Anéis comutativos, Euclideanos, fatoriais, principais e Noetherianos

Anéis comutativos,
Euclideanos, fatoriais, principais e Noetherianos
Vamos a seguir estudar os anéis onde todo elemento não nulo e não invertível tem fatoração
em um produto de irredutíveis. Já sabemos que anéis como
Z
e
F [x],
com
F
única
um corpo têm essa
propriedade. Vamos denir e estudar esses anéis de forma geral.
Denição. Seja A um anel.
1. Dizemos que
p = ab,
então
2. Dizemos que
que
a 6= 0
e
p∈A
é irredutível se
a ∈ A×
A
é
ou
e mais ainda, se existirem
a, b ∈ A
tais que
b ∈ A× .
fatorial
a 6∈ A×
p 6= 0, p 6∈ A× ,
ou que é um
domínio de fatoração única
existem e são únicos irredutíveis de
se para todo
a ∈ A
A, p 1 , p 2 , . . . , p n ∈ A,
tal
tais que
a = p1 p2 · · · pn .
Trata-se aqui de uma unicidade é relativa. Por unicidade queremos dizer que se
e
q1 , q2 , . . . , qm ∈ A
p 1 , p2 , . . . , p n ,
são irredutíveis tais que
p 1 p 2 · · · p n = q1 q 2 · · · qm ,
então
é,
m=n
p i = u i qj
e para todo
para algum
1≤i≤n=m
exites um único
1≤j≤m=n
p∈A
irredutível em
A,
p i ∼ qj
(Isto
u i ∈ A× .
Observação. Notar que ser irredutível é uma propriedade relativa.
e
tal que
não podemos dizer que
p
é irredutível em
Se tivermos dois anéis
A⊂B
B.
√
Questão 1. Observe que 2 = (1 + i)(1 − i), i = −1, em Z[i].
(a) Mostre que
2
em
1 + i, 1 − i 6∈ Z[i]×
e que
2 6∼ 1 + i
e
2 6∼ 1 − i.
Temos portanto uma fatoração de
Z[i]
(b) Mostre que
1+i
é irredutível em
Z[i].
Dica. Use a noma!
Questão 2.
em
Se
p∈A
é irredutível em
A
e
q∈A
A.
1
satiszer
q ∼ p,
então
q
também é irredutível
Questão 3. Sejam p, q ∈ A dois irredutíveis.
Questão 4.
um MDC de
p
e
Questão 5.
e somente se
p∈A
Sejam
A
b
Conclusão: MDC de
é
1.
Seja
p|a
ou
A
um anel e
irredutível em
um anel euclidiano,
p
e
t, s ∈ A.
b
p,
A.
Dado
ou é
p ∼ q.
se e somente se
b ∈ A,
mostre que se
p - b,
então
1.
irredutível em
A
e
a, b ∈ A.
Mostre que
p | ab
se
p | b.
Pelo Teorema de Bezout podemos escrever
Multiplica a última igualdade por
Observação.
ou é
p∈A
Dica. Se p - a, então um MDC de p e a é 1.
com
p|q
Mostre que
b
e verica que
p
1 = tp+sa
divide as duas parcelas da soma.
O mais importante na denção de anel fatorial é a unicidade da fatoração. De
fato, fatorar em irredutíveis acontece em muitos casos, mas sem a unicidade isso tem pouca valia
na resolução de problemas.
(1 +
√
−5)(1 −
√
Vejamos um exemplo de fatoração não única: em
√
Z[ −5]
temos que
−5) = 6 = 2 · 3.
√
Questão 6. (a) Mostre que Z[ −5]× = { 1, −1 }.
(b)Verique que
1+
√
−5, 1 −
√
−5, 2,
e
3
são irredutíveis em
√
Z[ −5]
mas não há relação de
associação entre eles.
Em seguida calcule a norma de cada um dos
√
√
N (a + b −5) = a2 + 5b2 ≥ 4 se a + b −5 6= ±1.
√
√
elementos 1 +
−5, 1 − −5, 2, e 3 e verique que
nenhum deles pode ser decomposto na forma
xy
Dica.
Usando a função norma observe que
a menos que
N (x) = 1
ou
N (y) = 1.
Vamos ver a seguir que anéis fatoriais são muito bons de trabalhar. Inicialmente uma pergunta:
como reconhecer que um anel é fatorial? Na verdade isso não é nada fácil. Vejamos a seguir um dos
métodos conhecidos.
Teorema:
Mostraremos agora que
todo domínio euclidiano é um domínio de fatorial.
Faremos a demonstração em duas etapas. Primeiro mostraremos que existe a fatoração e depois
que ela é única (no sentido acima).
Seja
que
N = {a ∈ A | a 6= 0, a 6∈ A×
e
a não tem fatoração em irredutíveis de A }.
N = ∅ Procurando por um absurdo vamos supor N =
6 ∅.
hipótese implica
ϕ(ao ) =
M=
6 ∅.
Como
N ⊂N
temos que
N
Tomemos
Devemos mostrar
M = {ϕ(a) | a ∈ N }.
tem um menor elemento. Seja
ao ∈ N
Nossa
tal que
mínimoM.
Como
ao ∈ N , ao
não pode ser irredutível em
seria uma fatoração de
ao
em irredutíveis (de
A,
A.
Se fosse irredutível, a igualdade
é claro). Logo existem
2
b, c ∈ A
ao = ao
tais que
já
b, c 6∈ A×
e
ao = bc
e
ϕ(ao ) ≥ ϕ(c).
(isto é,
ao
tem uma fatoração verdadeira). Temos pela propriedade (II) que
Como
b, c 6∈ A×
temos que
Logo, pelo exercício acima não pode ocorrer
ϕ(ao ) > ϕ(c).
ao
não é associado nem a
ϕ(ao ) = ϕ(b),
fatoram-se em um produto de irredutíveis. Como
A,
irredutíveis (de
pj ,
dividir algum
com
e passamos para
pj1 , . . . , pjn−m
invertível em
qi s
A.
ao
Mas se
Logo
N = ∅,
com
Logo
1≤j≤n=m
tal que
e
b
c
como
como queríamos.
pj
então
q1
e
podemos cancelar
q2 .
1 = u1 · · · um pj1 · · · pjn−m ,
teremos que
pj1 ,
q1
terá que
são irredutíveis,
q1
dos dois lados,
Dessa forma vamos
onde
u 1 · · · u m ∈ A×
pjt
qualquer, é
n=m
e para cada
ou outro
contrariando a denição de irredutível. Concluímos assim que
existe um
ϕ(ao ) > ϕ(b)
Logo tanto
m ≤ n,
Repetimos o processo com
n−m > 0
(conrme isso).
vai se fatorar num produto de
Nesse caso, como
q1 · · · qm = p 1 · · · p j · · · p n
para chegarmos a igualdade
são irredutíveis em
A,
1≤i≤m=n
Na igualdade
b, c 6∈ N .
q1 · · · qm = a = p 1 · · · p n
q2 · · · qm = u1 p1 · · · pj−1 pj+1 · · · pn .
cancelando todos os
e
ao ∈ N .
pela Questão 5, antes deste teorema.
u 1 ∈ A× .
também
c
nem a
ϕ(ao ) = ϕ(c).
temos que
ao = bc,
é claro). Mas isso contradiz o fato de
Para mostrar a unicidade usamos que se
p j = u 1 q1 ,
ao
Pela propriedade de minimalidade do
nem
b
ϕ(ao ) ≥ ϕ(b)
qi ∼ p j .
q.e.d.
Na lista passada vimos que
Z[i]
é um anel euclidiano com
ϕ(a + bi) = N (a + bi) = a2 + b2 .
Seria
então interessante conhecer os irredutíveis desse anel.
Questão 7.
de
Mostre que se
N (a + bi)
é irredutível de
Z
(primo de
Z),
então
a + bi
é irredutível
Z[i].
Questão 8. Mostre que não existem inteiros a, b tais que a2 + b2 ≡ 3 mod 4.
todo irredutível
p∈Z
satisfazendo
p ≡ 3 mod 4
permanece irredutível em
Conclua disso que
Z[i].
Dica. Como Z[i] é fatorial, p tem uma fatoração em irredutíveis de Z[i], isto é, existem q1 , . . . , qm
irredutíveis de
Z[i]
tais que
p = q1 · · · qm .
Calcule a norma e compare o resultado obtido dos dois
lados da igualdade.
Questão 9. Seja p ∈ Z um irredutível impar tal que p ≡ 1 mod 4.
(a) Mostre que exite inteiro
c
tal que
c2 ≡ −1 mod p.
Dica. Use o chamado Pequeno Teorema de Fermat que diz: ∀ 1 ≤ c ≤ p − 1, cp−1 ≡ 1 mod p.
(b) Usando o item anterior mostre que
p
não é irredutível em
3
Z[i]
(c) Mostre que a fatoração de
Dica.
Como
q1 , . . . , q m
Z[i]
p
em
p
é fatorial,
irredutíveis de
Z[i]
tem que ser da forma
tem uma fatoração em irredutíveis de
tais que
Z[i]
(a + bi)(a − bi)
p = q1 · · · qm .
com
Z[i],
a + bi ∈ Z[i].
isto é, existem
Calcule a norma e compare o resultado
obtido dos dois lados da igualdade.
p
(d) Conclua do item anterior que
é uma soma de dois quadrados.
Z[i], com uma excessão: 1+i também é irredutível
Os exercícios acima descrevem os irredutíveis de
de
Z[i].
Sabemos então que
Z[i]
é fatorial e da descrição dos irredutíveis é dada por
p ∈ Z[i]
é irredutível
se e somente um dois seguintes casos acontecer:
(a)
p=1+i
(b)
p∈Z
(c)
p = a + bi
é um irredutível de
onde
Z
N (a + bi)
tal que
p ≡ 3 mod 4.
é um irredutível de
Z
que é côngruo a
1
módulo
4
(lembrar que
N (a + bi) = a2 + b2 ).
Resulta desses fatos que podemos dizer quando a equação
inteira. Vamos decompor
n
em irredutíveis de
Z
x2 + y 2 = n,
com
n∈Z
tem solução
da seguinte maneira:
n = p1n1 pn2 2 · · · pnr r q1m1 q2m2 · · · qsms ,
onde
n 1 , . . . , n r , m1 , . . . , m s
1 mod 4,
para todo
1 ≤ j ≤ s.
temos que
1≤i≤r
Então a equação
mj
e
q1 , . . . , q s
x2 + y 2 = n
são irredutíveis de
tem solução
são irredutíveis de
Z
satisfazendo
Z
satisfazendo
qj ≡ 3 mod 4,
pi ≡
para todo
inteira se e somente se para todo 1 ≤ j ≤ s
é par (ver [GL, Teorema IV.1.6, pg 105]).
Questão 10.
Seja agora
também satiszer a relação
é chamado de
p1 , . . . , p r
são inteiros positivos,
b∈C
g(b) = 0,
polinômio mínimo
1. Para todo
e vamos escolher
de
b
então
f (x) ∈ Q[x]
gr f (x) < gr g(x).
em relação a
Q.
tal que
f (b) = 0
e se
Um polinômio com essa propriedade
Mostre que:
c ∈ Q× , cf (x) também é um polinômio mínimo de x em relação a Q.
escolhemos o polinômio mínimo com coeciente dominante
2. Mostre que um polinômio mínimo de
3. Mostre que se
f (x)
b∈C
g(x) ∈ Q[x]
1,
(por essa razão
ou mônico.)
é irredutível.
é um polinômio mínimo de
f (x) | g(x).
4
b∈C
e
g(x) ∈ Q[x]
for tal que
g(b) = 0,
então
4. A propriedade anterior permite descrever polinômios mínimos de outra forma: seja
um polinômio irredutível em
Q.
p(x)
Então
p(x) ∈ Q[x]
é um polinômio mínimo de cada uma de suas
raízes.
5. Verique os seguintes exemplos de polinômio mínimo sobre
√
para
para
para
Q:
2 temos x2 − 2;
√
3
3
2 temos
√ x − 2;
−1 + −3
2
temos x + x + 1.
2
Questão 11. Para f (x) e b como no exercício anterior seja n = gr f (x) e
Q(b) = { ao + a1 b + · · · + an−1 bn−1 | ao , a1 , . . . , an ∈ Q }.
Mostre que
1.
Q(b)
é um espaço vetorial de dimensão
n
sobre
Q.
Dica. Lembrar que f (x) é um polinômio mínimo de b sobre Q.
2.
Q(b)
é um corpo.
Dica.
Observe que o único problema é mostrar que todo
mostrar isso verique inicialmente que
Para
z 6= 0
que existe
por
f (x)
observe que um MDC de
k(x) ∈ Q[x]
tal que
e verique que
z 6= 0
tem inverso em
Q(b).
Para
z ∈ Q(b) é da forma h(b) com h(x) ∈ Q[x] e gr h < gr f .
h(x)
e
f (x)
h(b)k(b) = 1.
u = r(b) ∈ Q(b)
é
1.
Use o Teorema de Bezout para concluir
Encontre o resto
r(x) ∈ Q[x]
é o inverso de (multiplicativo) de
da divisão de
k(x)
z.
Vamos a seguir ver outra forma de encontrar anéis fatoriais.
Teorema de Gauss Se A é um domínio fatorial, então A[x] também é fatorial.
Esse resultado é muito útil no estudo de anéis de polinômios. Antes de falarmos de uma demonstração vamos ver algumas consequências e introduzir mais teoria necessária para obter o resultado.
Consequência Se A é fatorial, então A[x1 , . . . , xn ] também é fatorial.
5
Exemplos que conhecemos de anéis fatoriais
K
é um corpo, pois nesse caso
Exemplos de irredutíveis de
K[x]
Z
e portanto
é euclidiano. Logo
Z[x], Z[x, y], Z[x1 , . . . , xn ], K[x],
K[x, y], K[x1 , . . . , xn ]
onde
também são fatoriais.
Z[x]:
Questão 12. Todo irredutível de Z é irredutível de Z[x], por exemplo, 2, 3, −7, etc,
Questão 13.
irredutível de
Mais geralmente, se
A
é um anel fatorial, mostre que todo irredutível de
A
é
A[x].
Questão 14. Verique que x, x + 1, ou 2x + 3 são irredutíveis de Z[x].
Observação.
um MDC de
2
e
Z× = { 1, −1 }).
Um fato importante é que
x
seria
1,
Realmente se fosse euclidiano
Z[x]× =
Vimos que em um anel euclidiano o MDC de dois elementos é uma combinação
1 = 2f (x) + xg(x).
f (0)
Z[x]
fosse euclidiano existiriam elementos
Como essa é uma igualdade em
logo substituindo-se a indeterminada
impossível, pois
não é euclidiano.
pois os dois são irredutíveis e não são associados (lembrar que
linear desses dois elementos, isto é, se
tais que
Z[x]
x
por
0
é uma igualdade entre funções,
a igualdade continua valendo:
é inteiro (o termo independente de
Dado um domínio de fatoração única
Z[x],
f (x), g(x) ∈ Z[x]
1 = 2f (0).
Mas isso é
f (x)).
A para melhor descrevermos os irredutíveis de A[x] que não
são constantes necessitamos estudar seu corpo de frações.
1
Corpo de Frações
Podemos observar que todos os anéis que estudamos estão dentro de um corpo. Logo podemos
formar suas frações, como na relação inteiros e racionais. Mas vamos formalizar melhor isso para
casos onde o corpo não é tão evidente. Por exemplo, onde estão as frações de
com coecientes em
A[x], anel de polinômios
A?
Para isso vamos fazer uma distinção que a primeira vista é inútil, mas, veremos mais tarde, que
faz sentido.
Denição. Dizemos que um anel A é um domínio de integridade se valer propriedade: ∀a, b ∈ A
se
ab = 0,
então
a=0
Dois elementos
a, b
ou
b = 0.
de um anel
A
tais que
a 6= 0, b 6= 0,
6
mas
ab = 0
são chamados de
divisores de
zero.
n × n,
Quase todos os anéis que conhecemos não tem divisores de zero, mas o anel das matrizes
Mn tem.
Existem matrizes não nulas
a e b cujo produto é igual a matriz nula.
Isto é
Mn tem divisores
de zero.
Também os anéis de funções que aparecem no início das Notas de Aula anterior tem divisores
de zero.
Na maior parte deste curso os anéis não tem divisores de zero e, portanto, são domínios de
integridade. Vamos a seguir construir o corpo de frações de um domínio de integridade.
Seja
A
um domínio de integridade e tomemos
M = { (a, b) | a, b ∈ A
com
b 6= 0 }.
Em
M
podemos denir soma e produto de pares de maneira natural:
(a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd)
Claro que os pares
(a, b)
(a, b)(c, d) = (ab, cd).
e
são os candidatos a frações
representem a mesma fração. Por exemplo, se
representarão a mesma fração, como no caso
A=Z
e
a/b.
Mas temos que lidar com pares que
M = { (a, b) | a, b ∈ Z, b 6= 0 }
(1, 2), (2, 4), (3, 6), (25, 50),
muitos pares
e assim por diante. Todos
eles representam um meio. Logo não podemos tomar diretamente os pares como sendo as frações.
Precisamos identicar pares que representem a mesma fração.
(2, 4), (3, 6), (25, 50)
e todos os outros do tipo
(n, 2n)
No exemplo acima os pares
devem ser tornados iguais.
(1, 2),
Fazemos isso
atravéz de uma relação de equivalência.
Em
M
vamos denir uma relação de equivalência da seguinte forma:
(a, b) ' (c, d) ⇔ ad = bc.
Essa relação é baseada no fato de que dois pares representarão a mesma fração se forem equivalentes.
Questão 15.
Verique que
'
é uma relação de equivalência, isto é, que é reexiva, simétrica, e
transitiva.
Vamos a seguir colocar operações nas classes de equivalência. Para isso vamos vericar que dados
(a1 , b1 ), (a2 , b2 ), e (c1 , d1 ), (c2 , d2 )

 (a , b ) ' (c , d ) e
1 1
1 1
se
 (a , b ) ' (c , d )
2
2
2
2
em
M
as seguintes condições valem:
então

 (a b + a b , b b ) ' (c d + c d , d d )
1 2
2 1 1 2
1 2
2 1 1 2
 (a a , b b ) ' (c c , d d )
1 2
1 2
1 2
e
(♠)
1 2
Isto é, estamos vericando que somando-se e multiplicando-se pares equivalentes obtemos os mesmos
resultados.
7
Questão 16. Demonstre que valem as relações (♠) acima.
Vamos agora denotar
um par
(a, b) ∈ M
K = M/ '.
K
denotamos sua classe em
(1, 1) = { (a, b) ∈ M | a = b 6= 0 }
seja um corpo. Em
K
K
Isto é
é o conjunto das classes de equivalência de
por
(a, b).
A
(lembrar que o anel
as duas classes acima
(0, 1)
Podemos agora denir soma e produto em
K
e
Por exemplo
(1, 1)
M.
(0, 1) = { (a, b) ∈ M | a = 0 };
tem um 1 e um 0). Queremos que
vão ser o 0 e o 1 do corpo
K
K.
sem maiores diculdades, graças as relações
(a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd)
Dado
(♠).
(a, b) (c, d) = (ac, bd).
e
Questão 17. Demonstre que a soma é associativa, comutativa, tem (0, 1) como zero e que cada
elemento tem um negativo. Fazer o mesmo com a multiplicação: é associativa, comutativa, tem
(1, 1)
com 1 e é distributiva em relação a soma.
Mostre nalmente que se
(a, b) 6= 0 = (0, 1),
então
(a, b) (b, a) = (1, 1).
Isto é, mostre que
K
é
um corpo.
de
Observe agora que a função
Θ:A→K
A
Θ(a + b) = Θ(a) + Θ(b)
e
K,
mais precisamente,
a 7→ (a, 1)
denida por
a, b ∈ A. Θ é o que chamamos de um homomorsmo.
e
é injetiva e preserva as operações
Θ(ab) = Θ(a)Θ(b),
quaisquer que sejam
De qualquer forma podemos identicar
A com
{ (a, 1) | a ∈ A }.
Tomemos agora um elemento qualquer de
(a, b) = (a, 1) (1, b).
Ou se preferirmos
cada
x ∈ A.
frações de
Temos também que
(a, b) =
Θ(a)
.
Θ(b)
Como
Como isso temos que
K , (a, b),
(1, b) = (b, 1)
Θ
−1
e vamos decompo-lo da seguinte maneira:
. Logo
(a, b) = (a, 1) (b, 1)
é injetiva podemos fazer uma identicação
(a, b) =
a
.
b
Temos assim
K={
Exemplos:
Q
é o corpo de frações de
(b)
√
Q( 2)
(c)
Q(i)
Z.
é o corpo de frações de
é o corpo de frações de
√
•
Seja
ω=
−1 + −3
.
2
Então
√
Z[ 2].
Z[i].
√
Q( −3)
é o corpo de frações de
8
= Θ(a)Θ(b)−1 .
Θ(x) = x
a
| a, b ∈ A, b 6= 0 }
b
A.
(a)
−1
Z[ω].
para
é o corpo de
Demonstrações.
Veriquemos que a armação do item (b) acima é correta. Pela nossa con-
√
Z[ 2] seria formado pelas frações, com denominador 6= 0, do tipo
√
√
√
√
a+b 2
(a + b 2)(c − d 2)
(ac − 2bd) + (bc − ad) 2
(ac − 2bd) (bc − qd) √
√ =
√
√ =
= 2
+ 2
2.
2
2
c + 2d
c + 2d2
c + 2d2
c+d 2
(c + d 2)(c − d 2)
strução o corpo de frações de
Como
√
√
a+b 2
√ ∈ Q( 2),
resulta
c+d 2
√
√
frações de Z[ 2] está contido em Q( 2).
(ac − 2bd) (bc − qd)
, 2
∈Q
c2 + 2d2
c + 2d2
como queríamos. Isso mostra que o corpo de
a outra inclusão sejam
m, n, r, s ∈ Z,
√
m r√
+
z=
2 ∈ Q( 2).
n
s
que está no corpo de frações de
com
n, s 6= 0
e tomemos
Trabalhando um pouco temos
√
Z[ 2].
√
m r√
ms + rn 2
√
+
z=
2=
n
s
ns + 0 2
Logo vale armação do item (b).
No item (c) temos uma situação semelhante, mas devemos agora lembrar que
a, b ∈ Z}.
Para vermos
Z[ω] = {a + bω |
Os argumentos seriam os mesmos, com um pouco mais de trabalho.
Outros exemplos particularmente interessante são os seguintes:
(a) Seja
F
um corpo. O corpo de frações de
F (x) =
(b) Seja
Z[x]
F [x]
é dado por
f (x) f (x), g(x) ∈ F [x], g(x) 6= 0 .
g(x)
o anel de polinômios com coecientes inteiros. Então
Isso vale mais geralmente: dado um domínio de integridade
que
(c) Seja
K(x)
F
sobre
é o corpo de frações de
um corpo e
F
t1 , . . . tn n
A
Q(x)
é seu corpo de frações.
com corpo de frações
K
temos
A[x].
indeterminadas sobre
F.
O anel dos polinômios em
n
variáveis
é dado por
n
o
X
F [t1 , . . . tn ] = f (t1 , . . . , tn ) =
ai1 ,...,in ti11 · · · tinn ai1 ,...,in ∈ F .
Seu corpo de frações é dado por
f (t1 , . . . , tn ) F (t1 , . . . , tn ) = ϕ(t1 , . . . , tn ) =
g(t1 , . . . , tn ) 6= 0 .
g(t1 , . . . , tn )
Os corpos
F (x)
e
F (t1 , . . . tn )
primeiro caso ocorre se
são chamados de
corpos de funções racionais
n = 1.
Questão 18. Faça a vericação da armação do item (b) acima.
9
em
n
variáveis. O
Antes de prosseguirmos vamos introduzir um novo conceito que já apareceu na construção do
corpo de frações.
Denição. Seja A e B dois anéis.
Dizemos que uma função
θ:A→B
é um
homomorsmo
(de
anéis) se as seguintes condições forem vericadas:
1.
∀ a, b ∈ A,
θ(a + b) = θ(a) + θ(b);
2.
∀ a, b ∈ A,
θ(ab) = θ(a)θ(b);
3.
θ(1) = 1.
•
No axioma (3) acima estamos dizendo que
•
Compare essa denição com a denição de transformação linear entre dois espaços vetoriais.
•
Decorre desses três axiomas que
também o primeiro zero é o
biunívoca; é chamado de
sobrejetivo
transforma o 1 de
θ(−x) = −θ(x),
0∈A
θ : A → B
Um homomorsmo
θ
e o segundo é o
θ
0 ∈ B,
injetivo,
no 1 de
x ∈ A
e
B.
θ(0) = 0,
onde aqui
que podem ser bem diferentes.
monomorsmo
se a função
for sobrejetiva e é chamado de
isomorsmo
é chamado de
se a função
para todo
A
ou
θ
for
se a
θ
for bijetiva.
Aqui também estudamos o núcleo de um homomorsmo. Dado um homomorsmo
chamamos de
núcleo
de
θ:
θ : A → B,
notação N(θ)
N(θ)
Por outro lado, a imagem da função
θ
= {x ∈ A | θ(x) = 0 }.
B
dentro de
é denotado por Im(θ) e é um subanel de
B.
Questão 19. Mostre que o N(θ) tem as seguintes propriedades:
1.
0 ∈ N(θ).
2.
∀ x, y ∈ N(θ),
3.
∀ x ∈ N(θ)
e
Um subconjunto
de
ideal
de
vale que
a ∈ A,
I
x + y ∈ N(θ).
vale que
de um anel
A
ax ∈ N(θ).
que tenha as três propriedades do último exercício é chamado
A.
Questão 20.
Sejam
F
e
K
dois corpos e
um corpo é um anel?). Mostre que N(θ)
θ:F →K
= {0}
um homomorsmo de anéis (A propósito,
(lembrar que todo elemento não nulo tem inverso).
10
Questão 21.
N(θ)
= { 0 }.
Questão 22. Sejam F
dada por
K
é uma
um corpo,
θ(h(x)) = h(α).
K
extensão
de
é um homomorsmo de anel.
2.
θ
é injetiva se e somente se nenhum polinômio
imagem de
F [x]
palavras, podemos colocar
é
F
e
α ∈ K.
algébrico
é
corpo de frações. Vamos escrever
f (x)
Seja
θ : F [x] →
K
A[x] ⊂ K[x]
f (x) ∈ A[x].
também é irredutível em
α (h(α) 6= 0,
F.
sobre sobre
Observe que
F [x].
que é isomorfo a
para
Em outras
K.
F ).
onde
se anular em
não constante, tal que
p(x)
é o polinômio mínimo de
uma vez que colocamos
Mostre que se
f (α) = 0
θ
Mostre que nesse caso o núcleo de
Vamos agora voltar aos anéis fatoriais e ao Teorema de Gauss. Seja
Questão 23.
entre dois corpos é
Considere a função
transcendente
f (x) ∈ F [x],
sobre
(p(x)) = {h(x) ∈ F [x] | p(x) | h(x) },
h(x) ∈ F [x]
é um subanel de
dentro de
3. Suponha agora que existe polinômio
α
α
Nesse caso dizemos que
θ = {h(α) | h(x) ∈ F [x] }
caso dizemos que
θ:F →K
Mostre que
θ
h(x) ∈ F [x]).
é injetivo se e somente se
F.
uma extensão de
1.
todo
θ
mostre que
No exercício anterior vimos que todo homomorsmo
injetivo. Nesse caso dizemos que
K
θ : A → B
Para um homomorsmo
f (x)
A
A
(nesse
é o ideal
α.
um anel fatorial e
dentro de
K
seu
K.
for um polinômio irredutível de
K[x],
então
A[x].
Vamos a seguir denir o MDC de uma família nita de elementos:
Denição. Dados a1 , . . . , am em um anel A dizemos que d ∈ A é um MDC de a1 , . . . , am se
1.
d|a1 , d|a2 , . . . , d|am .
2. Se
e∈A
também tiver a propriedade
e|a1 , e|a2 , . . . , e|am ,
Assim um MDC é um divisor comum de
comuns. Dizemos também que
a1 , . . . , a m
Observe que três elementos, como
e
15
de
1
a1 , . . . , a m
então
que é divisível por todos os outros divisores
são relativamente primos se
6, 15, 17
e|d.
1
for um MDC de
a1 , . . . , a m .
podem ser relativamente primos, mas dois deles como
6
não serem. O que não existe é um número que divida os três ao mesmo tempo e seja diferente
e
−1.
11
Seja
f (x) = ao + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn ∈ A[x].
c(f ),
por
a um MDC dos coecientes
a1 x + a2 x 2 + · · · + an x n
ao , a1 , a2 . . . , am
vamos ter para cada
f1 (x) = bo + b1 x + b2 x2 + · · · + bn xn
f (x).
f (x) = c(f )f1 (x)
Quando um polinômio tem conteúdo igual a
f1 (x)
de
0 ≤ i ≤ n , bi ∈ A
temos que
f (x),
Chamamos de conteúdo de
ai = c(f )bi .
f (x)
Denindo-se
c(f1 ) = 1.
e
1 dizemos esse polinômio é primitivo.
é primitivo e acabamos de ver que todo polinômio
f (x) = ao +
Repare que dado
tal que
e denotamos
satisfaz
No caso acima
f (x) = c(f )f1 (x),
f1 (x)
com
primitivo.
Como o conteúdo de
de que se
com
d
f (x)
é obtido como o MDC dos coecientes de
f (x),
também é um MDC dos coecientes de
d
Seja
A
são associados (d
= uc(f ),
g(x) for um polinômio primitivo, e d ∈ A, for não nulo, então c(dg(x)) = d.
um anel fatorial e
em irredutíveis de
A.
f (x) = p1 · · · pn f1 (x)
Questão 24.
ser irredutível em
f (x) ∈ A[x].
e agora só falta fatorar o
Seja
A
c(f ) = p1 · · · pn
a fatoração do conteúdo de
f1 (x)
h(x),
e uma fatoração de
também seria uma fatoração de
pois
que é primitivo.
A,
armamos que os polinômios irredutíveis de
onde
h(x)
é primitivo e é irredutível em
K[x],
A[x],
que
K
é o
onde
h(x) irredutível em K[x] também é irredutível em A[x].
h(x)
h(x)
em dois polinômios
em
K[x]
(pois
mas existissem
f (x), g(x) ∈ K[x]
com
f (x), g(x) ∈ A[x]
h(x) ∈ A[x]
gr f, gr g < gr h,
(primitivo) seja irredutível em
gr f, gr g < gr h, tais que h(x) = f (x)g(x).
Vamos inicialmente fazer umas modicações nos coecientes de
f (x) =
com
Anal
f (x), g(x) ∈ K[x]).
Na outra direção é mais complicado. Suponha que
ao a1
ar
+ x + · · · xr ,
bo
b1
br
g(x) =
ao , . . . , ar , bo , . . . , br , co , . . . , cs , do , . . . , ds ∈ A,
de
A[x],
A.
Claro que um polinômio primitivo
K
em irredutíveis de
A[x].
corpo de frações de
de frações
f
f (x)
um anel fatorial. Mostre que um polinômio que não é primitivo não pode
não sejam constantes, são do tipo
A[x] ⊂ K[x]
Seja
Então já temos uma parte da fatoração de
Dado um domínio de fatoração única
onde
c(f )
e
ele é único no sentido
u ∈ A× ).
Observe também que se
A[x]
então
f (x)
f (x)
e
g(x).
Vamos escrever:
co
c1
cs
+ x + · · · xs
do d1
ds
pois os coecientes de
f (x)
e
g(x)
estão no corpo
A.
Em primeiro lugar vamos reduzir todas as frações que são coecientes de
denominador. Isso é possível porque
f (x)
a um mesmo
A sendo fatorial podemos encontrar um mínimo múltiplo comum
12
g(x)
dos denominadores (ou simplesmente tomar o produto deles). Fazemos o mesmo com
e agora
podemos escrever
f (x) =
αo + α1 x + · · · αr xr
β
g(x) =
Observe que
fn (x) = αo + α1 x + · · · αr xr ∈ A[x]
enquanto que
β, γ ∈ A.
como antes
Seja
fn (x) = µf1 (x)
e
µ, β, ν, δ ∈ A
µ ν
,
β δ
e considerar que
e
gn (x) = νg1 (x).
gn (x) = γo + γ1 x + · · · γs xs ∈ A[x],
Escrevemos
Agora estamos prontos para escrever
µ
f1 (x),
β
f1 (x), g1 (x) ∈ A[x]
µ, β
e também
µ = c(fn (x)) e ν = c(gn (x)), os conteúdos de fn (x) e gn (x).
f (x) =
onde
γo + γ1 x + · · · γs xs
.
δ
ν
g1 (x),
δ
g(x) =
são primitivos.
Podemos também simplicar as frações
são primos entre si e igualmente
ν, δ
são também relativamente primos.
Juntando tudo temos
h(x) = f (x)g(x) =
Multiplicando a igualdade por
βδ
µν
µν
f1 (x)g1 (x) =
f1 (x)g1 (x).
βδ
βδ
temos
βδh(x) = µνf1 (x)g1 (x).
Temos agora que
h(x)
é primitivo, por hipótese.
f1 (x)g1 (x)
também é primitivo como produto de
dois primitivos (Isso está demonstrado no [GL, Lema II.3.6-(3), pg 54]).
βδ = c(βδh(x))
e
µν = c(µνf1 (x)g1 (x)).
conteúdos são associados.
h(x) = uf1 (x)g1 (x)
Conclusão:
Seja
u ∈ A×
é uma fatoração de
h(x) ∈ A[x]
é irredutível em
Nesse caso a igualdade de polinômios mostra que os
tal que
h(x)
Concluímos assim que
em
A[x]
uβδ = µν .
A[x],
Então
µν
βδ
contra a hipótese de
se e somente se
h(x)
= u ∈ A× .
h(x)
Mas então
irredutível em
A[x].
é primitivo e é irredutível em
K[x].
Finalmente recomendamos a demonstração do Teorema de Gauss em Garcia e Leguain, [GL, pg.
56]. O raciocínio é bem semelhante ao que expusemos acima.
Vamos a seguir estudar melhor as raízes de um polinômio
f (x) ∈ A[x], onde A é um anel fatorial.
Nossa primeira propriedade é a seguinte:
Seja
A
um anel fatorial
mônico). Seja também
K
f (x) ∈ A[x],
não constante e com coeciente dominante
o corpo de frações de
A.
13
Se existir
α∈K
tal que
1
(isto é,
f (α) = 0,
então
f (x)
é
α ∈ A.
Estamos dizendo que as raízes de um polinômio mônico com coecientes em
K
Demonstração.
α = c/d,
que estiverem em
A.
estão de fato em
Escreve
A
Sejam
com
f (x) = ao + a1 x + a2 x2 + · · · + xn ∈ A[x]
c, d ∈ A.
e
α∈K
Podemos simplicar a fração e assumir que
c
e
d
uma raiz de
f (x).
são relativamente
primos (anal estamos trabalhando com um anel fatorial). Logo
0=f
c
c2
cn−1
cn
= ao + a1 + a2 2 + · · · + an−1 n−1 + n .
d
d
d
d
d
c
Multipliquemos essa igualdade por
dn
e obtemos
0 = ao dn + a1 cdn−1 + a2 c2 dn−2 + · · · + an−1 cn−1 d + cn .
Até aqui nada de anormal. Para termos
que
d 6∈ A× .
Logo exite um irredutível
a2 c2 dn−2 + · · · + an−1 cn−1 d
que concluir que
p
divide
e como
cn
α∈A
p∈A
é necessário que
que divida
d.
d ∈ A× .
Mas então
Vamos supor por absurdo
p
divide
ao dn + a1 cdn−1 +
cn = −(ao dn + a1 cdn−1 + a2 c2 dn−2 + · · · + an−1 cn−1 d),
e assim
p
divide
c.
vamos ter
Mas isso contradiz nossa escolha de tomar
relativamente primos. Conclusão não há irredutíveis dividindo
d o que signica que d ∈ A×
e
c
e
d
α ∈ A,
como queríamos.
Questão 25. Modique a demonstração acima para um polinômio não mônico f (x) = ao + a1 x +
a2 x2 + · · · + an xn ∈ A[x]
raiz de
f (x)
então
coecientes em
Denição.
Z
d|an
e
mostrando que se
c|ao .
A
com
c
e
d
Q.
um domínio de integridade e
K
seu corpo de frações.
um domínio integralmente fechado se para todo polinômio mônico
propriedade: se
f (α) = 0
com
relativamente primos, for uma
Esse é um resultado que aprendemos no colegial para polinômios com
que tenham raiz em
Seja
α = c/d ∈ K ,
α ∈ K,
então
Dizemos que
f (x) ∈ A[x]
A
é
valer a seguinte
α ∈ A.
Na demonstração acima mostramos que todo anel fatorial é integralmente fechado.
√
√
Z[ −3] que tem Q( −3) como corpo
√ de
√
−1
+
−3
2
frações. Observe o polinômio Φ3 (x) = x + x + 1 ∈ Z[x] ⊂ Z[ −3][x]. É mônico e tem
∈
2
√
√
√
−1 + −3
Q( −3) como raiz. Mas
6∈ Z[ −3] (verique como exercício).
2
√
Observe agora que demonstramos que todo anel fatorial é integralmente fechado. Como Z[ −3]
√
não é integralmente fechado podemos concluir que Z[ −3] não é um anel fatorial.
Exemplo de anel não integralmente fechado.
Tomemos
14
Vamos terminar este estudo com o critério de Eisenstein para anéis fatoriais. Esse citério permite
vericar de forma simples que um polinômio não constante é irredutível. Essa é outra vantagem de
saber-se que um domínio
A
é fatorial.
Critério de Eisenstein[GL,
ao + a1 x + · · · + an xn ∈ A[x],
que
p 6 |an , p|a1 , . . ., p|ao
e
Teorema III.2.8, pg.
71] Sejam
um polinômio não constante.
p2 6 |ao ,
então
f (x)
é irredutível em
A
um anel fatorial e
Se existir um irredutível
K[x],
onde
K
f (x) =
p ∈ A
tal
é o corpo de frações de
A.
Observe que se
f (x)
for primitivo, então
f (x)
também é irredutível em
sabemos isso a priori, só podemos garantir a irredutibilidade de
f (x)
no anel
A[x],
mas como não
K[x],
onde todas as
constantes são unidades.
Exemplo:
em
A
são
A = Z[x]
é um anel fatorial. Vemos que os coecientes de
e
0
(zero) que são os coecientes de
é irredutível, não divide o coeciente de
(x − 1)2 6 |(x2 + x − 2).
K = Q(x)
onde
x + 1, x2 − 1, x2 − 3x + 2, x2 + x − 2,
x−1 ∈ A
Temos que
e
f (x, y) = (x + 1)y 5 + (x2 − 1)y 3 + (x2 − 3x + 2)y 2 + (x2 + x − 2) ∈ Z[x, y].
f (x, y) = g(y) ∈ A[y],
Olhando-se
g(y)
Seja
y5,
A.
e
y.
divide todos os outros coecientes
Logo pelo critério de Eisenstein esse polinômio é irredutível em
é o corpo de frações de
y4
K[y],
onde
Como esse polinômio é primitivo, ele é também irredutível em
A[y] = Z[x, y].
Observe que se tomarmos
continua irredutível em
Questão 26.
2x + 10.
K[y],
(x2 − 2)f (x, y)
pois
x2 − 2
esse polinômio não é mais irredutível em
é invertível em
Verique se os seguintes polinômios de
Podemos aplicar Eisenstein em
K
(lembrar quem é
Z[x]
com
Mas ele
K ).
são irredutíveis:
5x7 + (1 + i)x2 − 2 ∈ A[x],
A[y].
x7 − 6; 3x4 + 6x3 −
A = Z[i]?
Alguns problemas simples sobre domínios fatoriais abstratos
Questão 27.
Seja
A
um domínio de fatoração única e tomemos
unidades. Vamos decompor cada um deles em irredutíveis:
pc11 pc22 · · · pcnn , d = pd11 pd22 · · · pdnn ,
são inteiros
≥ 0.
onde
Isso signica que se
p 1 , p2 , . . . , p n
a|c (a
divide
c)
se e somente se
A
e os expoentes
ai , b i , c i , d i
a.
Igualmente
não compareceu na fatoração do
30 = 21 31 51 , 12 = 22 31 50 , 225 = 20 32 52 .
armações abaixo:
1.
ai ≤ c i ,
para todo
15
não nulos e não
a = pa11 pa22 · · · pann , b = pb11 pb22 · · · pbnn , c =
são irredutíveis de
aj = 0, então pj
para os outros elementos (exemplos
a, b, c, d ∈ A,
i = 1, . . . , n.
Desmonstre as
2. Se
3.
d
a
e
a
e
c
são primos entre si, então
é um MDC de
4. Se
5.
a|bc
e
d
b
a
b
e
é um MDC de
a
se e somente se
e
b
então
dc
a|b.
di = mínimo{ai , bi }
é um MDC de
são associados se e somente se
ai = b i ,
ac
c
d
i = 1, . . . , n.
bc.
e
para todo
6. Escreva a condição necessária e suciente para que
para todo
i = 1, . . . , n.
seja um MDC dos três elementos
a, b ,
e
(ver na página 10 da lista anterior a denição de MDC de mais de dois elementos).
7. Sabendo-se que
Questão 28.
p4 = 7, p5 = 3
de
a
é irredutível, mostre que
a|c5
se e somente se
Considere os seguintes elementos de
a|c.
p1 = x2 + x + 1, p2 = x3 − 2, p3 = x + 3,
A = Z[x].
1. Verique, que cada um deles é irredutível em
2. Encontre um MDC de
a = p21 p3 p85
3. Encontre também um MDC de
4. Verique quais dos elementos
e
A.
b = p1 p52 p43 p4 .
c = p43 p34 p85 , d = p1 p3 p24 p35 , e = p1 p32 p3 p4 p35 .
p1 , p 2 , p 3 , p 4 , p 5
permanece irredutível em
Q[x].
Justicar a
resposta.
5. Verique quais dos elementos
6. Fazer o mesmo para
A[x],
p1 , p 2 , p 3 , p 4 , p 5
com
permanece irredutível em
A[x],
onde
A = Z[i].
A = Q(i).
Referências
[BE]
o
P. Brumatti e A. J. Engler, Inteiros Quadráticos e Grupos de Classe, 23 Colóquio Bras. de
Mat. IMPA, 2001.
[C]
H. Cohn, Advanced Number Theory, Dover Publications Inc., 1962.
[GL]
A. Garcia e Y. Lequain, Elementos de Álgebra, Projeto Euclides, Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), 2002.
[H]
I. N. Herstein, Topics in Algebra, John Wiley & Sons, 1975.
[R]
J. Rotman, Galois Theory, Springer-Verlag, 1990.
16