1 ! · n2 ! · n3 ! · · · · · nm !
Exemplo 1.39. Calcule quantos anagramas podemos construir com a
palavra CATALANA.
Solução. Na palavra CATALANA temos 8 letras e a letra A se repete
4 vezes, dessa maneira, temos que calcular os anagramas de forma a
desconsiderar aqueles em que a letra A permuta com ela mesma, ou seja,
P8
4
=
8!
8 · 7 · 6 · 5 · 4!
=
= 8 · 7 · 6 · 5 = 1680.
4!
4!
Portanto, é possível construir 1.680 anagramas com a palavra CATALANA.
Exemplo 1.40. Calcule quantos anagramas podemos construir com a
palavra MATEMÁTICA.
Solução. Na palavra MATEMÁTICA temos 10 letras, das quais 2 são
M, 2 letras são T e 3 são A. Logo, é necessário calcular os anagramas
de forma a desconsiderar aqueles em que as letras M, T e A permutam
com elas mesmas, ou seja,
P8
2,2,3
=
10!
10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3!
=
= 151200.
2! · 2! · 3!
4 · 3!
Portanto, podemos construir 151.200 anagramas com a palavra MATEMÁTICA.
Exemplo 1.41. [Escola 2014] Ao preencher um cartão da loteria esportiva, André optou pelas seguintes marcações: 4 opções na coluna um,
6 opções na coluna do meio e 3 opções na coluna dois. De quantas
maneiras distintas André poderá marcar o cartão?
Solução. O cartão da loteria esportiva possui 13 linhas e três colunas
(veja Figura 1.9): a coluna um, a coluna do meio e a coluna dois. Sendo
assim, na coluna um haverá 4 linhas repetidas, na coluna do meio haverá
6 linhas repetidas e na coluna dois haverá 3 linhas repetidas, ou seja,
P13
4,6,3
=
13!
13 · 12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6!
=
= 60060.
4! · 6! · 3!
4! · 6! · 3!
Portanto, o cartão poderá ser marcado de 60.060 maneiras diferentes.
28
Figura 1.9: Loteria Esportiva
Exemplo 1.42. [Escola 2014] Em um torneio de futsal, um time obteve 8 vitórias, 5 empates e 2 derrotas, nas 15 partidas disputadas. De
quantas maneiras distintas esses resultados podem ter ocorrido?
Solução. Como em 15 partidas disputadas as vitórias se repetiram 8
vezes, os empates 5 vezes e as derrotas se repetiram 2 vezes, tem-se que:
P15
8,5,2
=
15!
15 · 14 · 13 · 12 · 11 · 10 · 9 · 8!
=
= 135135.
8! · 5! · 2!
8! · 5! · 2!
Logo, os resultados podem ser dispostos de 135.135 maneiras distintas.
Exemplo 1.43. [Escola 2014] Em uma prova composta de 20 questões
envolvendo V ou F, de quantas maneiras distintas teremos doze respostas
V e oito respostas F?
Solução. Como as respostas V e F repetem 12 vezes e 8 vezes, respectivamente, em 20 questões envolvendo V ou F, temos:
P20
12,8
=
20!
20 · 19 · 18 · 17 · 16 · 15 · 14 · 13 · 12!
=
= 125970.
12! · 8!
12! · 8!
Assim, podemos ter 125.970 maneiras distintas de respostas envolvendo
doze questões V e oito F.
29
Exercícios Propostos
1. [Didática 2014] Quantos anagramas podemos formar a partir das letras da palavra CURIÓ?
2. [Escola 2014] De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seis mulheres:
(a) em qualquer ordem;
(b) iniciando com homem e terminando com mulher.
3. [Escola 2014] Os resultados do último sorteio da Mega-Sena
foram os números 04, 10, 26, 37, 47 e 57. De quantas maneiras distintas pode ter ocorrido essa sequência de resultados?
4. [Escola 2014] Na palavra NORTE, quantos anagramas podem ser formados? Quantos começam com vogal?
5. (UFPEL) Tomando como base a palavra UFPEL, resolva as
questões a seguir.
(a) Quantos anagramas podem ser formados de modo que
as vogais estejam sempre juntas?
(b) Quantos anagramas podem ser formados com as letras
UF juntas?
(c) Quantos anagramas podem ser formados com as letras
PEL juntas e nessa ordem?
6. (Vunesp-SP) Considere todos os números formados por seis
algarismos distintos obtidos permutando-se, de todas as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
(a) Determine quantos números é possível formar (no total) e quantos números se iniciam com o algarismo 1.
(b) Escrevendo-se esses números em ordem crescente, determine qual posição ocupa o número 512346 e que
número ocupa a 242a posição.
30
6. [Escola 2014] Um engenheiro de software deseja criar um
programa que teste todas as possibilidades de senha de
um sistema de uma empresa. A informação que este engenheiro tem é a de que esta senha precisa respeitar a seguinte sequência: quatro letras distintas seguidas por dois
algarismos distintos. Sendo assim, responda:
(a) Quantas são as possíveis senhas de acesso?
(b) Quantas senhas apresentam simultaneamente apenas
consoantes e algarismos maiores que 5?
7. [Escola 2014] Um banco adquire um cofre com um sistema
de segurança digital, cuja senha para sua abertura é de 6
dígitos. Sabendo que estes dígitos podem ser letras ou números distintos, responda:
(a) Quantas possíveis senhas podem ser formadas?
(b) Quantas senhas podem ser formadas tendo três vogais
nos primeiros dígitos?
8. [Escola 2014] Os produtos de uma empresa são armazenados
no banco de dados com um código de 4 letras maiúsculas
seguidas por 5 algarismos. Esse sistema será modificado
para permitir letras maiúsculas e minúsculas. Após essa
modificação, o número atual de códigos será multiplicado
por:
(a) 2
(d) 10
(b) 3
(e) 18
(c) 6
(f) 16
9. [Didática 2014] Quantos são os anagramas que podemos formar a partir das letras da palavra ERVILHAS, sendo que
eles comecem com a letra E e terminem com uma vogal?
31
10. [Didática 2014] Quantos anagramas podemos obter a partir
das letras da palavra PARAR?
11. [Didática 2014] Possuo 4 bolas amarelas, 3 bolas vermelhas,
2 bolas azuis e 1 bola verde. Pretendo colocá-las em um
tubo acrílico translúcido e incolor, onde elas ficarão umas
sobre as outras na vertical. De quantas maneiras distintas
eu poderei formar esta coluna de bolas?
12. [Silva 2012] A palavra MADEIRA possui sete letras, sendo
duas letras A e cinco letras distintas: M, D, E, I, R. Quantos
anagramas podemos formar com essa palavra?
13. [Silva 2012] Determine os anagramas da palavra MORANGO.
14. [Silva 2012] Quantos números de 6 algarismos podemos escrever utilizando os algarismos 2, 2, 3, 3, 3 e 4?
15. [Silva 2012] Quantos são os anagramas da palavra CONSTITUINTE que começam por OSEC?
16. [Silva 2012]Quantos são os números ímpares de 5 algarismos
que podemos escrever utilizando os algarismos 4, 4, 5, 5, e
6?
17. [Silva 2012](FATEC-SP) Uma pessoa dispõe de 4 discos diferentes de MPB, 4 discos diferentes de rock e 2 discos diferentes de música clássica. O número de modos distintos
como essa pessoa pode organizá-los em uma estante, de tal
forma que discos do mesmo gênero estejam sempre juntos e
os de rock sempre na mesma ordem, é:
(a) 144
(b) 1152
(c) 48
(d) 50
(e) 288
18. [Silva 2012] Quantos anagramas podem ser formados com a
palavra MACACO?
32
1.5 Combinações Simples
Vimos, na Seção 1.3, que os arranjos são agrupamentos caracterizados
pela natureza e pela ordem dos elementos escolhidos. Diferentemente
dos arranjos, quando queremos fazer uma combinação nos preocupamos
apenas com a natureza dos elementos escolhidos, ou seja, a ordem em
que os elementos estão dispostos não é importante.
Definição 1.44. Seja A um conjunto com n elementos distintos e p
um número natural, tal que n Ø p. Combinação simples é o número
de maneiras distintas que podemos escolher p elementos distintos do
conjunto A, de tal forma que apenas a natureza dos elementos determina
agrupamentos distintos. Denotamos o número de combinações simples
de n elementos tomados p a p por Cn,p .
Considere o conjunto A = {a1 , a2 , a3 , . . . , an }, com n Ø 3. Sem perda
de generalidade, tomemos o arranjo (a1 , a2 , a3 ). Como nos arranjos a ordem dos elementos no agrupamento interfere, se permutarmos os 3 elementos a1 , a2 , a3 obteremos novos arranjos, como mostra a Figura 1.10.
(a3 , a2 , a1 )
(a3 , a1 , a2 )
arranjos
(a2 , a3 , a1 )
(a2 , a1 , a3 )
(a1 , a3 , a2 )
(a1 , a2 , a3 )
Figura 1.10: Permutações dos elementos a1 , a2 , a3 geram novos arranjos.
De acordo com a Definição 1.44, na combinação simples a ordem dos
elementos no agrupamento não interfere, isto é, do ponto de vista das
combinações todos os arranjos apresentados na Figura 1.10 representam
apenas uma única combinação simples que é {a1 , a2 , a3 }, pois são os
mesmos elementos dispostos em diferentes posições. Em outras palavras,
como as combinações simples são arranjos que se diferenciam somente
pela natureza de seus elementos, é natural que haja muito mais arranjos
que combinações, e esses arranjos excedentes são aqueles gerados pelas
permutações dos elementos envolvidos, já que a ordem é importante.
33
Portanto, dado o conjunto A = {a1 , a2 , a3 , . . . , an } com n elementos
distintos e p um número natural, tal que n Ø p, para calcular o total de
combinações simples Cn,p , de n elementos tomados p a p, basta calcular
o total de arranjos simples An,p e eliminar todos os arranjos gerados
pelas permutações dos p elementos escolhidos, isto é, Pp . Logo,
Cn,p =
An,p
=
Pp
n!
(n≠p)!
p!
=
n!
.
p!(n ≠ p)!
Exemplo 1.45. [Didática 2014] Com 12 bolas de cores distintas, posso
separá-las de quantos modos diferentes em saquinhos, se o fizer colocando
4 bolas em cada saco?
Solução. Como a ordem das bolas não causa distinção entre os agrupamentos, este é um caso de combinação simples. Vamos então calcular
C12,4 :
C12,4 =
12!
12 · 11 · 10 · 9 · 8!
11880
=
=
= 495.
4!(12 ≠ 4)!
24
4! · 8!
Portanto, posso separá-las de 495 modos diferentes.
Exemplo 1.46. [Didática 2014] Um fabricante de sorvetes possui a disposição 7 variedades de frutas tropicais do nordeste brasileiro e pretende
misturá-las duas a duas na fabricação de sorvetes. Quantos serão os
tipos de sorvete disponíveis?
Solução. Os sorvetes de umbu com siriguela e de siriguela com umbu ,
na verdade tratam-se de um mesmo tipo de sorvete, não havendo distinção apenas pela ordem da escolha das frutas utilizadas. Temos um caso
de combinação simples que será resolvido através do cálculo de C7,2 :
C7,2 =
7!
7 · 6 · 5!
42
=
=
= 21.
2!(7 ≠ 2)!
2
2! · 5!
Logo, serão disponíveis 21 sabores diferentes.
Exemplo 1.47. [Didática 2014] As 14 crianças de uma família serão
separadas em grupos de 5, para que elas arrecadem prendas para a quermesse da fazenda onde vivem. De quantas maneiras as crianças poderão
ser agrupadas?
Solução. Identificamos neste exemplo um caso de combinação simples,
pois a ordem das crianças é irrelevante, não causando distinção entre os
agrupamentos com elementos distintos. Vamos calcular C14,5 :
C14,5 =
34
14!
14 · 13 · 12 · 11 · 10 · 9!
240240
=
=
= 2002.
5!(14 ≠ 5)!
120
5! · 9!
Assim, as crianças poderão ser agrupadas de 2.002 maneiras diferentes.
Exemplo 1.48. [Escola 2014] Uma importante aplicação de combinação
simples é nas loterias, megassena, quina entre outras. Por exemplo,
a megassena consiste em uma cartela de 60 números dentre os quais
devemos acertar 6 (prêmio principal), portanto quantas cartelas devemos
marcar com diferentes números de forma a garantir que acertaremos os
6 números?
Solução. Temos aqui um problema de combinação onde n = 60 e p = 6,
ou seja, devemos combinar 60 números tomados 6 a 6.
C60,6 =
60!
60 · 59 · 58 · 57 · 56 · 55 · 54!
=
= 50063860.
6!(60 ≠ 6)!
6! · 54!
Logo, é necessário preencher 50.063.860 cartelas da megassena com 6
números, para cobrir todas as possibilidades de preencher tal cartela e
garantir que você ganhará sempre.
Exemplo 1.49. [Escola 2014] Em um curso de língua estrangeira estudam trinta alunos. O coordenador do curso quer formar um grupo
de três alunos para realizar um intercâmbio em outro país. Quantas
possíveis equipes podem ser formadas?
Solução. O número de possíveis grupos pode ser dado por:
C30,3 =
30!
30 · 29 · 28 · 27!
=
= 4060.
3!(30 ≠ 3)!
3! · 27!
Consequentemente, poderão ser formadas 4.060 equipes.
Exemplo 1.50. [Veia 2009] Uma prova consta de 6 questões, das quais
o aluno deve resolver 3. De quantas formas ele poderá escolher as 3
questões?
Solução. Quer-se agrupar 3 elementos, dentre os 6 existentes. Perceba
que a ordem em que os elementos aparecerão não será importante.
C6,3 =
6!
6 · 5 · 4 · 3!
=
= 20.
3!(6 ≠ 3)!
3! · 3!
Logo, um aluno pode escolher suas 3 questões de 20 maneiras diferentes.
35
Exercícios Propostos
1. [Veia 2009] De quantos modos distintos Amiroaldo pode escolher quatro entre as nove camisetas regata que possui para
levar em uma viagem para Mosqueiro.
2. [Veia 2009] Ane, Elisa, Rosana, Felipe e Gustavo formam
uma equipe. Dois deles precisam representar a equipe em
uma apresentação. Quais e quantas são as possibilidades?
3. [Veia 2009] No jogo de truco, cada jogador recebe 3 cartas de
um baralho de 40 cartas (são excluídas as cartas 8, 9 , 10).
De quantas maneiras diferentes um jogador pode receber
suas 3 cartas?
4. [Matematiques 2011] Um indivíduo possui 25 livros diferentes. De quantas formas distintas ele poderá empacotar tais
livros em grupos de 6 livros?
5. [Matematiques 2011] Quantos grupos de 3 pessoas podem
ser montados com 8 pessoas?
6. [Matematiques 2011] Quantos grupos de 2 pessoas podem
ser montados com 1000 pessoas?
7. [Matematiques 2011] Quantas combinações com 4 elementos
podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto?
8. [Matematiques 2011] Em uma sala existem 40 pessoas, 18
mulheres e 22 homens. Quantas comissões podem ser montadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens?
9. [Matematiques 2011] Quantos triângulos podem ser traçados contendo pontos de duas retas paralelas, sabendo-se que
em uma reta existem 6 pontos e na outra reta existem 5
pontos?
10. [Matematiques 2011] Para resolver um assunto entre 6 professores e 4 alunos, devemos formar comissões com 3 professores e 2 alunos. Quantas são as possibilidades?
36
11. [Matematiques 2011] Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comissões terão somente 1 professor?
12. [Matematiques 2011] Num plano existem 4 pontos, sendo
que 3 deles são não colineares. Qual é o número possível de
retas que passam por esses pontos?
13. [educa 2010] Num jornal de grande circulação, foi oferecido
para o leitor as assinaturas das revistas: Carinho, Superticioso, Bomjogador, Fatos, Notícias, Falabem. Tendo já
certeza que assinará a revista Fatos, e querendo optar por
mais duas assinaturas distintas, o leitor terá:
(a) 10 maneiras de escolher as duas revistas que faltam.
(b) 30 maneiras de escolher as duas revistas que faltam.
(c) 84 maneiras de escolher as duas revitas que faltam.
(d) 200 maneiras de escolher as duas revistas que faltam.
(e) 720 maneiras de escolher as duas revistas que faltam.
14. [Gentil et al. 1996] Simplifique
Cm,4 + Cm,3
.
Cm,2
15. (FGV-SP) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas contendo no
mínimo 1 diretor?
16. [Gentil et al. 1996] A diretoria de uma firma é constituída
de 7 diretores brasileiros e 4 japoneses. Quantas comissões
de 3 brasileiros e 3 japoneses podem ser formados?
17. [Gentil et al. 1996] Calcule C8,2 , C10,2 e Cm+3,2 .
18. [Gentil et al. 1996] Resolver a equação 5Cx,3 = Cx+2,4 .
19. [Gentil et al. 1996] Quantas comissões com 4 elementos podemos formar numa classe de 20 alunos?
37
1.6 Coeficiente Binomial e Binômio de Newton
Definição 1.51. Sejam n e p dois números naturais, com n Ø p. O
coeficiente
3 4 binomial, também chamado de número binomial e denotado
n
por
, é dado por:
p
3 4
n
n!
=
.
p
p!(n ≠ p)!
3 4
n
Como mostra a Definição 1.51, o coeficiente binomial
(lê-se:
p
de n escolha p) nada mais é do que a combinação simples Cn,p de n
elementos tomados p a p.
3 4 3 4 3 4 3 4
5
3
8
6
Exemplo 1.52. Calcule
,
,
e
.
3
1
7
6
Solução. Vejamos:
3 4
5
5!
5 · 4 · 3!
20
1.
=
=
=
= 10.
3
3!(5 ≠ 3)!
2
3! · 2!
3 4
3
3!
3 · 2!
3
2.
=
=
= = 3.
1
1!(3 ≠ 1)!
1
1! · 2!
3 4
8
8!
8 · 7!
8
3.
=
=
= = 8.
7
7!(8 ≠ 7)!
1
7! · 1!
3 4
6
6!
6!
1
4.
=
=
= = 1.
6
6!(6 ≠ 6)!
1
6! · 0!
Exemplo 1.53. Verifique que
3 4
3 4
3 4
n
n
n
= 1,
=ne
= 1.
0
1
n
Solução. De fato,
3 4
n
n!
n!
1
⇢
1.
=
=
= = 1.
0
0!(n ≠ 0)!
1·⇢
n!
1
3 4
n
n!
n!
n!
1
⇢
2.
=
=
=
= = 1.
n
n!(n ≠ n)!
n! · 0!
n! · 1
1
⇢
3 4
⇠
n
n!
n (n⇠
≠⇠
1)!
n
3.
=
= ⇠ ⇠⇠ = = n.
1
1!(n ≠ 1)!
1·⇠
(n⇠
≠ 1)!
1
38
3 4 3 4
n
n
Exemplo 1.54. Verifique que se p + q = n então
=
.
p
q
Solução. Sabemos que
3 4
n
n!
=
p
p!(n ≠ p)!
e
3 4
n
n!
=
.
q
q!(n ≠ q)!
Se p + q = n então p = n ≠ q. Sendo assim, vem que:
3 4 3
4
3 4
n
n
n!
n!
n
=
=
=
=
.
p
n≠q
(n ≠ q)!(⇢
n ≠⇢
n + q))!
q!(n ≠ q)!
q
3 4 3 4
n
n
Portanto, se p + q = n, então
=
, e dizemos que os coeficip
q
3 4 3 4
n
n
entes binomiais
e
são complementares.
p
q
3 4 3 4
5
5
Exemplo 1.55. Calcule
e
.
3
2
3 4
5
Solução. Pelo Exemplo 1.52, item 1, temos que
= 10. Como
33 4 3 4
5
5
2 + 3 = 5, vem pelo Exemplo 1.54 que os binomiais
e
são
2
3
3 4
3 4
5
5
complementares, ou seja,
=
= 10.
2
3
Exemplo 1.56. Verifique a propriedade a seguir, a qual é conhecida
como Relação de Stiefel, isto é:
3 4 3
4 3
4
n
n
n+1
+
=
.
p
p+1
p+1
Solução. Por definição, sabemos que
3 4
3
4
n
n!
n
n!
=
e
=
.
p
p!(n ≠ p)!
p+1
(p + 1)!(n ≠ p ≠ 1)!
Além disso, observe que
3
4
n+1
=
p+1
(n + 1)!
(p + 1)!((n + 1) ≠ (p + 1))!
=
(n + 1)!
(p + 1)!(n + 1 ≠ p ≠ 1)!
=
(n + 1)!
.
(p + 1)!(n ≠ p)!
39
Consequentemente obtemos,
3 4 3
4
n
n
n!
n!
+
=
+
p
p+1
p!(n ≠ p)! (p + 1)!(n ≠ p ≠ 1)!
=
n!(p + 1) + n!(n ≠ p)
(p + 1)!(n ≠ p)!
=
n!(p + 1 + n ≠ p)
(p + 1)!(n ≠ p)!
=
(n + 1)n!
(p + 1)!(n ≠ p)!
=
(n + 1)!
(p + 1)!(n ≠ p)!
=
3
4
n+1
.
p+1
Portanto, vale a Relação de Stiefel
3 4 3
4 3
4
n
n
n+1
+
=
.
p
p+1
p+1
3 4 3 4
7
7
Exemplo 1.57. Calcule
+
.
6
7
Solução. Observe que 7 = 6 + 1. Logo, pela Relação de Stiefel, apresentada no Exemplo 1.56, e pelo item 3 do Exemplo 1.52, temos que:
3 4 3 4
3 4 3
4
3
4
3 4
7
7
7
7
7+1
8
+
=
+
=
=
= 8.
6
7
6
6+1
6+1
7
Exemplo 1.58. (FCMSC-SP) Determine o valor de n tal que
3 4 3 4
n
n
+
= 5n · (n ≠ 2).
3
4
Solução. Pela Relação de Stiefel sabemos que
3 4 3 4 3
4
n
n
n+1
+
=
.
3
4
4
40
Logo, temos que:
3 4 3 4
n
n
+
3
4
3
= 5n · (n ≠ 2)
4
= 5n · (n ≠ 2)
(n + 1)!
4!((n + 1) ≠ 4)!
= 5n · (n ≠ 2)
(n + 1)!
4!(n ≠ 3)!
= 5n · (n ≠ 2)
⇠
(n + 1) · n · (n ≠ 1) · (n ≠ 2) · ⇠
(n⇠
≠⇠
3)!
⇠
4!⇠
(n⇠
≠⇠
3)!
= 5n · (n ≠ 2)
(n + 1) · n · (n ≠ 1) · (n ≠ 2)
24
= 5n · (n ≠ 2)
n+1
4
⇠
⇠
(n + 1) · ⇢
n · (n ≠ 1) · ⇠
(n⇠
≠⇠
2) = 24 · 5 · ⇢
n ·⇠
(n⇠
≠⇠
2)
(n + 1) · (n ≠ 1) = 120
n2 ≠ 1
= 120
n2
= 121
n
= ±11.
Assim, as possíveis soluções para o problema em questão são n = 11
ou
n
3 4 = ≠11. No entanto, lembremos que n é um número natural e que
n
somente esta definido para n Ø p. Consequentemente, os coeficip
3 4 3 4
n
n
entes binomiais
e
somente estão definidos, respectivamente,
3
4
para n Ø 3 e n Ø 4, ou seja, inevitavelmente n Ø 4. Portanto, a solução
do problema é n = 11.
41
3 4
n
Exemplo 1.59. (MACK-SP) Determine o valor de n tal que
= 28.
2
3 4
n
Solução. Primeiramente, observe que
nos impõe que n Ø 2, e que
2
3 4
⇠
n
n!
n · (n ≠ 1) · ⇠
(n⇠
≠⇠
2)!
n · (n ≠ 1)
=
=
=
= 28.
⇠
2
2!(n ≠ 2)!
2!⇠
(n⇠
≠⇠
2)!
2
Dai vem que:
n · (n ≠ 1) = 2 · 28
n2 ≠ n
n2 ≠ n ≠ 56
= 56
= 0.
Como n2 ≠ n ≠ 56 = 0 é uma equação do segundo grau, nos valendo
da fórmula de Bhaskara obtemos que n = 8 ou n = ≠7. Uma vez que n
é natural e n Ø 2, temos que o valor de n procurado é n = 8.
Exemplo
3
4 1.60. [Gentil et al. 1996] Determinar x para que exista
2x ≠ 4
.
x≠3
3 4
n
Solução. De acordo com a Definição 1.51, o coeficiente binomial
p
somente existirá se n e 3p são números
naturais e n Ø p.
4
2x ≠ 4
Consequentemente,
somente existirá se 2x ≠ 4 e x ≠ 3 são
x≠3
números naturais e 2x ≠ 4 Ø x ≠ 3, ou seja,
1) 2x ≠ 4 Ø 0
2) x ≠ 3 Ø 0
∆
∆
3) 2x ≠ 4 Ø x ≠ 3
x Ø 2.
x Ø 3.
∆
x Ø 1.
Sendo assim, temos obrigatoriamente que x deve satisfazer as seguintes condições: x Ø 2, x Ø 3 e x Ø 1.
Observe que se tomamos x Ø 3, então todas
3 as três4 condições são
2x ≠ 4
satisfeitas simultaneamente. Portanto, para que
exista, x deve
x≠3
satisfazer a condição x Ø 3.
42
1. [Gentil et al. 1996] Resolva as seguintes equações:
3
4 3
4
15
15
(a)
=
.
n+2
2n + 1
3 4
n
(b)
= 5.
1
3 4 3 4
n
n
(c)
+
= 2.
0
1
3 4 3 4
x
x
(d)
+
= 15.
1
2
3
4 3
4
n≠1
n≠1
(e)
+
= 6.
1
2
3
4 3
4
12
12
(f)
=
.
n+1
3n + 3
3 4 3 4 3 4
7
7
8
(g)
+
=
.
2
3
x
2. [Gentil et al. 1996] Calcule os seguintes números binomiais:
3 4 3 4
7
7
(a)
+
.
5
6
3 4 3 4
8
8
(b)
÷
.
5
8
3 4 3 4 3 4
7
7
7
(c)
+
+
.
0
1
2
3 4 3 4 3 4
n
n
n
(d)
+
+
.
1
2
n
3
4
n+2
3. (FCC) Qual o valor de n! para que a sentença
= 10
n
seja verdadeira?
43
n=4
n=5
..
.
..
.
3 4
1
1
3 4
2
1
3 4
3
1
3 4
4
1
3 4
5
1
3 4
2
2
3 4
3
2
3 4
4
2
3 4
5
2
3 4
3
3
3 4
4
3
3 4
5
3
3 4
4
4
3 4
5
4
3 4
5
5
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4
k
k
k
k
k
k
n=k
0
1
2
3
4
5
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
···
..
p=k
p=5
n=3
p=4
n=2
p=3
n=1
3 4
0
0
3 4
1
0
3 4
2
0
3 4
3
0
3 4
4
0
3 4
5
0
p=2
n=0
p=1
3 4
n
p
p=0
O triângulo apresentado na Figura 1.11 é conhecido como Triângulo
de Pascal (ou Triângulo de Tartaglia). Essencialmente,
o Triângulo de
3 4
n
Pascal é composto de coeficientes binomiais
, onde n representa as
p
linhas e p representa as colunas do triângulo, iniciando a contagem a
partir do zero. A saber, n = 0 representa a primeira linha (linha 0),
n = 1 representa a segunda linha (linha 1), e assim por diante, bem
como, p = 0 representa a primeira coluna (coluna 0), p = 1 representa a
segunda coluna (coluna 1), e assim por diante. Dessa forma vemos, na
Figura 1.11, que na sexta linha temos todos os coeficientes binomiais com
n = 5, e que na quarta coluna todos os coeficientes binomiais possuem
p = 3.
···
.
3 4
k
···
k
···
..
.
..
.
Figura 1.11: Fragmento do Triângulo de Pascal.
Como podemos ver na Figura 1.11, em um Triângulo de Pascal as
linhas possuem uma quantidade finita de elementos, que é igual ao número n da linha mais 1. Por exemplo, a quarta linha, que é a de número
44
n=3
n=4
n=5
..
.
3 4
5
0
3 4
5
1
3 4
5
2
..
.
..
.
..
.
3 4
5
3
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
···
3 4
4
4
3 4
5
4
..
.
3 4
5
5
..
.
3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4
k
k
k
k
k
k
n=k
0
1
2
3
4
5
..
.
···
p=k
3 4
2
2
3 4 3 4
3
3
2
3
3 4 3 4
4
4
+
2
3
p=5
3 4
2
1
3 4
3
1
3 4
4
1
p=4
p=3
3 4
2
0
3 4
3
0
3 4
4
0
=
n=2
p=1
n=1
3 4
0
0
3 4 3 4
1
1
+
0
1
=
n=0
p=0
3 4
n
p
p=2
n = 3, possui 4 elementos. No entanto, o número de linhas é infinito,
o que nos leva a concluir que a quantidade de elementos por coluna é
infinita. Portanto, a Figura 1.11 representa apenas um fragmento do
verdadeiro Triângulo de Pascal.
..
.
..
.
..
.
···
···
3 4
k
k
..
.
..
.
Figura 1.12: Relação de Stiefel.
Analisando a Figura 1.12 vemos 3
facilmente
que se verifica a Relação
4
n
de Stiefel, a saber: cada binomial
da linha n é igual à soma de
p
dois binomiais da linha (n ≠ 1), que é: a soma daquele binomial que está
na coluna p com aquele binomial que está na coluna (p ≠ 1) da mesma
linha (n ≠ 1). De outra forma:
3 4 3
4 3
4
n
n
n+1
+
=
.
p
p+1
p+1
45
Podemos representar o fragmento do Triângulo de Pascal, apresentado na Figura 1.11, substituindo os coeficientes binomiais por seus respectivos valores numéricos, ou seja, podemos calcular os coeficientes binomiais apresentados na Figura 1.11 um a um o que, por um motivo
ou outro, pode se tornar muito trabalhoso. No entanto, observe que
todas as linhas começam e terminam com o número
3 41, pois, cada
3 4 linha
n
n
começa e termina com os coeficientes binomiais
=1e
= 1,
0
n
respectivamente, como mostra a Figura 1.13.
3 4
0
0
3 4 3 4
1
1
0
1
3 4 3 4 3 4
2
2
2
0
1
2
3 4 3 4 3 4 3 4
3
3
3
3
0
1
2
3
1
=∆
1
1
1 X
1
1 Y Z 1
Figura 1.13: Fragmento do Triângulo de Pascal - Valores numéricos.
Resta então preencher aqueles lugares, no interior do triângulo, onde
estão X, Y e Z. Para isto, observe que em um Triângulo de Pascal vale
a Relação de Stiefel, como vimos na Figura 1.12, ou seja,
3 4
0
0
3 4 3 4
1
1
+
0
1
3 4 3 4 3 4 3 4
3
3
3
3
0
1
2
3
=
=∆
1+2+1
=
=
=
3 4 3 4 3 4
2
2
2
+
+
0
1
2
=
=
1
1+1
1 3 3 1
Figura 1.14: Construindo o Triângulo de Pascal através da Relação de Stiefel.
46
Dessa forma, seguindo o raciocínio apresentado na Figura 1.14, podemos construir um Triângulo de Pascal da seguinte forma:
1
1
1
1
1
1
1
..
.
+
+
+
+
+
+
1
2
3
4
5
6
+
+
+
+
+
..
.
1
3
6
10
15
+
+
+
+
..
.
1
+
4
+
10
+
20
..
.
1
5
15
+
1
+
..
.
+
6
..
.
1
..
.
..
.
Figura 1.15: Construindo o Triângulo de Pascal através da Relação de Stiefel.
Portanto, o Triângulo de Pascal em termos numéricos é dado por:
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
Figura 1.16: Fragmento do Triângulo de Pascal em termos numéricos.
47
Na Figura 1.17 vemos que o Triângulo de Pascal satisfaz a seguinte
propriedade: a soma de todos os números da linha n é igual a 2n .
linha 0
1 =
linha 1
1
linha 2
1
linha 3
1
linha 4
1
linha 5
1
linha 6
1
..
.
..
.
+
+
+
+
+
+
1 = 20
1 =
2
3
4
5
6
+
+
+
+
+
..
.
2 = 21
1 =
3
6
10
15
..
.
+
+
+
+
4 = 22
1 =
4
10
20
..
.
+
+
+
8 = 23
1 =
5
15
..
.
+
+
16 = 24
1 =
6
..
.
+
32 = 25
1 = 64 = 26
..
.
..
.
..
.
Figura 1.17: A soma dos elementos da linha n é 2n .
Exemplo 1.61. Calcule
3
4 3 4 3 4
3 4
12
12
12
12
+
+
+ ··· +
.
0
1
2
12
Solução. Observando a Figura 1.11 vemos que os coeficientes binomiais
dados acima, formam a linha 12 do Triângulo de Pascal. Portanto, pela
propriedade apresentada na Figura 1.17,
3 4 3 4 3 4
3 4
12
12
12
12
+
+
+ ··· +
= 212 = 4096.
0
1
2
8
48
Exercícios Propostos
1. Calcule
3
4 3 4 3 4
3 4
15
15
15
15
+
+
+ ··· +
.
0
1
2
15
2. Verifique as seguintes propriedades do Triângulo de Pascal:
(a) Na Figura 1.16, a partir da segunda linha, dois números eqüidistantes dos extremos são iguais. Em outras
palavras, veja Figura 1.11, dois binomiais eqüidistantes
dos extremos são complementares.
3 4 3
4
n
n
=
.
p
n≠p
(b) Veja na Figura 1.16 que a soma dos k primeiros números da coluna p é igual ao número localizado na próxima linha e na próxima coluna. Em termos de coeficientes binomiais, como mostra a Figura 1.11,
3 4 3
4 3
4
3 4 3
4
p
p+1
p+2
k
k+1
+
+
+ ··· +
=
.
p
p
p
p
p+1
(c) Como mostra a Figura 1.16, a soma dos k primeiros
números de uma diagonal, é igual ao número localizado
abaixo da última parcela. Neste sentindo, na Figura
1.11, temos que:
3 4 3
4 3
4
3
4 3
4
n
n+1
n+2
k
k+1
+
+
+· · ·+
=
.
0
1
2
k≠n
k≠n
3 4 3 4 3 4
3 4 3 4 3 4 3 4
3
4
5
1
2
3
4
3. Calcule
+
+
e
+
+
+
.
3
3
3
0
1
2
3
49
4. Utilizando as propriedades que já foram apresentadas, preencha corretamente os espaços com os números que faltam
em algumas linhas do fragmento do Triângulo de Pascal a
seguir.
1
5
1
6
1
7
1
8
1
1
1
1
≠
10
≠
≠
10
≠
15
20
5
1
6
≠
35
35
28
56
70
56
36
84
≠
≠
≠
120
≠
55
≠
≠
≠
≠
1
≠
252
330
≠
7
1
28
8
84
36
120
≠
≠
≠
≠
≠
1
330
≠
≠
≠
≠
≠
1
10
55
≠
1
≠
≠
1
≠
1
5. (CAp - UERJ) A seguir estão apresentadas duas linhas consecutivas do Triângulo de Pascal. Determine os valores de
a, b, c, d, e.
1
7
21
b
35
21
e
1
1
8
a
56
c
d
28
8
1
6. (CAp - UERJ) De certa linha do Triângulo de Pascal, sabese que a soma dos dois primeiros termos é igual a 21.
(a) Qual o terceiro termo dessa linha?
(b) Qual o maior termo dessa linha?
(c) Qual o penúltimo termo dessa linha?
(d) Qual a soma de todos os termos dessa linha?
50
Definição 1.62. Definimos como Binômio de Newton todo binômio da
forma (x + a)n , sendo x e a números reais e n um número natural.
Observe os seguintes desenvolvimentos do binômio de Newton para
n = 0, n = 1, n = 2, n = 3 e n = 4:
(x + a)0
= 1
(x + a)1
= x+a
2
(x + a)
(x + a)3
(x + a)4
= (x + a) · (x + a)
= (x + a) · (x + a)2
= (x + a) · (x + a)3
= x2 + 2xa + a2
= x3 + 3x2 a + 3xa2 + a3
= x4 + 4x3 a + 6x2 a2 + 4xa3 + a4
Note que podemos rescrever os desenvolvimentos do binômio de Newton anteriores como segue, ressaltando os coeficientes de x e a. Observe
ainda que os coeficientes do desenvolvimento de cada um dos binómios
de Newton representam uma linha do Triângulo de Pascal. A saber,
comparando com a Figura 1.16, os coeficientes do desenvolvimento de
(x + a)0 representa a linha n = 0, os de (x + a)1 representa a linha n = 1,
os de (x + a)2 representa a linha n = 2 e, sucessivamente, os de (x + a)k
representa a linha n = k. Portanto, os referidos coeficientes formam o
Triângulo de Pascal, tal como apresentado na Figura 1.16. Note também
que em cada desenvolvimento de (x + a)n , as potências de x decrescem
de n até 0 e as potências de a crescem de 0 até n.
n = 0 ∆ (x + a)0
= 1
n = 1 ∆ (x + a)1
= 1·x +1·a
n = 3 ∆ (x + a)3
= 1 · x3 + 3 · x2 a + 3 · xa2 + 1 · a3
2
n = 2 ∆ (x + a)
n = 4 ∆ (x + a)4
..
..
.
.
= 1 · x2 + 2 · xa + 1 · a2
= 1 · x4 + 4 · x3 a + 6 · x2 a2 + 4 · xa3 + 1 · a4
..
.
Assim, de um modo geral e com base no Triângulo de Pascal, podemos
escrever a fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton (x + a)k ,
cujos coeficientes são aqueles que aparecem na linha n = k do triângulo,
tal como apresentado na Figura 1.11, da seguinte maneira:
3 4
3 4
3 4
3 4
k k 0
k k≠1 1
k k≠2 2
k 0 k
(x + a)k =
x a +
x
a +
x
a + ··· +
x a .
0
1
2
k
Vale ressaltar ainda que o desenvolvimento de (x + a)k possui k + 1
termos e que a soma dos expoentes de x e a é igual a k em qualquer
termo do desenvolvimento.
51
Exemplo 1.63. Desenvolva o binómio (x + 3)4 .
Solução. Observe que no binómio (x + 3)4 temos k = 4 e a = 3. Logo
pela fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton temos:
3 4
3 4
3 4
3 4
3 4
4 4 0
4 4≠1 1
4 4≠2 2
4 4≠3 3
4 0 4
(x+3)4 =
x 3 +
x 3 +
x 3 +
x 3 +
x 3
0
1
2
3
4
Donde obtemos após uma reorganização dos termos e algumas simplificações o que segue:
3 4
3 4
3 4
3 4
3 4
4 4
4
4
4
4
4
3
2
(x + 3) =
x +
3x +
9x +
27x +
81.
0
1
2
3
4
Como os coeficientes dos termos do desenvolvimento do binómio (x +
3)4 são dados pela linha n = 4 do Triângulo de Pascal (veja Figura 1.16)
temos, após as devidas simplificações, que:
(x + 3)4 = x4 + 12x3 + 54x2 + 108x + 81.
Exemplo 1.64. Expandir o binómio (x ≠ 1)3 .
Solução. Uma vez que (x ≠ 1)3 = (x + (≠1))3 vem que k = 3 e a = ≠1,
ou seja, os coeficientes dos termos do desenvolvimento do binómio são
dados pela linha n = 3 do Triângulo de Pascal. Sendo assim, observando
a linha 3 do triângulo apresentando na Figura 1.16 vem que:
(x ≠ 1)3 = 1 · x3 (≠1)0 + 3 · x3≠1 (≠1)1 + 3 · x3≠2 (≠1)2 + 1 · x0 (≠1)3 .
Como (≠1)m é igual a 1 se m é par, e igual a ≠1 se m é ímpar
obtemos após as devidas simplificações que:
(x ≠ 1)3 = x3 ≠ 3x2 + 3x ≠ 1.
Exemplo 1.65. Expandir o binómio (2x + 3)5 .
Solução. Os coeficientes dos termos do desenvolvimento deste binómio
são dados pela linha n = 5 do Triângulo de Pascal. Portanto,
(2x + 3)5
= 1 · (2x)5 + 5 · (2x)4 3 + 10 · (2x)3 32 +
+ 10 · (2x)2 33 + 5 · (2x)34 + 1 · 35
= 32x5 + 5 · (16x4 )3 + 10 · (8x3 )9 +
+ 10 · 4(x2 )27 + 5 · (2x)81 + 243
= 32x5 + 240x4 + 720x3 + 1080x2 + 810x + 243.
52
1. Utilizando o desenvolvimento do binômio de Newton, expandir os seguintes binómios:
(a) (x ≠ 2)6
(g) (2x ≠ 3)5
(b) (x + y)3
(c) (x ≠ y)4
Ô
(d) (4 ≠ 2)2
(e) (2x + 1)5
1
(f) (x ≠ )3
2
(h) (a ≠ b)6
(i) (x2 + 1)5
Ô
(j) (1 + 3)4
(k) (2x ≠ 3y)4
2
(l) (x + y)4
3
2. (CESGRANRIO) O coeficiente de x4 no polinômio P (x) =
(x + 2)6 é:
(a) 64
(b) 60
(c) 12
(d) 4
(e) 24
3. [Giovanni, Bonjorno e Giovanni-Jr. 1994] Determine o va3
46 3
46
Ô
Ô
1
1
lor de
3+
+
3≠
.
3
3
4. (Mack-SP) Um dos termos do desenvolvimento de (x + 3a)5
é 360x3 . Sabendo-se que a não depende de x, o valor de a
é:
(a) ±1
(b) ±2
(c) ±3
(d) ±4
(e) ±5
5. [Gentil et al. 1996] Ache o coeficiente numérico de x2 no
desenvolvimento de (1 ≠ 2x)6 .
6. [Gentil et al. 1996] Determine o valor de a para que o coeficiente de x4 no desenvolvimento de (x + a)7 seja igual a
280.
53
2. Noções de Lógica Matemática
Da mesma forma que um feirante pode fazer inúmeras e variadas contas
de porcentagem, sem ao menos ter tido contato com a definição formal e
propriedades do que venha ser porcentagem, as vezes usamos um conceito
(palavra) sem ao menos saber de onde, o porque e como ele surgiu. Por
exemplo, quem nunca ouviu uma frase do tipo: Isso não tem lógica!
Será que, na maioria das vezes, quem pronuncia a referida frase sabe o
que significa lógica num sentindo geral ou específico da palavra? Então,
fica a pergunta: o que significa lógica? Se for realizada uma pequena
pesquisa num dicionário você poderá encontrar algo como:
Lógica: 1 Modo de raciocinar tal como de fato se exerce: Lógica
natural. 2 Filos Estudo que tem por objeto determinar quais
as operações que são válidas e quais as que não o são: [...] L.
matemática: o mesmo que lógica simbólica. L. simbólica:
ciência do desenvolvimento e representação de princípios lógicos
mediante símbolos, a de constituir um cânone exato de dedução,
baseado em ideias primitivas, postulados e regras de formação e
transformação; também chamada lógica matemática. (Dicionário Michaelis)
No século IV a.c. Aristóteles sistematizou o estudo das condições
em que podemos afirmar que um dado raciocínio é correto como Lógica.
Em outras palavras, a ógica constituiu-se como uma ciência autônoma
para estudar o pensamento humano e distinguir inferências e argumentos
certos e errados. No entanto, ao longo da história muitas são as definições
dadas à palavra lógica. Uns definem a lógica como sendo a “Ciência das
leis do pensamento”. Porém, outros acreditam que uma definição mais
adequada é: “A lógica é uma ciência do raciocínio”. De um modo geral,
vamos assumir como definição de lógica a ciência que estuda as formas
ou estruturas do pensamento.
Dentre as muitas contribuições de Aristóteles para a criação e o desenvolvimento da lógica, como a conhecemos hoje, citamos a criação de
termos fundamentais para analisar a lógica do discurso. A saber, Válido,
Não Válido, Contraditório, Universal, Particular.
Porém, aquela lógica aristotélica possuía limitações as quais impediam o avanço da ciência, como por exemplo, baseava-se no uso da linguagem natural e, isto por sua vez, levava a confusões que envolvia o
sentido das palavras. Com o intuito de transpor tais limitações Gott-
54
fried Wilhelm Leibniz (1646 ≠ 1716) apresentou uma nova lógica baseada no princípio de notação universal e artificial, bem como num cálculo
de signos.
E a partir daí, com as diversas contribuições de estudiosos tal como
Gottlob Frege,Giuseppe Peano, Bertrand Russel e George Boole a lógica
foi se transformando até se tornar uma álgebra/cálculo com uma nova
linguagem simbólica, chamada lógica matemática. Em outras palavras,
a lógica tornou-se o que de fato vemos hoje, um sistema completo de
símbolos e regras de combinação desses símbolos para obter conclusões
válidas.
2.1 Cálculo Proposicional
O objetivo da lógica proposicional é modelar o raciocínio, tendo como
base frases declarativas, as quais chamamos de proposições. De outra
forma, a lógica proposicional estuda como raciocinar com afirmações
que podem ser verdadeiras ou falsas. Ou ainda, como construir a partir
de um certo conjunto de hipóteses, verdadeiras num determinado contexto, uma demonstração (prova) de que uma determinada conclusão é
verdadeira no mesmo contexto. Sendo um dos exemplos mais simples
de lógica formal, a lógica proposicional considera apenas a forma das
proposições e se elas são verdadeiras ou falsas. Porém, contém praticamente todos os conceitos importantes necessários para o estudo de
outras lógicas complexas.
Neste sentido, um cálculo proposicional consiste em: (1) um conjunto
de símbolos primitivos, definidos como fórmulas atômicas, proposições
atômicas, ou variáveis; (2) um conjunto de operadores, interpretados
como operadores lógicos ou conectivos lógicos.
Sendo assim, iniciamos por apresentar o conceito de proposição, que
é usado num sentido técnico.
Definição 2.1. Por uma proposição queremos dizer uma declaração que
é verdadeira ou falsa, mas não ambos.
Definição 2.2. O valor verdade, ou valor lógico, de uma proposição é o
estado que indica se a proposição é verdadeira ou falsa. Sendo assim o
valor verdade será: Verdadeiro (V), quando se trata de uma proposição
verdadeira ou Falso (F), quando se trata de uma proposição falsa.
De fato, o importante não é o valor verdade, V ou F, que as proposições possam assumir num determinado contexto interpretativo, mas a
possibilidade de que “em princípio” seja possível atribuir um valor verdade a elas, e que seja possível raciocinar com tais proposições. Em
outras palavras, não é necessário que saibamos se a proposição é verda-
55
deira ou falsa, a única exigência é que ela deve ser definitivamente uma
coisa ou outra. Sendo assim, assumimos os seguintes princípios:
Princípio da Não-Contradição: Uma proposição não pode ser
verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só pode ter dois
valores verdades (valores lógicos), isto é, é verdadeira (V) ou falsa (F),
não podendo ter outro valor.
Exemplo 2.3. Cada uma das seguintes frases é uma proposição:
1) Goiânia é uma cidade no estado de Goiás.
2) 3 + 4 é 5.
3) A lua e feita de caramelo.
4) Não há vida inteligente em Saturno.
5) Está nevando.
6) -1 é raíz da equação x2 ≠ x + 1 = 0.
7) As pirâmides do Egito são feitas de gelo.
8) Tinha um mosquito na Arca de Noé.
9) Todo gato é um felino.
Claramente, (a) e (i) são verdadeiras, enquanto (b), (c), (f) e (g) são
falsas. Podemos ter dúvidas quanto ao status (verdadeiro ou falso) de
(d) e (h). A veracidade ou falsidade da sentença (e) depende do local e
das condições meteorológicas no instante em que essa declaração é feita.
Exemplo 2.4. As frases seguintes não são proposições, porque não faz
sentido questionar se alguma delas é verdadeira ou falsa.
1) Vamos a praia!
2) Tudo bem com você?
3) Que horas são?
4) Bom dia!
É fácil notar que as proposições, geralmente, expressam a descrição de
uma realidade e que representa uma informação enunciada por uma oração e, portanto, pode ser expressa de maneiras diferentes. Por exemplo:
Gabriela é maior que Letícia.
56
ou
Letícia é menor que Gabriela.
Exercícios Propostos
Determine se cada uma das seguintes sentenças é uma proposição.
1. Em 7 de junho de 1442 nevou em algum lugar no Rio Grande
do Sul.
2. Aristóteles tinha pés chatos.
3. O socialismo está errado.
4. O homem mais rico do mundo é o Sr. Astrônio, de Terra
Roxa.
5. O filme “fogo contra fogo” é bom.
6. x2 = ≠1
7. Joana e Pedro são pessoas boas.
8. Eu estou usando facebook.
9. Quanto vale este carro?
10. Saia da grama.
11. (x + y)2 = x2 + y 2 .
12. Use sempre cinto de segurança.
13. Beethoven escreveu algumas das músicas de Chopin.
14. Não minta!
15. Existe vida inteligente na lua.
16. Ela não é ciumenta.
17. Dentre as proposições dadas anteriormente, indique aquelas
que você acha que devem ser verdadeiras (V) ou falsas (F),
e aquelas cujo status pode ser difícil determinar.
57
Definição 2.5. As proposições universais são aquelas em que o predicado refere-se à totalidade do conjunto.
Exemplo 2.6. Fique atento à estrutura das seguintes proposições universais.
1) Todos os homens são mentirosos. Esta proposição é universal afirmativa.
2) Toda regra é certa. Esta proposição é universal afirmativa.
3) Nenhum homem é mentiroso. Esta proposição é universal negativa.
4) Nenhuma bola é quadrada. Esta proposição é universal negativa.
Na Definição 2.5 incluímos o caso, universal, em que o sujeito é unitário.
5) A vaca berra.
6) O filho tem mãe.
7) Açucar é doce.
8) Peixe nada.
Definição 2.7. As proposições existenciais são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto.
Exemplo 2.8. Fique atento à estrutura das seguintes proposições existenciais.
1) Alguns homens são mentirosos. Esta proposição é existencial afirmativa.
2) Alguns homens não são mentirosos. Esta proposição é existencial
negativa.
3) Alguns alunos não são estudiosos. Esta proposição é existencial negativa.
4) Alguns professores são bons educadores. Esta proposição é existencial
negativa.
Uma pergunta natural que surge aqui é: Quantos elementos são necessários para caracterizar “alguns”? Em matemática e, consequentemente,
em lógica “alguns” significa “pelo menos um”.
58
Exercícios Propostos
Verifique quais das seguintes são proposições universais, existenciais, afirmativas ou negativas.
1. Todos os homens de bigode são preguiçosos.
2. Nenhum pedreiro é eletricista.
3. Alguns peixes respiram ar.
4. Algum estudante tem uma camisa azul.
5. Todo ser humano é mortal.
6. Todos os quadrados tem quatro lados.
7. Alguns números reais são racionais.
8. Nenhum cachorro mia.
9. Todo número entre 0 e 1 é menor que ≠1.
10. Alguns homens são criminosos.
11. Nenhuma mulher é ciumenta.
12. Todos os dias são ensolarados.
13. Nenhuma mulher deve apanhar de um homem.
14. Nenhum homem deve bater em uma mulher.
15. Todas as crianças estão brincando.
16. Algumas palavras ferem.
17. Todas as provas de matemática são difíceis.
18. Todo advogado é cruel.
59
Como vimos anteriormente, proposição é simplesmente um enunciado
verbal que pode ser verdadeiro ou falso. Além disso, uma proposição
pode ser simples ou composta.
Definição 2.9. Uma proposição simples é toda sentença que contém
apenas uma única frase afirmativa.
Exemplo 2.10. Todas as proposições que vimos até o momento são
simples. Ademais temos:
1) O gato é pequeno.
2) O cachorro é bravo.
3) x2 = 1.
4) O carro é vermelho.
5) Esse exemplo é sobre lógica.
6) |y| = 0
Definição 2.11. Uma proposição composta é toda sentença formada por
duas ou mais proposições.
A pergunta que surge naturalmente é: Tudo bem! Entendi a definição, mas como vou construir proposições compostas? A resposta a
essa pergunta é simples. Para construir proposições compostas usamos
as palavras “e”, “ou”, “Se ..., então” e “se, e somente se”, chamadas
conectivos.
Sabemos ainda que existem palavras que modificam o sentido de uma
frase. Por exemplo, a palavra “não”. Quando usamos a palavra “não” o
resultado é a negação da frase original. Por exemplo, se temos a frase:
“A terra é um planeta”. Com a palavra “não” teremos a negação desta
frase, que é, “A terra não é um planeta”.
Exemplo 2.12. Considerando as proposições simples dadas no Exemplo
2.10, dentre outras, podemos construir as seguintes proposições compostas:
1) O gato é pequeno e o cachorro é bravo.
2) O gato é pequeno ou o cachorro não é bravo.
3) Se esse exemplo é sobre lógica, então meu carro é vermelho e o gato
não é pequeno.
4) Se o gato é pequeno, então o cachorro é bravo.
5) O gato é pequeno se, e somente se, o cachorro não é bravo.
60
6) Se x2 = 1 , então x = 1 ou x = ≠1.
7) |y| = 0 se, e somente se, y = 0.
8) Se você está com fome, então coma um sanduíche.
9) Se você não está entendendo, então deve se esforçar mais.
10) Você não tem nada a dizer ou está mentindo.
11) Eu queria um bolo e algo menos calórico.
Exemplo 2.13. Observe as seguintes proposições compostas e extraia
delas as proposições simples.
1) A lua é quadrada ou a neve é branca.
(a) A lua é quadrada. (simples)
(b) A neve é branca. (simples)
2) Se o inferno ficar frio então eu me caso com você.
(a) O inferno fica frio. (simples)
(b) Eu me caso com você. (simples)
3) Se o meu carro pifar e o meu amigo for a festa, então eu fico em casa.
(a) O meu carro pifa. (simples)
(b) Meu amigo vai a festa. (simples)
(c) Eu fico em casa. (simples)
4) Aplico a prova se, e somente se, os alunos aparecerem e estivem todos
de branco.
(a) Aplico a prova. (simples)
(b) Os alunos aparecem. (simples)
(c) Todos estão de branco. (simples)
5) Eu vou casar ou comprar uma bicicleta.
(a) Eu vou casar. (simples)
(b) Eu vou comprar uma bicicleta. (simples)
6) Vou viajar se, e somente se, o meu gato latir.
(a) Vou viajar. (simples)
(b) Meu gato late. (simples)
61
Exercícios Propostos
Extraia das proposições compostas dadas, as proposições simples.
Na seqüência, com essas mesmas proposições simples, construa
novas proposições compostas, diferentes das já dadas.
1. 3 é maior que 1 se, e somente se, 1 for menor que 3.
2. Se Maria for ao cinema, então João fica em casa e Letícia
joga video game.
3. fi é um número irracional e a raiz quadrada de 4 é 2.
4. Trabalho durante o jogo ou vou dormir.
5. O gato é pequeno e o cachorro é bravo.
6. O gato é pequeno ou o cachorro não é bravo.
7. Se esse exemplo é sobre lógica, então meu carro é vermelho
e o gato não é pequeno.
8. Se o gato é pequeno, então o cachorro é bravo.
9. O gato é pequeno se, e somente se, o cachorro não é bravo.
10. Se x2 = 1, então x = 1 ou x = ≠1.
11. |y| = 0 se, e somente se, y = 0.
12. Não é verdade que não esta chovendo.
13. Se eu estudar, então passo em lógica ou ficarei chateado.
14. Se eu ganhar na mega-sena ou receber uma herança milionária, então fico milionário.
15. Se você está com fome, então coma um sanduíche.
16. Se você não está entendendo, então deve se esforçar mais.
17. Você não tem nada a dizer ou está mentindo.
18. Eu queria um bolo e algo menos calórico.
62
Na lógica proposicional não trabalhamos realmente com frases, mas
sim com variáveis proposicionais que representam as proposições. Sendo
assim, a menos que digamos o contrário, usaremos letras minúsculas, tais
como p, q, r, ... para representar proposições simples, e letras maiúsculas
P , Q, R, ... para representar proposições compostas. Por exemplo,
p: A lua é quadrada. (simples)
Q: Se o meu carro não funcionar, então vou ficar em casa. (composta)
Da mesma forma que usamos letras maiúsculas e minúsculas para
representar uma proposição, usamos alguns símbolos especiais, chamados
de conectivos lógicos ou operadores lógicos, para representar os conectivos
“e”, “ou”, “não”, “Se ..., então” e “se, e somente se”, os quais são
apresentados na sequência.
Definição 2.14. O conectivo “não” é representado pelo símbolo ≥.
Sendo assim, a negação de uma proposição p é a proposição ≥ p (lêse: não p).
Exemplo 2.15. Observe que o conectivo lógico ≥ age apenas sobre uma
única proposição.
p: A terra é um planeta.
≥ p: A terra não é um planeta.
Definição 2.16. O conectivo “e” é representado pelo símbolo ·. Com
o conectivo lógico · obtemos a partir de duas proposições p e q, uma
nova proposição p · q (lê-se: p e q) chamada conjunção.
Exemplo 2.17. Observe que ao contrário do conectivo lógico ≥, o conectivo lógico · age sobre duas proposições.
p: A terra é uma estrela.
q: O gato é um animal.
p · q: A terra é uma estrela e o gato é um animal.
Definição 2.18. O conectivo “ou” é representado pelo símbolo ‚. Com
o conectivo lógico ‚ obtemos a partir de duas proposições p e q, uma
nova proposição p ‚ q (lê-se: p ou q) chamada disjunção.
Exemplo 2.19. Observe que, assim como o conectivo ·, o conectivo ‚
age sobre duas proposições.
p: A terra é uma estrela.
63
q: O gato é um animal.
p ‚ q: A terra é uma estrela ou o gato é um animal.
Definição 2.20. O conectivo “se..., então” é representado pelo símbolo
æ, Com o conectivo lógico æ obtemos a partir de duas proposições p e
q, uma nova proposição p æ q (lê-se: Se p , então q) chamada implicação
ou condicional.
Exemplo 2.21. Observe que este conectivo também age sobre duas
proposições.
p: A terra é uma estrela.
q: O gato é um animal.
p æ q: Se a terra é uma estrela, então o gato é um animal.
Definição 2.22. O conectivo “se, e somente se” é representado pelo
símbolo ¡. Com o conectivo lógico ¡ obtemos a partir de duas proposições p e q, uma nova proposição p ¡ q (lê-se: p se, e somente se, q)
chamada dupla implicação ou bicondicional.
Exemplo 2.23. Observe que este conectivo também age sobre duas
proposições.
p: A terra é uma estrela.
q: O gato é um animal.
p ¡ q: A terra é uma estrela se, e somente se, o gato é um animal.
Além das variáveis proposicionais e dos conectivos lógicos, usamos um
símbolo auxiliar, a saber os parênteses “( )”, para evitar ambiguidades e
delimitar o “alcance” de cada conectivo. Considere a proposição:
p · q ‚ r.
Sem uma regra definida, podemos colocar os parênteses nesta proposição
de duas formas diferentes. Vejamos:
(p · q) ‚ r
ou
p · (q ‚ r)
Note que estas duas proposições são distintas e que a colocação de
parênteses, sem uma regra de uso definida, delimita o “alcance” de cada
conectivo, porém, pode não eliminar a ambiguidade. Sendo assim, para
uma melhor organização e evitar ambiguidades, os parênteses serão usados seguindo a seguinte ordem dos conectivos:
≥
64
‚
·
æ
¡
Temos ainda a possibilidade de haver mais de uma ocorrência, consecutivas, do mesmo conectivo, e neste caso adotaremos a convenção pela
direita, ou seja, se temos a proposição
pæqærætæh
colocamos primeiro os parênteses no último conectivo æ a direita, depois
no penúltimo e assim por diante, ou seja, a proposição acima deve ser
entendida como
(p æ (q æ (r æ (t æ h))))
Exemplo 2.24. Se temos a proposição
p ‚ q· ≥ r æ p æ≥ q
colocamos os parênteses obedecendo a order dos conectivos apresentada
anteriormente e, dessa forma, obtemos:
(((p ‚ q) · (≥ r)) æ (p æ (≥ q)))
Exemplo 2.25. Escreva as seguintes proposições em linguagem simbólica, colocando apropriadamente os parênteses.
1) Se o cachorro latir e o gato miar, então a lua é uma estrela.
Sendo p: o cachorro late, q: o gato mia e r: a lua é uma estrela, vem
que:
(p · q) æ r
2) O cachorro late e se o gato miar, então a lua é uma estrela.
Sendo p, q e r representando as proposições como no item anterior,
vem que:
p · (q æ r)
3) Se o cachorro não late ou o gato mia, então a lua não é uma estrela.
Sendo p, q e r como antes, vem que:
((≥ p) · q) æ (≥ r)
4) O cachorro late ou o gato mia se, e somente se, a lua é uma estrela.
Em linguagem proposicional temos:
(p ‚ q) ¡ r
65
Exercícios Propostos
1. Coloque apropriadamente os parênteses nas proposições a
seguir.
(a) p ‚ q · q ‚ r
(b) p · q æ h æ r æ s
(c) g ¡ f ‚ ≥ q · h · r · s
(d) p æ r · q æ r
(e) ≥ q · p æ q
(f) p ‚ q· ≥ p
(g) p æ q ‚ r
(h) p ‚ q æ r
2. Escreva em linguagem simbólica as seguintes proposições.
(a) 3 é maior que 1 se, e somente se, 1 for menor que 3.
(b) Se Maria for ao cinema, então João fica em casa e Letícia joga video game.
(c) fi é um número irracional e a raiz quadrada de 4 é 2.
(d) Não é verdade que não esta chovendo.
(e) Se eu estudar, então passo em lógica ou ficarei chateado.
(f) Se eu ganhar na mega-sena ou receber uma herança,
então fico milionário.
(g) Se não sei dirigir, então não tenho CNH.
(h) O gato é pequeno e o cachorro é bravo.
(i) O gato é pequeno ou o cachorro não é bravo.
(j) Se o gato é pequeno, então o cachorro é bravo.
(k) Se x2 = 1, então x = 1 ou x = ≠1.
(l) |y| = 0 se, e somente se, y = 0.
66
2.2 Tabelas Verdade
A Tabela Verdade é um instrumento eficiente usado em lógica para determinar se uma expressão é verdadeira ou falsa, válida ou invalida.
Definição 2.26. Por subproposições entendemos o conjunto formado
por todas as proposições que ocorrem na proposição P , observando a
precedência entre os conectivos.
Exemplo 2.27. Determine o conjunto de subproposições da proposição
≥ ((p · q) æ r)
Solução. Na proposição dada temos que o conectivo · precede o conectivo æ, que por sua vez precede o conectivo ≥. Ou seja, para determinar
os possíveis valores verdade de ≥ ((p · q) æ r) antes precisamos determinar os possíveis valores verdade de (p · q) æ r. E para determinar os
possíveis valores verdade de (p · q) æ r, primeiro precisamos determinar os possíveis valores verdade de p · q. No entanto, antes de tudo, é
necessário apresentar os possíveis valores verdade de p, q e r. Portanto,
concluímos que a proposição ≥ ((p · q) æ r) possui o seguinte conjunto
de subproposições:
{p, q, r, p · q, (p · q) æ r, ≥ ((p · q) æ r)}.
Definição 2.28. Tabela Verdade é o conjunto de todas as possibilidades
combinatórias entre valores verdade de diversas variáveis lógicas, as quais
se encontram em apenas duas situações, verdadeiro (V) ou Falso (F), e
um conjunto de conectivos lógicos.
A Definição 2.28 nós diz que a Tabela Verdade de uma proposição
P determina quais são os possíveis valores verdade da proposição P ,
considerando os possíveis valores verdade das subproposições contidas
na proposição P .
Neste sentido, a Tabela Verdade de uma proposição P é formada por
linhas e colunas, onde o número de linhas é determinado pelo número
de proposições simples contidas na proposição P , e o número de colunas
é determinado pelo número de subproposições da proposição P . Em
outras palavras, a Tabela Verdade da proposição P consiste:
1. De uma linha em que estão contidas todas as proposições simples
e demais subproposições da proposição P . Por exemplo, suponha
que a proposição P seja ≥ ((p · q) æ r). Como vimos no Exemplo
2.27, o conjunto de subproposições desta proposição é:
{p, q, r, p · q, (p · q) æ r, ≥ ((p · q) æ r)}.
67
Tabela 2.1: Primeira linha da Tabela Verdade.
p
q
r
p·q
(p · q) æ r
≥ ((p·q) æ r)
Consequentemente, como a proposição dada possui 6 subproposições, a sua Tabela Verdade possui 6 colunas e a primeira linha
desta tabela é dada por:
2. De L linhas em que estão todos os possíveis valores verdade, V
ou F, que as proposições simples contidas em P possam assumir. O número destas linhas é L = 2n , sendo n o número de
proposições simples contidas em P . No exemplo acima, a fórmula
≥ ((p · q) æ r) contém 3 proposições simples p, q e r e, portanto,
a Tabela Verdade dessa proposição vai conter L = 23 = 8 linhas,
que representam as possibilidades combinatórias entre os valores
verdade de p, q e r. A saber:
Tabela 2.2: Possibilidades combinatórias entre os valores verdade de p, q e r.
p
q
r
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
p·q
(p · q) æ r
≥ ((p·q) æ r)
Observe que na Tabela Verdade 2.2 existem algumas colunas não
preenchidas. Tais colunas serão preenchidas de acordo com a Tabela
Verdade do principal conectivo lógico envolvido em cada uma das co-
68
lunas. Por exemplo, na quarta coluna o principal conectivo lógico é a
conjunção ·, cujos valores verdade dependem dos valores verdade das
proposições simples p e q. Agora na quinta coluna, o principal conectivo
lógico é a implicação æ, pois este é precedido pelo conectivo lógico ·.
Note ainda que os possíveis valores verdade desta coluna dependem dos
possíveis valores verdade da proposição simples r e dos possíveis valores
verdade da proposição p · q, os quais neste momento já foram determinados na quarta coluna. Finalmente, na última coluna o principal
conectivo lógico é a negação ≥, pois este é precedido pelos conectivos
lógicos · e æ, e os valores verdade desta última coluna depende unicamente dos valores verdade de (p · q) æ r, os quais, neste momento, já
foram determinados na quinta coluna.
Na seqüência apresentaremos as definições das Tabelas Verdade de
cada um dos conectivos lógicos apresentados anteriormente. Fique atento
às referidas definições e as estude com calma, pois, elas formam a base
para a construção da Tabela Verdade de qualquer proposição composta.
Definição 2.29. A proposição ≥ p é a negação da proposição p, de
maneira que se p é verdadeira então ≥ p é falsa, e vice-versa.
Tabela 2.3: Tabela Verdade da Negação.
p
≥p
V
F
F
V
Definição 2.30. A conjunção p · q será verdadeira somente quando as
duas proposições p e q forem verdadeiras.
Tabela 2.4: Tabela Verdade da Conjunção.
p
q
p·q
F
F
F
V
F
F
F
V
F
V
V
V
69
Definição 2.31. A disjunção p ‚ q será verdadeira quando pelo menos
uma das proposições p e q for verdadeira, isto é, ela só será falsa quando
as duas proposições p e q forem falsas.
Tabela 2.5: Tabela Verdade da Disjunção.
p
q
p‚q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Definição 2.32. A implicação p æ q será falsa somente quando a proposição p for verdadeira e a proposição q for falsa.
Tabela 2.6: Tabela Verdade da Implicação.
p
q
pæq
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Definição 2.33. A dupla implicação p ¡ q será verdadeira se as proposições p e q tiverem o mesmo valor verdade, isto é, ou ambas verdadeiras,
ou ambas falsas.
Exemplo 2.34. Determine os possíveis valores verdade das proposições
a seguir, ou seja, construa sua Tabela Verdade.
1. (p · q) æ r
Temos que a proposição em questão possui três proposições simples, p, q e r, e o seu conjunto de subproposições é
{p, q, r, p · q, (p · q) æ r}
70
Tabela 2.7: Tabela Verdade da Dupla Implicação.
p
q
p¡q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Logo, a Tabela Verdade da proposição possui 5 colunas e 23 = 8
linhas, a saber:
Tabela 2.8: Tabela Verdade da proposição (p · q) æ r.
p
q
r
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
p·q
(p · q) æ r
Observe que na quarta coluna da Tabela 2.8 o principal conectivo
lógico é a conjunção ·, cujos valores verdade dependem dos valores
verdade das proposições simples p e q.
Assim, a quarta coluna da tabela é construída com base na Tabela
Verdade da conjunção (Definição 2.30), observando a primeira e
a segunda coluna da mesma tabela. Na quinta coluna o principal
conectivo lógico é a implicação æ, pois este é precedido pelo conectivo lógico ·. Esta quinta coluna da tabela é construída com base
na Tabela Verdade da implicação (Definição 2.32), observando a
71
Tabela 2.9: Tabela Verdade da proposição (p · q) æ r.
p
q
r
p·q
(p · q) æ r
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
quarta e a terceira coluna, pois os possíveis valores verdade desta
coluna dependem dos possíveis valores verdade da proposição simples r e dos possíveis valores verdade da proposição p · q.
2. ≥ q æ≥ p
Neste caso a proposição possui duas proposições simples, p e q, e
o seu conjunto de subproposições é
{p, q, ≥ p, ≥ q, ≥ q æ≥ p}
Portanto, a Tabela Verdade da proposição possui 5 colunas e 22 = 4
linhas, a saber:
Tabela 2.10: Tabela Verdade da proposição ≥ q æ≥ p.
72
p
q
≥q
≥p
≥ q æ≥ p
V
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
Nesta tabela, o principal conectivo na terceira e na quarta coluna é a negação ≥, portanto, são construídas com base na Tabela
Verdade da negação (Definição 2.29), observando a segunda e a
primeira coluna, respectivamente. Já na última coluna, o principal conectivo é æ, e é construída com base na Tabela Verdade
da implicação (Definição 2.32), observando a terceira e a quarta
coluna.
3. ≥ p ‚ q
A proposição possui o seguinte conjunto de subproposições:
{p, q, ≥ p, ≥ p ‚ q}
Portanto, sua Tabela Verdade é dada por:
Tabela 2.11: Tabela Verdade da proposição ≥ p ‚ q.
p
q
≥p
≥p‚q
V
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
Note que a terceira e a quarta coluna da tabela são construídas
com base nas Tabela Verdade da negação e disjunção (Definições
2.29 e 2.31), respectivamente.
73
Exercícios Propostos
Quando achar necessário coloque apropriadamente os parênteses
e construa as Tabelas Verdade das seguintes proposições:
1. (p æ r) · (q æ r)
2. p · (p æ q)
3. ≥ q · (p æ q)
4. (p ‚ q) · (≥ p)
5. p æ (q ‚ r)
6. p · (p æ q) æ q
7. ≥ q · (p æ q) æ≥ p
8. (p æ q) · (q æ r) æ (p æ r)
9. (p ‚ q)· ≥ p æ q
10. p · q æ p
11. p æ p ‚ q
12. (p æ (q ‚ r))· ≥ q æ p æ r
13. (p æ r) · (q æ r) æ (p ‚ q) æ r
14. (p ¡ q) ¡ (p æ q) · (q æ p)
15. p · (q ‚ r) ¡ (p · q) ‚ (p · r)
16. p æ (q · r) ¡ (p æ q) · (p æ r)
17. p ‚ (q · r) ¡ (p ‚ q) · (p ‚ r)
18. p æ (q ‚ r) ¡ (p æ q) ‚ (p æ r)
74
2.3 Contingência, Tautologia e Contra-Tautologia
Definição 2.35. Dizemos que uma proposição composta é uma contingência quando seus possíveis valores verdade são verdadeiros e falsos,
independentemente dos valores verdade das proposições simples que a
compõe. Ou seja, a última coluna da sua Tabela Verdade, a qual determina seus possíveis valores verdade, tem os valores verdade V e F.
Exemplo 2.36. As proposições compostas apresentadas no Exemplo
2.34 são todas uma contingência. De fato, observe que a última coluna
de cada uma das respectivas Tabelas Verdade tem os valores verdade V
e F.
Definição 2.37. Dizemos que uma proposição composta é uma tautologia quando seus possíveis valores verdade são sempre verdadeiros,
independentemente dos valores verdade das proposições simples que a
compõe. Em outras palavras, a última coluna da sua Tabela Verdade,
só tem o valor verdade V.
Exemplo 2.38. As proposições p‚ ≥ p, p · (p æ q) æ q, ≥ q · (p æ
q) æ≥ p e ≥ (p · q) æ≥ p‚ ≥ q são tautologias. De fato, basta
observar que a última coluna de cada uma das Tabelas Verdade das
proposições, apresentadas a seguir, só tem o valor verdade V.
Tabela 2.12: Tabela Verdade da proposição p‚ ≥ p.
p
≥p
p‚ ≥ p
V
F
V
F
V
V
Tabela 2.13: Tabela Verdade da proposição p · (p æ q) æ q.
p
q
pæq
p · (p æ q)
p · (p æ q) æ q
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
75
76
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
V
F
V
q
V
V
p
q
p
V
V
F
F
≥p
V
V
F
F
V
F
V
F
≥q
V
V
F
V
pæq
V
F
F
F
≥ q · (p æ q)
V
V
V
V
V
F
V
F
≥q
F
F
F
V
p·q
V
V
V
F
≥ (p · q)
V
V
V
F
≥ p‚ ≥ q
V
V
V
V
≥ (p · q) æ≥ p‚ ≥ q
≥ q·(p æ q) æ≥ p
Tabela 2.15: Tabela Verdade da proposição ≥ (p · q) æ≥ p‚ ≥ q.
≥p
Tabela 2.14: Tabela Verdade da proposição ≥ q · (p æ q) æ≥ p.
Definição 2.39 (Contra-Tautologia). Dizemos que uma proposição
composta é uma contra-tautologia quando seus possíveis valores verdade
são sempre falsos, independentemente dos valores verdade das proposições simples que a compõe. Em outras palavras, a última coluna da sua
Tabela Verdade, só tem o valor verdade F.
Exemplo 2.40. As proposições p· ≥ p, ≥ (p ‚ q) · p, ≥ (p · q) ¡ (q · p)
são contra-tautologia. De fato, observe que a última coluna de cada uma
das respectivas Tabelas Verdade, a qual determina seus possíveis valores
verdade, só tem o valor verdade F.
Tabela 2.16: Tabela Verdade da proposição p· ≥ p.
p
≥p
p· ≥ p
V
F
F
F
V
F
Tabela 2.17: Tabela Verdade da proposição ≥ (p ‚ q) · p.
p
q
p‚q
≥ (p ‚ q)
≥ (p ‚ q) · p
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
F
Tabela 2.18: Tabela Verdade da proposição ≥ (p · q) ¡ (q · p).
p
q
p·q
q·p
≥ (p·q)
≥ (p·q) ¡ (q·p)
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
F
V
F
77
2.4 Implicação e Equivalência Tautológica
Definição 2.41. A proposição P implica tautologicamente a proposição
Q, e indicamos por P ∆ Q se, e somente se, a fórmula P æ Q é uma
tautologia.
Exemplo 2.42.
1. Dadas as proposições P : p · (p æ q) e Q : q,
vimos no Exemplo 2.38 que P æ Q é uma tautologia, ou seja,
P ∆ Q. Logo, P implica tautologicamente a proposição Q.
2. No mesmo Exemplo 2.38 temos que ≥ q·(p æ q) æ≥ p é uma tautologia, o que nos leva a concluir que P implica tautologicamente
a proposição Q, sendo P :≥ q · (p æ q) e Q :≥ p.
3. Considere as proposições P : (p ‚ q)· ≥ p e Q : q e verifiquemos se
P ∆ Q. Para isto basta verificar, com o uso da Tabela Verdade,
se P æ Q é uma tautologia. Veja Tabela 2.20.
Definição 2.43. Duas proposições P e Q são tautologicamente equivalentes, e indicamos por P … Q, se, e somente se, a proposição P ¡ Q é
uma tautologia.
Exemplo 2.44.
1. É fácil ver que as implicações p æ q e ≥ q æ≥ p
são equivalentes, ou seja, p æ q … ≥ q æ≥ p. Certamente,
construindo a sua Tabela Verdade vemos que a proposição p æ
q ¡ ≥ q æ≥ p é uma tautologia, como se vê na Tabela 2.21.
2. Verifiquemos que proposição p æ q é equivalente a proposição
≥ p ‚ q. Para isto basta verificar que a proposição p æ q ¡≥ p ‚ q
é uma tautologia. O que de fato acontece como mostra a Tabela
Verdade a seguir.
Tabela 2.19: Tabela Verdade da proposição p æ q ¡≥ p ‚ q.
78
p
q
≥p
pæp
≥ p‚q
p æ q ¡≥ p‚q
V
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
79
q
V
F
V
F
q
V
F
V
F
p
V
V
F
F
p
V
V
F
F
V
V
F
V
pæ
q
F
V
V
V
p‚q
F
V
V
V
p‚q
F
V
F
F
(p ‚ q)· ≥ p
V
V
V
V
(p ‚ q)· ≥ p æ q
V
F
V
F
≥q
V
V
F
F
≥p
V
V
F
V
≥ q æ≥ p
V
V
V
V
p æ q ¡ ≥ q æ≥ p
Tabela 2.21: Tabela Verdade da proposição p æ q ¡ ≥ q æ≥ p.
V
V
F
F
≥p
Tabela 2.20: Tabela Verdade da proposição (p ‚ q)· ≥ p æ q.
Exercícios Propostos
1. Verifique as seguintes implicações tautológicas:
(a) Modus Ponens:
(b) Modus Tollens:
(c) Silogismo Hipotético:
(d) Silogismo Disjuntivo:
(e) Simplificação:
(f) Adição:
(g) Eliminação:
(h) Prova por Casos:
(i) Negação:
(j) Contraposição:
(k) Troca de Premissas:
(l) Idempotente para ·::
(m) Idempotente para ‚:
≥ q · (p æ q) ∆≥ p
(p æ q) · (q æ r) ∆ (p æ r)
(p ‚ q)· ≥ p ∆ q
p·q ∆p
p∆p‚q
(p æ (q ‚ r))· ≥ q ∆ p æ r
(p æ r) · (q æ r) ∆ (p ‚ q) æ r
≥ (≥ p) ∆ p
p æ q ∆≥ q æ≥ p
p æ (q æ r) ∆ q æ (p æ r)
p·p∆p
p‚p∆p
(n) Associativa para ·:
(p · q) · r ∆ p · (q · r)
(p) Lei de De Morgan:
≥ (p · q) ∆≥ p‚ ≥ q
(o) Associativa para ‚:
(q) Lei de De Morgan:
(r) Definição Implicação:
(s) Comutativa para ·:
(t) Comutativa para ‚:
80
p · (p æ q) ∆ q
(p ‚ q) ‚ r ∆ p ‚ (q ‚ r)
≥ (p ‚ q) ∆≥ p· ≥ q
p æ q ∆≥ p ‚ q
p·q ∆q·p
p‚q ∆q‚p
2. Verifique as seguintes equivalências tautológicas:
(a) Comutativa para ·:
p·q …q·p
(c) Associativa para ·:
(p · q) · r … p · (q · r)
(b) Comutativa para ‚:
(d) Associativa para ‚:
(e) Idempotente para ·:
p‚q …q‚p
(p ‚ q) ‚ r … p ‚ (q ‚ r)
p·p…p
(f) Idempotente para ‚:
p‚p…p
(g) Absorção:
p · (p ‚ r) … p
(h) Absorção:
(i) Distributivas para ·:
(j) Distributivas para ‚:
p ‚ (p · r) … p
p · (q ‚ r) … (p · q) ‚ (p · r)
p ‚ (q · r) … (p ‚ q) · (p ‚ r)
(k) Distributivas para æ: p æ (q · r) … (p æ q) · (p æ r)
(l) Distributivas para æ: p æ (q ‚ r) … (p æ q) ‚ (p æ r)
(m) Lei de De Morgan:
(n) Lei de De Morgan:
(o) Definição Implicação:
(p) Definição Implicação:
(q) Definição Bicondicional:
≥ (p · q) …≥ p‚ ≥ q
≥ (p ‚ q) …≥ p· ≥ q
p æ q …≥ p ‚ q
p æ q …≥ (p· ≥ q)
p ¡ q … (p æ q) · (q æ p)
(r) Definição Bicondicional: p ¡ q … (≥ p ‚ q) · (≥ q ‚ p)
(s) Negação:
(t) Contraposição:
(u) Troca de Premissas:
≥ (≥ p) … p
p æ q …≥ q æ≥ p
p æ (q æ r) … q æ (p æ r)
(v) Exportação (∆) e Importação (≈):
(p · q) æ r … p æ (q æ r)
81
3. Enunciados, Demonstrações e Paradoxos
Vemos nos livros de matemática, bem como neste texto, que a linguagem
matemática consiste de um sistema simbólico, com símbolos próprios que
se relacionam entre si ou não. A bem da verdade, se compararmos um
livro, por exemplo, de literatura com um livro de matemática observamos de imediato uma certa estranheza entre esses dois, pois em um livro
de matemática além de haver vários símbolos, estes geralmente carregam um significado de algum conceito ou propriedade. No entanto, o
aprendizado em matemática esta diretamente relacionado com o conhecimento e entendimento da linguagem destes símbolos que lhe é peculiar.
Certamente, não podemos desanimar se porventura encontramos dificuldades no entendimento da linguagem matemática, pois é sabido que tal
aprendizado é gradual e depende do tempo, da experiência e dedicação
de cada um.
Na linguagem matemática constantemente nos deparamos com termos, palavras, que não são muitos comuns no nosso dia a dia, como
por exemplo, definição, axioma, postulado, conjectura, teorema, lema,
proposição e corolário. O entendimento ou não destes termos vez ou outra causam dúvidas ou até mesmo dificuldades na compreensão do que
realmente significa um determinado enunciado em matemática.
3.1 Definições, Teoremas e Demonstrações
Uma Definição em matemática é um enunciado que descreve um conceito, ou seja, o significado de uma palavra ou frase ou objeto de uma
maneira muito específica. Por exemplo:
Definição 3.1. Representamos o conjunto dos números naturais
{0, 1, 2, 3, ...} por IN.
Definição 3.2. Representamos o conjunto dos números inteiros
{..., ≠3, ≠2, ≠1, 0, 1, 2, 3, ...} por ZZ.
Além disso, a palavra ou frase pode ser definida em termos de uma
lista de propriedades necessárias que pode estar subentendida pela redação. Segue alguns exemplos:
Definição 3.3. Um número natural n é dito um número par, se existir
um número natural k tal que n = 2k.
Definição 3.4. Um número natural n é dito um número ímpar, se existir
um número natural k tal que n = 2k + 1.
82
Observe que as definições dos conceitos de número par e número ímpar dadas acima, respectivamente Definição 3.3 e Definição 3.4, possuem
propriedades a serem satisfeitas. Na verdade, de um modo geral a definição de um conceito em matemática tem propriedades que são requisitos
absolutos a serem obedecidos.
É fácil ver que pela Definição 3.3 o número 6 é número par, pois,
existe o número natural 3 tal que 6 = 2 · 3. Também, pela Definição 3.4
o número 11 é número ímpar, pois, existe o número natural 5 tal que
11 = 2 · 5 + 1. Por outro lado, de acordo com as Definição 3.3 e Definição
3.4 o número ≠2 não é número par e nem um número ímpar, pois,
uma propriedade que esta subentendida nas referidas definições é que o
número n deve ser um número natural. Como ≠2 é um número inteiro,
ou seja, ≠2 não é um número natural, então as referidas definições não
se aplicam. Porém, podemos redefinir os conceitos de números pares
e ímpares de maneira a contemplar todos os números inteiros e não
somente os números naturais, vejamos:
Definição 3.5. Um número inteiro n é dito um número par, se existir
um número inteiro k tal que n = 2k.
Definição 3.6. Um número inteiro n é dito um número ímpar, se existir
um número inteiro k tal que n = 2k + 1.
Como podemos verificar, pela Definição 3.6 o número 11 é ainda
número ímpar, pois, existe o número inteiro 5 tal que 11 = 2 · 5 + 1. Não
obstante, pela Definição 3.5 o número 6 ainda é número par, pois, existe
o número inteiro 3 tal que 6 = 2 · 3, bem como ≠2 agora também o é,
pois, existe o número inteiro ≠1 tal que ≠2 = 2 · (≠1).
Neste sentindo, se queremos apresentar um exemplo para um conceito
definido, este deve ter todas as propriedades exigidas pela definição,
e não apenas algumas. Por outro lado, todo objeto matemático que
satisfaz todas as propriedades requeridas pela definição, é um exemplo
do conceito.
Ressaltamos ainda que cada afirmação correta sobre o conceito definido deve decorrer logicamente da sua definição. Em outras palavras,
em matemática, depois de estudar uma definição ou uma classe de objetos, podemos fazer especulações, afirmações, e verificar se as mesmas
são verdadeiras ou não. Porém, há afirmações admitidas sempre como
verdadeiras, sem a necessidade de uma verificação ou mesmo justificativa, as quais chamamos de axioma ou postulado. Em outras palavras,
os axiomas são verdades inquestionáveis universalmente válidas e que
em geral são usados como ponto de partida para a construção de uma
teoria em matemática ou como base para uma argumentação. Observe
nos exemplos a seguir que as duas afirmações são verdades evidentes,
óbvias, mas que ao rigor da palavra não pode ser verificada, pois são
derivadas da intuição ou do conhecimento empírico.
83
Axioma 3.7 (Axioma da Boa-Ordenação). Todo subconjunto não-vazio
dos números naturais contém um menor elemento.
Postulado 3.8 (Postulado da Existência). Numa reta, bem como fora
dela, existem infinitos pontos.
De um modo geral, como intuitivamente podemos perceber e já comentamos, dos axiomas juntamente com as definições dos conceitos em
uma teoria matemática podemos derivar, após raciocínios lógicos, resultados ou afirmações. Em geral uma afirmação pode depender de alguns
fatores (variáveis) fazendo com que ela seja verdadeira em algumas situações e em outras não. Quando as afirmações são verdadeiras, por
meio de uma verificação ou justificativa, as denominamos Teorema ou
Lema ou Proposição ou Corolário. De fato, antes de se tornar um teorema, uma afirmação é colocada como uma Conjectura matemática,
isto é, uma afirmação proposta como verdade, pois muitos matemáticos
acham que deve ser verdadeira, mas que precisa ser verificada para ascender a um status de teorema. Antes de apresentarmos um exemplo de
conjectura, lembremos o que é um número primo.
Definição 3.9. Um número natural p é um número primo quando ele
tem exatamente dois divisores distintos: o número 1 e ele mesmo.
Como exemplo de números primos temos o 2, 3, 5, 7, 11 e assim por
diante. Já os números 4, 6, 8, 10, 12 e 14 são números pares, consequentemente são divisíveis por 2, e portanto de acordo com a Definição 3.9
não são números primos. Porém, observe que:
• 4=2+2
• 10 = 5 + 5
• 8=3+5
• 14 = 7 + 7
• 6=3+3
• 12 = 5 + 7
Vemos claramente, nestes exemplos, que os referidos números pares
são iguais a soma de dois números primos. O leitor curioso pode ir
verificando essa propriedade para cada um dos números pares, um a um,
como já fizeram diversos matemáticos para milhares deles.
Esta simples observação levou à famosa Conjectura de Goldbach,
proposta pelo matemático Christian Goldbach em 7 de junho de 1742,
a saber:
Conjectura 3.10. Todo número par maior que 3 é igual a soma de dois
números primos.
Apesar desta conjectura ser muito simples, para que ela se torne um
Teorema é preciso que alguém encontre uma justificativa que assegure
84
que qualquer um dos infinitos números pares pode ser escrito como soma
de dois primos. Felizmente esta conjectura não é mais uma dor de cabeça
para os matemáticas, pois em 2013, depois de 271 anos que a conjectura
foi proposta, o matemático peruano Harald Helfgott resolveu o referido
problema, considerado um dos problemas matemáticos mais difíceis da
história. Para atender mentes curiosas seguem outros exemplos de conjecturas famosas:
Conjectura 3.11 (Hipótese do Continuum). Não existe nenhum conjunto com mais elementos do que o conjunto dos números inteiros e
menos elementos do que o conjunto dos números reais.
Conjectura 3.12 (Conjectura dos Primos Gêmeos). Existem infinitos
números primos cuja diferença entre eles é 2.
Conjectura 3.13 (Último Teorema de Fermat). Não existe nenhum
conjunto de inteiros positivos x, y, z e n com n maior que 2 que satisfaça
xn + y n = z n .
Conjectura 3.14 (Conjectura de Poincaré). Qualquer variedade tridimensional fechada e com grupo fundamental trivial é homeomorfa a uma
esfera tridimensional.
Não obstante, não existe uma regra específica para denominar uma
afirmação de Teorema, Lema ou Proposição, em geral uma afirmação
que pode ser avaliada exclusivamente como verdadeira ou falsa é denominada:
1. Teorema se a afirmação é de caráter relevante, ou seja, ela possui
uma maior importância dentro do contexto da teoria em questão.
Teorema 3.15. A soma de dois números ímpares é um número
par.
Teorema 3.16. O produto de um número par por um número
ímpar é um número par.
2. Proposição se a afirmação é “menos importante” dentre outras afirmações.
Proposição 3.17. Se n œ ZZ, então 5n2 + 3n + 7 é ímpar.
Proposição 3.18. Se n é ímpar, então 3n + 9 é par.
3. Lema se a afirmação é usada como ferramenta fundamental para
provar uma outra afirmação. Em outras palavras, um lema é uma
afirmação que serve de base para provar um teorema ou uma proposição. Geralmente um lema se apresenta imediatamente antes
85
de um teorema ou proposição para o qual ele é indispensável. No
entanto, isso não quer dizer que ele não poderá ser usado em outras
situações.
Lema 3.19. A soma de um número par com um número ímpar é
um número ímpar.
Proposição 3.20. Se n œ ZZ, então 5n2 + 3n + 7 é ímpar.
Proposição 3.21. Se n é ímpar, então 3n + 9 é par.
4. Corolário se a afirmação é obtida como consequência direta e/ou
imediata de um teorema ou proposição. Geralmente um corolário
se apresenta imediatamente depois de um teorema ou proposição.
Teorema 3.22. A soma de dois números pares é um número par.
Corolário 3.23. A diferença de dois números pares é um número
par.
Teorema 3.24. O produto de dois números pares é um número
par.
Corolário 3.25. Se n œ é par, então n2 é par.
Teorema 3.26. O produto de um número ímpar por um número
ímpar é um número ímpar.
Corolário 3.27. Se n œ é ímpar, então n2 é ímpar.
De um modo geral, todo Teorema, Proposição, Lema e Corolário é
composto de um enunciado que se divide em duas partes, Hipótese e
Tese, e de uma Demonstração. A Hipótese é o conjunto de condições
(premissas) que admitimos como verdadeiras e a Tese (conclusão) é o
que queremos concluir como verdadeiro e a Demonstração (prova) é o
raciocínio que usamos para verificar a Tese.
Basicamente o enunciado de um Teorema, Proposição, Lema e Corolário é uma implicação tautológica (Hipótese ∆ Tese) ou uma equivalência tautológica (Hipótese … Tese), ou seja, os enunciados são da forma:
1. Se Hipótese é verdade, então Tese é verdade.
Lema 3.28. Sejam x, y œ ZZ. Se x · y = 0, então x = 0 ou y = 0.
2. Hipótese é verdade se, e somente se, Tese é verdade.
Teorema 3.29. x œ ZZ é par se, e somente se, o algarismo das
unidades de x é par.
86
Ressaltamos que nem sempre o enunciado de uma afirmação se apresenta
com a Hipótese e a Tese separadas como apresentamos nos exemplos
anteriores. Por exemplo, no Teorema 3.16 temos:
Hipótese: um número par x e um número ímpar y.
Tese: o produto x · y é um número par.
Portanto, fica evidente que é extremamente importante identificar em
um enunciado a ser verificado a Hipótese e a Tese.
A Demonstração de um Teorema, Lema, Proposição ou Corolário
começa com a Hipótese aceita como verdadeira e, através de um raciocínio lógico baseado nos axiomas, definições e/ou outras afirmações
reconhecidamente verdadeiras, chega à Tese. Além disso, uma vez apresentada e aceita a Demonstração de uma afirmação, esta não mais pode
ser questionada, a menos que exista algum descrédito sobre algumas das
argumentações usadas.
O início de uma demonstração é marcado com a palavra Demonstração. Porém, há autores que marcam este início com a palavra Prova.
Agora para marcar o fim de uma demonstração, geralmente, os autores
usam o símbolo imediatamente após terminar a demonstração.
Antes de iniciar uma demonstração é essencial identificar quem é a
hipótese e quem é a tese, pois assim, sabemos de onde devemos partir
e onde desejamos chegar, nos orientando no “como” chegar, que é a
demonstração em si. Vejamos:
Teorema 3.30. A soma de dois números ímpares é um número par.
Hipótese: Dois números ímpares, digamos, n e m.
Tese: A soma desses dois números ímpares é um número par, ou seja,
m + n é par.
Demonstração: Sejam n e m dois números ímpares. Assim, pela Definição 3.6, existem números inteiros k1 e k2 tais que
n = 2k1 + 1
e
m = 2k2 + 1.
Dessa forma, temos que a soma dos dois números ímpares n e m é dada
por:
n + m = (2k1 + 1) + (2k2 + 1) = 2k1 + 2k2 + 2 = 2(k1 + k2 + 1).
Como k1 , k2 e 1 são números inteiros, então k1 + k2 + 1 é também um
número inteiro. Assim, se escrevemos
k = k1 + k2 + 1
87
podemos afirmar que k œ ZZ e que
n + m = 2k.
Portanto, concluímos pela Definição 3.5 que n + m é, de fato, um
número par, o que conclui a demonstração do teorema.
No Teorema 3.31 a seguir temos como hipótese dois números pares
e devemos concluir que o produto destes dois números é também um
número par.
Teorema 3.31. O produto de dois números pares é um número par.
Demonstração: Sejam x e y dois números pares. Assim, pela Definição
3.5, existem números inteiros k1 e k2 tais que
x = 2k1
e
y = 2k2 .
Dessa forma, temos que o produto dos dois números pares x e y é dado
por:
xy = (2k1 )(2k2 ) = 2(2k1 k2 ).
Como k1 , k2 e 2 são números inteiros, então 2k1 k2 é também um número
inteiro. Assim, se escrevemos
k = 2k1 k2
podemos afirmar que k œ ZZ e que
xy = 2k.
Portanto, concluímos pela Definição 3.5 que xy é, de fato, um número
par, o que conclui a demonstração do teorema.
Corolário 3.32. Se n œ é par, então n2 é par.
Demonstração: Se n é um número par temos, pelo Teorema 3.31, que
o produto de n por n é também um número par, ou seja, nn = n2 é um
número par, como queríamos demonstrar.
Teorema 3.33. O produto de um número ímpar por um número ímpar
é um número ímpar.
88
Demonstração: Suponha que x e y são ímpares, ou seja, pela Definição
3.6, existem números inteiros k1 e k2 tais que
x = 2k1 + 1
e
y = 2k2 + 1.
Logo temos:
xy = (2k1 + 1)(2k2 + 1) = 4k1 k2 + 2k1 + 2k2 + 1 = 2(2k1 k2 + k1 + k2 ) + 1.
Então xy = 2k + 1, onde k é o inteiro 2k1 k2 + k1 + k2 . Portanto, pela
Definição 3.6, xy é ímpar.
Corolário 3.34. Se n œ é ímpar, então n2 é ímpar.
Demonstração: Se n é um número ímpar temos, pelo Teorema 3.33,
que o produto de n por n é também um número ímpar, ou seja, n2 é
ímpar.
3.2 Tipos de Demonstrações
Quando nos propomos a fazer uma demonstração, devemos procurar escrever de forma concisa, usando uma linguagem natural com sentenças
completas, bem como, identificar cada objeto usado, com sua definição
e possíveis propriedades. Ressaltamos ainda, que é de extrema importância identificar o tipo da demonstração, por exemplo, Demonstração
Direta, Demonstração por Casos, Demonstração por Contradição e Demonstração Contra-positiva.
Uma demonstração é dita ser direta quando assumimos a hipótese
como verdadeira e, a partir dela, verificamos que a tese é verdadeira
por meio de uma sequência de passos, cada um seguindo dos anteriores,
através da combinação lógica dos axiomas, definições, simplificações ou
outras afirmações verdadeiras já existentes. Fazendo um paralelo com
as noções de lógica matemática, sendo P a hipótese e Q a tese, cada
passo advém de uma implicação “Se P , então Q” (P ∆ Q) ou de uma
dupla implicação “P se, e somente se, Q” (P … Q). Lembrando que
para demonstrar uma dupla implicação P … Q é necessário demonstrar
que P ∆ Q e Q ∆ P . Segue alguns exemplos de demonstração
direta, além daquelas já apresentadas anteriormente. Iniciamos por
demonstrar o Teorema 3.16, o qual vemos claramente que não esta
escrito explicitamente na forma “Se P , então Q”, mas é possível
reescreve-lo sem perder o seu sentido, vejamos:
Teorema 3.35. Se x é um número par e y é um número ímpar, então
xy é um número par.
89
Demonstração: Se x é par e y é ímpar, então, existem números inteiros
k1 e k2 tais que
x = 2k1
e
y = 2k2 + 1.
Logo temos:
xy = 2k1 (2k2 + 1) = 4k1 k2 + 2k1 = 2(2k1 k2 + k1 ).
Então xy = 2k, onde k é o inteiro 2k1 k2 + k1 . Portanto, xy é par.
Proposição 3.36. Um inteiro x é par se, e somente se, x + 1 é ímpar.
Demonstração: Se um inteiro x é par, então x + 1 é ímpar, e se x +
1 é impar, então x é par.
(∆) Se um inteiro x é par, então x+1 é ímpar. De fato, se x é par, então
x = 2k para algum k œ ZZ e, consequentemente, x + 1 = 2k + 1,
isto é, x + 1 é ímpar.
(≈) Se x + 1 é impar, então x é par. De fato, se x é ímpar, então x =
2k +1 para algum k œ ZZ e, consequentemente, x = 2k +1≠1 = 2k,
isto é, x é par.
Portanto, concluímos a demonstração da proposição.
Em algumas situações a demonstração de uma afirmação pode exigir
que a mesma seja dividida em casos. Quando isto acontece temos o
que chamamos de demonstração por casos. Numa demonstração por
casos deve-se dividir o que se deseja demonstrar em um número finito de
casos, de forma a cobrir todas as possibilidades, e demonstrar a afirmação
para cada caso. No entanto, não se pode confundir a demonstração por
casos com o fornecimento de um exemplo, pois, um exemplo não é uma
demonstração. Na verdade, não existe um limite para o número de casos
que se pode ter, ou seja, pode haver dois casos, três casos ou até mesmo
milhares de casos. Por exemplo, a primeira demonstração do Teorema
das Quatro Cores tinha 1.936 casos.
A demonstração da proposição a seguir exige ser dividida em dois
casos, a saber, o caso em que n é par e o caso em que o n ímpar. Vejamos:
Proposição 3.37. Se n œ ZZ, então 5n2 + 3n + 7 é ímpar.
Demonstração: Se n œ ZZ, então n é um número par ou n é um número
ímpar. Logo, devemos considerar os dois casos possíveis.
a) Se n é par, pelo Corolário 3.32, n2 é par. Consequentemente, pelo
Teorema 3.35, 5n2 e 3n são pares. Além disso, pelo Teorema 3.22,
5n2 + 3n é par. Então, 5n2 + 3n + 7 é a soma de dois pares e um
ímpar, que é ímpar.
90
b) Se n é par, pelo Corolário 3.32, n2 é par. Consequentemente, pelo
Teorema 3.35, 5n2 e 3n são pares. Além disso, pelo Teorema 3.22,
5n2 + 3n é par. Então, 5n2 + 3n + 7 é a soma de dois pares e um
ímpar, que é ímpar.
Portanto, independentemente se n é par ou ímpar, 5n2 +3n+7 é ímpar.
Uma outra forma de demonstrar uma afirmação é usando a demonstração contra-positiva, a qual consiste em assumir o contrário do que se
quer provar, ou seja, negar a tese e obter a negação da hipótese. De
outra forma, demonstrar que P ∆ Q é equivalente a demonstrar que
≥ Q ∆ ≥ P . Vejamos um exemplo:
Teorema 3.38. Seja n œ ZZ. Se n2 é par, então n é par.
Demonstração: Se n não for par, então, n será ímpar e consequentemente pelo Corolário 3.34 teremos que n2 é ímpar, o que contradiz
a hipótese do teorema de que n2 é par. Portanto, concluímos que n,
obrigatoriamente, deve ser par.
A demonstração por contradição é similiar à demonstração contrapositiva, porém tem uma singela diferença. Na demonstração por contradição assume-se como verdade a negação da tese e, em vez de obter a
negação da hipótese, obtém-se a negação de algo que já se sabe ser verdadeiro ou um absurdo, por exemplo pode se obter que 0 = 1. Observe
o exemplo a seguir:
Proposição 3.39. Sejam x, y, z e w números inteiros satisfazendo a
seguinte propriedade:
1
1 1
1
+ + + = 1.
x y z
w
Mostre que pelo menos um deles é par.
Demonstração: Por contradição, suponha que todos os números x, y,
z e w não são pares, ou seja, suponha que x, y, z e w são todos ímpares.
Observe que:
1
1 1
1
+ + +
x y z
w
= 1
yzw + xzw + xyw + xyz
xyzw
= 1
yzw + xzw + xyw + xyz
= xyzw.
91
Sendo x, y, z e w números ímpares temos, pelo Teorema 3.33, que
yz, xz, xy, zw e xyzw são números ímpares. Consequentemente, pelo
Teorema 3.35, vem que yzw, xzw, xyw e xyz são números pares. Já
o Teorema 3.22 nos garante que a soma yzw + xzw + xyw + xyz
é um numero par.
Ora, então temos um absurdo, pois, sendo
yzw + xzw + xyw + xyz = xyzw concluimos que um número par é
igual a um número ímpar. Note que este absurdo foi obtido a partir
do momento que assumimos que todos os números x, y, z e w não são
pares. Portanto, pelo menos um desses números deve ser par, e assim
terminamos a nossa demonstração.
Vale ressaltar que geralmente quando se inicia a prática da demonstração alguns erros são comuns, a saber: Demonstrar por meio de exemplos é um erro, pois, um exemplo não representa a totalidade dos casos,
é apenas um exemplo em que a afirmação é verificada.
É necessário evitar o erro de usar a mesma notação, a mesma letra
para representar objetos diferentes em uma mesma demonstração, para
evitar confusões e interpretações errôneas.
Uma demonstração é construída passo a passo, onde cada passo deve
ser justificado correto e o passo seguinte precisa seguir logicamente os
passos que o precedem. Caso contrário, erros podem surgir como consequência do uso de um passo que não segue logicamente aqueles que o
precedem. Portanto, é um erro afirmar uma verdade, ou dar um passo,
durante uma demonstração sem uma justificativa plausível.
Jamais pode-se cometer o erro de usar a afirmação que se quer demonstrar na própria demonstração, ou seja, usar o que se quer demonstrar como uma verdade na própria demonstração da sua verdade. Além
dos erros apresentados, é necessário que se preste bastante atenção nas
simplificações e cálculos aritméticos, verificando cuidadosamente cada
um deles, uma vez que estes são os maiores causadores de erros, independentemente da experiência que se tenha.
92
Exercícios Propostos
1. Classifique as demonstrações a seguir como: Demonstração
Direta, Demonstração por Casos, Demonstração por Contradição e Demonstração Contra-positiva.
a) Se n é um inteiro, então n2 Ø n.
Demonstração: Se n = 0, então 02 = 0 e, consequentemente, n2 Ø 0 é verdadeiro. Agora se n Ø 1,
multiplicando os dois lados da inequação pelo inteiro
positivo n, obtemos n · n Ø 1 · n. Logo n2 Ø n. Por fim,
se n Æ 1, então n2 Ø 0 e, claramente, n2 Ø n. Portanto,
concluímos a demonstração
b) Se 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar.
Demonstração: Vamos assumir que n é par. Então,
por definição, n = 2k para algum inteiro k, e consequentemente,
3n + 2 = 3(2k) + 2 = 6k + 2 = 2(3k + 1).
Portanto, por definição, concluímos que 3n + 2 é par.
Mas isto nega a hipótese de que 3n+2 é ímpar, portanto,
n é ímpar.
2. Demonstre de forma direta que: Se x é um número par e y
é um número ímpar, então x + y é um número ímpar.
3. [Direto 2014] Demonstre que se n é um número inteiro e
3n + 2 é par, então n é par, usando uma demonstração por
contra-positiva.
93
Exercícios Propostos
4. Classifique as demonstrações a seguir como: Demonstração
Direta, Demonstração por Casos, Demonstração por Contradição e Demonstração Contra-positiva.
(a) Prove que 2011 não é a soma de dois quadrados.
Demonstração: Se n é um número inteiro, então n =
2k ou n = 2k + 1 para algum k œ ZZ. Assim,
n2 = 4k 2
ou n2 = 4(k 2 + k) + 1.
Logo, o quadrado de qualquer inteiro quando dividido
por 4 deixa resto 0 ou 1. Consequentemente, a soma
de dois quadrados quando dividido por 4 deixa resto
0, 1 ou 2.
Portanto, se 2011 = x2 + y 2 com x, y œ ZZ, então o
resto da divisão de 2011 por 4 seria 0, 1 ou 2. Porém,
2011 = 4 · 502 + 3, ou seja, na divisão por 4 o número
2011 deixa resto 3, o que é um absurdo.
(b) Se n e m são números pares, então n + m é um número
par.
Demonstração: Se n e m são pares, então, existem
números inteiros k1 e k2 tais que n = 2k1 e m = 2k2 .
Portanto, n + m = 2k1 + 2k2 = 2(k1 + k2 ). Consequentemente, n + m é par.
5. Demonstre por contradição que: Se o produto de 34 números
inteiros é igual a 1, prove que a soma desses números não
pode ser nula.
6. [Matemáticos 2010] Demonstre por contra-positiva:
a) Suponha que x œ ZZ. Se 7x + 9 é par, então x é ímpar.
b) Se x2 ≠ 6x + 5 é par, então x é ímpar.
94
Exercícios Propostos
7. [Direto 2014] Demonstre que se n é um número inteiro positivo, então n é par se, e somente se, 7n + 4 for par.
8. [Direto 2014] Demonstre que se n é um número inteiro positivo, então n é ímpar se, e somente se, 5n + 6 for ímpar.
9. [Direto 2014] Mostre que se n é um número inteiro e n3 +5 é
ímpar, então n é par, usando uma demonstração por contrapositiva.
10. [Direto 2014] Seja n um número inteiro.
forma direta que:
Demonstre de
a) se n + 1 é ímpar, então 3n + 1 é ímpar.
b) se 3n + 1 é ímpar, então 3n é par.
11. [Direto 2014] Seja x um número inteiro. Demonstre que:
a) se 3x + 2 é par, então x + 5 é ímpar.
b) se x + 5 é ímpar, então 3x + 2 é par.
Que forma de demonstração você utilizou?
12. [Direto 2014] Demonstre que se m e n são números inteiros
e mn é par, então m é par ou n é par. Que forma de
demonstração você utilizou?
13. Demonstre que: Se xy é ímpar, então x e y são ímpares.
Que forma de demonstração você utilizou?
14. [Direto 2014] Demonstre que se m + n e n + p são números
inteiros pares, em que m, n e p são números inteiros, então
m + p é par. Que forma de demonstração você utilizou?
95
3.3 Paradoxos, Sofismas e Falácias
Ao ler uma demonstração devemos procurar entende-la por completo, e
para isto devemos “quebra-la” em pedaços. Em outras palavras, devemos
identificar onde e como as hipóteses foram usadas, e procurar entender
cada passo nela utilizado, ou seja, se o passo dado vem de uma definição
ou de uma simplificação ou de outros resultados utilizados. Isto é importante, pois, uma sequência de passos, em uma demonstração, aparentemente lógica de afirmações aparentemente verdadeiras pode geram uma
conclusão absurda. Consequentemente, nestes casos, como uma afirmação verdadeira não pode implicar uma afirmação falsa, obviamente, deve
haver algum passo falso no decorrer da demonstração.
Essas falhas na argumentação de uma demonstração são frequentemente chamadas de falácias e, em geral, é possível detectá-las. Porém,
quando uma falácia é construída com a intenção de enganar olhos menos
atentos, esta é chamada de sofisma. Em outras palavras, um sofisma
é uma argumentação, sequência de passos, falsa que se apresenta com
uma aparência de verdadeira, com a intenção de dissimular uma ilusão
de verdade apresentando, aparentemente, uma coerência com as regras
lógicas. No contexto da matemática, quando se quer construir uma demonstração que na verdade é um sofisma, em geral, se usa a divisão por
zero ou indevidamente a raiz quadrada.
Exemplo 3.40. Mostre que 2 + 2 = 3.
Demonstração: Primeiramente observe que
Donde vem:
Ou melhor,
(2 + 2 ≠ 3)(2 ≠ 2) = 0.
(2 + 2)(2 ≠ 2) ≠ 3(2 ≠ 2) = 0.
(2 + 2)(2 ≠ 2) = 3(2 ≠ 2).
Por fim, cancelando o termo (2 ≠ 2) concluímos a demonstração, ou
seja, 2 + 2 = 3.
Obviamente essa demonstração possui um erro, pois todos nós sabemos que 2 + 2 ”= 3. Então, onde está o erro? Apesar do uso correto
das regras da aritmética nesta demonstração, o erro aparece exatamente
no momento do cancelamento do termo (2 ≠ 2). Isto porque, cancelar
um termo que esta multiplicando outros termos significa dividir por este
mesmo termo, ou seja, cancelar o termo (2 ≠ 2) na igualdade acima significa dividir os dois lados da igualdade por (2 ≠ 2), mas 2 ≠ 2 = 0 e
não se pode dividir por 0.
96
Exemplo 3.41. Mostre que 2 + 2 = 5.
Demonstração: É fácil ver que a seguinte igualdade é verdadeira:
16 ≠ 36 = 25 ≠ 45.
Somando
81
dos dois lados da igualdade anterior vem que:
4
16 ≠ 36 +
81
81
= 25 ≠ 45 + .
4
4
Agora fatorando as expressões na igualdade, usando o Trinômio do Quadrado Perfeito, obtemos:
3
3 442 3
3 442
9
9
4≠
= 5≠
.
2
2
Extraindo a raiz quadrada dos dois lados temos:
3 4
3 4
9
9
4≠
=5≠
.
2
2
9
Na sequência, somando o termo dos dois lados da igualdade concluí2
mos que 4 = 5. Como 4 = 2 + 2 finalizamos a demonstração provando
que 2 + 2 = 54.
Novamente esta demonstração
é um sofisma, um absurdo. Então,
Ô
onde está o erro? Sabe-se que x2 = |x|. Portanto, foi naquele momento
em que se extraiu a raiz quadrada dos dois lados que houve o erro, pois,
Û3
3 442 3 49
9 -4≠
= --4 ≠
= |4 ≠ 4, 5| = | ≠ 0, 5| = 0, 5.
2
2 Û3
3 442 3 49
9 -5≠
= -5 ≠
= |5 ≠ 4, 5| = |0, 5| = 0, 5.
2
2 -
97
Sendo assim, o correto é:
Û3
3 442
9
4≠
2
3 4-4 ≠ 9 2 -
=
Û3
3 442
9
5≠
2
3 49 -= -5 ≠
2 -
| ≠ 0, 5| = |0, 5|
0, 5
=
0, 5.
Como já ressaltamos um sofisma é um raciocínio logicamente inválido,
ou seja, uma sequência de passos numa demonstração que não conduz
à verdade, mesmo que as hipóteses nas quais se apoia sejam todas verdadeiras. Porém, como vimos antes, é possível em uma demonstração
detectar e contornar uma sofisma.
Diferentemente de um sofisma, um paradoxo é um raciocínio onde
se parte de enunciados não contraditórios, e se chega a conclusões contraditórias. Na verdade, um paradoxo demonstra tanto a verdade como
a falsidade de uma afirmação, ou seja, em um paradoxo não é possível
determinar se a afirmação é falsa ou verdadeira. Em termos simples, um
paradoxo é o oposto do que alguém pensa ser a verdade.
Em um paradoxo, quando assumimos que certa afirmação é verdadeira, concluímos que ela é falsa. Por outro lado, quando assumimos
que ela é falsa, concluímos que ela é verdadeira. Por exemplo, temos o
famoso Paradoxo do Mentiroso, a saber:
Exemplo 3.42 (Paradoxo do Mentiroso). Um homem diz que esta mentindo. Ele diz a verdade ou mente?
Se a afirmação eu estou mentindo é verdadeira, então eu estou dizendo
a verdade, ou seja, não estou mentindo, consequentemente a afirmação é
falsa. Por outro lado, se a afirmação é falsa, então eu estou mentindo, ou
seja, a afirmação é verdadeira. Portanto, se a afirmação for verdadeira,
ela é falsa, e se for falsa, é verdadeira. Ou seja, ou a afirmação é ao
mesmo tempo verdadeira e falsa, ou nem uma coisa nem outra.
Exemplo 3.43 (Frasco com auto-fluxo de Robert Boyle). A Figura 3.1
apresenta o paradoxo chamado Frasco com auto-fluxo de Robert Boyle.
98
Observe, que o frasco, tal como apresentado na Figura 3.1, preenche a
si próprio. Porém tal efeito não se produz na realidade.
Figura 3.1: Frasco com auto-fluxo de Robert Boyle
Um outro paradoxo famoso é o Paradoxo de Russell. Este paradoxo
foi descoberto por Bertrand Russell em 1901 e prova que a teoria de
conjuntos de Cantor é contraditória.
Exemplo 3.44 (Paradoxo de Russell). Considere-se o conjunto M como
sendo o conjunto de todos os conjuntos que não contêm a si próprios
como membros. Formalmente: A é elemento de M se, e somente se, A
não é elemento de A. Será que M contém a si mesmo?
Se sim, M não é membro de M de acordo com a definição. Por outro
lado, supondo que M não contém a si mesmo, M tem de ser membro de
M , de acordo com a definição de M . Assim, as afirmações “M é membro
de M ” e “M não é membro de M ” conduzem ambas a contradições.
Exemplo 3.45 (Paradoxo do Barbeiro). Há em Sevilha um barbeiro
que somente faz a barba de todas as pessoas de Sevilha que não fazem
a própria barba. Sendo assim, o barbeiro faz ou não faz a sua própria
barba?
Observe que se o barbeiro não fizer a própria barba, ele deve fazer a
própria barba. Mas se ele faz a própria barba, ele não pode fazer a própria barba. Assim, se ele faz a própria barba, ele não faz a própria barba.
Exemplo 3.46 (Paradoxo de Dom Quixote e Sancho Pança). Sancho
Pança, o fiel escudeiro de Dom Quixote, torna-se governador de uma ilha
com uma lei muito curiosa. O guardião da ilha deveria perguntar a cada
visitante o motivo da visita. Se o visitante responder a verdade, tudo
certo. Mas caso mentisse, o visitante seria enforcado. O problema é que
num belo dia apareceu um visitante que respondeu que visitava a ilha
para ser enforcado! E agora? O visitante deveria ou não ser enforcado?
99
Se não o enforcassem, ele teria mentido: portanto deveria ser enforcado. Mas se o enforcassem ele teria falado a verdade e não deveria ser
enforcado. Na história de Cervantes, o governador é bonzinho e liberta
o visitante.
Exemplo 3.47 (Paradoxo do Pinóquio). O boneco Pinóquio crescia o
nariz sempre que o mesmo contava uma mentira. Imagine o Pinóquio
dizendo a frase: Meu nariz vai crescer agora.
Temos duas possibilidades: A primeira o nariz de Pinóquio não cresce.
Então ele disse uma mentira, portanto, o nariz deve crescer. A segunda o
nariz de Pinóquio cresce. Então ele disse uma verdade, portanto, o nariz
dele não tinha motivo para ter crescido. Em ambos os casos, seria gerada
uma contradição, pois, se o nariz cresce, ele não deveria ter crescido e,
se não cresce, deveria ter crescido.
Exemplo 3.48 (Paradoxo do Relógio). Podemos concordar que o melhor de dois relógios é aquele que mais vezes indica a hora certa? Sim?
Suponhamos, então, que nos é dada a escolha entre dois relógios, um dos
quais atrasa um minuto por dia, enquanto o outro não funciona. Qual
dos dois devemos aceitar?
Certamente a tendência é escolher aquele que atrasa um minuto por
dia. Mas, na verdade o certo é escolher aquele que não trabalha. Por
que, o relógio que atrasa um minuto por dia, e marca a hora certa terá
de atrasar doze horas ou 720 minutos antes de marcar novamente a
hora certa. E, se ele atrasa apenas um minuto por dia, levará 720 dias
para atrasar 720 minutos. Em outras palavras, marcará a hora certa
aproximadamente uma vez a cada dois anos. Por outro lado, o relógio
que está parado marca a hora certa duas vezes por dia.
Exemplo 3.49 (Paradoxo de Zênon). Zênon afirmava que, para ir de
um ponto a outro, primeiro você tem de percorrer metade do caminho.
Para percorrer a outra metade do caminho, primeiro você deve percorrer
metade da distância restante, ou seja, mais um quarto do caminho. Para
percorrer o resto do caminho, você deve percorrer metade da distância
restante, ou seja mais um oitavo do caminho. E assim por diante, dividindo os caminhos restantes até o infinito. A pergunta é: Você chegará
ao seu destino?
Observe que por mais que você esteja perto do segundo ponto, você
ainda tem que vencer metade da distância que falta e você ficará nessa
situação, sempre. Portanto, o movimento é impossível, já que nunca se
pode chegar onde se está indo, mesmo que seja um palmo adiante.
100
Exercícios Propostos
1. [Matemática 2013] Na demonstração de que 2 + 2 = 6 a
seguir, encontre qual e onde está o erro.
≠24
16 ≠ 40
4·4≠2·4·5
= ≠24
= 36 ≠ 60
=
4·4≠2·4·5+5·5
=
4≠5
=
4
=
2+2
=
2
(4 ≠ 5)
6·6≠2·6·5
6·6≠2·6·5+5·5
= (6 ≠ 5)2
6≠5
6
6
2. [Matemática 2013] Na demonstração de que 2 + 1 = 4 a
seguir, encontre qual e onde está o erro.
0
=
0
3≠3
=
4≠4
3
=
4
2+1
=
4
3(1 ≠ 1) = 4(1 ≠ 1)
3. [Matemática 2013] Na demonstração de que 1 + 1 = 1 a
seguir, encontre qual e onde está o erro. Sendo a = b = 1
vem que:
a = b ∆ a · a = b · a ∆ a2 = a · b ∆ a2 ≠ b2 = a · b ≠ b2 ∆
(a + b)(a ≠ b) = b(a ≠ b) ∆ a + b = b ∆ 1 + 1 = 1.
101
Exercícios Propostos
4. Um crocodilo rouba uma criança. Quando a mãe reclama,
o crocodilo faz a seguinte proposta: devolverei a sua criança
se você adivinhar corretamente se eu a devolverei ou não.
A mãe responde: Você não vai devolver a minha criança. O
que o crocodilo deve fazer?
5. Se Deus é onipotente, ou seja, pode fazer tudo, pergunta-se:
Ele pode criar uma pedra que ele não possa erguer?
6. Quais das seguintes são paradoxos?
(a) É proibido proibir.
(b) Amanhã será segunda-feira.
(c) Tens uma missão: essa missão é não aceitar a missão.
Aceitas?
(d) Não leias esta frase!
(e) O cavalo branco de Napoleão é preto.
(f) Toda a regra tem uma excepção.
(g) Você é motorista de um ônibus. Passa no primeiro
ponto e pega 36 passageiros, passa no próximo ponto
pega mais 50 e deixa 31 pessoas na primeira parada e
sobem mais 10 pessoas. qual a idade do motorista?
(h) Um queijo suíço tem buracos. Quanto mais queijo,
mais buracos e quantos mais buracos, menos queijo.
(i) Tudo o que é bom e barato, é raro, mas, tudo o que é
raro tende a ser caro.
7. Uma mulher entrou em uma joalheria, escolheu um anel no
valor de mil reais, pagou e saiu. Voltou na mesma loja no
dia seguinte e perguntou se podia trocar o anel por outro.
O joalheiro disse que sim. Ela escolheu um que valia dois
mil reais, agradeceu ao joalheiro amavelmente e preparou-se
para sair. O joalheiro, naturalmente, exigiu mais mil reais.
Indignada, a jovem falou que já tinha pago. Porque?
102
4. Indução Matemática e Princípio da Casa dos Pombos
Na sequência são apresentadas ferramentas, princípios, que, apesar de
simples, são extremamente eficientes na resolução de problemas e na
demonstração de propriedades relativas aos números naturais. A saber,
Indução Matemática e Princípio da Casa dos Pombos.
O Princípio da Casa dos Pombos embora seja uma observação trivial,
e a primeira vista parecer de pouca aplicabilidade, pode ser usado para
demonstrar resultados extremamente inesperados. Por exemplo: Em
uma grande cidade com mais de 1 milhão de habitantes existem pessoas
com o mesmo número de fios de cabelo?
Já a Indução Matemática é uma poderosa ferramenta para demonstrar que uma sequência de proposições relativas aos números naturais,
denotadas por P (1), P (2), . . . , P (n), é verdadeira sem a necessidade de
realizar a demonstração para cada uma delas. De forma bem humorística, o matemático e filósofo inglês Bertrand Russel chamou a Indução
Matemática de Indução Galinácea, mais ou menos, através da seguinte
historinha:
Havia uma galinha nova no quintal de uma velha senhora. Diariamente, ao entardecer, a boa senhora levava milho às galinhas.
No primeiro dia, a galinha, desconfiada, esperou que a senhora se
retirasse para se alimentar. No segundo dia, a galinha, prudentemente, foi se alimentando enquanto a senhora se retirava. No
nonagésimo dia, a galinha, cheia de intimidade, já não fazia caso
da velha senhora. No centésimo dia, ao se aproximar a senhora,
a galinha, por indução, foi ao encontro dela para reclamar o seu
milho. Qual não foi a sua surpresa quando a senhora pegou-a
pelo pescoço com a intenção de pô-la na panela. ([Hefez 2009],
2009, p. 8)
4.1 Princípio da Boa Ordenação
O conjunto dos números naturais é representado por IN e é composto
por 1, 2, 3, 4, 5, . . ., ou seja, IN = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}. Note que, apesar
de muitos livros fazê-lo ou até mesmo em outras circunstâncias deste
texto, neste momento não estamos incluindo o número 0 no conjunto
dos números naturais, isto porque há uma discussão sobre considerar o
0 como um número natural ou não. Na verdade incluir ou não o número
103
0 no conjunto IN é uma questão de preferência pessoal ou, dependendo
do caso, de convivência, se precisa dele ou não.
Quando falamos de números naturais, temos necessariamente de falar
dos Axiomas de Peano os quais caracterizam o conjunto dos números
naturais, a saber:
A1: O número 1 é um número natural, ou seja, 1 œ IN.
A2: Se n œ IN, então n + 1 œ IN.
A3: Não existe n œ IN tal que n + 1 = 1.
A4: Se n, m œ IN e n + 1 = m + 1, então n = m.
A5: Seja A µ IN. Se 1 œ A e, para todo n œ A, tem-se n + 1 œ A, então
A = IN.
Como é fácil deduzir, o axioma A1 nos diz que o conjunto IN não é
vazio. Já o axioma A2 nos diz que todo número natural dado tem um
sucessor, que é o número que vem depois do número dado. O axioma
A3 nos diz que o número 1 não é sucessor de nenhum número, ou seja,
não existe nenhum número que seja antecessor de 1, em outras palavras,
não existe nenhum número que vem antes de 1. Equivalentemente, o
axioma A4 nos diz que números naturais diferentes possuem sucessores
diferentes. Por fim, o axioma A5 nos diz que se um subconjunto dos
números naturais contém o número 1 e, além disso, contém o sucessor
de cada um de seus elementos, então este conjunto contém todos os
números naturais.
Denotamos por ZZ o conjunto dos números inteiros que é a união do
conjunto dos números naturais, com o conjunto dos números negativos e
o zero, ou seja, ZZ = {. . . , ≠3, ≠2, ≠1, 0, 1, 2, 3, . . .}. Além disso, denotamos por ZZ+ o conjunto dos números inteiros não negativos, e ZZ≠ o
conjunto dos números inteiros não positivos, isto é, ZZ+ = {0, 1, 2, 3, . . .}
e ZZ≠ = {. . . , ≠3, ≠2, ≠1, 0}.
Estamos admitindo que o leitor possui uma certa intimidade com
as operações de soma e produto sobre os números naturais e inteiros,
bem como, com suas principais propriedades. Além disso, assumiremos
também uma familiaridade com os significados e propriedades de >, <,
Ø e Æ.
Antes de enunciarmos uma das propriedades fundamentais dos números naturais, que é o fato de que todo conjunto não vazio de números
naturais possui um menor elemento, vamos ver a seguinte definição.
Definição 4.1. Dado o subconjunto A µ IN, dizemos que o número
natural m é o menor elemento de A se m œ A e m Æ x, para todo x œ A.
Por exemplo, pelo axioma A3, 1 é o menor elemento de IN.
104
Teorema 4.2 (Princípio da Boa Ordenação). Todo subconjunto não
vazio A µ IN possui um menor elemento.
Demonstração: Temos dois casos a considerar: 1 œ A ou 1 œ
/ A. Se
1 œ A, então o teorema já esta demonstrado pois 1 é o menor elemento
de IN, e consequentemente, o menor elemento de A. Por outro lado,
suponhamos que 1 œ
/ A, e consideremos o seguinte conjunto
In = {p œ IN | 1 Æ p Æ n}.
Seja também o conjunto X µ IN tal que
X = {n œ IN | In µ IN ≠ A}.
Desse modo, X é o conjunto dos números naturais n tais que todos
os elementos de A são maiores do que n. Em outras palavras, dizer
que n œ X significa afirmar que n œ
/ A, assim como, todos os números
naturais menores do n. Como estamos supondo que 1 œ
/ A, então
1 œ X. No entanto, como A não é vazio, nem todos os números
naturais pertencem a X, ou seja, temos X ”= IN. Sendo assim, X
satisfaz a primeira hipótese do axioma A5, porém, não satisfaz à
conclusão, do mesmo axioma, de que X = IN . Consequentemente,
X não pode satisfazer a segunda hipótese do axioma A5, ou seja,
existe algum n œ X tal que n + 1 œ
/ X. Isto significa que todos
os números de 1 até n pertencem a IN ≠ A, mas n + 1 œ A, isto é,
todos os elementos de A são maiores do que n. Como não há números
naturais entre n e n+1, concluímos que n+1 é o menor elemento de A.
Vale a pena ressaltar que para demonstrar que uma afirmação P (n),
associada a cada número natural n, é verdadeira usando o Princípio da
Boa Ordenação é recomendado o seguinte roteiro:
1) Defina o conjunto C de contraexemplos para P (n), ou seja,
C = {n œ IN | P (n) é falsa}.
2) Assuma por contradição que C não é vazio. Assim, pelo Princípio da
Boa Ordenação, C possui um menor elemento c.
3) A partir daí deve-se chegar a uma contradição de alguma forma. Geralmente, a contradição é alcançada encontrando um outro elemento
a œ C tal que a < c, ou demonstrando que P (c) é verdadeira.
4) Finalmente, conclua que C deve ser vazio, isto é, não existe contraexemplo para a afirmação P (n).
105
Exemplo 4.3. Mostre que para todo n œ IN,
n(n + 1)
.
2
Solução. Primeiramente consideremos o conjunto
1 + 2 + 3 + ··· + n =
(4.1)
n(n + 1)
}.
2
Agora suponhamos por contradição que C não é vazio. Assim, pelo
Princípio da Boa Ordenação, C possui um menor elemento c, ou seja, c
é o menor natural para o qual a igualdade 4.1 é falsa, mas a igualdade
4.1 é verdadeira para todo n < c. Como a igualdade 4.1 é verdadeira
para n = 1, temos que c > 1. Uma vez que c ≠ 1 é um número natural e
c ≠ 1 < c, vem que a igualdade 4.1 é verdadeira para c ≠ 1. Isto é,
C = {n œ IN | 1 + 2 + 3 + · · · + n ”=
(c ≠ 1)((c ≠ 1) + 1)
(c ≠ 1)c
=
.
2
2
Por fim, somando c de ambos os lados desta última igualdade obtemos,
1 + 2 + 3 + · · · + (c ≠ 1) =
1 + 2 + 3 + · · · + (c ≠ 1) + c =
(c ≠ 1)c
+c =
2
c2 ≠ c + 2c
2
c2 + c
c(c + 1)
=
.
2
2
Logo, a igualdade 4.1 é verdadeira para c, o que é uma contradição.
Portanto, o conjunto C é vazio e, consequentemente, a igualdade 4.1 é
verdadeira para todo n œ IN.
=
Exemplo 4.4. Todo número natural pode ser fatorado com um produto
de números primos.
Solução. Um número primo é um número natural que têm apenas dois
divisores diferentes: o 1 e ele mesmo. Sendo assim, seja C o conjunto
de todos os naturais maiores do que 1 que não podem ser escritos como
um produto de números primos. Suponhamos por contradição que C
não é vazio. Se C não é vazia, então ele possui um menor elemento
c, pelo Princípio da Boa Ordenação. O número c não pode ser um
número primo, porque um número primo por si só é considerado como
um produto de números primos e nenhum desses produtos estão em C.
Assim, c deve ser um produto de dois números naturais a e b, onde
1 < a, b < c. Uma vez que a e b são menores do que c, sabemos que
a, b œ
/ C. Em outras palavras, a pode ser escrito como um produto de
números primos p1 p2 · · · pk e b como um produto de números primos
q1 q2 · · · qr . Logo, c = p1 p2 · · · pk q1 q2 · · · qr , ou seja, c pode ser escrito
como um produto de números primos, contrariando o fato de que c œ
C. Portanto, o conjunto C é vazio e, consequentemente, todo número
natural pode ser fatorado com um produto de números primos.
106
4.2 Princípio da Indução Matemática
Como já foi dito, o Princípio da Indução Matemática é usado para demonstrar uma propriedade relativa aos números naturais e, como veremos mais adiante, consiste apenas de dois passos, que se provados
verdadeiros são suficientes para concluir que a referida propriedade é
verdadeira para todos os números naturais. Com o intuito de apresentar
antecipadamente por que os referidos dois passos são suficientes, vamos
pensar no Efeito Dominó ou Efeito em Cascata que sugere a ideia de
um efeito ser a causa de outro efeito gerando uma série de acontecimentos semelhantes ao primeiro. O Efeito Dominó consiste na colocação de
diversos dominós em pé numa fileira, de modo que ocorra os seguintes
dois passos:
(i) A primeira peça do dominó cai.
(ii) Se alguma peça do dominó cair, então a próxima peça também cai.
Se estes dois passos acontecerem, forem verdadeiros, então um derruba
o outro e podemos concluir que todas as peças do dominó cairão.
De uma forma intuitiva, o Princípio da Indução Matemática é similar
ao Efeito Dominó, como veremos a seguir.
Teorema 4.5 (Princípio da Indução Matemática). Seja a um inteiro
não negativo e suponhamos que a cada número inteiro n Ø a esteja
associada uma afirmação P (n). Se é possível demonstrar que:
(i) P (a) é verdadeira.
(ii) Para todo k Ø a, se P (k) é verdadeira, então P (k + 1) também é
verdadeira.
Então P (n) é verdadeira para todo n Ø a.
Demonstração: Primeiramente, consideremos o conjunto V de todos
os inteiros não negativos k Ø a para os quais a afirmação P (k) é
verdadeira, e o conjunto F de todos os inteiros não negativos k Ø a
para os quais a afirmação P (k) é falsa, a saber:
V = {k œ ZZ+ : k Ø a e P (k) é verdadeira};
F = {k œ ZZ+ : k Ø a e P (k) é f alsa}.
Observe que V não é vazio, pois, a condição (i) nos diz que P (a)
é verdadeira, ou seja, a œ V . No entanto, a demonstração do teorema se
dá verificando que V contém, não somente a, mas todos os inteiros não
107
negativos k Ø a. Mas, isto é equivalente a verificar que o conjunto F
é vazio. Sendo assim, suponhamos por contradição que F não é vazio.
Pelo Princípio da Boa Ordenação existe um menor elemento m œ F ,
ou seja, P (m) é falso. Note que não podemos ter m = a, pois, isto
contradiz a condição (i) que nos diz que P (a) é verdadeira, assim m > a.
Além disso, m ≠ 1 œ
/ F pois, caso contrário, m ≠ 1 œ F e isto contradiz
o fato de m ser o menor elemento de F , uma vez que m ≠ 1 < m.
Portanto, m ≠ 1 œ V , ou seja, P (m ≠ 1) é verdadeira. Daí segue pela
condição (ii) que P ((m ≠ 1) + 1) = P (m) também é verdadeira, mas
isto é uma contradição, pois, m œ F e V e F são disjuntos. Como esta
contradição foi gerada a partir do fato de supor que F era não vazio,
concluímos que F deve ser vazio, e concluímos a demonstração.
Geralmente, P (a) é chamado de Base de Indução, a suposição de que
P (k) é verdadeira é chamada de Hipótese de Indução, e a verificação da
implicação P (k) ∆ P (k + 1) é chamada de Passo Indutivo.
Ressaltamos que numa prova por indução não é assumido que P (k)
é verdadeiro para todos os naturais, pelo contrário, é demonstrado que
se for assumido que P (k) é verdadeiro, então P (k + 1) também é verdadeiro. De um modo geral, o segredo de uma demonstração por indução
é encontrar um maneira de relacionar o que queremos demonstrar, que
é o Passo Indutivo P (k + 1), com o que estamos supondo verdadeiro,
que é a Hipótese de Indução P (k).
Exemplo 4.6. Mostre que para todo n œ IN,
n(n + 1)
.
2
Solução. Primeiramente, é necessário verificar se a Base de Indução
(BI) é verdadeira, ou seja, verificar se a igualdade é verdadeira para
algum número natural n = a. Se a base de indução for verdadeira, então
assuma a Hipótese de Indução (HI) como verdadeira, isto é, assuma que
a igualdade é verdadeira para n = k, e mostre o Passo Indutivo (PI), ou
seja, que a igualdade é verdadeira para n = k + 1. Ressaltamos que o
1 + 2 + 3 + ··· + n =
HI HI HI
uso da Hipótese de Indução será denotado por = , > , Æ e etc. Como o
exemplo pede para verificar a igualdade para todos os números naturais,
devemos fazer a = 1 para verificar a Base de Indução.
BI - Para n = 1 a igualdade é verdadeira, pois,
1=
1 · (1 + 1)
1·2
2
=
= = 1.
2
2
2
HI - Agora vamos assumir que a igualdade é verdadeira para n = k,
isto é,
k(k + 1)
1 + 2 + 3 + ··· + k =
.
2
108
PI - Verifiquemos se a igualdade é também verdadeira para n = k + 1,
ou seja, devemos demonstrar que
3
4
(k + 1)((k + 1) + 1)
1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1) =
.
2
Vejamos:
1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1)
=
HI
k(k + 1)
+ (k + 1)
2
=
(k + 1)
3
=
(k + 1)
3
=
3
k
+1
2
4
k+2
2
4
(k + 1)((k + 1) + 1)
2
4
.
Portanto, a igualdade é verdadeira para n = k + 1 e, consequentemente,
a igualdade é verdadeira para todo n œ IN.
Exemplo 4.7. Para todo número real x > 0 e n œ IN,
(1 + x)n Ø 1 + xn .
Solução. Observe que há duas variáveis na afirmação, a saber, n e
x. No entanto, é fácil determinar que devemos fazer a indução sobre n,
pois, x é uma variável real. Novamente o exemplo pede para verificar a
desigualdade para todos os números naturais, ou seja, a Base de Indução
deve ser verificada para a = 1.
BI - Para n = 1 temos:
(1 + x)1 = 1 + x = 1 + x1 Ø 1 + x1 .
Portanto, a desigualdade é verdadeira para n = 1.
HI - Vamos supor que a desigualdade seja verdadeira para n = k, ou
seja,
(1 + x)k Ø 1 + xk .
109
PI - Agora, vamos verificar se a desigualdade é também verdadeira para
n = k + 1, ou seja, vamos verificar se (1 + x)k+1 Ø 1 + xk+1 .
Temos então que:
(1 + x)k+1
=
(1 + x)k (1 + x)
HI
Ø
(1 + xk )(1 + x)
=
1 + x + xk + xk+1
Ø
1 + xk+1
Portanto, a desigualdade é também verdadeira para n = k + 1 e, consequentemente, a desigualdade é verdadeira para todo n œ IN.
Exemplo 4.8. Para todo n œ IN,
1 + q + q2 + · · · qn =
Solução. De fato,
1 ≠ q n+1
.
1≠q
BI - Para n = 1 temos:
1 + q 1 = (1 + q) ·
1≠q
(1 + q)(1 ≠ q)
1 ≠ q2
1 ≠ q 1+1
=
=
=
.
1≠q
1≠q
1≠q
1≠q
Portanto, a igualdade é verdadeira para n = 1.
HI - Suponhamos que a igualdade seja verdadeira para n = k, isto é,
1 + q + q2 + · · · qk =
1 ≠ q k+1
.
1≠q
PI - Agora, vamos verificar se a igualdade é também verdadeira para
n = k + 1, ou seja, devemos verificar se
1 + q + q 2 + · · · q k + q k+1 =
110
1 ≠ q (k+1)+1
.
1≠q
Vejamos:
1 + q + q 2 + · · · q k + q k+1
=
1 ≠ q k+1
+ q k+1
1≠q
=
1 ≠ q k+1 + (1 ≠ q)q k+1
1≠q
=
1 ≠ q k+1 + q k+1 ≠ q (k+1)+1
1≠q
=
1 ≠ q (k+1)+1
1≠q
HI
Portanto, a igualdade é verdadeira para n = k + 1 e, consequentemente,
a igualdade é verdadeira para todo n œ IN.
Exemplo 4.9. Para todo n œ IN, n3 ≠ n é divisível por 3.
Solução. Dizemos que n3 ≠ n é divisível por 3, se n3 ≠ n é um múltiplo
de 3, ou seja, se existe um número m tal que n3 ≠ n = 3 · m. Logo,
devemos verificar se existe um número m tal que n3 ≠ n = 3 · m, para
todo número natural n.
BI - Para n = 1 temos que a afirmação é verdadeira, pois,
13 ≠ 1 = 1 ≠ 1 = 0 = 3 · 0.
HI - Suponhamos que a afirmação seja verdadeira para n = k, isto é,
existe um número m tal que
k 3 ≠ k = 3 · m.
PI - Agora, vamos verificar se a igualdade é também verdadeira para
n = k + 1. Temos então que:
(k + 1)3 ≠ (k + 1)
=
=
=
=
HI
=
(k + 1)2 (k + 1) ≠ (k + 1)
k 3 + 3k 2 + 3k + 1 ≠ k ≠ 1
(k 3 ≠ k) + 3 · (k 2 + k)
3 · m + 3 · (k 2 + k)
3 · (m + k 2 + k)
111
Portanto, a igualdade é verdadeira para n = k + 1 e, consequentemente,
n3 ≠ n é divisível por 3 para todo n œ IN.
Exemplo 4.10. Verifique se para todo número natural n > 2,
3n2 ≠ n > 23.
Solução. Observe que a desigualdade 3n2 ≠ n > 23 não é verdadeira
para n = 1, pois, 3 · 12 ≠ 1 = 2 < 23. Da mesma forma, a desigualdade
não é verdadeira para n = 2, pois, 3 · 22 ≠ 2 = 10 < 23. Na realidade,
o primeiro natural para o qual 3n2 ≠ n > 23 é verdadeira é n = 3.
Portanto, a Base de Indução deve ser verificada para a = 3.
BI - Para n = 3 temos que a afirmação é verdadeira, pois,
3 · 32 ≠ 3 = 3 · 9 ≠ 3 = 27 ≠ 3 = 24 > 23.
HI - Suponhamos que a afirmação seja verdadeira para n = k, isto é,
3k 2 ≠ k > 23.
PI - Agora, vamos verificar se a desigualdade é também verdadeira para
n = k + 1. Temos então que:
3(k + 1)2 ≠ (k + 1)
=
=
=
3(k 2 + 2k + 1) ≠ k ≠ 1
3k 2 + 6k + 3 ≠ k ≠ 1
(3k 2 ≠ k) + 6k + 2
HI
>
23 + 6k + 2
=
25 + 6k
>
23.
Portanto, a desigualdade é verdadeira para n = k + 1 e, consequentemente, a desigualdade é verdadeira para todo número natural n > 2.
Exemplo 4.11. Verifique se para todo n œ IN,
2 + 4 + 6 + · · · + 2n = n(n + 1).
Solução. Vamos verificar a veracidade da igualdade usando indução
sobre n.
BI - Para n = 1 temos que a afirmação é verdadeira, pois,
2 · 1 = 2 = 1 · (1 + 1).
112
HI - Suponhamos que a afirmação é verdadeira para n = k, isto é,
2 + 4 + 6 + · · · + 2k = k(k + 1).
PI - Agora, vamos verificar se a igualdade é também verdadeira para
n = k + 1. Com efeito,
2 + 4 + 6 + · · · + 2k + 2(k + 1)
HI
=
k(k + 1) + 2(k + 1)
=
(k + 1)(k + 2).
Portanto, a igualdade é verdadeira para n = k + 1 e, consequentemente,
a igualdade é verdadeira para todo n œ IN.
Exemplo 4.12. Verifique se para todo inteiro n Ø 0,
n(n + 2)
.
2
Solução. Como o exemplo pede para verificar a igualdade todo inteiro
n Ø 0, devemos verificar a Base de Indução para n = 0.
0 + 1 + 2 + ··· + n =
BI - Para n = 0 a igualdade é verdadeira, pois,
0=
0 · (0 + 2)
0·2
0
=
= = 0.
2
2
2
HI - Agora vamos assumir que a igualdade é verdadeira para n = k,
isto é,
k(k + 2)
k 2 + 2k
0 + 1 + 2 + ··· + k =
=
.
2
2
PI - Verifiquemos se a igualdade é também verdadeira para n = k + 1,
ou seja, devemos verificar se
0 + 1 + 2 + · · · + k + (k + 1) =
(k + 1)(k + 3)
k 2 + 4k + 3
=
.
2
2
Vejamos:
1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1)
HI
=
k 2 + 2k
+ (k + 1)
2
=
k 2 + 2k + 2(k + 1)
2
=
k 2 + 4k + 2
.
2
Portanto, a igualdade não é verdadeira para n = k + 1, ou seja, não foi
possível concluir a partir da Hipótese de Indução a conclusão. Consequentemente, a igualdade não é verdadeira para todo inteiro n Ø 0.
113
4.3 Princípio da Indução Completa
Em algumas situações não conseguimos realizar a demonstração de uma
afirmação, usando apenas o Princípio da Indução Matemática tal como
apresentado no Teorema 4.5, mesmo sendo esta uma técnica de demonstração muito poderosa.
Exemplo 4.13. Demonstre que todo número natural n maior ou igual
a dois é primo ou produto de primos.
Solução. Lembremos que, por definição, os números primos são aqueles
números naturais que têm apenas dois divisores diferentes, a saber: o
1 e ele mesmo. Dessa forma, temos que o número 1 não é um número
primo, pois, ele tem apenas um divisor que é ele mesmo. Já o número
2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto, por definição, 2 é um número
primo. Usaremos o Princípio da Indução Matemática, Teorema 4.5, para
demonstrar que a afirmação dada é verdadeira para n Ø 2.
BI - Para n = 2 a afirmação é verdadeira, pois, 2 é um número primo.
HI - Suponhamos que a afirmação é verdadeira para n = k. Isto é, k é
primo ou é produto de primos.
PI - Verifiquemos se a afirmação é também verdadeira para n = k + 1.
Se k+1 for primo, então a afirmação é automaticamente verdadeira
e não há nada a demonstrar. Por outro lado, se k + 1 não é primo,
então ele possui um divisor natural y diferente de 1 e dele mesmo.
Em outras palavras, k + 1 é um múltiplo y, ou seja, existe um
número natural x tal que
k + 1 = x · y.
Note que, tanto x quanto y não podem ser maiores do que k + 1,
pois caso contrário, o produto seria maior do que k + 1. Muito
menos podem ser x ou y iguais a k + 1. De fato, por exemplo, se
x = k + 1 então y = 1, ou seja, k + 1 seria primo, pois ele só seria
divisível por k + 1 e 1, o que contradiz o fato de k + 1 não ser
primo. Portanto, temos
k + 1 = x · y,
onde
2ÆxÆk
e
2 Æ y Æ k.
Se x = y = k, pela Hipótese de Indução, concluímos a demonstração. No entanto, se x < k ou y < k, nada podemos afirmar
sobre x ou y, pois a única hipótese que temos é que k é primo ou
produto de primos. De onde concluímos que o Princípio da Indução Matemática apresentado no Teorema 4.5, não é suficiente para
demonstrar a afirmação em questão.
114
A impossibilidade do uso do Teorema 4.5 para demonstrar a afirmação do Exemplo 4.13, vem do fato de que no Teorema 4.5 não é assumido
como hipótese que P (k) é verdadeiro para todos inteiros não negativos
menores do que k, mas sim, somente que P (k) é verdadeiro para n = k.
Para contornar este problema, de forma que possamos demonstrar questões tal como aquela do Exemplo 4.13, apresentamos na sequência uma
variação do Teorema 4.5, chamada de Princípio da Indução Completa.
Essencialmente, este novo princípio difere do anterior apenas na Hipótese de Indução.
Teorema 4.14 (Princípio da Indução Completa). Seja a um inteiro não
negativo e suponhamos que a cada número inteiro n Ø a esteja associada
uma afirmação P (n). Se é possível demonstrar que:
(i’) P (a) é verdadeira.
(ii’) Para todo k Ø a, se P (r) é verdadeira para todo a Æ r Æ k, então
P (k + 1) também é verdadeira.
Então P (n) é verdadeira para todo n Ø a.
Demonstração: Para demonstrar este teorema usaremos o Princípio da
Indução Matemática, que é, o Teorema 4.5. De fato, para todo n Ø a,
seja Q(n) a afirmação
“P (r) é verdadeira para todo a Æ r Æ n.”
Usando o Teorema 4.5, e assumindo que as condições (i’) e (ii’) são
verdadeiras, demonstraremos que Q(n) é verdadeira para todo n Ø a, o
que significa que P (n) é verdadeira para todo n Ø a. Vejamos:
BI - Para n = a temos que Q(a) é verdadeira, pois, por (i’) P (a) é
verdadeira.
HI - Suponhamos que a afirmação Q(k) é verdadeira para todo k Ø a.
Isto é, P (r) é verdadeira para todo a Æ r Æ k.
PI - Verifiquemos se a afirmação Q(k + 1) é também verdadeira, ou
seja, verifiquemos se P (r) é verdadeira para todo a Æ r Æ k + 1.
Pela Hipótese de Indução, temos que P (r) é verdadeira para todo
a Æ r Æ k, e por (ii’), temos que P (k + 1) é verdadeira. Logo,
P (r) é verdadeira para todo a Æ r Æ k + 1, ou seja, Q(k + 1) é
verdadeira.
Portanto, pelo Teorema 4.5, Q(n) é verdadeira para todo n Ø a.
Consequentemente, P (n) é verdadeira para todo n Ø a.
115
Geralmente, o Princípio da Indução Completa é usado somente
quando não podemos demonstrar uma afirmação facilmente utilizando
o Princípio da Indução Matemática. Vale ressaltar que em uma
demonstração usando o Princípio da Indução Matemática, no Passo
Indutivo temos que demonstrar que sempre que P (k) é verdadeira, então
P (k + 1) também é verdadeira. Diferentemente, numa demonstração
usando o Princípio da Indução Completa, no Passo Indutivo temos que
demonstrar que sempre que P (r) é verdadeira para todo r Æ k, então
P (k + 1) também é verdadeira. Em outras palavras, usando o Princípio
da Indução Matemática assumimos unicamente que P (k) é verdadeira.
Enquanto que usando o Princípio da Indução Completa podemos
assumir que P (a), P (a + 1), P (a + 2), . . . , P (k ≠ 1), P (k) são verdadeiras.
Exemplo 4.15. Demonstre que todo número natural n maior ou igual
a dois é primo ou produto de primos.
Solução. Usaremos o Princípio da Indução Completa sobre n.
BI - Para n = 2 a afirmação é verdadeira, pois, 2 é um número primo.
HI - Suponhamos que para todo r, com 2 Æ r Æ k, a afirmação seja
verdadeira, isto é, r é primo ou é produto de primos.
PI - Verifiquemos se a afirmação é também verdadeira para n = k + 1.
Se k+1 for primo, então a afirmação é automaticamente verdadeira
e não há nada a demonstrar. Por outro lado, se k + 1 não é primo,
então
k + 1 = x · y,
onde
2ÆxÆk
e
2 Æ y Æ k.
Dessa forma, observe que a Hipótese de Indução se aplica tanto a
x quanto y, ou seja, x e y são primos ou produto de primos. Logo,
como k + 1 = x · y, temos que k + 1 é produto de primos.
Portanto, pelo Teorema 4.14, temos que todo número natural n Ø 2 é
primo ou produto de primos.
Exemplo 4.16. Demonstre que todo número natural n Ø 8 pode ser
escrito como uma soma de números 3 e números 5.
Solução. Usaremos o Princípio da Indução Completa sobre n. Evidentemente, como n Ø 8, a Base de Indução deve ser verificada para n = 8.
BI - Para n = 8 a afirmação é verdadeira, pois, 8 = 3 + 5.
HI - Suponhamos que para todo r, com 8 Æ r Æ k, a afirmação seja
verdadeira, isto é, r pode ser escrito como uma soma de números
3 e números 5.
116
PI - Verifiquemos se a afirmação é também verdadeira para n = k + 1,
ou seja, queremos demostrar que k + 1 pode ser representado como
uma soma de números 3 e números 5. Não obstante, observe que
a afirmação é verdadeira para 9 e 10. De fato, 9 = 3 + 3 + 3 e
10 = 5 + 5. Sendo assim, sem perca de generalidade, podemos
considerar k + 1 Ø 11. Donde obtemos:
k + 1 Ø 11
k Ø 10
∆
∆
k Ø8+2
∆
Uma vez que k ≠ 2 Ø 8 e menor do que k, isto é,
k ≠ 2 Ø 8.
8 Æ k ≠ 2 Æ k,
podemos aplicar em k ≠ 2 a Hipótese de Indução, a saber, k ≠ 2
pode ser escrito como uma soma de números 3 e números 5. De
outra maneira,
k≠2
(k ≠ 2) + 3
= soma de números 3 e números 5
=
k+1 =
(soma de números 3 e números 5) + 3
soma de números 3 e números 5
Portanto, pelo Teorema 4.14, temos que todo número natural n Ø 8
pode ser escrito como uma soma de números 3 e números 5.
Na verdade, os princípios da Boa Ordenação, da Indução Matemática
e da Indução Completa, apresentados nos Teoremas 4.2, 4.5 e 4.14, são
equivalentes, ou seja, se qualquer um deles for verdadeiro, então os outros
também são.
Para visualizar a referida equivalência, observe que demonstramos
que o Teorema 4.2 implica o Teorema 4.5, e que o Teorema 4.5 implica o
Teorema 4.14, isto é, o Princípio da Boa Ordenação implica o Princípio
da Indução Matemática, que por sua vez implica o Princípio da Indução
Completa. No entanto, para fechar a equivalência, é necessário demonstrar que o Principio da Boa Ordenação pode ser deduzido a partir do
Princípio da Indução Completa, e isto é o que faremos a seguir.
Teorema 4.17 (Princípio da Boa Ordenação). Todo subconjunto não
vazio A µ IN possui um menor elemento.
Demonstração: Suponhamos que existe um subconjunto não vazio
B µ IN que não possui um menor elemento. Usaremos o Princípio da Indução Completa para demonstrar que isto não pode acontecer. Vejamos:
BI - Desde que 1 é o menor elemento dentre todos números naturais,
temos que 1 œ
/ B, caso contrário, B teria um menor elemento.
117
HI - Suponhamos que para todo r, com 1 Æ r Æ k, a afirmação seja
verdadeira, isto é, suponhamos que 1, 2, 3, . . . k œ
/ B.
PI - Verifiquemos se a afirmação é também verdadeira para k + 1, ou
seja, verifiquemos se k + 1 œ
/ B. De fato, se k + 1 œ B, então k + 1
seria o menos elemento de B, já que não existe nenhum número
natural entre k e k + 1. O que contradiz a nossa hipótese de que
B não possui um menor elemento. Logo, k + 1 œ
/ B.
Então, pelo Teorema 4.14, todos os números naturais não pertencem a
B, ou seja, B = ÿ, que é uma contradição. Portanto, todo subconjunto
não vazio A µ IN possui um menor elemento.
Finalizamos esta seção apresentando os pertinentes comentários e
exemplos do Prof. Elon Lages Lima retirados de [Lima 1998]. A saber:
Para habituar-se com o método de demonstração por indução é preciso praticá-lo muitas vezes, a fim de perder aquela vaga sensação de
desonestidade que o principiante tem quando admite que o fato a ser
provado é verdadeiro para n, antes de demonstrá-lo para n + 1.
Pratique também (com moderação) o exercício de descobrir o erro
em paradoxos que resultam do uso inadequado do método de indução.
Vejamos dois desses sofismas:
Exemplo 4.18. Todo número natural é pequeno.
Solução. Ora, 1 certamente é pequeno. E se n é pequeno, n + 1 não
vai subitamente tornar-se grande, logo também é pequeno. (O erro aqui
consiste em que a noção “número pequeno” não é bem definida.)
O perigo de fazer generalizações apressadas relativamente a asserções
sobre números naturais fica evidenciado com o seguinte exemplo:
Exemplo 4.19. Considere o polinômio p(n) = n2 ≠ n + 41 e a afirmação
“o valor de p(n) é sempre um primo para n = 0, 1, 2, 3, . . .”.
Solução. Embora isso seja verdadeiro para n = 0, 1, 2, . . . , 40, temos
que p(41) = 412 ≠ 41 + 41 = 412 não é primo, logo a afirmação não
é verdadeira.
Semelhantemente, a expressão q(n) = n2 ≠ 79n + 1601 fornece primos
para n = 1, 2, . . . , 79, mas q(80) = 802 ≠ 79 · 80 + 1601 = 1681 não é
primo, pois é divisível por 41. A moral da história é: Só aceite que uma
afirmação sobre os números naturais é realmente verdadeira para todos
os naturais se isso houver de fato sido demonstrado!
118
Exercícios Propostos
1. Verifique se as seguintes são verdadeiras para todo n œ IN:
a) n2 Ø n.
b) n! > n2 , para n Ø 4.
c) 2n > n.
d) 2n Æ n2 , para n Ø 2.
e) n! Ø 2n≠1 .
f) n3 < n! , para n Ø 6.
g) 1 + 2 + 22 + 23 + · · · + 2n = 2n+1 ≠ 1.
h) 2 + 22 + 23 + · · · + 2n = 2n+1 ≠ 2.
i) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n(n + 1) =
n(n + 1)(n + 2)
.
3
2. Verifique se para todo número natural n > 5, 4n < 2n .
3. Verifique se 2n + 1 < 2n , para todo número natural n Ø 3.
4. Verifique se para qualquer n œ IN, 2n Ø n + 1.
5. Verifique se para todo n œ IN, 8n ≠ 3n é divisível por 5.
6. [Oliveira e Fernández 2010] Demonstre que para qualquer
n œ IN é válida a igualdade:
1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n ≠ 1) = n2 .
119
Exercícios Propostos
7. Demonstre que 6n ≠ 1 é divisível por 5 para todo número
natural n.
8. Verifique se para todo n œ IN a igualdade a seguir é verdadeira.
1 + 4 + 7 + · · · + (3n ≠ 2) =
n(3n ≠ 1)
.
2
9. Demonstre que 23n ≠ 1 é divisível por 11 para todo número
natural n.
10. Demonstre que para n Ø 1 tem-se
1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + · · · + n · n! = (n + 1)! ≠ 1.
11. Demonstre que 2n > n2 , para n Ø 5.
12. Demonstre que 2n3 > 3n2 + 3n + 1 para n Ø 3.
13. [Oliveira e Fernández 2010] Mostre que para todo número
n œ IN, n > 3, vale que 2n < n!.
14. [Oliveira e Fernández 2010] Mostre que para qualquer n œ
IN, n3 + 2n é sempre divisível por 3.
15. Por que não podemos usar o Princípio da Indução Matemática no Exemplo 4.16?
16. Demonstre que todo número natural n Ø 12 pode ser escrito
como uma soma de números 4 e números 5. (Sugestão: Note
que a afirmação é verdadeira para 12, 13, 14 e 15.)
17. Suponha que temos selos de 4 e 7 centavos. Prove que é
possível ter qualquer valor de postagem de 18 centavos ou
mais usando somente esses selos.
120
4.4 Princípio da Casa dos Pombos
Como foi dito no início deste capítulo, o Princípio da Casa dos Pombos, também conhecido como Princípio das Gavetas de Dirichlet, é uma
simples observação de contagem que possui várias aplicações em vários
ramos da Matemática, e pode ser enunciado em sua versão mais simples
da seguinte forma:
Teorema 4.20 (Princípio da Casa dos Pombos). Se distribuímos n + 1
pombos em n casas, então alguma das casas deverá conter pelo menos
dois pombos.
Demonstração: A demonstração deste princípio decorre simplesmente
de se fazer uma contagem dos pombos contidos em todas as casas depois
de distribuídos. De fato, suponhamos que em cada casa não há mais do
que um pombo. Então contando todos os pombos contidos nas n casas
obtemos apenas n pombos. Mas isto contradiz a hipótese de que foram
distribuídos n + 1 pombos nas n casas. Portanto, alguma das casas
deverá conter pelo menos dois pombos.
Para aplicarmos o Princípio das Casas de Pombos com sucesso é necessário, a partir dos dados do problema a ser resolvido, adotar a seguinte
estratégia: Primeiramente, devemos identificar quais são as casas e quais
são os pombos; na sequência devemos distribuir os pombos nas casas; e
por fim determinar a relação existente entre ambos os pombos e casas.
Vejamos alguns exemplos simples de como aplicar o Princípio da Casa
dos Pombos na resolução de problemas.
Exemplo 4.21. Em uma grande cidade com mais de 1 milhão de habitantes existem pessoas com o mesmo número de fios de cabelo?
Solução. Neste exemplo, as pessoas representam as casas e os cabelos
representam os pombos. Sendo assim, é sabido que em geral uma pessoa
tem cerca de 150 mil fios de cabelo. Portanto, é razoável supor que
ninguém tem mais de 1.000.000 de fios de cabelo em sua cabeça. Se
há mais habitantes do que o número máximo de fios de cabelo, pelo
Princípio da Casa dos Pombos, necessariamente pelo menos duas pessoas
terão precisamente o mesmo número de fios de cabelo.
Exemplo 4.22. Uma criança precisa pegar meias para acabar de se
vestir para ir à escola. Como as janelas do quarto estão fechadas porque
seu irmão ainda dorme, ela terá que pegá-las sem acender a luz. Na
gaveta há 26 meias misturadas: 10 meias pretas idênticas e 16 meias
brancas idênticas. Qual a quantidade mínima de meias que a criança
terá que retirar para garantir ter retirado um par de meias da mesma
cor?
121
Solução. Aqui as cores representam as casas e as meias os pombos. Note
que a primeira meia retirada é branca ou preta. A segunda pode ser da
mesma cor da primeira ou não. Obviamente se retirou da mesma cor
anterior já formou um par, mas não podemos garantir que isto ocorreu.
Mas, com a retirada da 3a meia, obrigatoriamente, terá retirado um
par de meias da mesma cor, pois, existem apenas duas cores e foram
retiradas 3 meias. Portanto, pelo Princípio da Casa dos Pombos, a
quantidade mínima de meias que a criança terá que retirar para obter
um par da mesma cor é 3.
Exemplo 4.23. Considerando um grupo com 13 pessoas, podemos afirmar que existem pelo menos 2 pessoas que aniversariam no mesmo mês?
Solução. Sendo as casas representadas pelos meses e os pombos representados pelas pessoas, a resposta à pergunta é sim. Isto porque existem
apenas 12 meses e o grupo é formado formado por 13 pessoas, ou seja,
se distribuirmos as pessoas por meses teríamos, por exemplo, a primeira
aniversariando em janeiro, a segunda em fevereiro, e assim por diante
até completar 12 pessoas. Mas, havendo 13 pessoas, pelo Princípio da
Casa dos Pombos, certamente, pelo menos duas delas comemoram o aniversário num mesmo mês. Na realidade, em qualquer grupo com mais de
12 pessoas podemos garantir que existem pelo menos 2 pessoas que aniversariam num mesmo mês. é claro que poderemos ter todas as pessoas
aniversariando num mesmo mês, assim como termos vários meses com
mais de uma pessoa aniversariando, o que não contradizem a afirmação
anterior.
Exemplo 4.24. Se as notas de uma prova valem de 1 a 10, sem uso de
casa decimal, quantos alunos uma turma deve ter para que, no mínimo,
2 alunos tirem a mesma nota?
Solução. Nesse caso, os pombos são os alunos e as casas, as notas.
Como temos 10 casas, precisamos, pelo Princípio da Casa dos Pombos,
de no mínimo 10 + 1 = 11 pombos. Logo, com 11 ou mais alunos numa
turma, poderemos garantir repetição de nota.
Exemplo 4.25. Quantas vezes devemos jogar um dado de 6 faces para
se ter certeza que um mesmo número vai cair duas vezes?
Solução. Na pior das hipóteses, se jogarmos o dado 6 vezes, teremos os
números, não necessariamente nesta ordem, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Certamente
se jogarmos o dado mais uma vez, obrigatoriamente, vai cair um número
igual a outro já obtido, pois, temos apenas 6 possibilidades para as faces
e jogamos o dado 7 vezes. Portanto, pelo Princípio da Casa dos Pombos,
se jogarmos o dado 6 + 1 = 7 vezes, teremos um número que se repete
mais do que uma vez.
122
Exemplo 4.26. Admitindo que ser amigo seja uma relação simétrica,
ou seja, se A é amigo de B, então B é amigo de A, será que existem duas
pessoas no mundo que possuem o mesmo número de amigos?
Solução. Para resolvermos o problema, temos que o mundo possui
um número finito de habitantes, portanto, chamemos esse número de n.
Observe que uma pessoa pode não ter amigos, pode ter 1 amigo, ou 2
amigos, e assim sucessivamente, até n ≠ 1 amigos, pois num mundo com
n habitantes, uma pessoa só pode ser amiga de no máximo n≠1 pessoas.
Considere o número de amigos como as casas, tal que na casa [0] está
a pessoa que não possui amigos, na casa [1] está a pessoa que possui 1
amigo, e assim sucessivamente. Dessa forma, teremos n casas, a saber,
[0], [1], [2], . . . , [n ≠ 1]. Agora, observe que se uma pessoa ocupar a casa
[0], nenhuma outra poderá ocupar a casa [n ≠ 1], pois, como a relação
de amizade é simétrica, não pode existir uma pessoa que não possua
amigos e outra que é amigo de todos e, vice-versa. Logo, temos n ≠ 1
casas para serem ocupadas e, considerando o número de participantes
como pombos, segue que temos n pombos. Portanto, pelo Princípio da
Casa dos Pombos, haverá uma casa com pelo menos dois pombos, o que
mostra que há duas pessoas que possuem exatamente o mesmo número
de amigos.
Exemplo 4.27. [Oliveira e Fernández 2010] Dados 8 números inteiros,
mostre que existem dois deles cuja diferença é divisível por 7.
Solução. Considerando os 8 números como sendo os pombos e as casas
como sendo os 7 possíveis restos na divisão por 7. Como temos 8 =
7 + 1 números o Princípio da Casa dos Pombos nos diz que existem dois
números dentre os 8 dados que têm o mesmo resto quando divididos por
7. Finalmente, observamos que se dois números deixam o mesmo resto
na divisão por 7, então a diferença entre eles é divisível por 7.
Exemplo 4.28. Um agricultor têm 4 caixas para guardar maçãs. Ele
quer que, pelo menos uma das caixas tenham, no mínimo, 3 maçãs.
Quantas maçãs ele deve ter para garantir isso?
Solução. Observe que se ele tiver apenas 1 ou 2 maças, obviamente,
isto não garante que 1 caixa tenha 3 maçãs. Se ele tiver 3 maçãs,
estas podem estar numa mesma caixa, e assim, satisfazer a vontade do
agricultor. Mas, ele dependerá da sorte de ter as maçãs colocadas todos
numa mesma caixa, ou seja, não há garantia de que isto ocorra. Da
mesma forma, se ele tiver 4, 5, 6 ou 7 maças, não podemos garantir o
seu pedido. Já com 8 maças, com uma pitada de sorte, poderíamos ter
2 maças em cada caixa, porém, isto não garante que teríamos 3 maças
em cada caixa. Agora, se tiver 9 maçãs observe que, por mais azar que
tenha o agricultor, ao colocar 8 maçãs nas 4 caixas, cada caixa terá 2
123
maçãs. Mas, quando colocar a 9a maçã, com certeza ela estará em uma
das caixa, a qual conterá 3 maçãs. Portanto, 9 maçãs me dão a certeza
de que pelo menos 1 das caixas terá 3 maçãs.
O Princípio da Casa dos Pombos, apresentado no Teorema 4.20, pode
ser enunciado de uma forma mais geral, a saber:
Teorema 4.29 (Princípio da Casa dos Pombos Generalizado). Se distribuímos nk + 1 pombos em n casas, então alguma das casas deverá
conter pelo menos k + 1 pombos.
Demonstração: Suponhamos que em cada casa não há mais do
que k pombo. Então contando todos os pombos contidos nas n casas
obtemos apenas nk pombos. Mas isto contradiz a hipótese de que foram
distribuídos nk + 1 pombos nas n casas. Portanto, alguma das casas
deverá conter pelo menos k + 1 pombos.
Exemplo 4.30. Uma prova de concurso possui 10 questões de múltipla
escolha, com 5 alternativas cada. Qual é o menor número de candidatos para o qual podemos garantir que pelo menos 3 deles preencheram
o cartão resposta com exatamente as mesmas respostas para todas as
questões?
Solução. Queremos garantir que em cada casa, que são os gabaritos, haja pelo menos 3 pombos, que são os candidatos. Cada uma das
10 questões do concurso pode ser respondida de 5 maneiras diferentes.
Desta forma, pelo Princípio Fundamental da Contagem, há 510 maneiras diferentes de preenchermos o cartão resposta. Facilmente podemos
concluir que se o concurso tiver ate 510 · 2 candidatos, ainda não poderemos garantir que mais de dois candidatos terão gabaritos iguais. Por
outro lado, se tivermos 510 · 2 + 1 candidatos, teremos o número de casas
maior que o dobro do número de pombos, o que garante, pelo Princípio
da Casa dos Pombos Generalizado, que pelo menos 2 + 1 = 3 candidatos preencheram o cartão resposta com exatamente as mesmas respostas
para todas as questões.
Exemplo 4.31. Quantas pessoas devem estar, no mínimo, em um
grupo, para que possamos garantir que ao menos 5 delas tenham nascido
num mesmo mês.
Solução. Como o ano tem 12 meses, se tivéssemos 4 pessoas nascidas
em cada mês do ano, isto 12 · 4 = 48, a coincidência solicitada ainda não
teria sido alcançada. Com uma pessoa a mais, ou seja 12·4+1 = 49, pelo
Princípio da Casa dos Pombos Generalizado, ao menos 4 + 1 = 5 delas
teriam de ter nascido no mesmo dia da semana. Portanto, o número
mínimo de pessoas nesse grupo deve ser 49.
124
Exercícios Propostos
1. [Giacomo] Em uma floresta existem 106 jaqueiras. É conhecido que cada uma dessas jaqueiras não produz anualmente
mais do que 92 frutos. Prove que existem 2 jaqueiras na
floresta que têm a mesma quantidade de frutos.
2. [Giacomo] Uma caixa contém 3 tipos de bolas (azuis, verdes,
amarelas). Qual o número mínimo de bolas que devemos
retirar da caixa para garantirmos que temos duas bolas da
mesma cor?
3. Quantas pessoas, no mínimo, devem morar numa casa com
7 quartos para garantirmos que pelo menos duas dormem
num mesmo quarto?
4. Prove que, dados 11 números inteiros quaisquer, a diferença
entre dois deles será um múltiplo de 10.
5. Numa festa de aniversário com 37 crianças, mostre que pelo
menos 4 nasceram no mesmo mês.
6. Uma urna contém 5 bolas pretas, 4 bolas vermelhas, 6 bolas
amarelas, 7 bolas verdes e 9 bolas azuis. Qual o menor
número de bolas que devem ser retiradas (sem olhar) para
que possamos ter certeza de termos tirado pelo menos 4
bolas de uma mesma cor?
7. Quantas cartas devem ser escolhidas de um baralho de 52
cartas para garantir que pelo menos três cartas do mesmo
naipe sejam escolhidas?
8. É possível que, numa festa de aniversário com mais de 12
crianças, existem pelo menos 2 nascidas no mesmo dia da
semana?
9. Quantas pessoas devem estar, no mínimo, em uma festa,
para que possamos garantir que ao menos 3 delas tenham
nascido num mesmo dia da semana?
125
REFERÊNCIAS
[Bezerra 2004]BEZERRA, M. F. Matemática para o ensino médio. 5a edição.
ed. São Paulo: Scipione, 2004. (Série parâmetros, Volume único).
[Dante 2009]DANTE, L. R. Matemática. 1a edição. ed. São Paulo: Ática,
2009.
[Didática 2014]DIDÁTICA,
M.
Análise
Combinatória
Arranjo
Simples.
2014.
Disponível
em:
<http://www.matematicadidatica.com.br/ArranjoSimples.aspx>.
[Direto 2014]DIRETO, P. Lógica e Demonstraçoes. 2014. Disponível
em:
<https://www.passeidireto.com/arquivo/2194033/logica-edemonstracoes/>.
[educa 2010]EDUCA da. Combinação Simples. 2010. Disponível em:
<http://www.da-educa.com/2010/10/plantao-de-duvidas-on-lineorientacoes_31.html>.
[Escola 2014]ESCOLA, B. Exercícios sobre Principio Fundamental da Contagem e Arranjo Simples. 2014. Disponível em:
<http://exercicios.brasilescola.com/matematica/>.
[Gentil et al. 1996]GENTIL, N. et al. Matemática para o 2o grau. [S.l.]: editora
ática, 1996.
[Giacomo]GIACOMO, S. R. D. Princípio das Casas de Pombos. Disponível em: <http://clubes.obmep.org.br/blog/texto_002-principio-dascasas-dos-pombos/>.
[Giovanni, Bonjorno e Giovanni-Jr. 1994]GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R.;
GIOVANNI-JR., J. R. Matemática Fundamental, 2o Grau: volume único. [S.l.]:
FTD, 1994.
[Hefez 2009]HEFEZ, A. Indução Matemática. 1a edição. Rio de Janeiro: OBMEP, 2009.
[Lima 1998]LIMA, E. L. Princípio da indução finita. EUREKA, SBM, n. 3, 1998.
[Martins 2014]MARTINS, L. Princípio fundamental da contagem. 2014.
Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/principiofundamental-da-contagem/>.
126
[Matemática 2013]MATEMÁTICA, S. Absurdos Matemáticos. 2013. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br>.
[Matemáticos 2010]MATEMÁTICOS,
F.
Provas
por
Contrapositiva
e
por
Absurdo.
2010.
Disponível
em:
<http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2010/07/provas-porcontrapositiva-e-por-absurdo.html>.
[Matematiques 2011]MATEMATIQUES.
Exercícios
de
combinações
simples.
2011.
Disponível
em:
<http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=562>.
[Noé 2014]NOÉ, M. Arranjo Simples. 2014. Disponível
<http://www.alunosonline.com.br/matematica/arranjossimples.html>.
em:
[Oliveira e Fernández 2010]OLIVEIRA, K. I. M.; FERNÁNDEZ, A. J. C. Iniciação à Matemática: um curso com problemas e soluções. 2a edição. Rio de
Janeiro: SBM, 2010.
[Silva 2012]SILVA,
C.
Permutação
com
repetição
exemplos
e
definição.
2012.
Disponível
em:
<http://tudodeconcursosevestibulares.blogspot.com.br/2012/11/permutacaocom-repeticao-exemplos-e.html>.
[Silva 2013]SILVA,
C.
Arranjos
simples
e
com
repetição
exemplos
e
questões.
2013.
Disponível
em:
<http://questoesdevestibularnanet.blogspot.com.br/2013/07/arranjossimples-e-com-repeticao.html>.
[Veia 2009]VEIA, M. na. Análise combinatória - Principio aditivo e
multiplicativo. 2009. Disponível em:
<http://matematica-naveia.blogspot.com.br/2009/07/analise-combinatoria-principioaditivo.html>.
127