Algumas Preliminares Matemáticas

Lista 1 de Microeconomia I
Professor: Carlos E.L. da Costa
Monitor: Vitor Farinha
Algumas Preliminares Matemáticas
Nas próximas páginas apresentam-se alguns conceitos matemáticos e teoremas que serão úteis ao curso de
Micro I. Como o objetivo aqui é apresentar rapidamente alguns instrumentos que serão estudados mais
profundamente nos cursos de Análise, omitem-se as principais provas. Algumas boas referências sobre os
assuntos aqui abordados são:
1. MWG, Apêndice Matemático.
2. Lima, Elon. Análise Real, vols. 1 e 2.
3. Simon e Blume. Matemática para economistas.
4. http://mathworld.wolfram.com/
5. Sundaram, Rangarajan. A First Course in Optimization Theory.
6. Cysne e Moreira. Matemática para economistas.
Norma Euclidiana
Tipicamente estaremos trabalhando no espaço euclidiano Rn , munido da norma euclidiana usual
De…nição 1 Seja x = (x1 ; :::; xn )
Rn , a norma euclidiana é a função k:k : Rn ! R dada por
!1=2
n
X
2
xi
kxk =
i=1
Que de…ne também a noção de distância (métrica) usual desse espaço, sendo a distância entre os pontos
x e y dada por d(x; y) = kx yk. Que atende a conhecida "desigualdade triangular" (essa desigualdade é,
na verdade, parte da própria de…nição de norma),
kx
yk + ky
zk
kx
zk :
Bolas Abertas, Conjuntos Abertos e Conjuntos Fechados
De…nição 2 Uma bola aberta com centro no ponto x e raio r é dada por
B(x; r) = fy 2 Rn jd(x; y) < rg:
Ou seja, B(x,r) é o conjunto de todos os pontos do Rn que distam de x em estritamente menos que r. Se
substituímos a desiguldade estrita(<) pela desigualdade fraca( );então temos a bola fechada B(x,r)
De…nição 3 O conjunto S no Rn é dito aberto se, para todo ponto x 2 S; existe r tal que B(x; r)
S:Intuitivamente, todo o ponto de um conjunto aberto está em seu interior, sendo possível deslocar-se
pequenas distâncias em qualquer direção sem que deixemos o conjunto S.
De…nição 4 O conjunto S no Rn é dito fechado se seu complementar é aberto. O teorema abaixo torna
possível uma de…nição alternativa, possivelmente mais clara, usando a noção de seqüências convergentes.
Teorema 1 Um conjunto S Rn é fechado se, e somente se, para toda seqüência {xk g tal que xk 2 S para
todo k e xk ! x, tem se que x 2 S:
Ou seja, o limite de qualquer seqüência convergente formada por pontos em S também é um ponto de S.
1
Conjuntos limitados e conjuntos compactos
De…nição 5 Um conjunto S
Rn é dito limitado se existe r>0 tal que S
De…nição 6 Um conjunto S
Rn é dito compacto se é limitado e fechado.
B(0; r):
Combinações Convexas e Conjuntos Convexos
Dada qualquer coleção …nita de pontos x1 ; x2 ; :::; xm 2 Rn ; um ponto z 2 Rn é dito umaP
combinação convexa
m
dosPpontos (x1 ; :::; xm ) se existe 2 Rm satisfazendo (i) i
0; i = 1; 2; :::; m e (ii) i=1 i = 1; tal que
m
z= i=1 i xi :
De…nição 7 Um conjunto S Rn é dito convexo se qualquer combinação convexa de quaisquer dois pontos
de S também está em S. Ou seja, se qualquer linha reta que liga dois pontos de S estiver completamente
contida nele.
Continuidade
De…nição 8 Tome f : S ! T; em que S
Rn e T
Rl :Então, f é dita contínua em x2 Rn se para
todo " > 0; existe > 0 tal que ao tomar-se y 2 S com d(x; y) < , valerá d(f (x); f (y)) < ": Em termos
de seqüências, f : S ! T é contínua em x se para todas as seqüências fxk g com xk 2 S para todo k e
limk!1 xk = x tem-se limk!1 f (xk ) = f (x):
Intuitivamente, f é contínua em x se, ao nos aproximarmos deste ponto, obtivermos aproximações sucessivamente melhores para o valor de f(x).
Uma função é dita contínua se é contínua em todos os pontos de seu domínio.
Teorema 2 (Weierstrass) Tome D Rn compacto e f : D ! R uma função contínua em D. Então f atinge
um máximo e um mínimo em D, i.e., exitem pontos z1 ; z2 2 D; tais que
f (z1 )
f (x)
f (z2 )
8x 2 D
Convexidade e Quase-Convexidade
De…nição 9 Seja X
e x,y 2 X tivermos
Rn um conjunto convexo. Uma função f : X ! R é convexa se para todo
f ( x + (1
)y)
f (x) + (1
2 [0; 1]
)f (y):
Analogamente, é dita estritemente convexa se o sinal da desigualdade for estrito (< ao invés de
).
De…nição 10 Seja X
Rn um conjunto convexo. Uma função f:X! R é côncava se -f é convexa. Ou
seja,f : X ! Ré côncava se para todo
2 [0; 1] e x,y 2 X tivermos f ( x + (1
)y)
f (x) + (1
)f (y):Analogamente, é dita estritemente côncava se o sinal da desigualdade for estrito.
De…nição 11 Sejam D Rn um conjunto convexo e f : D ! R:O conjunto de contorno superior de f
em a, denotado por C+
a ou Uf (a); é de…nido como
Uf (a) = fx 2 Djf (x)
ag:
O conjunto de contorno inferior de f em a, por sua vez, denotado por Ca ou Lf (a);é de…nido como
Lf (a) = fx 2 Djf (x)
ag:
A função f é dita quase-côncava se Uf (a) é convexo para todo a. Analogamente, é dita quase-convexa se
Lf (a) é convexo para todo a.
2
Figure 1: Curvas de nível e conjuntos de contorno de uma função quase-côncava, porém não côncava.
Figure 2: Uma função côncava, uma apenas quase-côncava e uma que não apresenta globalmente nenhum
dos comportamentos citados.
Teorema 3 A função f:D! R é quase-côncava em D se, e somente se, para todo x,y2 D e para todo
2 (0; 1); vale
f [ x + (1
)y] minff (x); f (y)g:
A função f é quase-convexa em D se, e somente se, para todo x,y 2 D e para todo
f [ x + (1
)y]
2 (0; 1); vale
maxff (x); f (y)g:
Os grá…cos a seguir, retirados de http://are.berkeley.edu/courses/ARE211/currentYear/lecture_notes/mathGraphical305.pdf, ajudam a melhor compreender os conceitos de concavidade e quase-concavidade.
Homogeneidade e Homoteticidade
De…nição 12 Uma função é dita homogênea de grau k se: f (tx) = tk f (x) para todo t>0.
Teorema 4 Seja f:D! R uma função C1 de…nida em um cone aberto do Rn : Se f é homogênea de grau k,
suas derivadas parciais são homogêneas de grau k-1.
3
Proof. Por hipótese temos:
f (tx) = tk f (x):
Diferenciando em relação a x obtemos:
rf (tx)t = tk rf (x) ) rf (tx) = tk
1
rf (x)
Homogeneidade de grau 1
Teorema 5 (Fórmula de Euler) Suponha f(x) homogênea de grau k e diferenciável. Então, para qualquer x,
temos
X @f (x)
:xn = kf (x)
@xn
n
ou, em notação matricial,
rf (x):x = k:f (x)
Proof. De maneira semelhante à prova anterior, agora diferenciamos a de…nição, f (tx) = tk f (x) em relação
a t, obtendo
rf (tx) x = ktk 1 f (x)
Avaliando em t=1, tem-se:
rf (x) x = kf (x)
Se uma função f (:) homogênea é transformada por uma função crescente de uma única variável L(:), a
resultante L(f (x)) é dita homotética. Note que a família das curvas de nível de L(f (:)) é a mesma que a
família das curvas de nível de f (:).
Matrizes Semi-De…nidas e De…nidas
De…nição 13 A matriz MnXn é dita negativa semi-de…nida se z0M z
0; para todo z 2 Rn :Se a desigualdade é estrita para todo z 6= 0, então M é negativa de…nida(inverterndo as desigualdades, obtemos os
conceitos de matriz positiva semi-de…nida e de…nida).
Teorema 6 A função f : D ! R de classe C 2 é côncava se e somente se a hessiana de f(.) (matriz de
segundas derivadas) é negativa semi-de…nida para todo x 2 D. Se a hessiana é negativa de…nida para todo
x 2 D; então a função é estritamente côncava (observe que a volta não vale).
Otimização com restrições de igualdade
Considere o seguinte problema:
max
f (x)
x2Rn
sa gk (x; )
= bk
k=1,...,K
No estudo de problemas como este, são relevantes dois objetos:
1. O conjunto solução
x ( ) = arg
que dá a(s) solução(ões) para cada parâmetro
é um conjunto com diversos elementos).
max
sa restrições
2
f (x; )
(se o problema tem múltiplas soluções, então x ( )
2. A função valor
V( )=
max
sa restrições
que dá o valor da função para cada parâmetro
2
4
f (x; )
(V ( ) = f (y; ) para todo y2 x ( )):
Teorema 7 (Teorema de Lagrange) Sejam f : Rn ! R e gk : Rn ! R funções de classe C 1 ; k =
1; :::; K:Suponha que x seja um máximo ou mínimo local de f no conjunto
D = U \ fxjgk (x) = bk ; k = 1; :::; Kg
em que U Rn é aberto. Suponha também que (Dg(x )) = K: Então, existe um vetor
RK tal que
K
X
Df (x ) +
k Dgk (x ) = 0:
=(
1 ; :::;
K)
2
k=1
Teorema 8 (Teorema do Envelope) Considere o problema de maximização proposto no início desta seção e
suponha que (i) f(),g1 (); :::; gK () são continuamente diferenciáveis em (x, ) e (ii)x é diferenciável em uma
vizinhança A de ^:Então,
1. V(.) é diferenciável em A.
^
2. Para i=1,...,s @V@ (i ) =
ciado a x (^):
f (x (^);^)
i
PK
k=1
g(x (^);^)
k
i
; em que
é o multiplicador de Lagrange asso-
Simpli…cando, este teorema nos diz que não é necessário observar os efeitos indiretos da variação dos
parâmetros sobre a variação da função valor, podendo-se derivá-la diretamente no ótimo.
Exercícios da Lista 1
Exercício 1 Responda verdadeiro ou falso, justi…cando:
a) Toda função côncava é quase-côncava.
b) Toda função quase-côncava é côncava.
c) A soma de duas funções côncavas é côncava.
d) A união de 2 conjuntos convexos é um conjunto convexo.
e) A interseção de 2 conjuntos convexos é um conjunto convexo.
f) Seja f : R ! R diferenciável e estritamente crescente; então f 0 (x) > 0 para todo x 2 R:
g) A união de 2 conjuntos abertos é um conjunto aberto.
h)A interseção de 2 conjuntos abertos é um conjunto aberto.
i) O conjunto A f(x; y) : x2 + y 2 = 1gé um conjunto convexo.
j)O conjunto A f(x; y) : x2 + y 2 1gé um conjunto convexo.
Exercício 2 Mostre a equivalência das duas de…nições de quase-concavidade.
Exercício 3 Mostre que a função f(x,y)=min{ax,by} é quase-côncava se a,b>0
Exercício 4 Seja f : Rn+ ! R uma função côncava. Seja g : R ! R estritamente crescente. Mostre que
h(x) = g(f (x)) é uma função quase-côncava.
Exercício 5 Mostre que a inclinação das curvas de nível de uma função homotética não muda ao longo de
um raio que parte da origem.
5
Exercício 6 Considere um problema de…nido por:
V (p; y) = maxU (x)
sa y = p x
Mostre que @V =@y = ; em que
é o multiplicador de Lagrange associado ao problema de maximização.
Exercício 7 Considere as relações de preferências racional
e são transitivas, mas não são necessariamente completas.
sobre X. Mostre que as relações binárias ~
Exercício 8 Mostre que se uma relação de preferências satisfaz a propriedade de monotonicidade, então
também satisfaz a propriedade de não-saciedade local. Pode-se a…rmar que não saciedade local implica
monotonicidade estrita? Justi…que.
Exercício 9 A ordenação lexicográ…ca para X = R2+ é de…nida por: x; y 2 R2+ ; x
x1 = y1 e x2 y2 :
y se x1 > y1 ou se
a) Mostre que a relação binária acima é uma relação de preferências racional.
b)Mostre que as preferências lexicográ…cas são monótonas estritas.
c) Mostre que as preferências lexicográ…cas não são contínuas.
d) Por que esta relação de preferências não é muito interessante do ponto de vista econômico?
Exercício 10 Seja a relação
de…nida a partir de % por ~ (x
simétrica se, e somente se, % é completa.
y) , y % x. Então prove que
Obs.:
x) :
é assimétrica se 8x; y 2 X temos que ~ (x
y) ou ~ (y
Exercício 11 Prove que, se % é racional e estritamente convexa, para qualquer cojunto C
conjunto C 0 = fx 2 Cjx % y; 8y 2 Cg é vazio ou unitário.
6
é as-
X convexo, o