Matrizes Simétricas sobre Z2 e o Problema das Luzes Apagadas. 1

ISSN 2317-3297
Matrizes Simétricas sobre Z2 e o Problema das Luzes Apagadas.
Daniel Gonçalves,
Maria Inez C. Gonçalves
Departamento de Matemática, UFSC, Campus Trindade
88040-900, Florianópolis, SC
E-mail: [email protected], [email protected]
Palavras-chave: Problema das luzes apagadas, Matriz simétrica infinita sobre Z2 , espaço coluna de uma matriz.
Resumo: Neste trabalho mostramos que o o espaço coluna de uma matriz simétrica infinita
sobre o corpo Z2 , com um número finito de 1´s em cada linha, contém o vetor formado pelos
elementos de sua diagonal principal. Tal matriz pode ser por exemplo a matriz de adjacência
de um grafo infinito, no qual cada vértice possui grau finito, ou seja, o número de arestas que
incidem em cada vértice é finito. No caso de dimensão finita, o resultado foi obtido por Minevich
[4], e aplicado diretamente a uma generalização do problema de apagar as luzes (”Lights Out
Problem”), [1, 3].
1
Introdução
O problema de apagar as luzes em matemática, vem do jogo eletrônico Lights Out, o qual
consiste de 25 teclas iluminadas arranjadas na forma de uma matriz 5 × 5. O jogo começa com
algumas das luzes acesas e outras apagadas. A cada passo do jogo, o jogador deve apertar uma
das teclas e ao fazer isto a condição da tecla pressionada muda, bem como a condição de todas
as teclas adjacentes na sua vertical e horizontal. O objetivo do jogo é apagar todas as luzes.
É possı́vel desenvolver uma estratégia para o jogo usando álgebra linear, mais especificamente
eliminação Gaussiana, espaço nulo e espaço coluna de uma matriz. Maiores detalhes podem ser
encontrados em [1].
O problema também pode ser modelado como um grafo 5 × 5, com um estado binário
associado a cada vértice, ou seja: 0 para luz apagada e 1 para luz acesa. Alterando o estado de
um vértice, altera-se o estado dos vértices adjacentes. Se começarmos o jogo com todas as luzes
acesas então é possı́vel chegar na situação onde todas as luzes estão apagadas, clicando-se num
subconjunto dos vértices, veja [2, 4].
Iniciamos este trabalho apresentando os resultados obtidos em [4], a seguir demonstramos
o resultado mencionado no inı́cio deste trabalho, o que pode ser utilizado para resolver uma
expansão do jogo Lights Out para um número infinito de teclas. Nossa demonstração utiliza
álgebra linear, álgebra e análise.
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Matrizes Simétricas finitas sobre Z2
Nesta seção apresentamos os resultados obtidos por Minevich [4]. O teorema a seguir será
generalizado para o caso infinito.
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Teorema 2.1 [4] Seja A = [aij ], 1 ≤ i ≤ N , 1 ≤ j ≤ N uma matriz simétrica sobre Z2 e
seja d = (d1 , d2 , · · · , dN )T o vetor formado pelos elementos da diagonal principal de A. Então
d pertencence ao espaço coluna de A.
Este teorema é demonstrado usando a estrutura algébrica de Z2 e resultados de álgebra
linear, mais especificamente é usado o fato de que o espaço nulo de uma matriz simétrica é o
complemento ortogonal do espaço coluna da matriz.
Corolário 2.2 [4] Seja G um grafo finito não orientado, onde existe no máximo uma aresta
entre dois vértices quaisquer e cada vértice pode estar conectado a si mesmo. Sejam v1 , · · · , vn
os vértices conectados a si próprios. Associe a cada vértice o estado 0 ou 1, e assuma que
clicando-se em um vértice altera-se o estado de todos os vértices adjacentes a ele (inclusive ele
próprio se estiver conectado a ele mesmo). Então, começando com todos os vértices no estado 0,
é possı́vel escolher quais vértices clicar para que como resultado somente o estado de v1 , · · · , vn
seja 1 e dos demais vértices seja 0.
Para o problema original, o corolário garante mais uma vez que, começando com todas as
luzes acesas é possı́vel chegar na configuração de todas as luzes apagadas, clicando-se em um
número finito de vértices.
Para uma generalização do problema de luzes apagadas em grafos, onde nem todos os vértices
mudam de estado quando clicados, o corolário também garante que começando com todas as
luzes apagas é possı́vel chegar na configuração desejada. Por exemplo: Suponha que tenhamos
vértices do grafo com luzes azuis e vértices com luzes brancas, os vértices com luzes azuis quando
clicados, trocam o seu estado e o dos vértices adjacentes a ele (de apagado para aceso e viceversa). Já os vértices com luzes brancas quando clicados somente alteram os estado dos vértices
adjacentes a eles (não alterando seu próprio estado). Começando com todas as luzes apagadas,
o objetivo é acender todas as luzes azuis e apagar todas as brancas, clicando-se em um número
finito de vértices. Pelo corolário é possı́vel fazer isto.
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Matrizes Simétricas infinitas sobre Z2
Teorema 3.1 Qualquer matriz simétrica infinita A = [aij ], 1 ≤ i < ∞, 1 ≤ j < ∞ sobre Z2 ,
com um número finito de 1´s em cada linha, contém o vetor d = (d1 , d2 , · · · )T , formado pelos
elementos da diagonal principal de A, no seu espaço coluna.
Vamos mostrar que d pertence ao espaço coluna de A, construindo um vetor x = (x1 , x2 , · · · )T
tal que Ax = d.
Fixe n um inteiro positivo. Considere as n primeiras linhas de A. Como em cada linha de
A só existe um número finito de 1’s, podemos encontrar um inteiro positivo k1 > n, tal que
ai,j = 0, 1 ≤ i ≤ n, n + k1 ≤ j < ∞. Como A é simétrica, temos que ai,j = 0, n + k1 ≤ i < ∞,
1 ≤ j ≤ n. Considere agora as n + k1 primeiras linhas de A, novamente podemos encontrar um
inteiro positivo k2 ≥ k1 , tal que ai,j = 0, n ≤ i ≤ n + k1 , n + k2 ≤ j < ∞. Como A é simétrica,
temos que ai,j = 0, n + k2 ≤ i < ∞, n ≤ j ≤ n + k1 , e assim sucessivamente.
Para todo inteiro positivo j ≥ 2, considere a submatriz de A, An+kj ,n+kj = [ai,j ], 1 ≤ i ≤
n + kj , 1 ≤ j ≤ n + kj , onde kj são inteiros positivos . Como An+kj ,n+kj é uma matriz simétrica
n + kj × n + kj sobre Z2 , usando o teorema 2.1, temos que a diagonal principal de An+kj ,n+kj
pertence ao espaço coluna de An+kj ,n+kj . Ou seja, existe xj = (xj1 , xj2 , · · · , xjn+kj , 0, 0, · · · ) tal
n+kj−1
que,
X
˜ onde ci denota a i-ésima coluna de A e o vetor d,
˜ é um vetor da mesma
xji · ci = d,
i=1
natureza do vetor d, e ambos possuem as mesmas n + kj−2 primeiras componentes iguais. Ou
seja, d˜i = di , 1 ≤ i ≤ n + kj−2 .
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Temos então uma sequência (xj ) = x2 , x3 , x4 , · · · , tal que para todo inteiro positivo l ≥ 2,
n+k
X1
xli · cni = (d1 , · · · , dn )T , onde cni denota os n primeiros componentes da i-esima coluna de A.
i=1
Porém só existe um número finito de vetores (z1 , · · · , zn+k1 ) tal que
n
n+k
X1
zi ·cni = (d1 , · · · , dn )T .
i=1
Logo existe uma subsequência de x2 , x3 , x4 , · · · tal que xi j = xni k , para todo i = 1, · · · , n + k1 ,
para todo j ≥ 2 e para todo inteiro positivo n. defina as n + k1 primeiras componentes de x
n
como xi = xi j , i = 1, · · · , n + k1 .
Passe agora para esta subsequência, e sem perda de generalidade suponha que o termo
n+k
X2
inicial da subsequência satisfaz xjk ≥ xn+k3 . Para esta subsequência temos que
xli · cin+k1 =
i=1
(d1 , · · · , dn+k1 )T . Novamente, só existe um número finito de vetores (z1 , · · · , zn+k2 ) tal que
n+k
X2
1
zi · cn+k
= (d1 , · · · , dn+k1 )T . Logo existe uma subsequência desta subsequência, tal que as
i
i=1
n + k2 primeiras componentes dos vetores da subsequência coincidem. Prova-se por indução que
o processo acima pode ser continuado infinitamente e dessa maneira pode-se construir um vetor
x, tal que Ax = d, ou seja, d pertence ao espaço coluna de A.
Referências
[1] Anderson, M. e Feil, T., Turning lights out with linear algebra, Mathematics Magazine, 71,
pp. 300–303, 1998.
[2] Caro, Y., Simple proofs to three parity theorems, Ars Combinatoria, 42, pp. 175–180, 1996
[3] O. Martı́n-Sánchez and C. Pareja-Flores, Two Reflected Analyses of Lights Out, Mathematics Magazine, 74, 4, pp. 295–304, 2001.
[4] Minevich, I., Symmetric Matrices over F2 and lights out problem, arXiv:1206.2973., 2012.
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