Integração entre a fronteira de eficiência do capm e a

INTEGRAÇÃO ENTRE A FRONTEIRA DE EFICIÊNCIA DO
CAPM E A TEORIA DA PREFERÊNCIA
Regis da Rocha Motta, Ph..D.
Prof. Adjunto, UFRJ/DEI, [email protected]
Rua Vice Governador Rubens Berardo 407-2, Gávea Rio de Janeiro RJ
Guilherme Marques Calôba
COPPE/UFRJ, [email protected]
Alan Seixas Bello Moreira
DEI/UFRJ, [email protected]
Abstract
The goal of this article is to present the relationship between numerical
optimization tools applied to investments and preference theory, using utility riskaversion functions, in the determination of optimum portfolio for the upstream sector.
Some articles have already been published in Brazilian(1) and international(2)
magazines and congresses. This article, however goes a little beyond the previous ones.
The petroleum industry is very singular on the economy, featuring huge uncertainties
associated to the return on investment. In an environment like this, it is natural to search
for tools that may identify and reduce risks. Given the extensive amount of capital
invested in a block for its exploration, appraisal and possible development, risk analysis
finds, in this field, very extensive use.
Further on this article, the Capital Asset Pricing Model (CAPM) and risk analysis
techniques are going to be introduced, discussing a case applied to the petroleum
exploration industry. The main feature of this article is the integration between CAPM
and Risk Analysis through the Preference Theory, using utility functions and the
certainty equivalent concept.
Keywords: Petroleum, CAPM, Preference Theory
1. O CAPM e sua aplicação
O modelo de CAPM foi desenvolvido por Harry Markowitz, em 1962, o que o
levou a ser laureado com o Prêmio Nobel posteriormente. Baseado no equilíbrio que
existe na relação entre risco e retorno de um investimento, estruturou uma teoria para
precificação de ativos.
O trabalho de Markowitz, na verdade, é sensivelmente maior do que será
apresentado aqui. Apenas uma das idéias principais de sua teoria será apresentada, a
fronteira eficiente, que apresenta, para diversos níveis de risco, o maior retorno possível
e a composição de portfólio que leva a esta configuração.
Em um projeto, ou investimento que possua incertezas, o retorno é dado pela
média do valor presente líquido descontado ou da taxa interna de retorno alcançada
calculada em um número n suficientemente grande de iterações para que se possa
aproximar o resultado a um valor esperado do investimento ou projeto.
Entende-se por risco uma relação de dispersão dos dados encontrados para a
medida de retorno. A medida mais utilizada é o desvio-padrão dos resultados, supondose a aproximação dos valores encontrados por uma distribuição normal ou lognormal.
Esta relação de risco-retorno pode ser intuitivamente estudada. Uma relação
natural é o fato de que, quanto mais se aumenta o retorno, maior será o risco embutido
no projeto. O modelo de Markowitz propõe a composição da fronteira eficiente para um
dado conjunto de projetos, composta de uma forma matematicamente simples.
Dentre os projetos especificados, e limitando a resolução através de uma
condição de contorno, leia-se limitação de capital a ser aplicado, é possível construir a
fronteira eficiente.
Algumas características da indústria de petróleo foram envolvidas na
caracterização do problema. Neste setor, bem como em diversos outros de grande porte,
é muito utilizada a formação de Joint-Ventures para a realização de projetos em
conjunto.
Basicamente, dados níveis de risco máximo, a função objetivo será maximizar o
retorno, dada a restrição de capital máximo e mínimo a ser investido. A otimização será
feita modificando o nível de participação em cada projeto (que estará sempre entre 0%
e 100%). Para minimizar o risco dado um retorno mínimo, o procedimento será o
mesmo.
Os passos para a formação da fronteira são os seguintes:
Inicialmente, determina-se o menor risco dado um investimento mínimo, e seu
retorno associado;
A seguir, calcula-se o retorno máximo associado ao portfólio;
Divide-se a diferença entre risco mínimo e máximo em intervalos iguais e, a
seguir, calcula-se, para estes valores de risco, o retorno máximo encontrado;
Ligando-se estes pontos por uma curva, é obtida a fronteira de eficiência;
Verificam-se as seguintes fórmulas para retorno e risco do portfólio, supondo
apenas dois projetos:
RetPortf = Ret1*x1 + Ret2*x2
σ Portf = (σ1x1)2+(σ2x2)2 + 2σ1σ2x1x2ρ1,2
2
onde:
RetPortf é o retorno do portfólio a ser composto
σportf, é o risco associado ao portfólio
Ret1,Ret2 é o retorno associado a cada projeto
σ1,σ2 é o risco associado a cada projeto,
ρ1,2 é o índice de correlação entre os dois projetos* e
x1,x2, é o nível de participação de cada projeto
* Ressalte-se que neste caso se supõe que a correlação entre os projetos seja zero.
Entretanto, é possível montar uma matriz de correlação e de covariância
Um exemplo prático ilustrará melhor a metodologia do CAPM.
2. Utilização prática do CAPM
Supondo que um investidor possua quatro projetos, A,B,C e D, como opções de
investimento e que estes tenham as seguintes características.
2
Projetos
Projetos Custo de Desenv. Retorno Risco
300
300
60
A
200
250
50
B
180
220
40
C
130
60
10
D
Fig. 1 – Sumário dos Projetos
Ainda há a suposição de que a empresa em questão possua um capital de risco a
ser investido de, no máximo, 400 milhões de reais e que pressuponha um investimento
mínimo de 50 milhões para manter seu nome no mercado.
Inicialmente, calcula-se o risco mínimo. Após este passo, o retorno máximo.
Neste caso, calculou-se o intervalo entre o risco máximo (dado pelo retorno máximo) e
o risco mínimo, dividindo-o em dez pontos intermediários. Para estes valores de risco,
calcula-se o retorno máximo a ser alcançado, dado o portfólio e as porcentagens
alocadas a cada projeto.
O gráfico da fronteira eficiente, bem como a indicação de risco e retorno de cada
um dos projetos segue abaixo:
Fronteira de Eficiência
600
Retorno
500
400
300
200
100
0
0
10
20
30
40
50
60
70
Risco
Fronteira
A
B
C
D
Figura 2 – Fronteira de Eficiência
Verifica-se que, aumentando-se o nível de risco mínimo, o retorno máximo
aumenta. Esta aplicação vislumbra diversos investimentos de capital nos projetos,
alcançando sempre resultados ótimos na relação risco-retorno. A seguir, apresenta-se
uma tabela com resultados obtidos para otimização em cada ponto, além das
percentagens de cada projeto tomadas em cada uma das opções:
Min. Risco
Risco Retorno Custo do
Projeto
1.32
12.83
20.00
7.60
81.96
104.18
13.89 149.71
190.28
3
%A
%B
0.72% 0.69%
5.88% 7.05%
10.73% 12.88%
%C
%D
0.98%
9.69%
17.71%
11.29%
42.31%
77.28%
19.55% 26.89% 100.00%
27.34% 37.59% 100.00%
34.79% 47.85% 100.00%
44.14% 60.13% 80.32%
52.63% 71.50% 39.47%
60.50% 82.09%
1.55%
80.17% 100.00%
0.00%
100.00 100.00%
0.00%
Max. Retorno
%
Pela tabela, é possível examinar melhor a fronteira de eficiência e tirar algumas
conclusões interessantes. Primeiramente, verificar que os projetos menos arriscados são
mais preferidos no início da curva, quando a exigência sobre risco é maior. Destaca-se o
aumento do projeto D e sua seguinte redução, demonstrando que, apesar de possuir
menos incertezas associadas do que os outros três projetos, interessa apenas aos
investidores mais conservadores, trabalhando a um nível de risco menor.
No entanto, os projetos B e C crescem em importância a cada aumento no nível
de risco. O projeto A possui uma característica singular: devido a seu alto custo, não é
plenamente utilizado em nenhum dos pontos ótimos, embora seja o de maior retorno.
Comprova-se, desta forma, a capacidade do método CAPM de otimizar carteiras
ótimas de investimento, buscando a melhor relação retorno-risco. O exemplo
apresentado demonstra como podem ser enganosas algumas considerações a priori, tais
como:
O Projeto de maior retorno e risco será o preferido pelos investidores em um
nível de risco alto e
O Projeto de menor risco será o único envolvido quando da otimização para
risco mínimo;
O método CAPM mostra-se extremamente útil na resolução de problemas de
análise de investimentos neste estágio de seleção de projetos. Deve-se ressaltar que uma
análise de risco detalhada e extensa deverá ser realizada até se definirem níveis de
retorno e risco do investimento.
Assim, na exploração de petróleo e gás, por exemplo, devem ser computados os
riscos geológicos, de exploração, avaliação e desenvolvimento, assim como incertezas
ligadas ao volume de óleo recuperável, curva de produção, etc. Através do Método de
Amostragem de Monte Carlo, é possível simular o fluxo de caixa do investimento
inserindo cada um destes fatores de risco, chegando a uma média de valor presente
líquido descontado para o retorno e um desvio padrão para o risco associado a cada um
dos investimentos. Uma breve descrição destes riscos pode ser encontrada em (citar
Brasil Energia).
No entanto, foi otimizada a relação de risco e retorno para um determinado
investimento tendo em vista apenas os possíveis resultados dados pela combinação dos
mesmos. Em momento nenhum foi introduzida a idéia de preferência ao risco.
Nepomuceno (1997), além de Walls (1994), citaram a aplicação da teoria da preferência
para a indústria de petróleo. Este tipo de otimização será descrito no próximo tópico.
Interv. Risco
Min-Max :62.84
20.17
26.45
32.74
39.02
45.30
51.59
57.87
64.16
216.91
279.39
339.25
389.89
427.28
462.01
480.09
490.00
266.38
320.68
372.71
400.00
400.00
400.00
400.00
400.00
16.29%
22.78%
29.00%
33.03%
38.24%
43.07%
19.89%
6.67%
3. Função Utilidade, Equivalente Certo e o CAPM
4
A aplicação de Funções Utilidade e Teoria da Preferência para o setor de
petróleo já vem de alguns anos. As curvas de utilidade, calcadas na preferência ao risco,
vem sendo utilizadas a um certo tempo.
O perfil do setor de exploração de petróleo, assim como de diversos outros
setores de grande porte, é de aversão ao risco, ou seja, quanto maior se torna o risco
associado ao investimento em questão, menor é o aumento relativo na valoração dada
pelo investidor a este investimento. Pelo outro lado, setores de novas tecnologias são
mais condizentes com risco, e tem aumento relativo maior na valoração de
investimentos com o acréscimo do risco associado.
Uma forma de mensurar esta relação são as chamadas funções utilidade. Estas
funções seguem esta forma básica:
Preferente ao Risco
U(x)
Indiferente ao Risco
Avesso ao Risco
VE(X)
Figura 3 – Função Utilidade
Na figura acima, U(x) denota a utilidade de um investimento X, e VE(X) é o
valor esperado do investimento, supondo que o risco (desvio-padrão associado) seja
proporcional a este.
A tendência natural do ser humano em sua vida pessoal, bem como a de setores
de grande porte é de aversão ao risco. Com base nisso, desenvolveu-se uma teoria para
a valoração de investimentos incertos através da determinação de um valor para o
mesmo. A este valor se dá o nome de equivalente certo.
Especificando melhor, para cada investimento incerto, a quantia pela qual a
empresa ou investidor avaliaria este negócio, ou seja, o valor certo pelo qual se troca o
investimento coberto de incertezas representa o equivalente certo.
Similarmente à função utilidade, é esperado que o investidor indiferente ao risco
possua equivalentes certos iguais ao valor médio esperado do negócio. A aversão ao
risco, por sua vez, denota equivalentes certos menores que o valor médio esperado do
negócio, e a preferência pelo risco corresponde a equivalentes certos maiores que o
valor esperado.
Tendo em vista o comportamento comum de aversão ao risco, é usual empregar
funções exponenciais para o equivalente certo, seguindo esta fórmula:
EqC(x) = -R*ln(p1*e-(V1 /R) + p2*e-(V2 /R)), onde
V1 é o retorno financeiro do evento 1;
V2 é o retorno financeiro do evento 2;
p1 é a probabilidade de ocorrência do evento 1;
p2 é a probabilidade de ocorrência do evento 2 e
5
R é a tolerância ao Risco.
O fator R é uma característica particular de cada empresa, sendo uma
representação do capital de risco da empresa.
Obviamente, índices de tolerância ao risco menores corresponderão a tomada de
decisão por investimentos de menor risco, e da mesma forma para tolerâncias maiores.
O uso de funções de utilidade e de equivalente certo é interessante, principalmente, pela
possibilidade de se atingir um máximo absoluto para a função objetivo, no caso, o
equivalente certo. Dado que existe uma tolerância ao risco determinada, é possível
maximizar o equivalente certo para uma dada configuração de risco.
Em um ambiente constituído de diversos projetos, a aproximação do equivalente
certo é feita de forma diferente, através da seguinte fórmula:
EqC (Portf) = VE – (σ2/R), onde
VE é o valor esperado do retorno do portfólio
σ2 é a variância do retorno do portfólio e
R é a tolerância ao risco
Através desta fórmula, é possível calcular e maximizar o equivalente certo do
portfólio de projetos. Assim, para diferentes valores de R, é possível calcular
equivalentes certos ótimos. Uma vez determinado o nível de preferência ao risco, o
problema deixa de ser dependente de uma apreciação externa e passar a ser
simplesmente um problema de otimização.
Retornando ao exemplo exibido anteriormente, pode-se ter uma melhor
visualização do que ocorre quando se integra o CAPM e a teoria da preferência.
4. Continuando o exemplo
Dada a situação apresentada, a fronteira de eficiência mostra diversas condições
de risco e retorno a serem analisadas. No entanto, supondo um perfil de preferência ao
risco, não é óbvio escolher o ponto que maximiza o equivalente certo.
Novamente será usada a técnica de gradiente descendente, buscando maximizar
a função do equivalente certo, definida para o portfólio anteriormente, através da
alteração nas participações nos quatro projetos.
Na tabela abaixo, exibe-se, para diversos níveis de tolerância ao risco e seus
respectivos risco e retorno, além da percentagem de participação em cada projeto.
Risco
Retorno
R=5
24.53
260.63
Custo do
Projeto
304.37
%A
%B
%C
%D
EqC
20.83%
25.00%
34.37%
100.00%
140.31
R = 10
36.20
371.57
400.00
30.95%
39.71%
54.29%
100.00%
240.50
R = 20
51.91
463.71
400.00
42.86%
61.14%
82.86%
0.00%
329.00
R = 40
54.23
471.92
400.00
31.29%
70.04%
92.24%
0.00%
398.41
R = 60
57.70
479.76
400.00
20.33%
79.51%
100.00%
0.00%
424.27
12.20%
R = 80
61.29
485.85
400.00
91.71%
100.00%
0.00%
438.90
R = 100
64.16
490.00
400.00
6.67% 100.00%
100.00%
0.00%
448.84
R = 200
64.16
490.00
400.00
6.67% 100.00%
100.00%
0.00%
469.42
6
R = 300
64.16
490.00
400.00
6.67% 100.00%
100.00%
0.00%
476.28
R = 400
64.16
490.00
400.00
6.67% 100.00%
100.00%
0.00%
479.71
Pode-se verificar um ponto de saturação na curva, onde não se pode alcançar
maior retorno ou risco. Este é o ponto de maior risco e retorno possível, dada a
combinação de projetos.
Verifica-se também que apesar de tolerâncias ao risco muito pequenas (iguais ao
mínimo de investimento), com exceção de uma, todas as seleções de investimento
utilizaram o capital total disponível, ou seja, 400 milhões. Apenas a menor tolerância,
de 5 milhões, não utilizou plenamente o capital.
No gráfico a seguir, apresenta-se a representação da fronteira de eficiência e os
pontos relativos aos quatro projetos e as seleções de melhor portfólio, com tolerâncias
variando de 5 a 100 milhões.
Fronteira de Eficiência
600
Fronteira
A
500
B
C
Retorno
400
D
MaxEqC(R=20)
300
MaxEqC(R=40)
200
MaxEqC(R=60)
MaxEqC(R=80)
100
MaxEqC(R=100)
MaxEqC(R=5)
0
0
20
40
Risco
60
80
MaxEqc(R=10)
Figura 4 – Fronteira de Eficiência – Equivalente Certo
Não por acaso, todos os pontos de maximização de equivalente certo estão sobre
a fronteira de eficiência. Esta não é, entretanto, uma condição sine qua non da resolução
deste modelo.
Apesar de todos os riscos, a tolerância equivalente ao investimento mínimo
corresponde a uma região bem próxima à extremidade da curva. Guiando-se apenas pela
fronteira, a opção do investidor seria encontrar o retorno equivalente a este risco, e
montar o portfólio de acordo com as indicações da fronteira. Desta forma, a companhia
em questão estaria sendo muito conservadora, e não maximizaria o equivalente certo
para seu perfil de risco, incorrendo na perda de aproximadamente 300 milhões no
retorno esperado.
Mostra-se, desta forma, que a análise de teoria de preferência e a análise de
fronteira de eficiência através do método CAPM de Markowitz se complementam,
levando a uma decisão de investimento ótima. O investidor consegue visualizar os
investimentos eficientes e, dentro destes, visualizar sua própria posição ótima, através
da maximização de seu Equivalente Certo.
7
5. Conclusões e Recomendações
Este artigo verificou a importância e potencialidade da integração da fronteira de
eficiência do método CAPM e a teoria de preferência. Um exemplo prático foi exposto,
com incertezas e investimentos da magnitude do setor de exploração e produção de
petróleo. O setor de exploração de óleo e gás, assim como qualquer outro de grande
porte, encontra forte aliado na gerência de riscos, já que as incertezas associadas a toda
a operação são muito grandes.
Um dos próximos passos na gerência de risco em petróleo é o desenvolvimento
de sistemas de suporte à decisão baseados em dados geológicos e econômicos de bacias,
dando ao investidor uma melhor delimitação do valor do campo, assim como uma
comparação com outros campos, formando um banco de dados. Modelos como este
tendem a evoluir cada vez mais com o feedback da realidade, tornando-se preditores
cada vez mais precisos.
O artigo aponta outros prosseguimentos, como o uso de funções utilidade mais
complexas (usando tolerâncias ao risco diversas, em função do montante investido) e
representações tridimensionais de risco, retorno e equivalente certo para suporte à
decisão.
No entanto, como conclusão inerente deste trabalho, a integração entre o CAPM
e o Equivalente Certo provou-se não só possível, como também ferramenta de apoio à
decisão eficaz e interessante.
6. Bibliografia:
1. MOTTA,R.; CALÔBA,G.M., et alli, “Análise de Investimentos e de Riscos
Aplicados à Indústria de Petróleo”, Revista Brasil Energia, no. 224, Julho 1999, pp.
35-36.
2. BERNSTEIN, PETER L. Desafio aos Deuses - A Fascinante História do Risco.
Editora Campus Ltda, 1997
3. NEPOMUCENO FILHO, F., Tomada de Decisão em Projetos de Risco na
exploração de Petróleo, Tese de Doutorado, UNICAMP, 1997
4. WALLS,M.R., “Corporate Risk Tolerance and capital allocation: a practical
approach to implementing an exploration risk policy”, Journal of Petroleum
Technology 4, pp. 307-311.
8