Quadriláteros

Os Quadriláteros notáveis
No
ensino
fundamental,
encontramos
freqüentemente,
diferentes
concepções dos alunos em relação aos conceitos de quadriláteros notáveis.
Afirmações do tipo “todo quadrado é um retângulo” ou “todo quadrado é um
losango” necessitam de tempo para serem incorporadas pelos alunos aos seus
conhecimentos antigos.
A geometria que se estuda hoje nas escolas tem suas origens num livro
chamado “Os Elementos” escrito aproximadamente em 300 a.C. por Euclides.
Foi na Grécia que nasceram as principais idéias da geometria.
Definição e elementos de um quadrilátero
Sejam A, B, C e D quatro pontos de um mesmo plano, todos distintos e
três não colineares. Se os segmentos AB, BC, CD e DA interceptam-se apenas
nas extremidades, a reunião desses quatro segmentos é um quadrilátero.
ABCD é um quadrilátero convexo
ABCD é um quadrilátero côncavo
O quadrilátero é um polígono simples de quatro lados.
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AB, BC, CD e DA são os lados.
 = DÂB, B = ABC, C = BCD e D =
CDA são os ângulos.
AC e BD são as diagonais do
quadrilátero ABCD.
Atividade 1
1a – Um quadrilátero tem a seguinte característica: um par de lados
opostos paralelos.
Dê exemplos de figuras com essa característica.
1b - Um quadrilátero tem a seguinte característica: quatro ângulos
congruentes.
Dê exemplos de figuras com essa característica.
Os quatro lados são, necessariamente, iguais?
1c - Um quadrilátero tem a seguinte característica: quatro lados
congruentes.
Dê exemplos de figuras com essa característica.
Os quatro ângulos são, necessariamente, iguais?
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1d - Um quadrilátero tem a seguinte característica: lados opostos
paralelos.
Dê exemplos de figuras com essa característica.
1e - Um quadrilátero tem as seguintes características: quatro lados
congruentes e quatro ângulos congruentes.
Dê exemplos de figuras com essas características.
Voltemos à História:
Na definição 19 do livro I, Euclides define “figura quadrilátera como
aquela contida por quatro linhas retas”. Em seguida, na definição 22, ele
apresenta caracterizações de alguns quadriláteros notáveis:
Quadrado é uma figura quadrilátera de quatro lados iguais com ângulos
retos.
Oblongo é uma figura quadrilátera com ângulos retos, mas que não
tem quatro lados iguais.
Rombo é uma figura quadrilátera com quatro lados iguais, mas não
com ângulos retos.
Rombóide é uma figura quadrilátera que tem lados e ângulos opostos
iguais entre si, mas não tem quatro lados iguais e nem ângulos retos.
Podemos observar que o oblongo de Euclides é um caso particular do
objeto matemático denominado hoje de retângulo, o rombo é um caso
particular do nosso losango e que o rombóide é um paralelogramo particular.
Entre os textos de geometria que foram importantes no ensino, depois
dos Elementos de Euclides, estão os Elementos de Geometria de Legendre
(1793) e o tratado de Hadamard (1898), Leçons de géométrie élémentaire.
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Legendre, que preconizava uma geometria mais rigorosa e menos
intuitiva, caracterizava os quadriláteros notáveis da seguinte maneira:
O quadrado tem seus lados iguais e seus ângulos retos.
O retângulo tem os ângulos retos sem ter os lados iguais.
O losango tem os lados iguais sem que os ângulos sejam retos.
O paralelogramo tem os lados opostos paralelos.
Pode-se observar algumas diferenças entre as definições de Legendre e
as de Euclides. O oblongo e o rombo de Euclides passam a se denominar
respectivamente retângulo e losango. O rombóide recebe o nome de
paralelogramo, mas o seu conceito é ampliado. Agora, o paralelogramo
apresenta os lados opostos paralelos.
Mais tarde, Hadamard, na sua obra publicada em 1898, caracteriza os
quadriláteros notáveis de uma maneira mais ampla:
Quadrado é um quadrilátero que tem todos os lados iguais e todos os
ângulos iguais.
Retângulo é um quadrilátero que tem todos os ângulos iguais, e
conseqüentemente retos.
Losango é um quadrilátero que tem os quatro lados iguais.
Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados paralelos dois a dois.
Nessas novas definições, as restrições impostas aos retângulos e aos
losangos foram eliminadas.
É importante observar que o processo que permitiu evoluir para as
definições modernas de Hadamard levou muitos anos.
Quadriláteros notáveis
É todo quadrilátero com
Paralelogramo
os lados opostos
paralelos.
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Ivan Cruz Rodrigues
É todo quadrilátero com
os quatro lados de mesma
Losango
medida (quatro lados
congruentes).
É todo quadrilátero com
os quatro ângulos
Retângulo
congruentes e,
conseqüentemente, retos.
É todo quadrilátero com
os quatro lados
Quadrado
congruentes e os quatro
ângulos congruentes (e,
portanto, retos).
Obs:
Quanto
aos
trapézios,
há
autores
que
os
definem
como
quadriláteros que possuem um par de lados paralelos e há autores que
estabelecem que são quadriláteros que possuem apenas um par de lados
paralelos. No curso, adotaremos:
Trapézio é todo quadrilátero com um par de lados paralelos.
Atividade 2
Volte à atividade 1 e responda, para cada item, o quadrilátero que
atende às características propostas.
Item
Quadrilátero
1a
1b
1c
1d
1e
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Atividade 3
Classifique cada uma das sentenças em Verdadeira (V) ou Falsa (F):
(
) O paralelogramo é um trapézio.
(
) Todo paralelogramo é um trapézio.
(
) Todo trapézio é um paralelogramo.
(
) O retângulo é um paralelogramo.
(
) Todo losango é paralelogramo.
(
) Há quadrados que não são paralelogramos.
(
) Todo quadrado é retângulo.
(
) Todo quadrado é retângulo, assim como todo retângulo é quadrado.
(
) Todo quadrado é losango.
(
) Nem todo retângulo é losango.
(
) Há paralelogramos que não são quadrados.
Atividade 4
Classifique cada uma das sentenças em Verdadeira (V) ou Falsa (F):
Todo retângulo que tem dois lados congruentes é quadrado. (
)
Todo paralelogramo que tem dois lados adjacentes congruentes é
losango. (
)
Se dois lados de um quadrilátero são congruentes, então ele é um
paralelogramo. (
)
Um quadrilátero convexo é um retângulo se os lados opostos têm
comprimentos iguais. (
)
Bibliografia:
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática
Elementar 9: geometria plana. 8 ed. São Paulo: Atual, 2005.
Anotações de aula ministrada por Vincenzo Bongiovanni.
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