1 Ainda sobre domínios com fatoração única

Terceira Lista
Corpo de frações e elementos inteiros
1
Ainda sobre domínios com fatoração única
Vamos inicialmente deixar mais claro o que se entendo por fatoração única na denição da página
8 da lista anterior. Para isso vamos introduzir um novo conceito.
Dizemos que dois elementos não nulos
b
e
b
com
divide
v∈A
1 = vu.
a).
Claro que nesse caso, como
pois também
Logo
a, b
u ∈ A×
b|a.
Isso implica
(também
de um anel
a|b,
temos
b = bvu
A
são associados se
b = au,
com
que dividido por
b
u ∈ A,
a|b
e
b|a (a
e igualmente,
(por hipótese
divide
a = bv ,
a, b 6= 0)
leva a
v = u−1 ∈ A× ).
Questão 1. Reciprocamente, se u ∈ A× e a, b ∈ A são não nulos tais que a = ub, mostre que a|b
e
b|a,
isto é
a
b
e
são associados.
Podemos denotar essa relação assim
a∼b
⇔
a|b
e
b|a.
Questão 2. Mostre que para a, b ∈ A se tivermos a = b, então a ∼ b.
Questão 3.
Mostre que a relação
a∼b
é uma relação de equivalência e que
A×
é a classe de
1 (A× = {x ∈ A | x ∼ 1 }).
equivalência de
Questão 4. Se d é um MDC de a e b, então d0 é outro MDC de a e b se e somente se d ∼ d0 .
Questão 5.
em
Se
p∈A
é irredutível em
A
e
q∈A
satiszer
q ∼ p,
então
q
também é irredutível
A.
Questão 6. Sejam p, q ∈ A dois irredutíveis.
Mostre que
p|q
se e somente se
p ∼ q.
Vamos agora enunciar novamente a denição de anel fatorial, ou domínio de fatoração única.
Denição. Dizemos que um anel A é um domínio de fatoração única se para todo a ∈ A tal que
a 6= 0
e
a 6∈ A×
existem irredutíveis de
A, p 1 , . . . , p n ,
com
a = p1 · · · pn .
Essa fatoração é única a
menos da ordem dos fatores e da troca de um fator por um seu associado. Isto é, se
irredutíveis de
um única
A
tais que
1≤j≤m=n
q1 · · · qm = a = p 1 · · · p n ,
tal que
então
m=n
e para todo
q1 , . . . , q m
1≤i≤n=m
p i ∼ qj .
Vamos a seguir mostrar que todo domínio euclidiano é um domínio de fatoração única.
1
são
existe
Seja
A
um domínio euclidiano e seja
ϕ : A r {0} → N
tal que para todo par de elementos
(I)
a, b ∈ A, b 6= 0,
a = bq + r
existem
r = 0,
com
ou
q, r ∈ A
tais que
ϕ(r) < ϕ(b),
a função que permite fazer a divisão euclidiana de dois elementos de
A.
Questão 7. Estude o que acontece em um anel euclidiano quando dividimos 1 por b 6= 0.
Vamos assumir que
ϕ
tem a seguinte propriedade adicional para facilitar as contas:
∀ a, b ∈ A r { 0 },
ϕ(ab) ≥ ϕ(a).
(II)
Essa condição não é na verdade necessária. Pode-se ver em Introdução a Álgebra e Aritmética, T.
o
M. Viswanathan, Monograas de Matemática, n 33, IMPA, 1979, nas páginas 252-255, proposições
2.3 e 2.4, que sempre que exite uma função
θ
ϕ estabelecendo uma divisão euclidiana, existe uma outra
que também estabelece uma divisão euclidiana e
θ
tem a propriedade adicional. Se existe uma
ϕ
que permite divisão euclidiana, existem outras que também permitirão e entre elas pode-se pegar
uma com a propriedade adicional.
Logo não faz mal nenhum usarmos essa propriedade.
Observe
também que em todos os exemplos que vimos a função da divisão euclidiana tinha essa propriedade.
Questão 8. Para uma ϕ que tem as duas propriedade (I) e (II) acima mostre que:
(a)
ϕ(1) ≤ ϕ(x), ∀x ∈ A
(b) Para todo
(c) Para
(d) Se
u ∈ A× , ϕ(u) = ϕ(1).
a, b ∈ A,
a∈A
e
se
a ∼ b,
ϕ(a) = ϕ(1),
então
ϕ(a) = ϕ(b).
mostre que
a ∈ A×
Dica. Faça a divisão euclidiana de 1 por a.
(e) Sejam
a, b ∈ A.
Mostre que se
ϕ(a) = ϕ(b),
então
Dica. Use a dica anterior.
2
a ∼ b.
Mostraremos agora que
todo domínio euclidiano é um domínio de fatorial.
Faremos a demonstração em duas etapas. Primeiro mostraremos que existe a fatoração e depois
que ela é única (no sentido acima).
Seja
que
N = {a ∈ A | a 6= 0, a 6∈ A×
e
a não tem fatoração em irredutíveis de A }.
N = ∅ Procurando por um absurdo vamos supor N =
6 ∅.
M=
6 ∅.
hipótese implica
ϕ(ao ) =
Como
N ⊂N
temos que
N
Devemos mostrar
M = {ϕ(a) | a ∈ N }.
Tomemos
tem um menor elemento. Seja
ao ∈ N
Nossa
tal que
mínimoM.
Como
ao ∈ N , ao
não pode ser irredutível em
seria uma fatoração de
e
ao = bc
e
ϕ(ao ) ≥ ϕ(c).
ao
(isto é,
ao
em irredutíveis (de
Como
b, c 6∈ A×
temos que
ao
não é associado nem a
ϕ(ao ) = ϕ(b),
fatoram-se em um produto de irredutíveis. Como
A,
pj ,
ao
nem
b, c ∈ A
b
b, c 6∈ N .
também
ao ∈ N .
ao
c
Logo
já
b, c 6∈ A×
ϕ(ao ) ≥ ϕ(b)
(conrme isso).
ϕ(ao ) > ϕ(b)
e
b
c
Logo tanto
como
vai se fatorar num produto de
N = ∅,
Logo
q 1 · · · qm = a = p 1 · · · p n
ao = ao
tais que
nem a
ϕ(ao ) = ϕ(c).
temos que
ao = bc,
é claro). Mas isso contradiz o fato de
Para mostrar a unicidade usamos que se
dividir algum
é claro). Logo existem
Pela propriedade de minimalidade do
irredutíveis (de
Se fosse irredutível, a igualdade
tem uma fatoração verdadeira). Temos pela propriedade (II) que
Logo, pelo exercício acima não pode ocorrer
ϕ(ao ) > ϕ(c).
A,
A.
com
como queríamos.
m > n,
então
q1
terá que
e etc. Deixamos essa parte como exercício.
Na lista passada vimos que
Z[i]
é um anel euclidiano com
ϕ(a + bi) = N (a + bi) = a2 + b2 .
Seria
então interessante conhecer os irredutíveis desse anel.
Questão 9.
de
Mostre que se
N (a + bi)
é irredutível de
Z
(primo de
Z),
então
a + bi
é irredutível
Z[i].
Questão 10. Mostre que não existem inteiros a, b tais que a2 + b2 ≡ 3 mod 4.
todo irredutível
p∈Z
satisfazendo
p ≡ 3 mod 4
permanece irredutível em
Conclua disso que
Z[i].
Dica. Como Z[i] é fatorial, p tem uma fatoração em irredutíveis de Z[i], isto é, existem q1 , . . . , qm
irredutíveis de
Z[i]
tais que
p = q1 · · · qm .
Calcule a norma e compare o resultado obtido dos dois
lados da igualdade.
Questão 11. Seja p ∈ Z um irredutível impar tal que p ≡ 1 mod 4.
(a) Mostre que exite inteiro
c
tal que
c2 ≡ −1 mod p.
Dica. Use o chamado Pequeno Teorema de Fermat que diz: ∀ 1 ≤ c ≤ p − 1, cp−1 ≡ 1 mod p.
(b) Usando o item anterior mostre que
p
não é irredutível em
3
Z[i]
(c) Mostre que a fatoração de
Dica.
Como
q1 , . . . , q m
Z[i]
p
em
p
é fatorial,
irredutíveis de
tem que ser da forma
Z[i]
tem uma fatoração em irredutíveis de
tais que
Z[i]
(a + bi)(a − bi)
p = q1 · · · qm .
com
Z[i],
a + bi ∈ Z[i].
isto é, existem
Calcule a norma e compare o resultado
obtido dos dois lados da igualdade.
(d) Conclua do item anterior que
p
é uma soma de dois quadrados.
Os exercícios acima descrevem os irredutíveis de
de
Z[i], com uma excessão: 1+i também é irredutível
Z[i].
Sabemos então que
Z[i]
é fatorial e da descrição dos irredutíveis é dada por
p ∈ Z[i]
é irredutível
se e somente um dois seguintes casos acontecer:
(a)
p=1+i
(b)
p∈Z
(c)
p = a + bi
é um irredutível de
com
Z
tal que
N (a + bi) = a2 + b2
p ≡ 3 mod 4.
é um irredutível de
n
em irredutíveis de
Z
que é côngruo a
x2 + y 2 = n,
Resulta desses fatos que podemos dizer quando a equação
Vamos decompor
Z
com
1
módulo
n∈Z
4.
tem solução.
da seguinte maneira:
n = p1n1 pn2 2 · · · pnr r q1m1 q2m2 · · · qsms ,
onde
n 1 , . . . , n r , m1 , . . . , m s
1 mod 4,
para todo
1 ≤ j ≤ s.
temos que
são inteiros positivos,
1≤i≤r
Então a equação
mj
e
q1 , . . . , q s
x2 + y 2 = n
p1 , . . . , p r
são irredutíveis de
tem solução
são irredutíveis de
Z
satisfazendo
Z
satisfazendo
qj ≡ 3 mod 4,
pi ≡
para todo
inteira se e somente se para todo 1 ≤ j ≤ s
é par (ver [GL, Teorema IV.1.6, pg 105]).
Vamos a seguir ver outra forma de encontrar anéis fatoriais.
Teorema de Gauss Se A é um domínio fatorial, então A[x] também é fatorial.
Consequência Se A é fatorial, então A[x1 , . . . , xn ] também é fatorial.
Exemplos que conhecemos de anéis fatoriais
K
é um corpo, pois nesse caso
Exemplos de irredutíveis de
K[x]
Z
e portanto
é euclidiano. Logo
Z[x], Z[x, y], Z[x1 , . . . , xn ], K[x],
K[x, y], K[x1 , . . . , xn ]
também são fatoriais.
Z[x]:
Questão 12. Todo irredutível de Z é irredutível de Z[x], por exemplo, 2, 3, −7, etc,
4
onde
Questão 13.
irredutível de
Mais geralmente, se
A
é um anel fatorial, mostre que todo irredutível de
A
é
A[x].
Questão 14. Verique que x, x + 1, ou 2x + 3 são irredutíveis de Z[x].
Observação.
um MDC de
2
e
Um fato importante é que
x
seria
1,
Z[x]
não é euclidiano.
Realmente se fosse euclidiano
pois os dois são irredutíveis e não são associados.
Vimos que em um
anel euclidiano o MDC de dois elementos é uma combinação linear desses dois elementos, isto é, se
fosse euclidiano existiriam elementos
Z[x]
é uma igualdade em
por
0
Z[x],
tais que
1 = 2f (x) + xg(x).
Como essa
é uma igualdade entre funções, logo substituindo-se a indeterminada
a igualdade continua valendo:
independente de
f (x), g(x) ∈ Z[x]
1 = 2f (0).
Mas isso é impossível, pois
f (0)
x
é inteiro (o termo
f (x)).
Dado um domínio de fatoração única
A para melhor descrevermos os irredutíveis de A[x] que não
são constantes necessitamos estudar seu corpo de frações.
2
Corpo de Frações
Podemos observar que todos os anéis que estudamos estão dentro de um corpo. Logo podemos
formar suas frações, como na relação inteiros e racionais. Mas vamos formalizar melhor isso para
casos onde o corpo não é tão evidente. Por exemplo, onde estão as frações de
com coecientes em
A[x], anel de polinômios
A?
Para isso vamos fazer uma distinção que a primeira vista é inútil, mas, veremos mais tarde, que
faz sentido.
Denição. Dizemos que um anel A é um domínio de integridade se valer propriedade: ∀a, b ∈ A
se
ab = 0,
então
a=0
Dois elementos
a, b
ou
b = 0.
de um anel
A
tais que
a 6= 0, b 6= 0,
mas
ab = 0
são chamados de
divisores de
zero.
Quase todos os anéis que conhecemos não tem divisores de zero, mas o anel das matrizes
Mn tem.
Existem matrizes não nulas
a e b cujo produto é igual a matriz nula.
Isto é
Mn tem divisores
de zero.
Também os anéis de funções da Questão 4 da lista anterior tem divisores de zero.
5
n × n,
Na maior parte deste curso os anéis não tem divisores de zero e, portanto, são domínios de
integridade. Vamos a seguir construir o corpo de frações de um domínio de integridade.
Seja
A
um domínio de integridade e tomemos
M = { (a, b) | a, b ∈ A
com
b 6= 0 }.
M
Em
podemos denir soma e produto de pares de maneira natural:
(a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd)
Claro que os pares
(a, b)
(a, b)(c, d) = (ab, cd).
e
a/b.
são os candidatos a frações
representem a mesma fração. Por exemplo, se
representarão a mesma fração, como no caso
A=Z
e
Mas temos que lidar com pares que
M = { (a, b) | a, b ∈ Z, b 6= 0 }
(1, 2), (2, 4), (3, 6), (25, 50),
muitos pares
e assim por diante. Todos
eles representam um meio. Logo não podemos tomar diretamente os pares como sendo as frações.
Precisamos identicar pares que representem a mesma fração.
(2, 4), (3, 6), (25, 50)
e todos os outros do tipo
(n, 2n)
No exemplo acima os pares
devem ser tornados iguais.
(1, 2),
Fazemos isso
atravéz de uma relação de equivalência.
Em
M
vamos denir uma relação de equivalência da seguinte forma:
(a, b) ' (c, d) ⇔ ad = bc.
Essa relação é baseada no fato de que dois pares representarão a mesma fração se forem equivalentes.
Questão 15.
Verique que
'
é uma relação de equivalência, isto é, que é reexiva, simétrica, e
transitiva.
Vamos a seguir colocar operações nas classes de equivalência. Para isso vamos vericar que dados
(a1 , b1 ), (a2 , b2 ), e (c1 , d1 ), (c2 , d2 )

 (a , b ) ' (c , d ) e
1 1
1 1
se
 (a , b ) ' (c , d )
2
2
2
em
M
as seguintes condições valem:
então
2

 (a b + a b , b b ) ' (c d + c d , d d )
1 2
2 1 1 2
1 2
2 1 1 2
 (a a , b b ) ' (c c , d d )
1 2
1 2
1 2
e
(♠)
1 2
Isto é, estamos vericando que somando-se e multiplicando-se pares equivalentes obtemos os mesmos
resultados.
Questão 16. Demonstre que valem as relações (♠) acima.
Vamos agora denotar
um par
(a, b) ∈ M
K = M/ '.
denotamos sua classe em
(1, 1) = { (a, b) ∈ M | a = b 6= 0 }
seja um corpo. Em
K
K
Isto é
K
é o conjunto das classes de equivalência de
por
(a, b).
(lembrar que o anel
as duas classes acima
(0, 1)
6
e
Por exemplo
A
(1, 1)
M.
Dado
(0, 1) = { (a, b) ∈ M | a = 0 };
tem um 1 e um 0). Queremos que
vão ser o 0 e o 1 do corpo
K.
K
Podemos agora denir soma e produto em
K
sem maiores diculdades, graças as relações
(a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd)
(♠).
(a, b) (c, d) = (ac, bd).
e
Questão 17. Demonstre que a soma é associativa, comutativa, tem (0, 1) como zero e que cada
elemento tem um negativo. Fazer o mesmo com a multiplicação: é associativa, comutativa, tem
(1, 1)
com 1 e é distributiva em relação a soma.
Mostre nalmente que se
(a, b) 6= 0 = (0, 1),
então
(a, b) (b, a) = (1, 1).
K
Isto é, mostre que
é
um corpo.
de
Observe agora que a função
Θ:A→K
A
Θ(a + b) = Θ(a) + Θ(b)
e
K,
mais precisamente,
a 7→ (a, 1)
denida por
a, b ∈ A. Θ é o que chamamos de um homomorsmo.
e
é injetiva e preserva as operações
Θ(ab) = Θ(a)Θ(b),
quaisquer que sejam
De qualquer forma podemos identicar
A com
{ (a, 1) | a ∈ A }.
Tomemos agora um elemento qualquer de
(a, b) = (a, 1) (1, b).
Ou se preferirmos
cada
x ∈ A.
frações de
Temos também que
(a, b) =
Θ(a)
.
Θ(b)
Como
Como isso temos que
K , (a, b),
(1, b) = (b, 1)
Θ
−1
e vamos decompo-lo da seguinte maneira:
. Logo
(a, b) = (a, 1) (b, 1)
−1
é injetiva podemos fazer uma identicação
(a, b) =
a
.
b
Temos assim
K={
= Θ(a)Θ(b)−1 .
Θ(x) = x
a
| a, b ∈ A, b 6= 0 }
b
para
é o corpo de
A.
Exemplos:
(a)
Q
é o corpo de frações de
(b)
√
Q( 2)
(c)
Q(i)
Z.
é o corpo de frações de
é o corpo de frações de
√
•
Seja
ω=
−1 + −3
.
2
Demonstrações.
Então
√
Z[ 2].
Z[i].
√
Q( −3)
é o corpo de frações de
Z[ω].
Veriquemos que a armação do item (b) acima é correta. Pela nossa con-
√
Z[ 2] seria formado pelas frações, com denominador 6= 0, do tipo
√
√
√
√
a+b 2
(a + b 2)(c − d 2)
(ac − 2bd) + (bc − ad) 2
(ac − 2bd) (bc − qd) √
√ =
√
√ =
=
+ 2
2.
c2 + 2d2
c2 + 2d2
c + 2d2
c+d 2
(c + d 2)(c − d 2)
strução o corpo de frações de
Como
(ac − 2bd) (bc − qd)
, 2
∈Q
c2 + 2d2
c + 2d2
resulta
7
√
√
a+b 2
√ ∈ Q( 2),
c+d 2
como queríamos. Isso mostra que o corpo de frações de
a outra inclusão sejam
m, n, r, s ∈ Z,
√
m r√
z=
+
2 ∈ Q( 2).
n
s
que está no corpo de frações de
com
n, s 6= 0
√
Z[ 2]
está contido em
√
m r√
ms + rn 2
√
+
z=
2=
n
s
ns + 0 2
Logo vale armação do item (b).
No item (c) temos uma situação semelhante, mas devemos agora lembrar que
a, b ∈ Z}.
Para vermos
e tomemos
Trabalhando um pouco temos
√
Z[ 2].
√
Q( 2).
Z[ω] = {a + bω |
Os argumentos seriam os mesmos, com um pouco mais de trabalho.
Outros exemplos particularmente interessante são os seguintes:
(a) Seja
F
um corpo. O corpo de frações de
F (x) =
(b) Seja
Z[x]
F [x]
é dado por
f (x) f (x), g(x) ∈ F [x], g(x) 6= 0 .
g(x)
o anel de polinômios com coecientes inteiros. Então
Isso vale mais geralmente: dado um domínio de integridade
que
(c) Seja
K(x)
F
sobre
é o corpo de frações de
um corpo e
F
t1 , . . . tn n
A
Q(x)
é seu corpo de frações.
com corpo de frações
K
temos
A[x].
indeterminadas sobre
F.
O anel dos polinômios em
n
variáveis
é dado por
o
n
X
i1
in F [t1 , . . . tn ] = f (t1 , . . . , tn ) =
ai1 ,...,in t1 · · · tn ai1 ,...,in ∈ F .
Seu corpo de frações é dado por
f (t1 , . . . , tn ) F (t1 , . . . , tn ) = ϕ(t1 , . . . , tn ) =
g(t1 , . . . , tn ) 6= 0 .
g(t1 , . . . , tn )
Os corpos
F (x)
e
F (t1 , . . . tn )
primeiro caso ocorre se
são chamados de
corpos de funções racionais
em
n
variáveis. O
n = 1.
Questão 18. Faça a vericação da armação do item (b) acima.
Antes de prosseguirmos vamos introduzir um novo conceito que já apareceu na construção do
corpo de frações.
Denição. Seja A e B dois anéis.
Dizemos que uma função
anéis) se as seguintes condições forem vericadas:
1.
∀ a, b ∈ A,
θ(a + b) = θ(a) + θ(b);
8
θ:A→B
é um
homomorsmo
(de
2.
∀ a, b ∈ A,
3.
θ(1) = 1.
θ(ab) = θ(a)θ(b);
•
No axioma (3) acima estamos dizendo que
•
Compare essa denição com a denição de transformação linear entre dois espaços vetoriais.
•
Decorre desses três axiomas que
θ : A → B
Um homomorsmo
biunívoca; é chamado de
sobrejetivo
transforma o 1 de
θ(−x) = −θ(x),
0∈A
também o primeiro zero é o
θ
e o segundo é o
θ
0 ∈ B,
injetivo,
no 1 de
x ∈ A
e
B.
θ(0) = 0,
onde aqui
que podem ser bem diferentes.
monomorsmo
se a função
for sobrejetiva e é chamado de
isomorsmo
é chamado de
se a função
para todo
A
ou
θ
for
se a
θ
for bijetiva.
Aqui também estudamos o núcleo de um homomorsmo. Dado um homomorsmo
chamamos de
núcleo
de
θ:
θ : A → B,
notação N(θ)
N(θ)
θ
Por outro lado, a imagem da função
= {x ∈ A | θ(x) = 0 }.
B
dentro de
é denotado por Im(θ) e é um subanel de
B.
Questão 19. Mostre que o N(θ) tem as seguintes propriedades:
1.
0 ∈ N(θ).
2.
∀ x, y ∈ N(θ),
3.
∀ x ∈ N(θ)
e
Um subconjunto
de
ideal
de
vale que
a ∈ A,
I
x + y ∈ N(θ).
vale que
de um anel
A
ax ∈ N(θ).
que tenha as três propriedades do último exercício é chamado
A.
Questão 20.
Sejam
F
e
K
dois corpos e
um corpo é um anel?). Mostre que N(θ)
Questão 21.
N(θ)
= { 0 }.
θ:F →K
= {0}
Para um homomorsmo
um homomorsmo de anéis (A propósito,
(lembrar que todo elemento não nulo tem inverso).
θ : A → B
mostre que
No exercício anterior vimos que todo homomorsmo
injetivo. Nesse caso dizemos que
K
é uma
extensão
de
θ
θ:F →K
A[x] ⊂ K[x]
uma vez que colocamos
9
entre dois corpos é
F.
Vamos agora voltar aos anéis fatoriais e ao Teorema de Gauss. Seja
corpo de frações. Vamos escrever
é injetivo se e somente se
A
A
um anel fatorial e
dentro de
K.
K
seu
Questão 22.
f (x)
Seja
f (x) ∈ A[x].
Mostre que se
f (x)
for um polinômio irredutível de
K[x],
então
A[x].
também é irredutível em
Vamos a seguir denir o MDC de uma família nita de elementos:
Denição. Dados a1 , . . . , am em um anel A dizemos que d ∈ A é um MDC de a1 , . . . , am se
d|a1 , d|a2 , . . . , d|am .
1.
2. Se
e∈A
também tiver a propriedade
e|a1 , e|a2 , . . . , e|am ,
Assim um MDC é um divisor comum de
comuns. Dizemos também que
a1 , . . . , a m
Observe que três elementos, como
e
15
de
1
que é divisível por todos os outros divisores
são relativamente primos se
6, 15, 17
e|d.
1
for um MDC de
a1 , . . . , a m .
podem ser relativamente primos, mas dois deles como
6
não serem. O que não existe é um número que divida os três ao mesmo tempo e seja diferente
e
−1.
Seja
f (x) = ao + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn ∈ A[x].
c(f ),
por
a1 , . . . , a m
então
a um MDC dos coecientes
a1 x + a2 x 2 + · · · + an x n
ao , a1 , a2 . . . , am
vamos ter para cada
f1 (x) = bo + b1 x + b2 x2 + · · · + bn xn
de
f (x).
0 ≤ i ≤ n , bi ∈ A
f (x) = c(f )f1 (x)
temos que
Quando um polinômio tem conteúdo igual a
f1 (x)
Chamamos de conteúdo de
e
f (x),
ai = c(f )bi .
f (x)
Denindo-se
c(f1 ) = 1.
1 dizemos esse polinômio é primitivo.
é primitivo e acabamos de ver que todo polinômio
f (x) = ao +
Repare que dado
tal que
e denotamos
satisfaz
No caso acima
f (x) = c(f )f1 (x),
f1 (x)
com
primitivo.
Como o conteúdo de
de que se
com
d
f (x)
é obtido como o MDC dos coecientes de
f (x),
também é um MDC dos coecientes de
então
d
e
c(f )
f (x)
ele é único no sentido
são associados (d
= uc(f ),
u ∈ A× ).
Observe também que se
Seja
A
g(x) for um polinômio primitivo, e d ∈ A, for não nulo, então c(dg(x)) = d.
um anel fatorial e
em irredutíveis de
A.
f (x) = p1 · · · pn f1 (x)
Questão 23.
ser irredutível em
f (x) ∈ A[x].
Seja
a fatoração do conteúdo de
Então já temos uma parte da fatoração de
e agora só falta fatorar o
Seja
c(f ) = p1 · · · pn
A
f1 (x)
f
em irredutíveis de
f (x)
A[x],
pois
que é primitivo.
um anel fatorial. Mostre que um polinômio que não é primitivo não pode
A[x].
Dado um domínio de fatoração única
não sejam constantes, são do tipo
h(x),
A,
armamos que os polinômios irredutíveis de
onde
h(x)
10
é primitivo e é irredutível em
K[x],
A[x],
que
K
é o
onde
A.
corpo de frações de
h(x) irredutível em K[x] também é irredutível em A[x].
Claro que um polinômio primitivo
A[x] ⊂ K[x]
e uma fatoração de
também seria uma fatoração de
h(x)
h(x)
em dois polinômios
em
K[x]
(pois
mas existissem
f (x), g(x) ∈ K[x]
h(x) ∈ A[x]
onde
ao a1
ar
+ x + · · · xr ,
bo
b1
br
K
de
(primitivo) seja irredutível em
f (x)
e
g(x).
Vamos escrever:
co
c1
cs
+ x + · · · xs
do d1
ds
g(x) =
ao , . . . , ar , bo , . . . , br , co , . . . , cs , do , . . . , ds ∈ A,
de frações
gr f, gr g < gr h,
gr f, gr g < gr h, tais que h(x) = f (x)g(x).
com
Vamos inicialmente fazer umas modicações nos coecientes de
f (x) =
com
f (x), g(x) ∈ K[x]).
Na outra direção é mais complicado. Suponha que
A[x]
f (x), g(x) ∈ A[x]
Anal
pois os coecientes de
f (x)
e
g(x)
estão no corpo
A.
Em primeiro lugar vamos reduzir todas as frações que são coecientes de
denominador. Isso é possível porque
f (x)
a um mesmo
A sendo fatorial podemos encontrar um mínimo múltiplo comum
dos denominadores (ou simplesmente tomar o produto deles). Fazemos o mesmo com
g(x)
e agora
podemos escrever
f (x) =
αo + α1 x + · · · αr xr
β
g(x) =
Observe que
fn (x) = αo + α1 x + · · · αr xr ∈ A[x]
enquanto que
β, γ ∈ A.
como antes
Seja
fn (x) = µf1 (x)
e
µ, β, ν, δ ∈ A
µ ν
,
β δ
e considerar que
e
gn (x) = νg1 (x).
gn (x) = γo + γ1 x + · · · γs xs ∈ A[x],
Escrevemos
Agora estamos prontos para escrever
µ
f1 (x),
β
f1 (x), g1 (x) ∈ A[x]
µ, β
e também
µ = c(fn (x)) e ν = c(gn (x)), os conteúdos de fn (x) e gn (x).
f (x) =
onde
γo + γ1 x + · · · γs xs
.
δ
ν
g1 (x),
δ
g(x) =
são primitivos.
Podemos também simplicar as frações
são primos entre si e igualmente
ν, δ
são também relativamente primos.
Juntando tudo temos
h(x) = f (x)g(x) =
Multiplicando a igualdade por
βδ
µν
µν
f1 (x)g1 (x) =
f1 (x)g1 (x).
βδ
βδ
temos
βδh(x) = µνf1 (x)g1 (x).
Temos agora que
h(x)
é primitivo, por hipótese.
f1 (x)g1 (x)
também é primitivo como produto de
dois primitivos (Isso está demonstrado no [GL, Lema II.3.6-(3), pg 54]).
11
Concluímos assim que
βδ = c(βδh(x)
µν = c(µνf1 (x)g1 ).
e
u ∈ A×
são associados. Seja
uma fatoração de
é irredutível em
tal que
Nesse caso a igualdade de polinômios mostra que os conteúdos
uβδ = µν .
Então
µν
βδ
= u ∈ A× .
Mas então
h(x) em A[x], contra a hipótese de h(x) irredutível em A[x].
A[x]
se e somente se
h(x)
h(x) = uf1 (x)g1 (x) é
Conclusão:
h(x) ∈ A[x]
K[x].
é primitivo e é irredutível em
Finalmente recomendamos a demonstração do Teorema de Gauss em Garcia e Leguain, [GL, pg.
56]. O raciocínio é bem semelhante ao que expusemos acima.
Vamos a seguir estudar melhor as raízes de um polinômio
f (x) ∈ A[x], onde A é um anel fatorial.
Nossa primeira propriedade é a seguinte:
Seja
A
um anel fatorial
mônico). Seja também
K
f (x) ∈ A[x],
não constante e com coeciente dominante
o corpo de frações de
A.
Se existir
α∈K
tal que
estão de fato em
α = c/d,
A
então
f (x)
é
α ∈ A.
que estiverem em
A.
Demonstração.
Escreve
(isto é,
f (α) = 0,
Estamos dizendo que as raízes de um polinômio mônico com coecientes em
K
1
com
Sejam
f (x) = ao + a1 x + a2 x2 + · · · + xn ∈ A[x]
c, d ∈ A.
e
α∈K
Podemos simplicar a fração e assumir que
c
e
d
uma raiz de
f (x).
são relativamente
primos (anal estamos trabalhando com um anel fatorial). Logo
0=f
c
c2
cn−1
cn
= ao + a1 + a2 2 + · · · + an−1 n−1 + n .
d
d
d
d
d
c
Multipliquemos essa igualdade por
dn
e obtemos
0 = ao dn + a1 cdn−1 + a2 c2 dn−2 + · · · + an−1 cn−1 d + cn .
Até aqui nada de anormal. Para termos
que
d 6∈ A× .
Logo exite um irredutível
a2 c2 dn−2 + · · · + an−1 cn−1 d
que concluir que
p
divide
e como
cn
α∈A
p∈A
é necessário que
que divida
d.
d ∈ A× .
Mas então
Vamos supor por absurdo
p
divide
ao dn + a1 cdn−1 +
cn = −(ao dn + a1 cdn−1 + a2 c2 dn−2 + · · · + an−1 cn−1 d),
e assim
p
divide
c.
vamos ter
Mas isso contradiz nossa escolha de tomar
relativamente primos. Conclusão não há irredutíveis dividindo
d o que signica que d ∈ A×
e
c
e
d
α ∈ A,
como queríamos.
Questão 24. Modique a demonstração acima para um polinômio não mônico f (x) = ao + a1 x +
a2 x2 + · · · + an xn ∈ A[x]
raiz de
f (x)
então
coecientes em
Z
d|an
e
mostrando que se
c|ao .
α = c/d ∈ K ,
com
c
e
d
relativamente primos, for uma
Esse é um resultado que aprendemos no colegial para polinômios com
que tenham raiz em
Q.
12
Denição.
Seja
A
um domínio de integridade e
K
seu corpo de frações.
um domínio integralmente fechado se para todo polinômio mônico
propriedade: se
f (α) = 0
com
α ∈ K,
então
A
Dizemos que
f (x) ∈ A[x]
é
valer a seguinte
α∈A
Na demonstração acima mostramos que todo anel fatorial é integralmente fechado.
√
√
Z[ −3] que tem Q( −3) como corpo
√ de
√
−1
+
−3
2
frações. Observe o polinômio Φ3 (x) = x + x + 1 ∈ Z[x] ⊂ Z[ −3][x]. É mônico e tem
∈
2
√
√
√
−1 + −3
6∈ Z[ −3] (verique como exercício).
Q( −3) como raiz. Mas
2
√
Observe agora que demonstramos que todo anel fatorial é integralmente fechado. Como Z[ −3]
√
não é integralmente fechado podemos concluir que Z[ −3] não é um anel fatorial.
Exemplo de anel não integralmente fechado.
Tomemos
Vamos terminar este estudo repetindo o critério de Eisenstein para anéis fatoriais. Essa é outra
vantagem de saber-se que um domínio
Critério de Eisenstein[GL,
ao + a1 x + · · · + an xn ∈ A[x],
que
p 6 |an , p|a1 , . . ., p|ao
e
A
é fatorial.
Teorema III.2.8, pg.
71] Sejam
um polinômio não constante.
p2 6 |ao ,
então
f (x)
é irredutível em
A
um anel fatorial e
Se existir um irredutível
K[x],
onde
K
f (x) =
p ∈ A
tal
é o corpo de frações de
A.
Observe que se
f (x)
for primitivo, então
f (x)
também é irredutível em
sabemos isso a priori, só podemos garantir a irredutibilidade de
f (x)
no anel
A[x],
mas como não
K[x],
onde todas as
constantes são unidades.
Exemplo:
Olhando-se
g(y)
em
A
Temos que
e
Seja
f (x, y) = (x + 1)y 5 + (x2 − 1)y 3 + (x2 − 3x + 2)y 2 + (x2 + x − 2) ∈ Z[x, y].
f (x, y) = g(y) ∈ A[y],
são
A = Z[x]
é um anel fatorial. Vemos que os coecientes de
x + 1, x2 − 1, x2 − 3x + 2, x2 + x − 2,
x−1 ∈ A
e
0
(zero) que são os coecientes de
é irredutível, não divide o coeciente de
(x − 1)2 6 |(x2 + x − 2).
K = Q(x)
onde
y5,
A.
e
y.
divide todos os outros coecientes
Logo pelo critério de Eisenstein esse polinômio é irredutível em
é o corpo de frações de
y4
K[y],
onde
Como esse polinômio é primitivo, ele é também irredutível em
A[y] = Z[x, y].
Observe que se tomarmos
continua irredutível em
K[y],
(x2 − 2)f (x, y)
pois
x2 − 2
esse polinômio não é mais irredutível em
é invertível em
13
K
(lembrar quem é
K ).
A[y].
Mas ele
Referências
[BE]
o
P. Brumatti e A. J. Engler, Inteiros Quadráticos e Grupos de Classe, 23 Colóquio Bras. de
Mat. IMPA, 2001.
[C]
H. Cohn, Advanced Number Theory, Dover Publications Inc., 1962.
[GL]
A. Garcia e Y. Lequain, Elementos de Álgebra, Projeto Euclides, Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), 2002.
[H]
I. N. Herstein, Topics in Algebra, John Wiley & Sons, 1975.
[R]
J. Rotman, Galois Theory, Springer-Verlag, 1990.
14