Método Monte-Carlo - Departamento de Fisica/UFPB

Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Método Monte-Carlo
Alexandre Rosas
Departamento de Física
Universidade Federal da Paraíba
23 de Março de 2009
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
O que são os métodos de Monte-Carlo?
Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística
(em contraposição a métodos determinísticos)
Amostragem aleatória a partir de uma função distribuição
de probabilidades. → números pseudo-aleatórios
Várias amostras
Média
Alguns problemas determinísticos podem ser reescritos
em função de uma distribuição de probabilidades
integração
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
O que são os métodos de Monte-Carlo?
Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística
(em contraposição a métodos determinísticos)
Amostragem aleatória a partir de uma função distribuição
de probabilidades. → números pseudo-aleatórios
Várias amostras
Média
Alguns problemas determinísticos podem ser reescritos
em função de uma distribuição de probabilidades
integração
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
O que são os métodos de Monte-Carlo?
Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística
(em contraposição a métodos determinísticos)
Amostragem aleatória a partir de uma função distribuição
de probabilidades. → números pseudo-aleatórios
Várias amostras
Média
Alguns problemas determinísticos podem ser reescritos
em função de uma distribuição de probabilidades
integração
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
O que são os métodos de Monte-Carlo?
Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística
(em contraposição a métodos determinísticos)
Amostragem aleatória a partir de uma função distribuição
de probabilidades. → números pseudo-aleatórios
Várias amostras
Média
Alguns problemas determinísticos podem ser reescritos
em função de uma distribuição de probabilidades
integração
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
O que são os métodos de Monte-Carlo?
Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística
(em contraposição a métodos determinísticos)
Amostragem aleatória a partir de uma função distribuição
de probabilidades. → números pseudo-aleatórios
Várias amostras
Média
Alguns problemas determinísticos podem ser reescritos
em função de uma distribuição de probabilidades
integração
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
O que são os métodos de Monte-Carlo?
Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística
(em contraposição a métodos determinísticos)
Amostragem aleatória a partir de uma função distribuição
de probabilidades. → números pseudo-aleatórios
Várias amostras
Média
Alguns problemas determinísticos podem ser reescritos
em função de uma distribuição de probabilidades
integração
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
O que são os métodos de Monte-Carlo?
Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística
(em contraposição a métodos determinísticos)
Amostragem aleatória a partir de uma função distribuição
de probabilidades. → números pseudo-aleatórios
Várias amostras
Média
Alguns problemas determinísticos podem ser reescritos
em função de uma distribuição de probabilidades
integração
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
O que são os métodos de Monte-Carlo?
Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística
(em contraposição a métodos determinísticos)
Amostragem aleatória a partir de uma função distribuição
de probabilidades. → números pseudo-aleatórios
Várias amostras
Média
Alguns problemas determinísticos podem ser reescritos
em função de uma distribuição de probabilidades
integração
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Histórico
Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco
Roleta ←→ números aleatórios
Nome e sistematização em torno de 1944
Precussores
1873
1899
1931
1908
2a guerra
1948
1948
A. Hall – Determinação de π jogando uma agulha
Lord Rayleigh – caminhada aleatória unidimensional
Kolmogorov – processos markovianos
W. S. Gosset – distribuição t de Student
Primeiros usos na pesquisa – bomba atômica
Harris e Herman Kanh – desenvolvimento sistemático
Fermi, Metropolis e Ulam – estimativas de autovalores da
equação de Schrodinger
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Histórico
Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco
Roleta ←→ números aleatórios
Nome e sistematização em torno de 1944
Precussores
1873
1899
1931
1908
2a guerra
1948
1948
A. Hall – Determinação de π jogando uma agulha
Lord Rayleigh – caminhada aleatória unidimensional
Kolmogorov – processos markovianos
W. S. Gosset – distribuição t de Student
Primeiros usos na pesquisa – bomba atômica
Harris e Herman Kanh – desenvolvimento sistemático
Fermi, Metropolis e Ulam – estimativas de autovalores da
equação de Schrodinger
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Histórico
Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco
Roleta ←→ números aleatórios
Nome e sistematização em torno de 1944
Precussores
1873
1899
1931
1908
2a guerra
1948
1948
A. Hall – Determinação de π jogando uma agulha
Lord Rayleigh – caminhada aleatória unidimensional
Kolmogorov – processos markovianos
W. S. Gosset – distribuição t de Student
Primeiros usos na pesquisa – bomba atômica
Harris e Herman Kanh – desenvolvimento sistemático
Fermi, Metropolis e Ulam – estimativas de autovalores da
equação de Schrodinger
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Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Histórico
Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco
Roleta ←→ números aleatórios
Nome e sistematização em torno de 1944
Precussores
1873
1899
1931
1908
2a guerra
1948
1948
A. Hall – Determinação de π jogando uma agulha
Lord Rayleigh – caminhada aleatória unidimensional
Kolmogorov – processos markovianos
W. S. Gosset – distribuição t de Student
Primeiros usos na pesquisa – bomba atômica
Harris e Herman Kanh – desenvolvimento sistemático
Fermi, Metropolis e Ulam – estimativas de autovalores da
equação de Schrodinger
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Histórico
Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco
Roleta ←→ números aleatórios
Nome e sistematização em torno de 1944
Precussores
1873 A. Hall – Determinação de π jogando uma agulha
1899 Lord Rayleigh – caminhada aleatória unidimensional sem
barreira dá solução aproximada para equação diferencial
parabólica (difusão)
1931 Kolmogorov – processos markovianos
1908 W. S. Gosset – distribuição t de Student
2a guerra Primeiros usos na pesquisa – bomba atômica
1948 Harris e Herman Kanh – desenvolvimento sistemático
1948 Fermi, Metropolis e Ulam – estimativas de autovalores da
equação de Schrodinger
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
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Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Histórico
Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco
Roleta ←→ números aleatórios
Nome e sistematização em torno de 1944
Precussores
1873 A. Hall – Determinação de π jogando uma agulha
1899 Lord Rayleigh – caminhada aleatória unidimensional
1931 Kolmogorov – relação entre processos markovianos e
equações integro-diferenciais
1908 W. S. Gosset – distribuição t de Student
2a guerra Primeiros usos na pesquisa – bomba atômica
1948 Harris e Herman Kanh – desenvolvimento sistemático
1948 Fermi, Metropolis e Ulam – estimativas de autovalores da
equação de Schrodinger
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Histórico
Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco
Roleta ←→ números aleatórios
Nome e sistematização em torno de 1944
Precussores
1873
1899
1931
1908
A. Hall – Determinação de π jogando uma agulha
Lord Rayleigh – caminhada aleatória unidimensional
Kolmogorov – processos markovianos
W. S. Gosset – amostragem experimental usada para criar
a distribuição t de Student
2a guerra Primeiros usos na pesquisa – bomba atômica
1948 Harris e Herman Kanh – desenvolvimento sistemático
1948 Fermi, Metropolis e Ulam – estimativas de autovalores da
equação de Schrodinger
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Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Histórico
Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco
Roleta ←→ números aleatórios
Nome e sistematização em torno de 1944
Precussores
1873 A. Hall – Determinação de π jogando uma agulha
1899 Lord Rayleigh – caminhada aleatória unidimensional
1931 Kolmogorov – processos markovianos
1908 W. S. Gosset – distribuição t de Student
2a guerra Primeiros usos na pesquisa – bomba atômica
Problemas probabilísticos associados à difusão de nêutrons no
material físsil
1948 Harris e Herman Kanh – desenvolvimento sistemático
1948 Fermi, Metropolis e Ulam – estimativas de autovalores da
equação de Schrodinger
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Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Histórico
Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco
Roleta ←→ números aleatórios
Nome e sistematização em torno de 1944
Precussores
1873
1899
1931
1908
2a guerra
1948
1948
A. Hall – Determinação de π jogando uma agulha
Lord Rayleigh – caminhada aleatória unidimensional
Kolmogorov – processos markovianos
W. S. Gosset – distribuição t de Student
Primeiros usos na pesquisa – bomba atômica
Harris e Herman Kanh – desenvolvimento sistemático
Fermi, Metropolis e Ulam – estimativas de autovalores da
equação de Schrodinger
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Histórico
Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco
Roleta ←→ números aleatórios
Nome e sistematização em torno de 1944
Precussores
1873
1899
1931
1908
2a guerra
1948
1948
A. Hall – Determinação de π jogando uma agulha
Lord Rayleigh – caminhada aleatória unidimensional
Kolmogorov – processos markovianos
W. S. Gosset – distribuição t de Student
Primeiros usos na pesquisa – bomba atômica
Harris e Herman Kanh – desenvolvimento sistemático
Fermi, Metropolis e Ulam – estimativas de autovalores da
equação de Schrodinger
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Introdução ao método
Na aula sobre integração numérica vimos que
Z 1
N
X
I=
f (x)dx ≈
f (xk )ωk
0
k =1
Tomando todos os ωk iguais e lembrando que h = 1/N
N
X
f (xk )ωk =
k =1
N
1 X
f (xk ) = hf iN
N
k =1
distribuição uniforme
Repetindo a medida M vezes,
hIi =
M
1 X
hf iN
M
k =1
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Introdução ao método
Na aula sobre integração numérica vimos que
Z 1
N
X
I=
f (x)dx ≈
f (xk )ωk
0
k =1
Tomando todos os ωk iguais e lembrando que h = 1/N
N
X
f (xk )ωk =
k =1
N
1 X
f (xk ) = hf iN
N
k =1
distribuição uniforme
Repetindo a medida M vezes,
hIi =
M
1 X
hf iN
M
k =1
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Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Introdução ao método
Na aula sobre integração numérica vimos que
Z 1
N
X
I=
f (x)dx ≈
f (xk )ωk
0
k =1
Tomando todos os ωk iguais e lembrando que h = 1/N
N
X
f (xk )ωk =
k =1
N
1 X
f (xk ) = hf iN
N
k =1
distribuição uniforme
Repetindo a medida M vezes,
hIi =
M
1 X
hf iN
M
k =1
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Variância
Variância em uma amostra – medida do desvio de f da sua
média
σf2 = hf 2 iM − hf i2M
Variância da série de medidas
2
≈
σM
σ2
1 2
hf iM − hf i2N = f
M
M
√
σM ∼ 1/ M é uma medida do erro
Alexandre Rosas
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Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Variância
Variância em uma amostra – medida do desvio de f da sua
média
σf2 = hf 2 iM − hf i2M
Variância da série de medidas
2
σM
≈
σ2
1 2
hf iM − hf i2N = f
M
M
√
σM ∼ 1/ M é uma medida do erro
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
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Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Variância
Variância em uma amostra – medida do desvio de f da sua
média
σf2 = hf 2 iM − hf i2M
Variância da série de medidas
2
σM
≈
σ2
1 2
hf iM − hf i2N = f
M
M
√
σM ∼ 1/ M é uma medida do erro
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Comparação com outros métodos
Método
Monte Carlo
Trapézio
Simpson
Erro
N −1/2
h ∼ N −1/d
h ∼ N −4/d
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
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Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Comparação com outros métodos
Método
Monte Carlo
Trapézio
Simpson
Erro
N −1/2
h ∼ N −1/d
h ∼ N −4/d
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Comparação com outros métodos
Método
Monte Carlo
Trapézio
Simpson
Erro
N −1/2
h ∼ N −1/d
h ∼ N −4/d
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Comparação com outros métodos
Método
Monte Carlo
Trapézio
Simpson
Erro
N −1/2
h ∼ N −1/d
h ∼ N −4/d
Por que usar Monte-Carlo?
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
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Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Comparação com outros métodos
Método
Monte Carlo
Trapézio
Simpson
Erro
N −1/2
h ∼ N −1/d
h ∼ N −4/d
Integrais multidimensionais
Monte-Carlo não depende da dimensão
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
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Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Implementação
Algoritmo
1
Escolha o número de amostras
2
Para cada amostra escolha um número aleatório xk e
calcule f (xk )
3
Calcule a média de f (xk ) e a variância
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Implementação
Algoritmo
1
Escolha o número de amostras
2
Para cada amostra escolha um número aleatório xk e
calcule f (xk )
3
Calcule a média de f (xk ) e a variância
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Implementação
Algoritmo
1
Escolha o número de amostras
2
Para cada amostra escolha um número aleatório xk e
calcule f (xk )
3
Calcule a média de f (xk ) e a variância
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Exemplo
R1
4
0 1+x x dx
=π
N
100
1000
10000
100000
1000000
10000000
100000000
1000000000
hIi
3.182251
3.155254
3.142956
3.142433
3.142021
3.141894
3.141638
3.141584
σN
0.430004
0.419448
0.413842
0.413087
0.413286
0.413538
0.413660
0.413586
| I−π
π |
0.012942
0.004349
0.000434
0.000267
0.000136
0.000096
0.000014
0.000003
variância oscila em torno do valor exato 0.413581
integral correta até quarta casa
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Partículas em uma caixa
Caixa dividida em duas metades iguais
Inicialmente, todas as partículas no lado esquerdo
Pequeno buraco é feito na parede
Ao invés de descrever o estado inicial das N partículas,
fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesma
probabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda
Algoritmo
1
Repetir para muitos passos de tempo Nt > N
2
Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula ir
para a direita é p = Nl /N
3
Sortear um número aleatório r
4
Se p < r , Nl ← Nl − 1, caso contrário Nl ← Nl + 1
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Partículas em uma caixa
Caixa dividida em duas metades iguais
Inicialmente, todas as partículas no lado esquerdo
Pequeno buraco é feito na parede
Ao invés de descrever o estado inicial das N partículas,
fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesma
probabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda
Algoritmo
1
Repetir para muitos passos de tempo Nt > N
2
Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula ir
para a direita é p = Nl /N
3
Sortear um número aleatório r
4
Se p < r , Nl ← Nl − 1, caso contrário Nl ← Nl + 1
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Partículas em uma caixa
Caixa dividida em duas metades iguais
Inicialmente, todas as partículas no lado esquerdo
Pequeno buraco é feito na parede
Ao invés de descrever o estado inicial das N partículas,
fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesma
probabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda
Algoritmo
1
Repetir para muitos passos de tempo Nt > N
2
Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula ir
para a direita é p = Nl /N
3
Sortear um número aleatório r
4
Se p < r , Nl ← Nl − 1, caso contrário Nl ← Nl + 1
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Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
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Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Partículas em uma caixa
Caixa dividida em duas metades iguais
Inicialmente, todas as partículas no lado esquerdo
Pequeno buraco é feito na parede
Ao invés de descrever o estado inicial das N partículas,
fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesma
probabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda
Algoritmo
1
Repetir para muitos passos de tempo Nt > N
2
Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula ir
para a direita é p = Nl /N
3
Sortear um número aleatório r
4
Se p < r , Nl ← Nl − 1, caso contrário Nl ← Nl + 1
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Método Monte-Carlo
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Números aleatórios
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Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Partículas em uma caixa
Caixa dividida em duas metades iguais
Inicialmente, todas as partículas no lado esquerdo
Pequeno buraco é feito na parede
Ao invés de descrever o estado inicial das N partículas,
fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesma
probabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda
Algoritmo
1
Repetir para muitos passos de tempo Nt > N
2
Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula ir
para a direita é p = Nl /N
3
Sortear um número aleatório r
4
Se p < r , Nl ← Nl − 1, caso contrário Nl ← Nl + 1
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Partículas em uma caixa
Caixa dividida em duas metades iguais
Inicialmente, todas as partículas no lado esquerdo
Pequeno buraco é feito na parede
Ao invés de descrever o estado inicial das N partículas,
fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesma
probabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda
Algoritmo
1
Repetir para muitos passos de tempo Nt > N
2
Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula ir
para a direita é p = Nl /N
3
Sortear um número aleatório r
4
Se p < r , Nl ← Nl − 1, caso contrário Nl ← Nl + 1
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Partículas em uma caixa
Caixa dividida em duas metades iguais
Inicialmente, todas as partículas no lado esquerdo
Pequeno buraco é feito na parede
Ao invés de descrever o estado inicial das N partículas,
fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesma
probabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda
Algoritmo
1
Repetir para muitos passos de tempo Nt > N
2
Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula ir
para a direita é p = Nl /N
3
Sortear um número aleatório r
4
Se p < r , Nl ← Nl − 1, caso contrário Nl ← Nl + 1
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Partículas em uma caixa
Caixa dividida em duas metades iguais
Inicialmente, todas as partículas no lado esquerdo
Pequeno buraco é feito na parede
Ao invés de descrever o estado inicial das N partículas,
fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesma
probabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda
Algoritmo
1
Repetir para muitos passos de tempo Nt > N
2
Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula ir
para a direita é p = Nl /N
3
Sortear um número aleatório r
4
Se p < r , Nl ← Nl − 1, caso contrário Nl ← Nl + 1
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Resultado
10000
9000
Nl(t)
8000
7000
6000
5000
4000
0
10000
20000
t
Alexandre Rosas
30000
40000
Método Monte-Carlo
50000
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
O problema
Núcleo radioativo X pode decair para núcleo Y
Por sua vez, o núcleo Y pode decair para Z
A meia-vida do núcleo X é τX , e a do núcleo Y é τY
Definindo a probabilidade de decaimento de um núcleo
por unidade de tempo ω = 1/τ, o sistema pode ser
descrito pelas equações
dX
dt
dY
dt
= −ωX X (t)
= ωX X (t) − ωY Y (t)
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
O problema
Núcleo radioativo X pode decair para núcleo Y
Por sua vez, o núcleo Y pode decair para Z
A meia-vida do núcleo X é τX , e a do núcleo Y é τY
Definindo a probabilidade de decaimento de um núcleo
por unidade de tempo ω = 1/τ, o sistema pode ser
descrito pelas equações
dX
dt
dY
dt
= −ωX X (t)
= ωX X (t) − ωY Y (t)
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
O problema
Núcleo radioativo X pode decair para núcleo Y
Por sua vez, o núcleo Y pode decair para Z
A meia-vida do núcleo X é τX , e a do núcleo Y é τY
Definindo a probabilidade de decaimento de um núcleo
por unidade de tempo ω = 1/τ, o sistema pode ser
descrito pelas equações
dX
dt
dY
dt
= −ωX X (t)
= ωX X (t) − ωY Y (t)
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
O problema
Núcleo radioativo X pode decair para núcleo Y
Por sua vez, o núcleo Y pode decair para Z
A meia-vida do núcleo X é τX , e a do núcleo Y é τY
Definindo a probabilidade de decaimento de um núcleo
por unidade de tempo ω = 1/τ, o sistema pode ser
descrito pelas equações
dX
dt
dY
dt
= −ωX X (t)
= ωX X (t) − ωY Y (t)
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
O problema
Núcleo radioativo X pode decair para núcleo Y
Por sua vez, o núcleo Y pode decair para Z
A meia-vida do núcleo X é τX , e a do núcleo Y é τY
Definindo a probabilidade de decaimento de um núcleo
por unidade de tempo ω = 1/τ, o sistema pode ser
descrito pelas equações
dX
dt
dY
dt
= −ωX X (t)
= ωX X (t) − ωY Y (t)
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Do ponto de vista simulacional
A cada passo de tempo:
Cada um dos NX átomos pode decair com probabilidade
ωX
Cada um dos NY átomos pode decair com probabilidade
ωY
(d)
Portanto, se NX ,Y (t) é o número de atómos (X , Y ) que
decaem no tempo t,
(d)
NX (t + 1) ← NX (t) − NX (t)
(d)
(d)
NY (t + 1) ← NY (t) + NX (t) − NY (t)
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Do ponto de vista simulacional
A cada passo de tempo:
Cada um dos NX átomos pode decair com probabilidade
ωX
Cada um dos NY átomos pode decair com probabilidade
ωY
(d)
Portanto, se NX ,Y (t) é o número de atómos (X , Y ) que
decaem no tempo t,
(d)
NX (t + 1) ← NX (t) − NX (t)
(d)
(d)
NY (t + 1) ← NY (t) + NX (t) − NY (t)
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Do ponto de vista simulacional
A cada passo de tempo:
Cada um dos NX átomos pode decair com probabilidade
ωX
Cada um dos NY átomos pode decair com probabilidade
ωY
(d)
Portanto, se NX ,Y (t) é o número de atómos (X , Y ) que
decaem no tempo t,
(d)
NX (t + 1) ← NX (t) − NX (t)
(d)
(d)
NY (t + 1) ← NY (t) + NX (t) − NY (t)
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Do ponto de vista simulacional
A cada passo de tempo:
Cada um dos NX átomos pode decair com probabilidade
ωX
Cada um dos NY átomos pode decair com probabilidade
ωY
(d)
Portanto, se NX ,Y (t) é o número de atómos (X , Y ) que
decaem no tempo t,
(d)
NX (t + 1) ← NX (t) − NX (t)
(d)
(d)
NY (t + 1) ← NY (t) + NX (t) − NY (t)
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Decaimento de 210 Bi e 210 Po
O 210 Bi decai em 210 Po (decaimento β)
O 210 Po decai em 206 Pb (decaimento α)
Meia vida do 210 Bi: τBi = 7.2 dias
Meia vida do 210 Po: τPo = 200 dias
Suponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de
210 Bi, como será a evolução do sistema?
É importante escolher bem a escala de tempo
Se ela for muito grande, não veremos a evolução do
sistema
Se ela for muito pequena, o programa será muito lento
1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Decaimento de 210 Bi e 210 Po
O 210 Bi decai em 210 Po (decaimento β)
O 210 Po decai em 206 Pb (decaimento α)
Meia vida do 210 Bi: τBi = 7.2 dias
Meia vida do 210 Po: τPo = 200 dias
Suponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de
210 Bi, como será a evolução do sistema?
É importante escolher bem a escala de tempo
Se ela for muito grande, não veremos a evolução do
sistema
Se ela for muito pequena, o programa será muito lento
1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Decaimento de 210 Bi e 210 Po
O 210 Bi decai em 210 Po (decaimento β)
O 210 Po decai em 206 Pb (decaimento α)
Meia vida do 210 Bi: τBi = 7.2 dias
Meia vida do 210 Po: τPo = 200 dias
Suponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de
210 Bi, como será a evolução do sistema?
É importante escolher bem a escala de tempo
Se ela for muito grande, não veremos a evolução do
sistema
Se ela for muito pequena, o programa será muito lento
1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Decaimento de 210 Bi e 210 Po
O 210 Bi decai em 210 Po (decaimento β)
O 210 Po decai em 206 Pb (decaimento α)
Meia vida do 210 Bi: τBi = 7.2 dias
Meia vida do 210 Po: τPo = 200 dias
Suponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de
210 Bi, como será a evolução do sistema?
É importante escolher bem a escala de tempo
Se ela for muito grande, não veremos a evolução do
sistema
Se ela for muito pequena, o programa será muito lento
1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Decaimento de 210 Bi e 210 Po
O 210 Bi decai em 210 Po (decaimento β)
O 210 Po decai em 206 Pb (decaimento α)
Meia vida do 210 Bi: τBi = 7.2 dias
Meia vida do 210 Po: τPo = 200 dias
Suponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de
210 Bi, como será a evolução do sistema?
É importante escolher bem a escala de tempo
Se ela for muito grande, não veremos a evolução do
sistema
Se ela for muito pequena, o programa será muito lento
1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Decaimento de 210 Bi e 210 Po
O 210 Bi decai em 210 Po (decaimento β)
O 210 Po decai em 206 Pb (decaimento α)
Meia vida do 210 Bi: τBi = 7.2 dias
Meia vida do 210 Po: τPo = 200 dias
Suponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de
210 Bi, como será a evolução do sistema?
É importante escolher bem a escala de tempo
Se ela for muito grande, não veremos a evolução do
sistema
Se ela for muito pequena, o programa será muito lento
1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Decaimento de 210 Bi e 210 Po
O 210 Bi decai em 210 Po (decaimento β)
O 210 Po decai em 206 Pb (decaimento α)
Meia vida do 210 Bi: τBi = 7.2 dias
Meia vida do 210 Po: τPo = 200 dias
Suponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de
210 Bi, como será a evolução do sistema?
É importante escolher bem a escala de tempo
Se ela for muito grande, não veremos a evolução do
sistema
Se ela for muito pequena, o programa será muito lento
1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
Decaimento de 210 Bi e 210 Po
O 210 Bi decai em 210 Po (decaimento β)
O 210 Po decai em 206 Pb (decaimento α)
Meia vida do 210 Bi: τBi = 7.2 dias
Meia vida do 210 Po: τPo = 200 dias
Suponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de
210 Bi, como será a evolução do sistema?
É importante escolher bem a escala de tempo
Se ela for muito grande, não veremos a evolução do
sistema
Se ela for muito pequena, o programa será muito lento
1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Bi
1000
800
600
NBi(t)
210
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
400
200
0
10
100
tempo (horas)
Alexandre Rosas
1000
Método Monte-Carlo
10000
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Po
800
600
NPo(t)
210
Integração de Monte-Carlo
Evolução para o equilíbrio
Decaimento radioativo
400
200
0
0
2000
4000
6000
tempo (horas)
Alexandre Rosas
8000
Método Monte-Carlo
10000
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Geradores de números aleatórios são fundamentais para
o método Monte-Carlo
O computador não tem como gerar números puramente
aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os
números pseudo-aleatórios
Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra
determinística com as seguintes propriedades
1
2
3
4
Correlação entre números é pequena
O período para que a sequência se repita é grande
O algoritmo deve ser rápido
Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades
A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme
Cada número em um intervalo – tipicamente [0, 1) – tem
mesma probabilidade de ocorrer
Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir
da distribuição uniforme
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Geradores de números aleatórios são fundamentais para
o método Monte-Carlo
O computador não tem como gerar números puramente
aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os
números pseudo-aleatórios
Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra
determinística com as seguintes propriedades
1
2
3
4
Correlação entre números é pequena
O período para que a sequência se repita é grande
O algoritmo deve ser rápido
Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades
A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme
Cada número em um intervalo – tipicamente [0, 1) – tem
mesma probabilidade de ocorrer
Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir
da distribuição uniforme
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Geradores de números aleatórios são fundamentais para
o método Monte-Carlo
O computador não tem como gerar números puramente
aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os
números pseudo-aleatórios
Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra
determinística com as seguintes propriedades
1
2
3
4
Correlação entre números é pequena
O período para que a sequência se repita é grande
O algoritmo deve ser rápido
Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades
A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme
Cada número em um intervalo – tipicamente [0, 1) – tem
mesma probabilidade de ocorrer
Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir
da distribuição uniforme
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Geradores de números aleatórios são fundamentais para
o método Monte-Carlo
O computador não tem como gerar números puramente
aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os
números pseudo-aleatórios
Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra
determinística com as seguintes propriedades
1
2
3
4
Correlação entre números é pequena
O período para que a sequência se repita é grande
O algoritmo deve ser rápido
Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades
A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme
Cada número em um intervalo – tipicamente [0, 1) – tem
mesma probabilidade de ocorrer
Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir
da distribuição uniforme
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Geradores de números aleatórios são fundamentais para
o método Monte-Carlo
O computador não tem como gerar números puramente
aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os
números pseudo-aleatórios
Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra
determinística com as seguintes propriedades
1
2
3
4
Correlação entre números é pequena
O período para que a sequência se repita é grande
O algoritmo deve ser rápido
Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades
A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme
Cada número em um intervalo – tipicamente [0, 1) – tem
mesma probabilidade de ocorrer
Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir
da distribuição uniforme
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Geradores de números aleatórios são fundamentais para
o método Monte-Carlo
O computador não tem como gerar números puramente
aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os
números pseudo-aleatórios
Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra
determinística com as seguintes propriedades
1
2
3
4
Correlação entre números é pequena
O período para que a sequência se repita é grande
O algoritmo deve ser rápido
Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades
A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme
Cada número em um intervalo – tipicamente [0, 1) – tem
mesma probabilidade de ocorrer
Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir
da distribuição uniforme
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Geradores de números aleatórios são fundamentais para
o método Monte-Carlo
O computador não tem como gerar números puramente
aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os
números pseudo-aleatórios
Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra
determinística com as seguintes propriedades
1
2
3
4
Correlação entre números é pequena
O período para que a sequência se repita é grande
O algoritmo deve ser rápido
Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades
A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme
Cada número em um intervalo – tipicamente [0, 1) – tem
mesma probabilidade de ocorrer
Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir
da distribuição uniforme
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Geradores de números aleatórios são fundamentais para
o método Monte-Carlo
O computador não tem como gerar números puramente
aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os
números pseudo-aleatórios
Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra
determinística com as seguintes propriedades
1
2
3
4
Correlação entre números é pequena
O período para que a sequência se repita é grande
O algoritmo deve ser rápido
Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades
A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme
Cada número em um intervalo – tipicamente [0, 1) – tem
mesma probabilidade de ocorrer
Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir
da distribuição uniforme
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Geradores de números aleatórios são fundamentais para
o método Monte-Carlo
O computador não tem como gerar números puramente
aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os
números pseudo-aleatórios
Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra
determinística com as seguintes propriedades
1
2
3
4
Correlação entre números é pequena
O período para que a sequência se repita é grande
O algoritmo deve ser rápido
Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades
A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme
Cada número em um intervalo – tipicamente [0, 1) – tem
mesma probabilidade de ocorrer
Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir
da distribuição uniforme
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Geradores de números aleatórios são fundamentais para
o método Monte-Carlo
O computador não tem como gerar números puramente
aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os
números pseudo-aleatórios
Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra
determinística com as seguintes propriedades
1
2
3
4
Correlação entre números é pequena
O período para que a sequência se repita é grande
O algoritmo deve ser rápido
Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades
A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme
Cada número em um intervalo – tipicamente [0, 1) – tem
mesma probabilidade de ocorrer
Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir
da distribuição uniforme
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Geradores congruenciais lineares
Nk = (aNk −1 + c)MOD(M)
{Nk , a, c, M} ∈ ℵ
Gera os números xk = Nk /M
N0 é a semente,
MOD retorna o resto da divisão
M é o período máximo
A escolha de N0 , a e c é fundamental para a qualidade do
gerador
Exemplo: tomando N0 = 2,
Nk = (27Nk −1 + 11)MOD(54) ⇒ {11, 38, 11, 38, . . .}
Estes são os geradores mais usados → muito rápidos
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Geradores congruenciais lineares
Nk = (aNk −1 + c)MOD(M)
{Nk , a, c, M} ∈ ℵ
Gera os números xk = Nk /M
N0 é a semente,
MOD retorna o resto da divisão
M é o período máximo
A escolha de N0 , a e c é fundamental para a qualidade do
gerador
Exemplo: tomando N0 = 2,
Nk = (27Nk −1 + 11)MOD(54) ⇒ {11, 38, 11, 38, . . .}
Estes são os geradores mais usados → muito rápidos
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Geradores congruenciais lineares
Nk = (aNk −1 + c)MOD(M)
{Nk , a, c, M} ∈ ℵ
Gera os números xk = Nk /M
N0 é a semente,
MOD retorna o resto da divisão
M é o período máximo
A escolha de N0 , a e c é fundamental para a qualidade do
gerador
Exemplo: tomando N0 = 2,
Nk = (27Nk −1 + 11)MOD(54) ⇒ {11, 38, 11, 38, . . .}
Estes são os geradores mais usados → muito rápidos
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Geradores congruenciais lineares
Nk = (aNk −1 + c)MOD(M)
{Nk , a, c, M} ∈ ℵ
Gera os números xk = Nk /M
N0 é a semente,
MOD retorna o resto da divisão
M é o período máximo
A escolha de N0 , a e c é fundamental para a qualidade do
gerador
Exemplo: tomando N0 = 2,
Nk = (27Nk −1 + 11)MOD(54) ⇒ {11, 38, 11, 38, . . .}
Estes são os geradores mais usados → muito rápidos
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Geradores congruenciais lineares
Nk = (aNk −1 + c)MOD(M)
{Nk , a, c, M} ∈ ℵ
Gera os números xk = Nk /M
N0 é a semente,
MOD retorna o resto da divisão
M é o período máximo
A escolha de N0 , a e c é fundamental para a qualidade do
gerador
Exemplo: tomando N0 = 2,
Nk = (27Nk −1 + 11)MOD(54) ⇒ {11, 38, 11, 38, . . .}
Estes são os geradores mais usados → muito rápidos
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Geradores congruenciais lineares
Nk = (aNk −1 + c)MOD(M)
{Nk , a, c, M} ∈ ℵ
Gera os números xk = Nk /M
N0 é a semente,
MOD retorna o resto da divisão
M é o período máximo
A escolha de N0 , a e c é fundamental para a qualidade do
gerador
Exemplo: tomando N0 = 2,
Nk = (27Nk −1 + 11)MOD(54) ⇒ {11, 38, 11, 38, . . .}
Estes são os geradores mais usados → muito rápidos
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Geradores congruenciais lineares
Nk = (aNk −1 + c)MOD(M)
{Nk , a, c, M} ∈ ℵ
Gera os números xk = Nk /M
N0 é a semente,
MOD retorna o resto da divisão
M é o período máximo
A escolha de N0 , a e c é fundamental para a qualidade do
gerador
Exemplo: tomando N0 = 2,
Nk = (27Nk −1 + 11)MOD(54) ⇒ {11, 38, 11, 38, . . .}
Estes são os geradores mais usados → muito rápidos
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Deslocamento de registro
Gerador depende de mais de um valor precedente
Por exemplo,
Nk = (aNk −l + cNk −j )MOD(M)
Desta forma pode-se obter períodos muito maiores que M
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Deslocamento de registro
Gerador depende de mais de um valor precedente
Por exemplo,
Nk = (aNk −l + cNk −j )MOD(M)
Desta forma pode-se obter períodos muito maiores que M
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Deslocamento de registro
Gerador depende de mais de um valor precedente
Por exemplo,
Nk = (aNk −l + cNk −j )MOD(M)
Desta forma pode-se obter períodos muito maiores que M
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Mersenne Twister 19937
Criado para corrigir deficiências de outros geradores
Propicia a geração de números pseudo-aleatórios de alta
qualidade
Vantagens
1
2
3
4
Período de recorrência muito grande – 219937 − 1
Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores
congruenciais lineares são particularmente ineficientes)
É rápido
Passa em diversos testes estatísticos como o die hard
Baseado em primos de Mersenne (se p é um número
primo e Mp = 2p − 1 também, Mp é dito primo de
Mersenne)
É um gerador de deslocamente o registro associado a
uma operação (twist) para assegurar a equidistribuição
Implementado na GSL – Gnu Scientific Library
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Mersenne Twister 19937
Criado para corrigir deficiências de outros geradores
Propicia a geração de números pseudo-aleatórios de alta
qualidade
Vantagens
1
2
3
4
Período de recorrência muito grande – 219937 − 1
Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores
congruenciais lineares são particularmente ineficientes)
É rápido
Passa em diversos testes estatísticos como o die hard
Baseado em primos de Mersenne (se p é um número
primo e Mp = 2p − 1 também, Mp é dito primo de
Mersenne)
É um gerador de deslocamente o registro associado a
uma operação (twist) para assegurar a equidistribuição
Implementado na GSL – Gnu Scientific Library
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Mersenne Twister 19937
Criado para corrigir deficiências de outros geradores
Propicia a geração de números pseudo-aleatórios de alta
qualidade
Vantagens
1
2
3
4
Período de recorrência muito grande – 219937 − 1
Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores
congruenciais lineares são particularmente ineficientes)
É rápido
Passa em diversos testes estatísticos como o die hard
Baseado em primos de Mersenne (se p é um número
primo e Mp = 2p − 1 também, Mp é dito primo de
Mersenne)
É um gerador de deslocamente o registro associado a
uma operação (twist) para assegurar a equidistribuição
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Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Mersenne Twister 19937
Criado para corrigir deficiências de outros geradores
Propicia a geração de números pseudo-aleatórios de alta
qualidade
Vantagens
1
2
3
4
Período de recorrência muito grande – 219937 − 1
Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores
congruenciais lineares são particularmente ineficientes)
É rápido
Passa em diversos testes estatísticos como o die hard
Baseado em primos de Mersenne (se p é um número
primo e Mp = 2p − 1 também, Mp é dito primo de
Mersenne)
É um gerador de deslocamente o registro associado a
uma operação (twist) para assegurar a equidistribuição
Implementado na GSL – Gnu Scientific Library
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Mersenne Twister 19937
Criado para corrigir deficiências de outros geradores
Propicia a geração de números pseudo-aleatórios de alta
qualidade
Vantagens
1
2
3
4
Período de recorrência muito grande – 219937 − 1
Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores
congruenciais lineares são particularmente ineficientes)
É rápido
Passa em diversos testes estatísticos como o die hard
Baseado em primos de Mersenne (se p é um número
primo e Mp = 2p − 1 também, Mp é dito primo de
Mersenne)
É um gerador de deslocamente o registro associado a
uma operação (twist) para assegurar a equidistribuição
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Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Mersenne Twister 19937
Criado para corrigir deficiências de outros geradores
Propicia a geração de números pseudo-aleatórios de alta
qualidade
Vantagens
1
2
3
4
Período de recorrência muito grande – 219937 − 1
Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores
congruenciais lineares são particularmente ineficientes)
É rápido
Passa em diversos testes estatísticos como o die hard
Baseado em primos de Mersenne (se p é um número
primo e Mp = 2p − 1 também, Mp é dito primo de
Mersenne)
É um gerador de deslocamente o registro associado a
uma operação (twist) para assegurar a equidistribuição
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Método Monte-Carlo
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Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Mersenne Twister 19937
Criado para corrigir deficiências de outros geradores
Propicia a geração de números pseudo-aleatórios de alta
qualidade
Vantagens
1
2
3
4
Período de recorrência muito grande – 219937 − 1
Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores
congruenciais lineares são particularmente ineficientes)
É rápido
Passa em diversos testes estatísticos como o die hard
Baseado em primos de Mersenne (se p é um número
primo e Mp = 2p − 1 também, Mp é dito primo de
Mersenne)
É um gerador de deslocamente o registro associado a
uma operação (twist) para assegurar a equidistribuição
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Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Mersenne Twister 19937
Criado para corrigir deficiências de outros geradores
Propicia a geração de números pseudo-aleatórios de alta
qualidade
Vantagens
1
2
3
4
Período de recorrência muito grande – 219937 − 1
Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores
congruenciais lineares são particularmente ineficientes)
É rápido
Passa em diversos testes estatísticos como o die hard
Baseado em primos de Mersenne (se p é um número
primo e Mp = 2p − 1 também, Mp é dito primo de
Mersenne)
É um gerador de deslocamente o registro associado a
uma operação (twist) para assegurar a equidistribuição
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Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Mersenne Twister 19937
Criado para corrigir deficiências de outros geradores
Propicia a geração de números pseudo-aleatórios de alta
qualidade
Vantagens
1
2
3
4
Período de recorrência muito grande – 219937 − 1
Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores
congruenciais lineares são particularmente ineficientes)
É rápido
Passa em diversos testes estatísticos como o die hard
Baseado em primos de Mersenne (se p é um número
primo e Mp = 2p − 1 também, Mp é dito primo de
Mersenne)
É um gerador de deslocamente o registro associado a
uma operação (twist) para assegurar a equidistribuição
Implementado na GSL – Gnu Scientific Library
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Mudança de variáveis
Suponha que uma variável aleatória X obedeça a uma
distribuição de probabilidades pX (x)
Devido à conservação da probabilidade, uma mudança de
variáveis deve obedecer à relação:
pY (y )dy = pX (x)dx
Portanto, se p(x) = 1 no intervalo [0, 1) e é nula fora dele
(distribuição uniforme),
Z y
Z x
pY (y )dy =
dx = x
−∞
0
Invertendo esta relação, podemos obter y = y (x)
Assim obtemos números pseudo-aleatórios que obedecem
a uma distribuição pY (y ) a partir da distribuição uniforme
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Mudança de variáveis
Suponha que uma variável aleatória X obedeça a uma
distribuição de probabilidades pX (x)
Devido à conservação da probabilidade, uma mudança de
variáveis deve obedecer à relação:
pY (y )dy = pX (x)dx
Portanto, se p(x) = 1 no intervalo [0, 1) e é nula fora dele
(distribuição uniforme),
Z y
Z x
pY (y )dy =
dx = x
−∞
0
Invertendo esta relação, podemos obter y = y (x)
Assim obtemos números pseudo-aleatórios que obedecem
a uma distribuição pY (y ) a partir da distribuição uniforme
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Mudança de variáveis
Suponha que uma variável aleatória X obedeça a uma
distribuição de probabilidades pX (x)
Devido à conservação da probabilidade, uma mudança de
variáveis deve obedecer à relação:
pY (y )dy = pX (x)dx
Portanto, se p(x) = 1 no intervalo [0, 1) e é nula fora dele
(distribuição uniforme),
Z y
Z x
pY (y )dy =
dx = x
−∞
0
Invertendo esta relação, podemos obter y = y (x)
Assim obtemos números pseudo-aleatórios que obedecem
a uma distribuição pY (y ) a partir da distribuição uniforme
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Mudança de variáveis
Suponha que uma variável aleatória X obedeça a uma
distribuição de probabilidades pX (x)
Devido à conservação da probabilidade, uma mudança de
variáveis deve obedecer à relação:
pY (y )dy = pX (x)dx
Portanto, se p(x) = 1 no intervalo [0, 1) e é nula fora dele
(distribuição uniforme),
Z y
Z x
pY (y )dy =
dx = x
−∞
0
Invertendo esta relação, podemos obter y = y (x)
Assim obtemos números pseudo-aleatórios que obedecem
a uma distribuição pY (y ) a partir da distribuição uniforme
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Mudança de variáveis
Suponha que uma variável aleatória X obedeça a uma
distribuição de probabilidades pX (x)
Devido à conservação da probabilidade, uma mudança de
variáveis deve obedecer à relação:
pY (y )dy = pX (x)dx
Portanto, se p(x) = 1 no intervalo [0, 1) e é nula fora dele
(distribuição uniforme),
Z y
Z x
pY (y )dy =
dx = x
−∞
0
Invertendo esta relação, podemos obter y = y (x)
Assim obtemos números pseudo-aleatórios que obedecem
a uma distribuição pY (y ) a partir da distribuição uniforme
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Distribuição exponencial
pY (y ) = e
−y
y
Z
⇒ x=
e−y dy = 1 − e−y
0
y (x) = − ln(1 − x)
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Distribuição exponencial
pY (y ) = e
−y
y
Z
⇒ x=
e−y dy = 1 − e−y
0
y (x) = − ln(1 − x)
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Distribuição gaussiana
Aplicando o mesmo procedimento, temos
1
1 −y 2 /2
y
⇒ x=
pY (y ) = √ e
1 + erf ( √ )
2
2π
2
Contudo, não podemos inverter a função erro.
Alternativa
Analisemos a distribuição conjunta de 2 números aleatórios
independentes
p(y1 , y2 )dy1 dy2 =
Alexandre Rosas
1 −(y 2 +y 2 )/2
e 1 2 dy1 dy2
2π
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Distribuição gaussiana
Aplicando o mesmo procedimento, temos
1
1 −y 2 /2
y
⇒ x=
pY (y ) = √ e
1 + erf ( √ )
2
2π
2
Contudo, não podemos inverter a função erro.
Alternativa
Analisemos a distribuição conjunta de 2 números aleatórios
independentes
p(y1 , y2 )dy1 dy2 =
Alexandre Rosas
1 −(y 2 +y 2 )/2
e 1 2 dy1 dy2
2π
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Distribuição gaussiana
Aplicando o mesmo procedimento, temos
1
1 −y 2 /2
y
⇒ x=
pY (y ) = √ e
1 + erf ( √ )
2
2π
2
Contudo, não podemos inverter a função erro.
Alternativa
Analisemos a distribuição conjunta de 2 números aleatórios
independentes
p(y1 , y2 )dy1 dy2 =
Alexandre Rosas
1 −(y 2 +y 2 )/2
e 1 2 dy1 dy2
2π
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Distribuição gaussiana
Alternativa
Mudando para coordenada polares,
q
y1
r = y12 + y22 e θ = tan−1
y2
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Distribuição gaussiana
Alternativa
Mudando para coordenada polares,
q
y1
r = y12 + y22 e θ = tan−1
y2
Temos
1 −(y 2 +y 2 )/2
1 −r 2 /2
e 1 2 dy1 dy2 =
e
r dr dθ
2π
2π
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Distribuição gaussiana
Alternativa
Mudando para coordenada polares,
q
y1
r = y12 + y22 e θ = tan−1
y2
Temos
1 −(y 2 +y 2 )/2
1 −r 2 /2
e 1 2 dy1 dy2 =
e
r dr dθ
2π
2π
Onde θ é uniformemente distribuído.
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Distribuição gaussiana
Alternativa
Mudando para coordenada polares,
q
y1
r = y12 + y22 e θ = tan−1
y2
Temos
1 −(y 2 +y 2 )/2
1 −r 2 /2
e 1 2 dy1 dy2 =
e
r dr dθ
2π
2π
Para obtermos r fazemos outra mudança de variável: u = r 2 /2
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Distribuição gaussiana
Alternativa
Mudando para coordenada polares,
q
y1
r = y12 + y22 e θ = tan−1
y2
Temos
1 −(y 2 +y 2 )/2
1 −r 2 /2
e 1 2 dy1 dy2 =
e
r dr dθ
2π
2π
Para obtermos r fazemos outra mudança de variável: u = r 2 /2
e notamos que u é distribuído exponencialmente
√
p
2
e−r /2 r dr = e−u du ⇒ r = 2u = −2 ln(1 − x)
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Distribuição gaussiana
Alternativa
Portanto, a partir de dois números aleatórios uniformemente distribuídos no intervalo [0, 1), obetmos dois números aleatórios
com distribuição gaussiana
p
y1 = r sin θ = −2 ln(1 − x1 ) sin(2πx2 )
p
y2 = r cos θ = −2 ln(1 − x1 ) cos(2πx2 )
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Recapitulando
Para obtermos números aleatórios com uma distribuição
pY (y )
1
Calculamos a distribuição acumulada
Z y
PY (y ) =
pY (y 0 )dy 0 = ×
−∞
2
Invertemos a distribuição acumulada encontrando
y = y (x), onde x é uniformemente distribuído
E se não soubermos calcular analiticamente PY (y )?
Ou, simplesmente, se não soubermos inverter PY (y )?
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Recapitulando
Para obtermos números aleatórios com uma distribuição
pY (y )
1
Calculamos a distribuição acumulada
Z y
PY (y ) =
pY (y 0 )dy 0 = ×
−∞
2
Invertemos a distribuição acumulada encontrando
y = y (x), onde x é uniformemente distribuído
E se não soubermos calcular analiticamente PY (y )?
Ou, simplesmente, se não soubermos inverter PY (y )?
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Recapitulando
Para obtermos números aleatórios com uma distribuição
pY (y )
1
Calculamos a distribuição acumulada
Z y
PY (y ) =
pY (y 0 )dy 0 = ×
−∞
2
Invertemos a distribuição acumulada encontrando
y = y (x), onde x é uniformemente distribuído
E se não soubermos calcular analiticamente PY (y )?
Ou, simplesmente, se não soubermos inverter PY (y )?
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Recapitulando
Para obtermos números aleatórios com uma distribuição
pY (y )
1
Calculamos a distribuição acumulada
Z y
PY (y ) =
pY (y 0 )dy 0 = ×
−∞
2
Invertemos a distribuição acumulada encontrando
y = y (x), onde x é uniformemente distribuído
E se não soubermos calcular analiticamente PY (y )?
Ou, simplesmente, se não soubermos inverter PY (y )?
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Recapitulando
Para obtermos números aleatórios com uma distribuição
pY (y )
1
Calculamos a distribuição acumulada
Z y
PY (y ) =
pY (y 0 )dy 0 = ×
−∞
2
Invertemos a distribuição acumulada encontrando
y = y (x), onde x é uniformemente distribuído
E se não soubermos calcular analiticamente PY (y )?
Ou, simplesmente, se não soubermos inverter PY (y )?
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Recapitulando
Para obtermos números aleatórios com uma distribuição
pY (y )
1
Calculamos a distribuição acumulada
Z y
PY (y ) =
pY (y 0 )dy 0 = ×
−∞
2
Invertemos a distribuição acumulada encontrando
y = y (x), onde x é uniformemente distribuído
E se não soubermos calcular analiticamente PY (y )?
Ou, simplesmente, se não soubermos inverter PY (y )?
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Método com apelo gráfico
Fazendo o gráfico da distribuição de probabilidades pY (y )
pY (y )
y
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Método com apelo gráfico
A área sob a curva é 1, pois a probabilidade é normalizada
pY (y )
y
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Método com apelo gráfico
Probabilidade de y assumir valores entre y e y + dy
pY (y )
pY (y )dy
y
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Método com apelo gráfico
yk distribuído segundo pY (y )
pY (y )
ponto aleatório sob a
curva com probabilidade uniforme
.
yk
Alexandre Rosas
y
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Método com apelo gráfico
Para encontrarmos pontos distribuídos uniformemente, escolhemos uma função de comparação f (y ), tal que f (y ) ≥
pY (y )
pY (y ) ∀ y
.
f (y )
yk
Alexandre Rosas
y
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Método com apelo gráfico
Escolhemos pontos uniformemente distribuídos sob f (y )
pY (y )
.
f (y )
yk
Alexandre Rosas
y
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Método com apelo gráfico
Aceitamos apenas os pontos sob pY (y )
pY (y )
.
f (y )
yk
Alexandre Rosas
y
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Método com apelo gráfico
Os quais estão distribuídos segundo pY (y )
pY (y )
.
f (y )
yk
Alexandre Rosas
y
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Método com apelo gráfico
Obviamente, o número de pontos rejeitados depende apenas
da razão entre as áreas sob pY (y ) e f (y )
pY (y )
.
f (y )
yk
Alexandre Rosas
y
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Método com apelo gráfico
Resta determinar os pontos distribuídos uniformemente sob
f (y )
pY (y )
.
f (y )
yk
Alexandre Rosas
y
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Na prática
Escolhemos uma função f (y ) cuja função acumulada seja
inversível
Sorteamos um número aleatório y0 distribuído entre 0 e A,
onde A é a área sob f (y )
Sorteamos outro número aleatório s distribuído entre 0 e
f (y0 )
Com isso temos pontos uniformemente distribuídos sob
f (y )
Se s < pY (y0 ), aceitamos y0
Se não, tentamos novamente
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Na prática
Escolhemos uma função f (y ) cuja função acumulada seja
inversível
Sorteamos um número aleatório y0 distribuído entre 0 e A,
onde A é a área sob f (y )
Sorteamos outro número aleatório s distribuído entre 0 e
f (y0 )
Com isso temos pontos uniformemente distribuídos sob
f (y )
Se s < pY (y0 ), aceitamos y0
Se não, tentamos novamente
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Na prática
Escolhemos uma função f (y ) cuja função acumulada seja
inversível
Sorteamos um número aleatório y0 distribuído entre 0 e A,
onde A é a área sob f (y )
Sorteamos outro número aleatório s distribuído entre 0 e
f (y0 )
Com isso temos pontos uniformemente distribuídos sob
f (y )
Se s < pY (y0 ), aceitamos y0
Se não, tentamos novamente
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Na prática
Escolhemos uma função f (y ) cuja função acumulada seja
inversível
Sorteamos um número aleatório y0 distribuído entre 0 e A,
onde A é a área sob f (y )
Sorteamos outro número aleatório s distribuído entre 0 e
f (y0 )
Com isso temos pontos uniformemente distribuídos sob
f (y )
Se s < pY (y0 ), aceitamos y0
Se não, tentamos novamente
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Na prática
Escolhemos uma função f (y ) cuja função acumulada seja
inversível
Sorteamos um número aleatório y0 distribuído entre 0 e A,
onde A é a área sob f (y )
Sorteamos outro número aleatório s distribuído entre 0 e
f (y0 )
Com isso temos pontos uniformemente distribuídos sob
f (y )
Se s < pY (y0 ), aceitamos y0
Se não, tentamos novamente
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Geradores de números aleatórios uniformes
Outras distribuições de probabilidades
Distribuições não inversíveis
Na prática
Escolhemos uma função f (y ) cuja função acumulada seja
inversível
Sorteamos um número aleatório y0 distribuído entre 0 e A,
onde A é a área sob f (y )
Sorteamos outro número aleatório s distribuído entre 0 e
f (y0 )
Com isso temos pontos uniformemente distribuídos sob
f (y )
Se s < pY (y0 ), aceitamos y0
Se não, tentamos novamente
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Amostragem ponderada (importance sampling)
Técnica de redução da variância usada em integração tipo
Monte-Carlo
Baseia-se em dar maior peso às regiões que contribuem
mais para a integral
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Amostragem ponderada (importance sampling)
Técnica de redução da variância usada em integração tipo
Monte-Carlo
Baseia-se em dar maior peso às regiões que contribuem
mais para a integral
f (×)
×
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Amostragem ponderada (importance sampling)
Técnica de redução da variância usada em integração tipo
Monte-Carlo
Baseia-se em dar maior peso às regiões que contribuem
mais para a integral
f (×)
×
A escolha de mais pontos em uma região que em outra
provoca tendências
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
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Números aleatórios
Amostragem ponderada
Amostragem ponderada (importance sampling)
Técnica de redução da variância usada em integração tipo
Monte-Carlo
Baseia-se em dar maior peso às regiões que contribuem
mais para a integral
f (×)
×
Pesos são usados para corrigir essa tendências
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Formalismo
Sendo pY (y ) uma função distribuição de probabilidades
normalizada no intervalo [a, b], temos
Z b
Z b
f (y )
dy
I=
f (y )dy =
pY (y )
pY (y )
a
a
Assim, se x obedece a uma distribuição uniforme, temos
Z b
Z x(b)
f (y )
f (y (x))
I=
pY (y )
dy =
dx
p
(y
)
p
Y
Y (y (x))
a
x(a)
Finalmente, podemos calcular a integral como
Z
x(b)
I=
x(a)
N
f (y (x))
1 X f (y (xi ))
dx =
pY (y (x))
N
pY (y (xi ))
i=1
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
Introdução
Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Formalismo
Sendo pY (y ) uma função distribuição de probabilidades
normalizada no intervalo [a, b], temos
Z b
Z b
f (y )
dy
I=
f (y )dy =
pY (y )
pY (y )
a
a
Assim, se x obedece a uma distribuição uniforme, temos
Z b
Z x(b)
f (y (x))
f (y )
dy =
dx
I=
pY (y )
p
(y
)
p
Y
Y (y (x))
x(a)
a
Finalmente, podemos calcular a integral como
Z
x(b)
I=
x(a)
N
f (y (x))
1 X f (y (xi ))
dx =
pY (y (x))
N
pY (y (xi ))
i=1
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
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Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Formalismo
Sendo pY (y ) uma função distribuição de probabilidades
normalizada no intervalo [a, b], temos
Z b
Z b
f (y )
dy
I=
f (y )dy =
pY (y )
pY (y )
a
a
Assim, se x obedece a uma distribuição uniforme, temos
Z b
Z x(b)
f (y (x))
f (y )
dy =
dx
I=
pY (y )
p
(y
)
p
Y
Y (y (x))
x(a)
a
Finalmente, podemos calcular a integral como
Z
x(b)
I=
x(a)
N
f (y (x))
1 X f (y (xi ))
dx =
pY (y (x))
N
pY (y (xi ))
i=1
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
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Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Comentários
A amostragem ponderada só é efetiva se pY (y ) for
próxima de f (y )
Como pY (y ) é uma função distribuição de probabilidades,
ela tem que ser estritamente positiva no intervalo [a, b]
A melhor escolha possível (variância mínima) é
pY (y ) = f (y )
Contudo, para aplicar o método, temos que ser capazes
de escrever y = y (x)
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
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Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Comentários
A amostragem ponderada só é efetiva se pY (y ) for
próxima de f (y )
Como pY (y ) é uma função distribuição de probabilidades,
ela tem que ser estritamente positiva no intervalo [a, b]
A melhor escolha possível (variância mínima) é
pY (y ) = f (y )
Contudo, para aplicar o método, temos que ser capazes
de escrever y = y (x)
Alexandre Rosas
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Números aleatórios
Amostragem ponderada
Comentários
A amostragem ponderada só é efetiva se pY (y ) for
próxima de f (y )
Como pY (y ) é uma função distribuição de probabilidades,
ela tem que ser estritamente positiva no intervalo [a, b]
A melhor escolha possível (variância mínima) é
pY (y ) = f (y )
Contudo, para aplicar o método, temos que ser capazes
de escrever y = y (x)
Alexandre Rosas
Método Monte-Carlo
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Exemplos
Números aleatórios
Amostragem ponderada
Comentários
A amostragem ponderada só é efetiva se pY (y ) for
próxima de f (y )
Como pY (y ) é uma função distribuição de probabilidades,
ela tem que ser estritamente positiva no intervalo [a, b]
A melhor escolha possível (variância mínima) é
pY (y ) = f (y )
Contudo, para aplicar o método, temos que ser capazes
de escrever y = y (x)
Alexandre Rosas
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