Figuras, Triângulos e Problemas Semelhantes

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Figuras,
Triângulos e
Problemas
Semelhantes
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• Ref
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or
Dinâmica 5
Professor
9º Ano | 3º Bimestre
DISCIPLINA
Ano
CAMPO
CONCEITO
Matemática
Ensino Fundamental 9º
Geométrico
Razões trigonométricas
no triângulo retângulo
DINÂMICA
Figuras, Triângulos e Problemas Semelhantes.
HABILIDADE Básica
H06 - Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais, pelo número de lados e/ou pelos tipos de ângulos.
HABILIDADE Principal
H12 - Resolver problemas envolvendo as razões trigonométricas no
triângulo retângulo.
CURRÍCULO MÍNIMO
Compreender o conceito de razão trigonométrica a partir da semelhança de triângulos.
Professor, nesta dinâmica, você irá desenvolver as seguintes etapas com seus alunos.
1
Professor
ETAPAS
ATIVIDADE
TEMPO
ORGANIZAÇÃO
REGISTRO
15 a 20 min
Grupos de 3 ou
4 alunos com
discussão
coletiva.
Individual
15 a 20 min
Grupos de 3 ou
4 alunos com
discussão
coletiva.
Individual
Individual
1
Compartilhar
Ideias
Ampliações e
Reduções no
dia a dia
2
Um novo
olhar ...
Semelhança entre Triângulos
3
Fique por
dentro!
Problemas Semelhantes
25 a 35 min
Grupos de 3 ou
4 alunos com
discussão
coletiva.
4
Quiz
Quiz
10 min
Individual
Individual
5
Análise das
respostas ao
Quiz
Análise das
respostas ao
Quiz
15 min
Coletiva
Individual
Esta é uma seção de aprofundamento, para depois da dinâmica.
Para Saber +
O aluno pode realizar, quando desejar, mas o professor precisa ler
antes da aula.
Agora, é com
você!
Para o aluno resolver em casa ou noutra ocasião e consultar o professor se tiver dúvidas.
Flex
Apresentação
Esta dinâmica busca compreender o conceito de razão trigonométrica a partir da semelhança de triângulos. Desta forma, na primeira etapa, pretende-se que os
alunos reconheçam as relações entre figuras semelhantes e que construam ampliações e reduções de figura. Já na segunda etapa, vamos explorar a semelhança entre
triângulos. Finalmente, na terceira etapa vamos verificar as razões trigonométricas em
duas situações distintas, sendo que ambas apresentam triângulos semelhantes. Como
sempre, você terá a possibilidade de fazer algumas escolhas, entre usar mais ou menos
tempo nas atividades aqui propostas ou enfatizar algum ponto que considere mais crucial para os seus alunos.
Bom trabalho!
2
Atividade · Ampliações
e
Reduções
no dia a dia
Objetivo
Reconhecer as relações entre figuras semelhantes.
Descrição da atividade
Em geometria, duas figuras dizem-se semelhantes se uma se pode obter a
partir da outra através de isometrias e homotetias. As isometrias simples podem ser
rotações, translações e reflexões da figura original. Já a homotetia é a ampliação ou
a redução de distâncias e áreas a partir de um ponto fixo. Duas figuras homotéticas
possuem a mesma forma e seus lados correspondentes (homólogos) são proporcionais. Como tanto as isometrias como as homotetias preservam os ângulos, duas figuras
semelhantes têm a mesma forma, diferindo apenas pela sua posição e tamanho. De
forma prática, dizemos que duas figuras são semelhantes quando uma pode ser considerada uma redução ou ampliação da outra.
Matemática
Primeira Etapa
Compartilhar idéias
Por exemplo, estas duas figuras são semelhantes:
3
Professor
Mas as figuras seguintes são parecidas e não são semelhantes.
Estes dois polígonos também são parecidos e não são semelhantes. Repare
nas medidas dos lados dos retângulos A e B.
Já os retângulos da figura seguinte são semelhantes.
4
Matemática
C é uma redução do retângulo D e D é uma ampliação do retângulo C. Repare
na medida dos lados dos retângulos C e D.
Você consegue explicar por que não são semelhantes os retângulos B e A?
Resposta
Apesar de ambas as figuras apresentarem ângulos iguais, os lados dos retângulos A e B não são proporcionais. Uma não pode ser considerada ampliação (ou redução) da outra.
E por que podemos dizer que os retângulos C e D são semelhantes?
Resposta
Os lados dos retângulos C e D apresentam proporcionalidade. C é um retângulo 2 x 5, enquanto D é um retângulo 4 x 10. D pode ser considerado uma ampliação, de
razão 2, do retângulo C.
Existem diversas maneiras de se ampliar ou reduzir figuras. Uma ideia bem
simples de se fazer isto é dividir em partes iguais (quadriculadas) o papel em que a figura a ser ampliada ou reduzida se encontra, e dividir, da mesma forma (porém considerar a unidade como um quadriculado maior ou menor),o papel no qual se fará a cópia.
Assim, copia-se a figura,correspondendo-se cada traço do original na cópia.
Veja a figura.
5
Fig(a)
Fig (b)
Utilizamos o fator 2 (dobro) para encontrar a figura ampliada (b) – cada lado
desta figura (b) tem o dobro de “lados de quadradinho” da figura (a).
Assim, o contorno da figura (b) é de 20 lados de quadradinhos inteiros e mais
6,5 de cada lado do telhado, dando um total de aproximadamente 20 + 2 x 6,5 = 33
lados de quadradinho.
Lembre-se de que, nesta atividade, estamos trabalhando com aproximações e estimativas.
Professor
Situação 1
Considere a Figura 1.
Figura 1
Utilize o quadriculado a seguir (Figura 2) para fazer uma ampliação da
Figura 1, de razão 2.
6
Matemática
Figura 2
Resposta
Figura 2
7
Situação 2
Considere o quadrilátero ABDC :
Professor
Use o quadriculado a seguir para fazer uma ampliação, de razão 3, do quadrilátero ABCD e uma redução, de razão 1/2.
8
Matemática
Resposta
Nas figuras a seguir, cada quadrilátero [ABCD] foi transformado proporcionalmente num quadrilátero semelhante [A’B’C’D’], por redução ou por ampliação. Identifique as ampliações e as reduções, bem como as respectivas razões de ampliação ou
redução, ligando a coluna da esquerda com a coluna da direita.
9
Professor
Recursos Necessários
ƒƒ
Encarte do aluno.
Procedi mentos Operacionais
A atividade poderá ser feita em dupla de alunos e o registro individual.
Intervenção Pedagógica
10
ƒƒ
Professor, nesta etapa, pretende-se que os alunos reconheçam as relações entre figuras semelhantes e que construam ampliações e reduções de figura.
ƒƒ
Neste sentido, deve-se reforçar que, em qualquer par de figuras semelhantes com tamanhos diferentes, cada uma constitui uma cópia
da outra com outra escala. Mais precisamente, se uma figura F’ é semelhante a uma figura F, então F’ é uma ampliação de F, ou F’ é uma
redução de F.
Matemática
F’ é uma redução de F, sendo 1/3 a razão de semelhança de F para F’.
F é uma ampliação de F’, sendo 3 a razão de semelhança de F’ para F.
Como F’’ é uma cópia de F, F e F’’ dizem-se congruentes.
ƒƒ
Reforçar a ideia de que o fator de ampliação ou redução constitui a
razão de semelhança (ver figuras: estrela 1 e 2). Se k é a razão de
semelhança de F’ para F, então 1/k é a razão de semelhança de F para
F’. Duas figuras com a mesma forma e o mesmo tamanho, isto é, com
razão de semelhança igual a 1, dizem-se congruentes.
Figura: Estrela 1 (Figuras semelhantes – Ampliação)
11
Professor
Figura: Estrela 2 (Figuras semelhantes – Redução)
Segunda Etapa
Um novo olhar ...
Atividade · Semelhança
entre
Triângulos.
Objetivo
Descobrir as condições de semelhança de triângulos
Descrição da atividade
Ao realizar as tarefas a seguir você irá encontrar um resultado interessante
e fundamental sobre a semelhança de triângulos que lhe será útil na resolução de
muitas situações problema.
Situação 1:
Considere três triângulos ABC, EFG e MNP cujos lados, em centímetros, meçam respectivamente:
Triângulo 1: ABC
AB = 4
BC = 3
AC = 2
Triângulo 2: EFG
EF = 8
FG = 6
EG = 4
Triângulo 3: MNP
MN= 12
NP = 9
MP = 6
Observe que esses triângulos têm a mesma “forma”, mas os “tamanhos” são
diferentes. Verifique que:
12
As medidas dos lados do triângulo ABC são proporcionais às medidas dos la-
tes AB BC AC
são todos iguais).
,
,
EF FG FG
Registre:
Resposta
AB
= 4/8 = ½
EF
BC
= 3/6 = 1/2
FG
AC
= 2/4 = 1/2
FG
Matemática
dos correspondentes do triângulo EFG. (Você se lembra? Basta verificar se os quocien-
Os lados do triângulo ABC são proporcionais aos lados correspondentes do
triângulo MNP.
Registre:
Resposta
AB
= 4/12 = 1/3
MN
BC
= 3/9 = 1/3
NP
AC
= 2/6 = 1/3
MP
Os lados do triângulo EFG são proporcionais aos lados correspondentes do
triângulo MNP.
Registre:
Resposta
EF
= 8/12 = 2/3
MN
FG
= 6/9 = 2/3
NP
EG
= 4/6 = 2/3
MP
13
Pela definição de semelhança o que está faltando para que se possa concluir
que esses três triângulos sejam semelhantes entre si?
Resposta
É preciso verificar os ângulos.
Compare os dois triângulos menores e, por superposição, verifique quais são
os ângulos correspondentes que têm a mesma medida; escreva os resultados dessa
verificação. Depois disso, você pode concluir que os três triângulos são semelhantes?
Por quê?
Professor
Resposta
ˆ ˆ ˆ .Os triângulos apresentam lados corresponˆ
ˆ ˆ ˆ , C=G=P
ˆ , B=F=N
Sim. A=Ê=M
dentes proporcionais e ângulos congruentes, logo podemos dizer que são semelhantes.
Situação 2:
Observe os triângulos ABC e DEF da figura a seguir. Os pontos que você vê sobre
os lados desses triângulos dividem esses lados em segmentos, todos de mesma medida.
(É como se eles fossem construídos usando palitos de fósforo, todos de mesmo comprimento). Você acha que eles são semelhantes? Justifique por escrito a sua resposta.
,
14
Os triângulos são semelhantes. Resposta pessoal
Recursos Necessários
ƒƒ
ƒƒ
Encarte do aluno.
Triângulos disponíveis para recorte no encarte do professor
Matemática
Resposta
Procedimentos Operacionais
A atividade poderá ser feita por dupla de alunos e o registro individual.
Os triângulos devem ser recortados com antecedência.
Intervenção Pedagógica
ƒƒ
Professor, para a realização desta etapa, é necessário relembrar a definição de semelhança de triângulos.
ƒƒ
Acompanhar o trabalho das duplas na realização dos exercícios,
orientando-as no que se fizer necessário.
ƒƒ
Dar instruções claras para a realização das tarefas contidas no texto.
ƒƒ
Professor, considera-se importante que esta segunda etapa seja encerrada com uma discussão dirigida tendo como objetivo organizar,
sistematizar e resumir os resultados, visando à 3ª etapa que abordará
as razões trigonométricas no triângulo retângulo. Nessa sistematização, o professor deve dar ênfase à:
ƒƒ
definição de semelhança de triângulos com as suas seis condições:
três pares de ângulos de mesma medida e três pares de lados correspondentes proporcionais;
ƒƒ
identificação ângulos correspondentes e de lados homólogos ou correspondentes;
ƒƒ
economia de trabalho ao se usar o critério AA de semelhança, já que
ƒƒ
notação usual de semelhança e da importância da ordem nessa notação;
15
dele decorre a igualdade das medidas do terceiro ângulo e a proporcionalidade dos lados correspondentes e, portanto, dispensa a verificação das outras quatro condições necessárias de semelhança;
ƒƒ
explicitar e definir o que é razão de semelhança.
Terceira Etapa
Fique por dentro!
Atividade · Problemas Semelhantes
Objetivo
Resolver problemas envolvendo as razões trigonométricas no triângulo retângulo.
Professor
Descrição da atividade
Existem muitos problemas ou situações do nosso cotidiano que podem ser
representados por triângulos semelhantes. Como é o caso da decolagem de aviões,
da altura de uma escada ou de um poste, do cálculo da largura de um rio e de muitas
outras. A seguir, são apresentados dois exemplos de situações como estas.
Situação 1
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1289620
Ao decolar, um avião sobe formando um ângulo x com a pista (horizontal).
Para estar a 100m de altura em relação ao solo, a partir da decolagem, um avião percorre em linha reta 200m. E a distância, em relação ao solo, do momento da decolagem
16
até o ponto em que o avião atinge essa altura é de 100 3 . A partir das informações
obtidas, construa um triângulo que representa a Situação 1 e determine as razões trigonométricas para o ângulo x.
100
200
1
sen x =
2
sen x =
100
100 3
100 3
cos x =
200 tg x = 1
3
3
cos x =
2
3
tg x =
3
tg x =
Matemática
Resposta
Situação 2
Uma escada está apoiada numa parede, formando um ângulo x com o solo. O
comprimento da escada é de 8 m, sabendo-se que ela se apoia na parede a uma distância de 4 3 m do solo e a altura da escada em relação ao solo é de 4m. A partir das
informações obtidas, construa um triângulo que representa a Situação 2 e determine
as razões trigonométricas para o ângulo x.
Resposta
tg x =
4
8
1
sen x =
2 sen x =
cos x =
cos x =
4 3
8
3
2 4
4 3
1
tg x =
3
tg x =
3
3
17
Considerando as Situações 1 e 2. Responda:
a.
O que se pode concluir sobre o ângulo x? Quanto mede esse ângulo?
Resposta
Resposta: O ângulo x da situação 1 é igual ao ângulo x da situação 2, pois apresentam o mesmo valor de seno, cosseno e tangente. Esse ângulo mede 300.
b.
O que se pode dizer em relação ao triângulos obtidos nas situações 1 e 2.
Resposta
Professor
São triângulos semelhantes.
Recursos Necessários
ƒƒ
Encarte do aluno.
Procedimentos Operacionais
A atividade poderá ser feita por dupla de alunos e o registro individual.
Intervenção Pedagógica
18
ƒƒ
Professor, como o principal objetivo desta 3a atividade é utilizar as razões trigonométricas no triângulo retângulo, seria importante construir com os alunos a dedução das razões trigonométricas, a partir da
semelhança de triângulo.
ƒƒ
Tomando um ângulo com uma determinada medida, a partir de
pontos marcados em um de seus lados, traçando retas perpendiculares em relação ao outro lado, construindo triângulos retângulos
semelhantes (que têm ângulos congruentes e lados correspondentes
Matemática
proporcionais), determinam-se relações (razões) entre os lados, definindo as razões (constantes) que permitem calcular as distâncias
inacessíveis. Tais razões são definidas como seno, cosseno e tangente
do referido ângulo.
Então, questionar os alunos: O que se pode afirmar a respeito dos triângulos OCD, OEF, OGH? Solicitar que justifiquem as respostas.
Considerando com os alunos, a partir de suas respostas, que os triângulos construídos são semelhantes, solicitar que eles escrevam as
seguintes proporções:
a.
entre os catetos opostos e as hipotenusas:
CD EF GH
= = = ... (constante)
OC OE OG
b. entre os catetos adjacentes a as hipotenusas:
OD OF OH
= = = ... (constante)
OC OE OG
c.
entre os catetos opostos e os adjacentes:
CD EF GH
= = = ... (constante)
OD OF OH
Ao analisar as proporções definidas pelos alunos, observar que são
constantes , que se referem ao ângulo de medida θ e que dependem
da sua medida. Ao final, concluir para os alunos que:
sen Φ=
CD medida do cateto oposto ao ângulo
=
OC
medida da hipotenusa
cos Φ=
OD medida do cateto adjacente ao ângulo
=
OC
medida da hipotenusa
19
tg Φ=
CD
medida do cateto oposto ao ângulo
=
OD medida da cateto adjacente ao ângulo
As razões são chamadas razões trigonométricas.
Professor, seria interessante, após esta atividade, falar da existência
de tabelas trigonométricas com os valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos. Construir a tabela dos principais ângulos
agudos com a classe e pedir aos alunos que comparem os valores da
tabela com aqueles que eles encontraram.
Professor
ƒƒ
Quarta Etapa
Quiz
Questão: (Questão 15 da Avaliação Diagnóstica – C0905 – 2º bimestre –
SAERJINHO – 2012). Observe os desenhos dos triângulos abaixo.
Qual é o par de triângulos semelhantes?
20
a.
P e T.
b.
Q e S.
c.
R e S.
d.
S e T.
ao
Quiz
Resposta
B) Q e S.
Distratores
ƒƒ
O aluno que optou pela alternativa A) P e T, provavelmente, apenas marcou os dois triângulos que tinham lados iguais a 4m e 5 cm.
ƒƒ
O aluno que optou pela alternativa D) S e T, provavelmente, apenas marcou os dois triângulos que tinham lado igual a 5 cm e ângulo igual a 45º,
sem levar em consideração que, se em dois quaisquer triângulos, ângulos iguais subentenderem lados proporcionais, então esses triângulos
são semelhantes.
ƒƒ
Matemática
Quinta Etapa
Análise das Respostas
O aluno que escolheu a opção C) R e S, provavelmente, apenas marcou
os dois triângulos que tinham lados iguais a 5m e 6 cm.
Etapa Flex
Para saber +
Semelhança de Figuras Geométricas
Nesta seção desta aula, você verá que figuras geométricas são semelhantes
se possuem exatamente a mesma forma, independentemente de seu tamanho. Por
isso, podemos dizer que um quadrado é semelhante a todos os outros quadrados. Do
mesmo modo, dois círculos, quaisquer que sejam, serão sempre semelhantes. Estas
afirmações, contudo, não podem ser feitas para quaisquer triângulos. Quando é que
dois triângulos são semelhantes; isto é, quando é que possuem a mesma forma? É o
que estudaremos nestes três vídeos.
Vídeo (Parte 1) Disponível em: http://www.youtube.com/watch?feature=playe
r_embedded&v=-ks2TEgHsho
Vídeo (Parte 2) Disponível em: http://www.youtube.com/watch?feature=play
er_embedded&v=yFfnWcaJgzo
21
Vídeo (Parte 3)Disponível em:
http://www.youtube.com/watch?v=Kpyt809PJwY
Razões trigonométricas no Triângulo Retângulo
Agora,você verá que as relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo admitem três casos: seno, cosseno e tangente. É o que estudaremos nestes dois
vídeos.
Vídeo (Parte 1) Disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=f0i13e4Fj0w
Vídeo (Parte 2) Disponível em:
Professor
https://www.youtube.com/watch?v=HkTlT5oN8g8
Agora,
1.
é com você!
Os triângulos MNO e M’N’O’ seguintes são semelhantes. Se a razão entre
seus perímetros é de 1 para 2, calcule as medidas de v, x, y.
Resposta
6/v = 2 Þ v = 6/2 = 3
x/4 = 2 Þ x = 2(4) = 8
y/5 = 2 Þ y = 2(5) = 10
22
Sabendo-se que os triângulos são semelhantes, calcule x e y
Resposta
24/x = 15/20 →x=32
Matemática
2.
y/26 = 15/20 → y=19,5
3.
Uma escada encostada a uma parede tem seus pés afastados dela, em 6m,
formando assim, com o plano horizontal, um ângulo de 600. Qual o comprimento da escada e da distância de sua extremidade superior ao chão?
Resposta
tg 60 =
y
6
y 6
y=6 3
3=
sen 60 =
6 3
x
3 6 3
=
x
2
3 x = 12 3
x = 12
cos 60 =
ou
1 6
=
2 x
x = 12
6
x
O comprimento da es-
cada é de 12m e a distância de sua extremidade ao chão é 6 3 .
23
4.
Um motociclista percorre, a partir de um ponto A, 300m de estrada, inclinada 300 em relação ao plano horizontal, em aclive. Qual a altura do ponto
atingido, em relação ao plano horizontal que passa por A?
Resposta
Professor
A altura é de 150m.
24
Anexo I