Teorema da Representação de um Conjunto Poliédrico Convexo

Teorema da Representação de um Conjunto Poliédrico Convexo
Yagor Romano Carvalho, Socorro Rangel
Campus de São José do Rio Preto
Instituto de Biociências Letras e Ciências Exatas
Matemática
[email protected], [email protected]
Palavras Chave: poliedro, conjunto convexo, pontos e direções extremas.
Introdução
O Método Simplex é um método
desenvolvido para a resolução de problemas de
otimização linear. O seu funcionamento baseia-se
nas definições e resultados envolvidos no Teorema
da Representação de um Conjunto Poliédrico
Convexo.
Material e Métodos
Na elaboração deste trabalho utilizamos:
bibliografia específica e interpretação geométrica.
Estudamos alguns tópicos de convexidade
de fundamental importância para a demonstração
do Teorema da Representação de um Conjunto
Poliédrico Convexo, tais como: hiperplano, semiplano, pontos e raios extremos, definição de
conjunto poliédrico convexo e algumas Proposições
e Teoremas.[2,3,4]
Resultados e Discussão
A região definida pelo conjunto de soluções
que satisfazem as restrições de um problema de
otimização linear contínuo é um poliedro convexo
(região viável).[2]
Definição 1: Seja
um subconjunto
fechado e convexo dizemos que um ponto
é
um ponto extremo se não for possível escrevê-lo
como combinação linear convexa de dois pontos
distintos de . [2]
Teorema 1: Considere o seguinte conjunto
,
onde
posto
e
.
Então
é um ponto extremo se, e somente se
pode
ser
encontrada
uma
partição
de
com
(dizemos que
é uma solução básica factível),
. [4]
Definição 2: Seja
um subconjunto
fechado e convexo dizemos que
é uma
direção de
se
então
.
Uma a direção é dita extrema se não for possível
escrevê-la como combinação linear estritamente
positiva de duas direções distintas de . [3]
Teorema 2: Considere o seguinte conjunto
,
onde
e posto
,
e
não vazio. Então temos que
é uma direção
XXIV Congresso de Iniciação Científica
extrema de
se, e somente se conseguirmos
decompor a matriz
em
tal que
para alguma coluna
e
é um múltiplo positivo de
,
em que
é um vetor de dimensão
cujas
componentes são nulas, exceto a de ordem que é
igual a 1. [3]
Teorema da Representação: Considere o
seguinte conjunto
, onde
posto
e
.
Suponhamos que
são todos os pontos
extremos de e que
são todas as direções
se, e somente se
extremas de . Um ponto
existem
com
e
para
os
quais:
.[3,4]
Dem: baseia-se numa contradição do Lema
do Hiperplano separador e no fato de a região viável
ser convexa.[2,4]
Conclusões
Como grande resultado do Teorema da
Representação de um Conjunto Poliédrico convexo
temos que qualquer solução do problema de
otimização linear pode ser escrita como combinação
linear convexa de seus pontos extremos mais a
combinação linear positiva de suas direções
extremas. Logo se tivermos uma solução ótima do
problema teremos um ponto extremo ótimo. Este
resultado é explorado no desenvolvimento do
método Simplex.
Como próximo passo realizaremos um
estudo do poliedro associado ao Problema da
Mochila.
Referências e Agradecimentos
[1] Lima, E.L.Curso de Análise, Volume 2. Rio de
Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada,
CNPq, 1981.
[2] PUCCINI, A. L. Programação Linear. Rio de
Janeiro; São Paulo: LTC, 1987.
[3] MACULAN, N; MARCIA, H. Otimização Linear.
Brasília:Editora Universidade de Brasília, 2006.
[4] Bazaara, M.S. Nonlinear Programming: Theory
and Algorihms. York: John Wiley. 1993.