Capítulo 8 Teoria espectral de operadores lineares limitados

Capítulo 8
Teoria espectral de operadores
lineares limitados
A teoria espectral é um dos ramos principais da análise funcional moderna e suas
aplicações. Essencialmente consiste no inverso de certos operadores, nas suas
propriedades e relação com os operadores originais. Como vimos no Capítulo 5,
os operadores inversos surgem naturalmente na resolução de equações, sistemas
de equações lineares, equações diferenciais, integrais, etc. A teoria espectral de
operadores também ajuda a compreender os próprios operadores, como veremos
mais adiante.
Vamos começar com a teoria espectral de operadores em dimensão finita, a
qual é essencialmente a teoria dos valores próprios de matrizes. Neste capítulo
vamos excluir o espaço vectorial trivial {0} e admitiremos que todos os espaços
vectoriais são complexos, isto é, o corpo subjacente é C.
8.1 Teoria espectral em espaços de dimensão finita
Seja X um espaço normado de dimensão finita n e T : X → X um operador linear.
Então T pode ser representado por uma matriz n × n, a qual, depende da escolha
de uma base em X. Veremos que a teoria espectral de T reduz-se à teoria dos
valores próprios da matriz associada a T . Assim, vamos investigar em primeiro
lugar valores próprios e conceitos relacionados com matrizes n × n.
Seja A = (ai j )ni, j=1 uma matriz n × n real ou complexa. Os conceitos de valor
próprio, vector próprio estão relacionados pela equação
Ax = λx,
179
λ ∈ C.
(8.1)
A equação (8.1) pode escrever-se na forma matricial

 a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn
 a x + a x + . . . + a x
22 2
2n n
 21 1
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn
 
 
 
 = 
 
 
λx1
λx2
..
.
λxn
ou ainda na forma de sistema de n equações a n incógnitas


(a11 − λ)x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = 0





 a21 x1 + (a22 − λ)x2 + . . . + a2n xn = 0



.................................



 an1 x1 + an2 x2 + . . . + (ann − λ)xn = 0.







Se denotarmos o operador identidade em X por I, então (8.1) escreve-se
(A − λI)x = 0.
(8.2)
Recordemos os seguintes factos da álgebra linear:
1. A equação (8.2) tem uma solução x ! 0 se e só se o determinante da matriz
A−λI é igual a zero, isto é, det(A−λI) = 0. Isto dá a equação característica
de A
++
+
a12
...
a1n ++
++ a11 − λ
+
++ a21
a22 − λ . . .
a2n ++
+
++ = 0.
det(A − λI) = +
..
..
..
..
++
++
.
.
.
.
++
+
an1
an2
. . . ann − λ +
det(A − λI) é chamado determinante característico de A. Desenvolvendo
obtemos um polinómio em λ de grau n, chamado polinómio característico
de A.
2. Por outro lado, se det(A − λI) ! 0, então a equação (8.2) tem apenas a
solução trivial x = 0.
3. De acordo com o teorema fundamental da álgebra, um polinómio de grau n
tem pelo menos uma raiz complexa e não mais do que n raízes diferentes.
Definição 8.1 Seja A = (ai j )ni, j=1 uma matriz real ou complexa n × n dada. Consideremos a equação
Ax = λx,
λ ∈ C.
(8.3)
180
1. Um número λ ∈ C tal que a equação (8.3) tem solução não trivial x ! 0
chama-se valor próprio de A. O vector x ! 0 correspondente chama-se
vector próprio associado ao valor próprio λ ∈ C.
(a) Dado um valor próprio λ de A, o conjunto E(λ) := {x ∈ X| Ax = λx}
forma um subespaço vectorial de X o qual se chama subespaço próprio
de A correspondente ao valor próprio λ.
2. O conjunto σ(A) de todos os valores próprios de A é chamado o espectro
de A.
3. O complemento ρ(A) := C\σ(A) em C é chamado conjunto resolvente de A.
Do que foi dito, concluímos que a matriz A tem pelo menos um valor próprio
complexo e não mais do que n,valores
- próprios diferentes.
, ,15 4
Por exemplo, a matriz A = 1 2 tem por vectores próprios x1 = 41 e x2 = −1
os quais correspondem aos valores próprios λ1 = 6 e λ2 = 1, respectivamente.
Vamos agora aplicar estas noções a operadores T ∈ B(X), onde X é um espaço
normado de dimensão n < ∞. Seja e = {e1 , . . . , en } uma base arbitrária de X e
T e = (ai j )∞
i, j=1 a matriz associada ao operador T relativamente à base e. Então os
valores próprios da matriz T e são chamados os valores próprios do operador T o
conjunto σ(T e ) o espectro de T e ρ(T e ) o conjunto resolvente de T . Assim definido, podemos pensar que o conjunto dos valores próprios, e o conjunto resolvente
dependem da base escolhida. Temos, no entanto, a seguinte proposição.
Proposição 8.2 Seja T ∈ B(X) um operador linear definido num espaço normado
de dimensão finita. Então todas as matrizes representando o operador T nas
diferentes bases têm os mesmos valores próprios.
Podemos combinar os resultados anteriores para mostrar que um operador T ∈
B(X) possui pelo menos um valor próprio.
Proposição 8.3 Todo o operador linear definido num espaço normado complexo
de dimensão finita X ! {0} possui pelo menos um valor próprio.
A conclusão da proposição anterior não é verdadeira no caso dos espaços de
dimensão infinita, ver Exemplo 8.12 mais à frente.
Exemplo 8.4 Mostre que os valores próprios de uma matriz A de Hermite 2 × 2
são reais. Prove que o mesmo resultado é verdadeiro para uma matriz Hermiteana
n × n qualquer.
181
Prova. Uma matriz A diz-se de Hermite se e só se A = Ā& . Assim se A =
então
.
/ .
/
a b
ā c̄
A=
=
= Ā& .
c d
b̄ d̄
,a bc d
,
Portanto, temos a = ā, d = d̄, pelo que a, d ∈ R. Temos ainda b = c̄, por isso a
matriz A pode escrever-se como
.
/
a b
A=
.
b̄ d
Assim, o polinómio característico de A é dado pelo desenvolvimento de det(A −
λI) = 0, ou seja,
(a − λ)(d − λ) − |b|2 = 0
⇔ λ2 − (a + d)λ + ad − |b|2 = 0 = 0.
As raízes são
0
(a + d)2 − 4(ad − |b|2 )
2
a+d 10
=
±
(a − d)2 + 4|b|2 ,
2
2
λ± =
(a + d) ±
como (a − d)2 + 4|b|2 > 0, então as raízes λ± ∈ R.
No caso geral, procedemos do seguinte modo
Ax = λx ⇔ x̄& Ax = x̄& λx ⇔ λ =
x̄& Ax
,
x̄& x
onde x̄& x é real e se N denotar x̄& Ax, então
&
N̄ = N̄ & = x̄& Ax = x̄& Ā& x = N,
assim, N é real e, portanto λ é real.
Exercícios
Exercício 8.1 Encontre os valores e vectores próprios da matriz A =
R e b ! 0.
182
,
a b
−b a
, a, b ∈
Exercício 8.2 Mostre que os valores próprios de uma matriz A anti-Hermiteana
(isto é, ĀT = −A) são imaginários puros ou zero.
Exercício 8.3 Mostre que os valores próprios de uma matriz A unitária (isto é,
Ā& = A−1 ) têm todos valor absoluto 1.
8.2 Teoria espectral dos operadores lineares limitados
Nesta secção vamos considerar espaços normados de dimensão arbitrária. A teoria
dos operadores lineares limitados nos espaços de dimensão infinita é bem mais
complicada quando comparada com a mesma em dimensão finita.
Seja T : D(T ) → X um operador linear, onde D(T ) ⊂ X e T λ , λ ∈ C o operador
T λ := T − λI,
onde I é o operador identidade em D(T ).
Definição 8.5 (Operador resolvente) Se o operador T λ possui inverso, denotado
por Rλ (T ), isto é, se existe
Rλ (T ) := T λ−1 = (T − λI)−1 ,
então Rλ (T ) é chamado operador resolvente de T . É claro que se Rλ (T ) existe ele
é linear.
Observação 8.6 O nome “resolvente” é apropriado, visto que Rλ (T ) serve para
resolver a equação T λ x = y. De facto, se Rλ (T ) existe, então x = Rλ (T )y é solução
da equação T λ x = y. Por outro lado, a investigação das propriedades do operador
Rλ (T ) desempenham um papel relevante para compreender o próprio operador T .
Definição 8.7 (Valor próprio) Seja T : D(T ) → X um operador linear com
D(T ) ⊂ X. Um número complexo λ chama-se valor próprio do T se existe x ! 0
em X tal que
T λ x = (T − λI)x = 0.
O vector x ! 0 chama-se vector próprio de T associado ao valor próprio λ.
Note que se λ ∈ C é um valor próprio de T , então Rλ (T ) não existe, pois
N(T λ ) ! {0}.
183
Definição 8.8 (Valor regular) Seja T : D(T ) → X um operador linear com
D(T ) ⊂ X. Um número complexo λ chama-se valor regular de T se
(R1) o operador Rλ (T ) existe e, portanto é um operador linear.
(R2) O operador Rλ (T ) é limitado.
(R3) O operador Rλ (T ) está definido num conjunto M denso em X, isto é, M = X.
O conjunto ρ(T ) de todos os valores regulares λ ∈ C do operador T chama-se
conjunto resolvente de T .
Definição 8.9 (Espectro) O complemento σ(T ) = C\ρ(T ) no plano complexo
chama-se espectro de T e λ ∈ σ(T ) diz-se um valor espectral de T . Pode provarse que o espectro σ(T ) é a união disjunta dos seguintes conjuntos
˙ c (T )∪σ
˙ r (T ),
σ(T ) = σd (T )∪σ
onde:
σd (T ): é o espectro discreto de T , isto é, é o conjunto dos λ ∈ C tais que Rλ (T )
não existe. Portanto, se λ ∈ σ p (T ), então λ é um valor próprio de T .
σc (T ): é o espectro contínuo de T , isto é, é o conjunto dos λ ∈ C tais que o
operador Rλ (T ) existe e satisfaz a condição 3. da Definição 8.8 mas não
satisfaz a condição 2. da Definição 8.8, ou seja Rλ (T ) é ilimitado.
σr (T ): é o espectro residual de T , isto é, é o conjunto dos λ ∈ C tais que Rλ (T )
existe e não satisfaz a condição 3. da Definição 8.8, ou seja, o domínio de
Rλ (T ) não é denso em X. Neste caso Rλ (T ) pode ou não ser limitado.
Podemos resumir as Definições 8.8 e 8.9 no seguinte quadro
Sim
Não
Sim
Não
Sim
Não
Sim
Não
(R1)
√
√
√
√
(R2)
√
(R3)
√
λ pertence a:
ρ(T )
σd (T )
√
√
√
184
σc (T )
σr (T )
Em dimensão finita, isto é, dim X < ∞, o conjunto σd (T ) ! ∅ e σc (T ) =
σr (T ) = ∅. Mas em dimensão infinita, isto é, dim X = ∞ pode acontecer que
σd (T ) = ∅ no entanto o operador tem valores espectrais. O próximo exemplo
apresenta um operador com esta propriedade, isto é, T possui valores espectrais
que não são valores próprios.
Exemplo 8.10 Seja X = $2 (C) e T : $2 (C) → $2 (C) definido por
T z := (0, z1 , z2, . . .).
Então ,T , = 1, R0 (T ) existe e λ = 0 é um valor espectral de T mas λ = 0 não é
um valor próprio de T .
Prova. É fácil verificar que ,T , = 1, pois
|T z|2 =
∞
1
n=1
|zn |2 = |z|2 ⇒ |T z| = |z|,
de onde resulta ,T , = 1. Por outro lado, R0 (T ) = T 0−1 = (T − 0I)−1 = T −1
existe. De facto, o inverso do operador de deslocamento direito é o operador de
deslocamento esquerdo, sendo este definido em R(T ), isto é, D(R0 (T )) = R(T ).
Assim, se w = (0, w1 , w2 , . . .) ∈ R(T ), então
R0 (T )w = (w2 , w3 , . . .)
e R0 (T ) é um operador limitado; de facto, temos ,R0 (T ), = 1. É claro que no
domínio D(R0 (T )) temos T ◦ R0 (T ) = I e também R0 (T ) ◦ T = I. Mas λ = 0 não
é um valor próprio de T , pois
T z = 0z ⇔ (0, z1 , z2, . . .) = 0 ⇒ z1 = z2 = . . . = 0,
logo z = 0 e, assim, λ = 0 não é valor próprio de T . Para ver que λ = 0 é um valor
espectral de T basta ter em atenção o facto de D(R0 (T )) não ser denso em $2 (C),
pois
2
3
D(R0 (T )) = z ∈ $2 (C)| z1 = 0
e, por exemplo, o vector (1, 0, . . .) não pertence ao conjunto gerado por D(R0 (T )).
Assim, λ = 0 " ρ(T ) pelo que λ = 0 ∈ σ(T ) ou seja, λ = 0 é um valor espectral
de T em σr (T ).
185
De seguida vamos analisar com mais pormenor o problema da existência de
valores próprios de operadores auto-adjuntos limitados. Seja H é um espaço de
Hilbert complexo e T ∈ B(H) um operador auto-adjunto, isto é,
(T x, y) = (x, T y),
∀x, y ∈ H.
Ou seja, T ∗ = T e temos ainda que ,T ∗ , = ,T ,. Por outro lado se T é autoadjunto, então (T x, x) é real, visto que H é complexo e, inversamente, se (T x, x)
é real, então T é auto-adjunto, ver Teorema 7.15.
Teorema 8.11 Seja T ∈ B(H) um operador auto-adjunto em H. Então:
1. Todos os valores próprios de T (se existirem!) são reais.
2. Os vectores próprios correspondentes a valores próprios distintos são ortogonais.
3. Se λ é um valor próprio de T , então |λ| ≤ ,T ,.
Prova. 1. Seja λ um valor próprio qualquer de T e x o vector próprio correspondente. Então x ! 0 e T x = λx. Como T é auto-adjunto, temos
λ(x, x) = (λx, x) = (T x, x) = (x, T x) = (x, λx) = λ̄(x, x).
Como (x, x) = |x|2 ! 0 por x ! 0, então dividindo por (x, x) obtemos λ = λ̄.
Portanto, λ é real.
2. Sejam λ,µ dois valores próprios de T distintos e x, y os vectores próprios
correspondentes. Então T x = λx e T y = µy. Visto que T é auto-adjunto, temos
λ(x, y) = (λx, y) = (T x, y) = (x, T y) = (x, µy) = µ(x, y).
Como por hipótese λ ! µ, então temos (λ − µ)(x, y) = 0, de onde resulta que
(x, y) = 0. Logo x ⊥ y.
3. Tendo em conta a desigualdade
|λx| = |λ||x| = |T x| ≤ ,T , |x|
e o facto de x ! 0, então |λ| ≤ ,T ,.
Um operador auto-adjunto pode não ter valores próprios, como mostra o seguinte exemplo.
186
Exemplo 8.12 Seja H = L2 ([0, 1]) e T ∈ B(H) definido por
T : L2 ([0, 1]) → L2 ([0, 1]), x 3→ (T x)(t) := tx(t).
Então T é linear limitado auto-adjunto sem valores próprios e σ(T ) = σc (T ) =
[0, 1].
Prova. É claro que T é linear limitado e auto-adjunto, pois, para quaisquer x, y ∈
L2 ([0, 1]) temos
4 1
4 1
4 1
tx(t)y(t)dt =
x(t)ty(t)dt = (x, T y).
(T x, y) =
(T x)(t)y(t)dt =
0
0
0
De onde resulta T ∗ = T , isto é, T é auto-adjunto.
Vamos provar que T não tem valores próprios. Temos
(T λ x)(t) = ((T − λI)x)(t) = (t − λ)x(t).
1. Suponhamos que λ ∈ [0, 1], então (T λ x)(t) = 0 implica x(t) = 0 para t ! λ,
logo x = 0, o elemento nulo em L2 ([0, 1]). Assim, T λ é invertível e, deste
modo, λ ∈ [0, 1] não pode ser valor próprio de T . O inverso T λ−1 é dado por
(T λ−1 x)(t) = (t − λ)−1 x(t).
(8.4)
É claro que T λ−1 não é limitado quando λ ∈ [0, 1] (quando t = λ, (T λ−1 x)(t) =
∞!); como D(T λ−1 ) é denso em L2 ([0, 1]), então concluímos que [0, 1] ⊂
σc (T ).
2. Para λ ∈ R\[0, 1] o operador T λ também é injectivo e o seu inverso (dado por
(8.4)) é limitado sendo o seu domínio denso em L2 ([0, 1]). Logo R\[0, 1] ⊂
ρ(T ). Em resumo
ρ(T ) = R\[0, 1]
σ(T ) = σc = [0, 1]
σ p (T ) = σr (T ) = ∅.
187
Teorema 8.13 Seja T ∈ B(H) um operador linear limitado auto-adjunto no espaço de Hilbert complexo H. Então
,T , = sup |(T x, x)|.
|x|=1
Prova. Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz temos
sup |(T x, x)| ≤ sup |T x||x| ≤ sup |T x| = ,T , .
|x|=1
|x|=1
|x|=1
Vamos mostrar a desigualdade contrária. Podemos supor que T x ! 0 com
|x| = 1, pois, caso contrário se T x = 0 para todos x com |x| = 1, então
,T , = sup |T x| = 0 ⇒ T = 0
|x|=1
e a desigualdade ,T , ≤ sup|x|=1 |(T x, x)| é verdadeira neste caso. Assim, T x ! 0
com |x| = 1. Definimos
v :=
0
|T x|x,
1
w := √
T x.
|T x|
Notemos, desde já que |v|2 = |w|2 = |T x| e para y1 = v + w, y2 = v − w temos
(T y1 , y1 ) − (T y2 , y2 ) = 2[(T v, w) + (T w, v)]
= 2((T x, T x) + (T 2 x, x))
= 4|T x|2 .
(8.5)
Por outro lado, para qualquer y ! 0 e z = |y|−1 y ⇔ y = |y|z, então
|(T y, y)| = |y|2 |(T z, z)| ≤ |y|2 sup |(T z, z)| = K|y|2 .
|z|=1
Pela desigualdade triangular temos
|(T y1 , y1 ) − (T y2 , y2 )| ≤ |(T y1 , y1 )| + |(T y2 , y2 )|
≤ sup |(T z, z)|(|y1 |2 + |y2 |2 )
|z|=1
= 2K(|v|2 + |w|2 )
= 4K|T x|.
188
(8.6)
Portanto, de (8.5) e (8.6) resulta
4|T x|2 ≤ 4K|T x| ⇔ |T x| ≤ K.
Tomando o supremo sobre todos os x com norma 1 obtemos a desigualdade desejada, isto é, ,T , ≤ K = sup|x|=1 |(T x, x)|.
Teorema 8.14 O espectro residual σr (T ) de um operador T ∈ B(H) auto-adjunto
é vazio.
Prova. Suponhamos, com vista a um absurdo, que existe λ ∈ σr (T ). Assim, Rλ (T )
existe mas D(Rλ (T )) não é denso em H. Se denotarmos L := D(Rλ (T )), então H
pode decompor-se como
H = L ⊕ L⊥ .
Existe y ∈ H tal que y ! 0 e y ⊥ D(Rλ (T )) = L, ou seja y ∈ L⊥ . Como
D(Rλ (T )) = R(T λ ), então
(T λ x, y) = 0, ∀x ∈ H.
Como T é auto-adjunto, então (x, T λ y) = 0, ∀x ∈ H. Escolhendo x = T λ y resulta
|T λ y|2 = 0, ou seja,
T λ y = 0 ⇔ T y = λy.
Como y ! 0, isto mostra que λ é um valor próprio de T , logo λ não pode ser um
elemento em σr (T ), absurdo. Assim, σr (T ) = ∅.
Exemplo 8.15 Considere o espaço de Hilbert $2 (C), e o operador T ∈ B($2 (C))
definido por
5 z
6
zn
2
T z = z1 , , . . . , , . . . .
2
n
Mostre que T é auto-adjunto e compacto. Calcule o espectro de T .
Prova. Vamos mostrar que T é auto-adjunto. De facto, para quaisquer z, w ∈ $2 (C)
temos
∞
∞
1
1
zn
1
wn =
zn wn = (z, T w).
(T z, w) =
n
n
n=1
n=1
Como por definição (T z, w) = (z, T ∗ w), então
(z, T ∗ w) = (z, T w) ⇔ (z, (T ∗ − T )w) = 0,
189
∀z ∈ $2 (C).
Escolhendo z = (T ∗ − T )w, obtemos |(T ∗ − T )w|2 = 0, ∀w ∈ $2 (C). Portanto,
as propriedades de norma implicam que (T ∗ − T )w = 0, ∀w ∈ $2 (C), ou seja
T ∗ − T = 0 e, portanto, T ∗ = T . Deste modo T é auto-adjunto.
Pelo Exemplo 7.25 o operador T é compacto. Assim, do Teorema 8.14 resulta de
imediato que, o espectro residual de T σr (T ) é vazio, isto é, σr (T ) = ∅. Temos,
pois
˙ c (T ).
σ(T ) = σd (T )∪σ
Relativamente ao espectro discreto, isto é, o conjunto formado pelos valores próprios de T , temos
5 z
6
zn
2
T z = λz ⇔ z1 , , . . . , , . . . = (λz1 , λz2, . . . , λzn , . . .),
2
n
2
3
2
3
de onde resulta que λ ∈ 1, 12 , 31 , . . . 1n , . . . . Portanto, σd (T ) = 1, 12 , 13 , . . . n1 , . . . .
Falta identificar o conjunto do espectro contínuo, isto é, o conjunto σc (T ) dos valores λ tais que T λ−1 existe mas não é limitado. Para tal, vamos calcular o operador
inverso T λ−1 := (T − λI)−1 . Sejam z, w ∈ $2 (C) dados, então
T λ z = w ⇔ z = T λ−1 w.
Assim,
T λ z = w ⇔ (T − λI)z = w
6
5
zn
z2
⇔ z1 − λz1 , − λz2 , . . . , − λzn , . . . = (w1 , w2 , . . . , wn , . . .),
2
n
de onde resulta que
w1
,
1−λ
2w2
,
z2 =
1 − 2λ
.. .. ..
. . .
nwn
zn =
1 − nλ
.. .. ..
. . .
z1 =
O operador inverso T λ−1 é dado por
/
.
2w2
nwn
w1
−1
,
,...,
,... .
Tλ w =
1 − λ 1 − 2λ
1 − nλ
190
2
3
É claro que para λ " 1, 12 , 13 , . . . n1 , . . . , o operador está bem definido e D(T λ−1 ) =
$2 (C), de onde resulta que D(T λ−1 ) é denso em $2 (C). Vamos, agora estudar T λ−1
quanto à sua limitação:
+
+
∞ ++
∞ +
1
nwn ++2 1 ++ n ++2
+
−1 2
++ =
++ |wn |2 .
++
++
|T λ w| =
1
−
nλ
1
−
nλ
n=1
n=1
Para λ = 0 e w = en = (0, . . . 0, 1, 0, . . .) (1 na posição n), então
|T λ−1 en | = n,
lodo, passando ao supremo sobre todos os en , n ∈ N, concluímos que T λ−1 não é
limitado. Isto prova que λ = 0 ∈ σc (T ), pois, T 0 é auto-adjunto (σr (T ) = ∅). Por
n
é crescente com limite − λ1 , então
outro lado, se λ ! 0, então como a sucessão 1−λn
obtemos
1
|T λ−1 w| ≤ |w|,
|λ|
77 77
1
−1
−1
e, deste modo, temos 7T λ 7 ≤ |λ| , isto é, T λ é limitado. Portanto,
8
9
1 1
1
σ(T ) = 1, , , . . . , . . . ∪ {0} .
2 3
n
Exercícios
Exercício 8.4 Seja H = $2 (C) o espaço de Hilbert das sucessões complexas de
quadrado somável. Consideremos o operador T definido por
5
6
z2
zn
T : $2 (C) → $2 (C), x 3→ T z := 0, z1 , , . . . , , . . . .
2
n
Encontre o espectro do operador T .
Exercício 8.5 Seja X = C([0, 1]) o espaço de Banach de todas as funções contínuas no intervalo [0, 1] e T : X → X definida por
(T x)(t) = α(t)x(t),
Calcule o espectro de T .
191
α ∈ C([0, 1]).
Exercício 8.6 Seja T : X → X um operador linear limitado num espaço de Banach X tal que ,T , < |λ|. Mostre que λ pertence ao conjunto resolvente de T , isto
é, λ ∈ ρ(T ). Conclua que σ(T ) ∈ D,T , (C), onde D,T , (C) é o disco com centro na
origem e raio ,T ,, isto é,
D,T , (C) := {z ∈ C | |z| ≤ ,T ,} .
Exercício 8.7 Sendo X um espaço de Banach, encontre os seguintes objectos para
o operador I: σ(I), Rλ (I),
Exercício 8.8 Seja X = C([0, 1]) o espaço de Banach e T ∈ B(X 2 ) o operador
definido por
/.
/
.
x1 (t)
−1 et + 2
.
(T x)(t) =
x2 (t)
et
1
Calcule o espectro de T . Calcule o operador Rλ (T ) para λ ! σ(T ).
Exercício 8.9 Sejam λ1 , . . . λn valores próprios de uma n × n-matriz A e p um
polinómio de grau n, isto é,
n
1
p(t) =
αk tk .
k=1
Mostre que p(λ j ), j = 1, . . . , n são valores próprios da matriz p(A).
Exercício 8.10 Seja X = L2 ([−1, 1]) e T o operador definido por
T : L2 ([−1, 1]) → L2 ([−1, 1]), x 3→ (T x)(t) := 11[0,1] (t)x(t).
Calcule o espectro de T .
Exercício 8.11 Seja T : $1 (C) → $1 (C) o operador definido por
T z = (z2 , z3 , . . .).
1. Calcule a norma de T e o operador adjunto T ∗ .
2. Identifique os conjuntos σ(T ) e ρ(T ).
Exercício 8.12 Sejam λ1 , λ2 dois valores regulares de um operador T ∈ B(X).
Mostre que
192
1. A seguinte identidade é verdadeira
Rλ1 (T ) − Rλ2 (T ) = (λ1 − λ2 )Rλ1 (T )Rλ2 (T ).
2. Os operadores Rλ1 (T ) e Rλ2 (T ) comutam, isto é
[Rλ1 (T ), Rλ2 (T )] = Rλ1 (T )Rλ2 (T ) − Rλ2 (T )Rλ1 (T ) = 0.
3. A aplicação
ρ(T ) 5 λ 3→ Rλ (T ) ∈ B(X)
é contínua.
Exercício 8.13 Mostre que se T ∈ B(X), então a aplicação
ρ(T ) 5 λ 3→ Rλ (T ) ∈ B(X)
tem derivada em qualquer ponto de λ ∈ ρ(T ).
8.3 Teorema espectral
Já vimos que os valores próprios de um operador auto-adjunto limitado T é real,
cf. Teorema 8.3. Mas podemos mesmo mostrar que todo o espectro de T é real.
Teorema 8.16 Seja T : H → H um operador linear auto-adjunto limitado no
espaço de Hilbert complexo H.
1. Então um número λ pertence ao conjunto resolvente ρ(T ) se e só se existe
uma constante c > 0 tal que, para todo x ∈ H, temos
|T λ x| ≥ c|x|,
T λ := T − λI.
2. O espectro σ(T ) de T é real.
Prova. 1. Vamos somente mostrar a condição necessária. Se λ ∈ ρ(T ), então
Rλ (T ) = T λ−1 : H → H existe e é limitado. Assim, a norma de Rλ (T ) é, digamos,
,Rλ (T ), = k, onde k > 0. É claro que Rλ (T )T λ = I e, portanto, para qualquer
x ∈ H temos
|x| = |Rλ (T )T λ x| ≤ ,Rλ (T ), |T λ x| = k|T λ x|.
193
Deste modo, |T λ x| ≥ c|x|, onde c = 1/k.
2. Suponhamos, que λ = α+βi, β ! 0 com vista a provar que λ ∈ ρ(T ); implicando
que σ(T ) ⊂ R. Como T é auto-adjunto, então para qualquer x ! 0 em H, (T x, x),
(x, x) são reais. Por outro lado, temos
(T λ x, x) = (T x, x) − λ̄(x, x),
pelo que
(T λ x, x) − (T λ x, x) = (λ − λ̄)(x, x) = 2iβ|x|2 .
O lado esquerdo é igual a −2iIm(T λ x, x). Portanto, dividindo por 2, tomando o
valor absoluto e usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, obtemos
|β||x|2 = |Im(T λ x, x)| ≤ |(T λ x, x)| ≤ |T λ x||x|.
Dividindo por |x| ! 0 resulta que
|T λ x| ≥ |β||x|,
|β| > 0
e, pela alínea anterior, λ ∈ ρ(T ). Concluímos, pois, que se λ ∈ σ(T ), então λ é
real.
Teorema 8.17 (Espectro) O espectro σ(T ) de um operador T : H −→ H limitado auto-adjunto está contido dentro do intervalo [m, M] do eixo real, onde
m := inf (T x, x),
M := sup(T x, x).
|x|=1
|x|=1
Prova. Já sabemos pelo Teorema 8.16-2. que o espectro σ(t) é real. Vamos mostrar que se λ = M + ε, ε > 0, então λ pertence ao conjunto resolvente ρ(T ). Seja
x ! 0 e definimos v := |x|−1 x de onde resulta x = |x|v. Assim,
(T x, x) = |x|2 (T v, v)
≤ |x|2 sup(T ṽ, ṽ)
|ṽ|=1
= (x, x)M.
Daqui resulta −(T x, x) ≥ −(x, x)M e, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz
obtemos
|T λ x||x| ≥
=
≥
=
−(T λ x, x)
−(T x, x) + λ(x, x)
(−M + λ)(x, x)
c|x|2 ,
c := −M + λ = ε > 0.
194
Portanto, dividindo por |x| obtemos a desigualdade
|T λ x| ≥ c|x|
pelo que λ ∈ ρ(T ) pelo Teorema 8.16-1. Para λ < m a idea da prova é a mesma.
O teorema seguinte mostra que se ,T , = (T x0 , x0 ) para algum x0 ∈ H com
|x0 | = 1, então pelo menos um dos números ,T , ou − ,T , é um valor próprio de
T.
Teorema 8.18 Seja T ∈ B(H) um operador auto-adjunto em H.
1. Se existe um vector x0 ∈ H com |x0 | = 1 e
µ := sup |(T x, x)| = (T x0 , x0 ),
|x|=1
então µ é um valor próprio de T com vector próprio correspondente x0 .
2. Se existe um vector y0 ∈ H com |y0 | = 1 e
λ := inf |(T x, x)| = (T y0 , y0 ),
|x|=1
então λ é um valor próprio de T com vector próprio correspondente y0 .
Prova. Sem prova.
O teorema anterior dá uma condição necessária para existir um valor próprio
de um operador auto-adjunto T , mas não dá a condição suficiente, isto é, quando é
que (T x, x) tem um máximo ou mínimo no conjunto {x ∈ H| |x| = 1}. O próximo
teorema responde a esta questão.
Teorema 8.19 Seja T ∈ B(H) um operador auto-adjunto e compacto. Então pelo
menos um dos valores ,T , ou − ,T , é um valor próprio de T .
Prova. Se T = 0, então λ = 0 é um valor próprio de T , pois T x = λx para qualquer
x ! 0. É claro que |λ| = ,T ,. Assim, suponhamos que T ! 0 e |λ| = ,T , ! 0.
Do Teorema 8.13 e definição de supremo, resulta a existência de uma sucessão
(xn )∞
n=1 ⊂ H com |xn | = 1 tal que
lim |(T xn , xn )| → ,T , .
n→
195
(8.7)
∞
Como T é compacto, então a sucessão (T xn )∞
n=1 possui uma subsucessão (T yk )k=1
convergente. Por sua vez, a sucessão de números reais ((T yk , yk ))∞
n=1 possui uma
subsucessão ((T zl , zl ))∞
convergente
para
um
número
real
λ
∈
R
com |λ| ≤ ,T ,.
l=1
Vamos provar que
lim zl = ϕ,
e
l→∞
lim T zl = λϕ.
l→∞
∞
Como (T yk )∞
k=1 é convergente, então a subsucessão (T zl )l=1 também é convergente,
digamos
lim T zl = ψ.
l→∞
Assim, basta mostrar que
lim |T zl − λzl | = 0.
l→∞
(8.8)
Temos
|T zl − λzl |2
= |T zl |2 − λ(T zl , zl ) − λ(zl , T zl ) + λ2
= |T zl |2 − 2λ(T zl , zl ) + λ2
→ |ψ|2 − λ2 .
Temos ainda |T zl | ≤ ,T , = |λ| o que implica |ψ| ≤ |λ|. Daqui resulta a igualdade
(8.8). Por outro lado, de
lim T zl = ψ
l→∞
resulta a existência de um elemento ϕ ∈ H com |ϕ| = 1 tal que liml→∞ zl = ϕ.
Como T ∈ B(H), então
lim T zl = T ϕ.
l→∞
Agora a igualdade (8.8) implica que T ϕ = λϕ, isto é, λ é um valor próprio de T .
Corolário 8.20 Se T ∈ B(H) é auto-adjunto e compacto, então
max |(T x, x)|
|x|=1
existe e
,T , = max |(T x, x)|.
|x|=1
196
Prova. Pelo Teorema 8.19, ,T , é um valor próprio de T . Seja x o vector próprio
correspondente a ,T , tal que |x| = 1. Temos,
(T x, x) = (,T , x, x) = ,T , |x|2 = ,T , ,
logo |(T x, x)| = ,T ,. Assim,
sup |(T y, y)| = ,T , = |(T x, x)| = max |(T y, y)|.
|y|=1
|y|=1
Observação 8.21 Se T ∈ B(H) é um operador auto-adjunto compacto, então a
componente do espectro σd (T ) ! ∅ e ainda σd (T ) ⊂ R, pois os valores próprios
são reais.
Num espaço euclidiano de dimensão finita, dado qualquer operador linear
auto-adjunto, existe uma base ortonormada na qual a matriz associada ao operador é diagonal. Vamos estabelecer este resultado para os operadores auto-adjunto
compactos definidos num espaço de Hilbert H. Antes disso, analisamos o caso de
dimensão finita.
Seja H = Cn e T um operador linear auto-adjunto em H. Então T é limitado e
podemos escolher uma base na qual T seja representado por uma matriz diagonal.
O espectro de T consiste nos valores próprios da matriz de T , os quais são reais.
Suponhamos que a matriz de T tem n valores próprios distintos λ1 < λ2 < . . . <
λn . Então os vectores próprios associados x1 , x2 , . . . , xn formam uma base de H,
por estes serem ortogonais. Assim, qualquer x ∈ H pode representar-se como
x=
n
1
i=1
αi xi . =
n
1
(x, xi )xi =
i=1
n
1
x! x̄i xi .
(8.9)
i=1
Aplicando T a x e usando o facto de xi ser um vector próprio de T , com valor
próprio λi , obtemos
n
1
Tx =
λi (x, xi )xi .
(8.10)
i=1
Embora T possa actuar de uma forma complicada em x, em cada parcela da soma
(8.9) a sua acção é simples. Isto mostra a vantagem de usar os vectores próprios
como base. Podemos ainda escrever a soma (8.10) de uma forma mais conveniente
197
com vista à sua generalização a espaços de Hilbert com dimensão infinita. Para
cada vector próprio λi associamos o subespaço próprio E(λi ) definido por
E(λi ) = {x ∈ H| T x = λi x}.
A projecção ortogonal Pi := Pλi sobre E(λi ) é definida da seguinte forma
Pi : H −→ E(λi ), x 3→ Pi (x) := αi xi .
Pi está bem definida, de facto para cada x ∈ H, Pi (x) ∈ E(λi ), visto que
T (Pi (x)) = αi T xi = λi αi xi = λi Pi (x).
Portanto, a igualdade (8.9) pode escrever-se como
n
n
1
1
x=
Pi x
=⇒
I=
Pi
i=1
i=1
e a igualdade (8.10) dá lugar a
n
1
Tx =
λ i Pi x
=⇒
i=1
T=
n
1
Pi .
(8.11)
i=1
Isto é a representação de T em termos de projecções e dos valores próprios. Por
outras palavras, o espectro de T é utilizado para obter a representação de T , dada
em (8.11), em termos de operadores simples como são as projecções Pi .
Teorema 8.22 (Espectral) Seja T ∈ B(H) um operador auto-adjunto e compacto. Então
1. Existe um sistema ortogonal (en )∞
n=1 de vectores próprios de T com valores
próprios correspondentes (λn )∞
n=1 tal que para qualquer x ∈ H temos
∞
1
Tx =
λn (x, en )en .
n=1
Se (λn )∞
n=1 é uma sucessão infinita, então λn → 0, n → ∞.
∞
2. Inversamente, se (en )∞
n=1 é um sistema ortogonal em H e (λn )n=1 é uma sucessão de números reais finita ou infinita tal que λn → 0, então o operador
T definido por
∞
1
T x :=
λn (x, en )en
n=1
é linear auto-adjunto e compacto.
Prova. Sem prova.
198
Exercícios
Exercício 8.14 Seja T um operador compacto auto-adjunto em H cuja representação espectral é dada por (8.11). Mostre que
1. Para qualquer k ∈ N temos
k
T =
n
1
λki Pi .
i=1
2. Para qualquer z ∈ ρ(T ) e x ∈ H, temos
T z−1 x =
n
1
i=1
(λi − z)−1 Pi x.
Exercício 8.15 Um subespaço X ⊂ H diz-se invariante sob a acção de um operador T ∈ B(H) se T (X) ⊂ X, isto é, T x ∈ X, para qualquer x ∈ X.
1. Mostre que o subespaço próprio E(λ) do operador T associado a λ é invariante.
2. Mostre que se X ⊂ H é um subespaço invariante do operador T ∈ B(H),
então X ⊥ é um subespaço invariante de T ∗ .
199