1 Parte I 1. Inferência Estatística Trata-se do processo - ICEB-UFOP

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Parte I
1. Inferência Estatística
Trata-se do processo de se obter informações sobre uma população a partir dos
resultados observados numa amostra.
De um modo geral, tem-se uma população com um grande número de elementos e
deseja-se, a partir de uma amostra dessa população, “conhecer o mais próximo possível”
algumas características da população.
Toda conclusão tirada por uma amostragem, quando generalizada para a população, virá
acompanhada de um grau de incerteza ou risco.
Ao conjunto de técnicas e procedimentos que permitem dar ao pesquisador um grau de
confiabilidade, de confiança nas afirmações que faz sobre a população, baseados nos resultados
provenientes de uma amostra, damos o nome de Inferência Estatística.
O problema fundamental da estatística é, portanto, medir o grau de incerteza ou risco
dessas generalizações. Os instrumentos da Inferência Estatística permitem a viabilidade das
conclusões por meio de afirmações estatísticas.
1.1. Definições importantes
- População é uma coleção completa de todos os elementos a serem estudados. (valores,
pessoas, medidas, etc). A população é o conjunto Universo, podendo ser finita ou infinita.
- Finita - apresenta um número limitado de observações, que é passível de contagem.
- Infinita - apresenta um número ilimitado de observações que é impossível de contar e
geralmente.
Exemplos:
– Todos as cabeças de gado criados em confinamento;
– Todas as plantas de uma determinada cultivar de milho;
– Todos os estudantes da UFVJM.
- Amostra é uma subcoleção de elementos extraídos de uma população e deverá ser considerada
finita. A amostra deve ser selecionada seguindo certas regras e deve ser representativa, de modo
que ela represente todas as características da População. Se esses elementos são selecionados de
tal maneira que cada um deles tenha a mesma chance de ser selecionado, temos uma Amostra
Aleatória.
- Parâmetro é uma medida numérica que descreve uma característica de uma população.
Geralmente é representada pela letra grega θ. Alguns parâmetros recebem nomes especiais. A
2
média (µ), a variância (σ2) e o coeficiente de correlação (ρ) são exemplos de parâmetros
populacionais.
- Estimador: também chamado “estatística de um parâmetro populacional” é uma medida
numérica que descreve uma característica determinada na amostra, uma função de seus
elementos. Genericamente, é representada por θ. A média amostral () e a variância amostral
(s2) são exemplos de estimadores.
Os estimadores são funções de variáveis aleatórias e , portanto, eles também são variáveis
aleatórias, desta forma, eles também possuem distribuições de probabilidade associadas.
- Estimativa: aos valores numéricos assumidos pelos estimadores, denominamos estimativas.
POPULAÇÃO
PARÂMETROS
AMOSTRAS
ESTIMADORES
2. Distribuição Amostral
Como foi visto, o problema da Inferência Estatística é fazer uma afirmação sobre os
parâmetros da população por meio de amostras.
2.1. Distribuição Amostral da Média
Suponha uma população identificada pela variável aleatória X, cujos parâmetros média
populacional e variância são supostamente conhecidos. Vamos
retirar todas as amostras possíveis de tamanho n dessa população e para cada uma delas,
calcular a média .
Vamos supor a seguinte população {2,3,4,5} com média 3,5 e variância 1,25.
Vamos relacionar todas as amostras possíveis de tamanho 2, com reposição, desta
população.
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
3
(5,2)
(5,3)
(5,3)
(5,5)
Agora, vamos calcular a média de cada amostra. Teremos:
2,0
2,5
3,0
3,5
2,5
3,0
3,5
4,0
3,0
3,5
4,0
4,5
3,5
4,0
4,5
5,0
Por fim, vamos calcular a média das médias, ou seja,
2,0 2,5 5,0
16
Agora, vamos calcular a variância:
1
1
1
2,0 3,5 2,5 3,5 5,0 3,5
Sendo assim, !"#$
, em que n é o tamanho das amostras retiradas da
população. No nosso exemplo,
1,25
2
______________________________________________________________________
Teorema: para amostras casuais simples , , … , retiradas de uma população com média
e variância , a distribuição amostral da média distribuição normal com média e variância
,.
1 2 , aproxima-se de uma
Dessa forma:
2
e Logo, o desvio padrão amostral é dado por
Assim, se ~0 1;
,3
4 ~0 1;
,3
,
√
.
5 6 1.
Para padronizar a variável aleatória, temos:
4
4 7~00; 1
√
7
____________________________________________________________________________
2.2. Distribuição amostral da proporção
Outro parâmetro populacional de interesse em estudos estatísticos é a proporção (p).
Exemplo: para detectar o apoio popular a um projeto governamental de reforma agrária, foram
entrevistadas 400 pessoas espalhadas em varias capitais. A amostra consiste das 400 pessoas
que responderam sim (concordam com o projeto) ou não (discordam).
Neste caso, a informação desejada é a PROPORÇÃO das pessoas que concordam com o
referido projeto. Então, o parâmetro de interesse é p (proporção) e seu estimador é dado por:
8̂ Genericamente,
8̂ ú;<= >< <?<@AB?>=B CD< 8=@; = 8=E<?=
400
ú;<= >< A?<B G=; GG?<íB?AGB ;=B?
em que n é o tamanho da amostra. ,
Quando 4 ∞, 8̂ J 0 18;
KLK
3
em que 8̂ 8 e 8̂ KLK
.
Note que a variância da proporção amostral é a variância da população dividida pelo
número de elementos na amostra, e para n grande,
7
8̂ 8
M81 8
J 00,1
Exemplo dado em sala de aula.
3. Teoria da Estimação
3.1. Propriedades dos Estimadores
Algumas propriedades dos estimadores são desejáveis no processo de inferência. A escolha de
um estimador de um parâmetro θ qualquer em detrimento de outro, depende de uma criteriosa
avaliação dessas propriedades. São elas:
5
(a) Ausência de Vício (viés)
Um estimador θ é não viciado ou não viesado para um parâmetro θ se NθO θ. Em
outras palavras, um estimador é não viciado se seu valor esperado coincide com o
parâmetro de interesse.
(b) Consistência
Um estimador θ é consistente se à medida que o tamanho da amostra aumenta, seu valor
esperado converge para o parâmetro de interesse e sua variância converge para zero. Ou
seja, θ é consistente se as duas propriedades são satisfeitas:
(i)
(ii)
lim4Q NθO θ
lim4Q NθO 0
Note que na definição de consistência estamos implicitamente usando o fato de que o
estimador depende de n, o tamanho da amostra. Na definição de vício, o resultado deve
valer para qualquer que seja o valor de n, isto é, NθO θ 5 n.
(c) Eficiência :Um estimador eficiente θ é aquele, dentre os estimadores não viciados de θ,
que possui a menor variância. Dados dois estimadores θ e θ não viesado para um
parâmetro de interesse θ. Dizemos que θ é mais eficiente que θ se θ S
θ .
Em todas as áreas do conhecimento existe a necessidade de se obter conclusões a respeito
dos parâmetros de uma população. Para tanto, é necessário estimar os parâmetros em questão.
Existem dois tipos de estimação: a estimação pontual e a estimação intervalar.
3.2. Estimação Pontual:
Quando a estimativa de um parâmetro é representada apenas por um valor. A principal
desvantagem é que a estimativa pontual é pouco informativa. Ela não fornece nenhuma idéia do
erro que se comete ao assumir o valor da estimativa como igual ao verdadeiro valor do
parâmetro desconhecido.
O Método da Máxima Verossimilhança:
O método da Máxima Verossimilhança foi introduzido por R.A. Fisher em 1922. Esse
método exige que a função de verossimilhança seja conhecida ou pressuposta.
A função de verossimilhança é a distribuição de probabilidade da amostra aleatória dada,
em geral, pelo produtório das distribuições de probabilidade individualmente.
6
Para apresentar o conceito vamos considerar , , … , uma amostra de uma população
com densidade TU, determinada pelos parâmetros V , A 1,2,3 … , W. Inicialmente, vamos
considerar a situação específica de apenas um parâmetro V W 1.
Para uma amostra aleatória particular , , … , , o
estimador de máxima
verossimilhança, θ, do parâmetro V é aquele que maximiza a função de verossimilhança
conjunta de , , … , .
Pelo fato de os valores amostrais , , … , , é possível definir a densidade conjunta da
função de verossimilhança X pelo produtório das densidades de cada , A 1,2,3 … , .
Assim, a função de verossimilhança PE dada por:
X T T T Y T O estimador de máxima verossimilhança (EMV) é aquele que maximiza X. Para obtermos
tal estimador, basta tomarmos a primeira derivada de X em relação ao parâmetro V, igualar a
zero e resolver para V. Quando se tem mais de um parâmetro, tomam-se as derivadas parciais de
X com respeito a cada um deles, iguala-se cada derivada a zero e resolve-se o sistema formado,
obtendo-se o EMV dos parâmetros.
Algumas propriedades matemáticas da função X garantem a possibilidade de se usar a
função suporte Z lnX em seu lugar, já que apresentam o mesmo máximo para o valor de V.
Isso é feito para facilitar a obtenção do máximo, uma vez que o produtório se transforma em
somatório.
Exemplo em sala
3.3. Estimação Intervalar
A estimação pontual não fornece a idéia da margem de erro que se comete ao estimar um
parâmetro de interesse. A estimação por intervalo procura corrigir essa lacuna a partir da criação
de um intervalo que garanta uma alta probabilidade de conter o verdadeiro valor do parâmetro
desconhecido.
Uma da maneira de se expressar a precisão da estimação é estabelecer limites da forma
[a,b], que com certa probabilidade, incluam o verdadeiro valor do parâmetro de interesse.
Sendo assim, a estimação por intervalo consiste na fixação de dois valores, a e b, tais que
1 [ seja a probabilidade de que o intervalo, por eles determinado, contenha o real valor de
V.
O intervalo [a,b] pode ser constituído a partir das distribuições amostrais. Ou seja,
utilizando as distribuições de amostragem, podemos obter expressões do tipo:
\ S S ] 1 [
7
\ S S ] 1 [
Tais expressões podem ser interpretadas da seguinte maneira: Existe 100(1- [)% de
confiança que o verdadeiro valor de ou (
) esteja contido no intervalo [a,b].
Logo, [a,b] pode ser considerado uma estimativa para ou (
) em que a probabilidade
(1- [) ou 100(1- [)% expressa o grau de confiança que se tem na estimação.
Se [a,b] é uma estimativa com 100(1- [)% de confiança para θ, então,
i.
O intervalo [a,b] é chamado intervalo de confiança para θ.
ii.
a e b são chamados “limite inferior” e “limite superior” do intervalo de confiança
para θ.
iii.
iv.
3.3.1.
A probabilidade (1- [) = 100(1- [)% é chamada coeficiente de confiança.
A probabilidade [ é chamada nível de significância.
Intervalo de Confiança para a média populacional (^) com variância (_` )
conhecida.
Seja ~0 1;
,3,
logo, ~0 1;
Assim,
7
,3
então, o desvio padrão amostral é dado por
,
√
~00; 1
√
Então temos que,
Sendo assim, o intervalo com 1-α ou 100(1- [)% de confiança para com conhecida é:
.
8
e f[ h
abLc d
g
2
√
e f[ h
;
g
2
√
i
Obs: os níveis de confiança de confiança mais usados são:
1-α = 90%
1-α = 95%
1-α = 99%
fcg j1,64
fcg j1,96
fcg j2,58
Exemplo dado em sala
3.3.2.
Distribuição t de Student
Foi visto que ~0 1;
,3
e que 7 $Lm
n
√o
~00; 1.
No entanto, quando não se conhece a variância populacional, situação mais comum na
prática, se as amostras forem pequenas (n < 30) e s2 (variância da amostra), sujeita a variação
amostral for utilizada como estimador de , os valores estandartizados, de uma população
normal:
?p B ~?L
√
Em palavras, ?p segue uma distribuição t com (n-1) graus de liberdade.
Características da distribuição t
- simétrica em relação a media;
- forma de sino;
- quando 4 ∞, a distribuição t se torna equivalente a distribuição normal;
- possui (n-1) graus de liberdade.
3.3.3. Intervalo de Confiança para a média populacional (^) com variância (_` )
desconhecida.
Um intervalo com 1-α ou 100(1- [)% de confiança para será:
B
B
e ?1; [ h
e ?1; [ h i
;
abLc d
g2
g2
√
√
em que:
s é o desvio padrão amostral
?L; cg é o valor tabelado da distribuição t de Student.
9
Exercícios
1. Por meio de uma amostra aleatória simples referente ao numero de ocorrências
criminais num certo bairro na cidade de São Paulo, coletada durante 30 dias, obteve-se
os seguintes valores:
7
8
8
11
10
6
8
14
8
9
12
13
10
14
10
14
12
14
6
9
5
8
11
14
8
13
10
7
13
10
Construa um intervalo de confiança com:
a) 90%
b) 95%
c) 99%
3.3.4. Intervalo de confiança para diferença de médias ( µ1 − µ2 ) com variâncias σ 12 e σ 22
conhecidas.
(
)
(
)
Seja X 1 ∼ N µ1 ; σ 12 e X 2 ∼ N µ 2 ; σ 22 variáveis aleatórias associadas às populações
1 e 2. Os estimadores por intervalo para µ1 − µ2 , obtidos a partir de amostras n1 e n2 retiradas
dessas populações serão dados pelos seus intervalos de confiança.
Para σ 12 e σ 22 conhecidos, temos:

σ 12 σ 22
σ 12 σ 22 
IC(1−α ) ( µ1 − µ 2 ) = ( X 1 − X 2 ) − zα ×
+
; ( X 1 − X 2 ) + zα ×
+

n1 n2
n1 n2 
2
2

Em que X 1 é a média da amostra n1 e X 2 é a média da amostra n2 .
10
OBS: a intenção nesse caso é concluir se há diferença entre as duas médias. Assim, se o
intervalo de confiança contiver o valor “zero”, não temos evidencias significativas para afirmar
que uma média difere da outra.
Exemplo: duas variáveis aleatórias X 1 e X 2 seguem distribuições normais com variâncias
σ 12 = 3, 64 e σ 22 = 4, 03 . Construa um intervalo de confiança para a diferença de médias
sabendo que em amostras recolhidas obteve-se:
AMOSTRA 1
n1 = 32
X 1 = 16, 20
AMOSTRA 2
n2 = 40
X 2 = 14,85
RESOLUÇÃO:

3, 64 4, 03
3, 64 4, 03 
IC(95% ) ( µ1 − µ 2 ) = (16, 20 − 14,85 ) − 1,96 ×
+
; (16, 20 − 14,85 ) + 1,96 ×
+

32
40
32
40 

IC( 95% ) ( µ1 − µ2 ) = [ 0, 44; 2, 26]
COMO O INTERVALO DE CONFIANÇA NÃO CONTEM O ZERO, PODEMOS DIZER
QUE HÁ EVIDENCIAS ESTATÍSTICAS PARA AFIRMAR QUE EXISTE DIFERENÇA
ENTRE AS MÉDIAS.
3.3.5. Intervalo de confiança para diferença de médias ( µ1 − µ2 ) com variâncias σ 12 e σ 22
desconhecidas, porém iguais ( σ 12 = σ 22 ).
Neste caso, um intervalo de confiança 100 (1 − α ) % de confiança para µ1 − µ2 será:

1
1 
2  1
2  1
IC(1−α ) ( µ1 − µ 2 ) = ( X 1 − X 2 ) − t
×
s
+
;
X
−
X
+
t
×
s
+
 ( 1

p
2)
p
α
α

n
n
n
n
 n1 + n2 − 2; 
 n1 + n2 − 2; 



1
2


1
2

2
2


2
em que s p é a variância amostral ponderada
s 2p =
( n1 − 1) s12 + ( n2 − 1) s22
n1 + n2 − 2
3.3.6. Intervalo de confiança para diferença de médias ( µ1 − µ2 ) com variâncias σ 12 e σ 22
desconhecidas, porém diferentes ( σ 12 ≠ σ 22 ).
11
Neste caso, um intervalo de confiança 100 (1 − α ) % de confiança para µ1 − µ2 será:

 s2 s2 
 s2 s2  
IC(1−α ) ( µ1 − µ2 ) = ( X 1 − X 2 ) − t α  ×  1 + 2  ; ( X 1 − X 2 ) + t α  ×  1 + 2  
 v; 
 v; 

 n1 n2 
 n1 n2  
 2
 2
Em que, os graus de liberdade são dados pela fórmula de Satterthwaite, 1946.
2
 s12 s22 
n + n 
2
 1
v=
2
  s 2     s 2 2 
 1    2  
  n1     n2  
 n −1  +  n −1 
 1
  2


 

3.3.3.
Intervalos de Confiança para a Proporção
Um intervalo com 100 (1 − α ) % de confiança para p é dado por:

p (1 − p )
p (1 − p ) 


IC(1−α ) ( p ) = p − zα ×
; p + zα ×
n
n


2
2


Exemplo: Pretende-se estimar a proporção p de cura, através do uso de certo medicamento em
doentes contaminados com cercaria, que é uma das formas da esquistossomose. Um
experimento consistiu de aplicar o medicamento em 200 pacientes, escolhidos ao acaso, e
observou-se que 160 deles foram curados. O que podemos dizer da proporção pna população em
geral?
Uma estimativa pontual para p é 8̂ 160⁄200 0,8. entretanto, podemos dizer mais que isso.
Apesar da proporção amostral 8̂ não ter distribuição Normal, o Teorema Central do Limite nos
garante que, para um tamanho de amostra grande, podemos aproximá-la para a Normal. Desse
modo, segue que:
8̂ ~0 d8;
81 8
i
Assim, um intervalo de confiança para a proporção com 95% de confiança é dado por:
12

0,8(1 − 0, 2)
0,8(1 − 0, 2) 
IC( 0,95 ) ( p ) = 0,8 − 1, 96 ×
; 0,8 + 1,96 ×

200
200


Assim,
IC( 0,95) ( p ) = [ 0, 745;0,855]
Exercícios
1. Retiramos de uma população uma amostra de 100 elementos e encontramos 20
sucessos. Sendo [ 1%, determine um intervalo de confiança para a proporção real de
sucessos na população.
Resposta: IC( 0,99% ) ( p ) = [9, 72%;30, 28%]
2. Para se estimar a porcentagem de alunos de um curso favoráveis a modificação do
currículo escolar, tomou-se uma amostra de 100 alunos, dos quais, 80 foram favoráveis.
Construa um intervalo de confiança a 96% para a proporção de todos os alunos
favoráveis a modificação.
Resposta: IC( 0,96% ) ( p ) = [ 71,8%;88, 2%]
Parte II
Testes de Hipóteses
Trata-se de uma técnica estatística para se fazer inferência. A partir de um teste de
hipóteses, realizado com os dados amostrais, pode-se fazer inferência sobre a população e
tomar decisões.
No caso dos intervalos de confiança, buscava-se “cercar” o parâmetro de interesse.
Agora serão formuladas hipóteses quanto ao valor dos parâmetros populacionais, e pelos
elementos amostrais, é realizado um teste, que indicará a aceitação ou rejeição das hipóteses
formuladas.
1. Principais conceitos
13
a) Hipótese estatística: trata-se de uma suposição quanto ao valor de um parâmetro
populacional, ou quanto à natureza da distribuição de probabilidade de uma variável
aleatória populacional.
Exemplos:
(i)
A altura média da população brasileira é 1,65m, ou seja, t: 1,65.
(ii)
A variância populacional dos salários num determinado país é de $5.000,002,
ou seja, 5000.
b) Teste de hipótese: é uma regra de decisão para aceitar ou rejeitar uma hipótese
estatística com base nos elementos de uma amostra.
c) Tipos de hipóteses: designa-se por tv , chamada “hipótese nula”, a hipótese a ser
testada, e por t ou t" , a hipótese alternativa. A hipótese nula expressa uma igualdade,
enquanto a hipótese alternativa é dada por uma desigualdade.
Exemplos:
(i)
tv : 1,65
versus
tv : 1,65
Esse tipo de formulação dará origem a um teste bicaudal ou bilateral.
(ii)
tv : 1,65
versus
tv : 6 1,65
Esse tipo de formulação dará origem a um teste unicaudal ou unilateral à
direita.
(iii)
tv : 1,65
versus
tv : 1,65
Esse tipo de formulação dará origem a um teste unicaudal ou unilateral à
esquerda.
OBS1: Estabelecer tv e t depende exclusivamente da natureza do problema.
OBS2: A rejeição de tv implicará na aceitação de t .
d) Tipos de Erros: como a tomada de decisões sobre a aceitação ou rejeiçã ode uma
hipótese estatística é baseada apenas nas informações contidas numa amostra, dois tipos
de erros podem ser cometidos:
(i)
(ii)
Erro Tipo I: rejeitar tv quando ela é verdadeira.
Erro Tipo II: aceitar tv quando ela é falsa.
14
A probabilidade de se cometer Erro do Tipo I é denotada por [ e é chamada nível de
significância do teste. A probabilidade se cometer Erro do Tipo II é denotada por w. Sendo
assim,
P(Erro Tipo I) = P(rejeitar Hv |Hv verdadeira) = [
P(Erro Tipo II) = P(aceitar Hv |Hv falsa) = w
O quadro a seguir resume a natureza dos erros envolvidos no processo de tomada de
decisões por meio de testes de hipóteses:
Hv verdadeira
Hv falsa
Rejeição de Hv
Erro Tipo I ([)
Decisão correta (1- w)
Aceitação de Hv
Decisão correta (1- [)
Erro Tipo I (w)
O tomador de decisões deseja, obviamente, reduzir ao mínimo a probabilidade de se
cometer os dois tipos de erro. Tarefa difícil, pois, para um determinado tamanho de amostra, a
probabilidade de se cometer Erro Tipo II aumenta à medida que diminui a probabilidade de se
cometer Erro Tipo I e vice versa.
A redução simultânea dos dois tipos de erros só poderá ser alcançada pelo aumento do
tamanho da amostra.
2. Testes de Significância
Os passos para a execução de um teste de hipótese são:
(i)
(ii)
(iii)
Formular as hipóteses tv e t seguindo a natureza do problema em estudo.
Especificar o nível de significância [
Estabelecer a estatística adequada (z, t, y , F), segundo as informações disponíveis
e determinar as regiões de rejeição e aceitação de tv .
(iv)
Calcular o valor da estatística que definirá a decisão.
(v)
Se o valor da estatística pertencer à região de aceitação de tv , aceita-se a hipótese
nula, caso contrário, rejeita-se tv com nível de significância [.
2.1. Teste de hipótese para a média (^) de uma população Normal com variância (_` )
conhecida:
15
(i)
Formular as hipóteses
tv : v
t : uma das alternativas
t : z v (teste bilateral)
t : 6 v (teste unilateral à direita)
t : S v (teste unilateral à esquerda)
(ii)
Nível de significância [.
(iii)
Estatística do teste:
7
Se t : z v , então:
Se t : 6 v , então,
Se t : S v , então,
~00; 1
√
16
em que {{tv é a região de rejeição de tv e {|tv é a região de aceitação de tv .
(iv)
Sob tv calcular
7p (v)
v
√
Rejeita-se tv com nível de significância [ se 7p } {{tv
Exemplo: técnicas do INMETRO desejam avaliar um processo para conservar alimentos
enlatados, cuja principal variável de interesse é o tempo de duração dos alimentos. O tempo
segue uma distribuição normal com variância 100. A indústria que utiliza o processo afirma que
o tempo médio de duração é de 70 dias. Foi retirada uma amostra de 25 latas e a média
encontrada foi 60 dias. O que se pode concluir sobre o tempo médio de duração dos enlatados?
Utilize [ 0.01.
tv : 70
t : S 70
[ 0.01
7p v
√
Então,
17
7p Conclusão:
60 70
5
10
√25
existe
evidencia
estatística
para
rejeitar
tv : 70
ao
nível
[ 0.01. Portanto, pode-se concluir que o tempo médio de duração dos enlatados é menor que
70 dias.
2.2. Teste de hipótese para a média (^) de uma população Normal com variância (_` )
desconhecida:
(i)
tv : v
t : uma das alternativas
t : z v (teste bilateral)
t : 6 v (teste unilateral à direita)
t : S v (teste unilateral à esquerda)
(ii) Nível de significância [.
(iii) Estatística do teste:
?
Se t : z v , então:
~?L
√
18
Se t : 6 v , então,
Se t : S v , então,
em que {{tv é a região de rejeição de tv e {|tv é a região de aceitação de tv .
(vi)
Sob tv calcular
?p (vii)
v
B
√
Rejeita-se tv com nível de significância [ se 7p } {{tv
Exemplo: Deseja-se investigar certa moléstia que ataca o rim, alterando o consumo de oxigênio
desse órgão. Para indivíduos sadios, admite-se que esse consumo tem distribuição Normal com
média 12 cm3/min. Os valores medidos em cinco pacientes com a moléstia foram: 14,4; 12,9;
15,0; 13,7; 13,5. Qual seria a conclusão ao nível de 1% de significância? E a 5%?
tv : a moléstia não altera a média do consumo renal de oxigenio
t : indivíduos portadores da moléstia tem média alterada.
Ou seja:
tv : 70
t : z 70
19
[ 0.01
?p v
B
√
Então,
7p Conclusão:
12
13,90 12
5,18
B
0,82
√5
√5
existe
evidencia
estatística
para
rejeitar
tv
ao
nível
[ 0.01. Portanto, pode-se concluir que a moléstia tem influencia sobre o consumo renal
médio de oxigênio.