Introduç˜ao `a Astronomia e Cosmologia

Introdução à Astronomia e Cosmologia - 2015.2
Lista 5: Relatividade, Cosmologia e Astrobiologia
1. Considere dois referenciais, S e S ′ , coincidindo no tempo t = 0, e S ′ se movimentando com velocidade ~u = (u, 0, 0) em relação a S. No tempo t = 0, um
pulso de luz é emitido na origem de S e S ′ . Viajando com a velocidade c, os
pontos na frente de onda satisfazem x2 + y 2 + z 2 = (ct)2 . Mostre, que em S ′ , a
luz também viajou em todas as direções com velocidade c, ou seja, mostre que
x′2 + y ′2 + z ′2 = (ct′ )2 .
2. Um astronauta em uma espaçonave viaja para α Centauri, a uma distância de
aproximadamente 4 anos-luz medida na Terra, com uma velocidade de u = 0.8c.
(a) Quanto tempo leva a viagem até α Centauri, medida na Terra? (b) Quanto
tempo leva a viagem, medida pelo piloto da espaçonave? (c) Qual a distância
entre a Terra e α Centauri, medida pelo piloto? (d) Um sinal rádio é enviado
da Terra rumo à espaçonave a cada seis meses, medida por um relógio na Terra.
Quanto é o intervalo entre as recepções destes sinais na espaçonave? (e) Um
sinal rádio é enviado da espaçonave rumo à Terra a cada seis meses, medida
por um relógio na espaçonave. Quanto é o intervalo entre as recepções destes
sinais na Terra? (f) Se o comprimento de onda dos sinais enviados na Terra é
λ = 15 cm, para que comprimento de onda o receptor da espaçonave deve ser
ajustado?
3. Encontre o valor de v/c para o qual a energia cinética de uma partı́cula é igual
à sua energia de repouso.
4. Um fóton perto da superfı́cie da Terra percorre uma distância horizontal de
1 km. Quão longe o fóton “cai” neste tempo?
5. Potosı́ na Bolı́via se encontra a 4 km de altura. Se uma pessoa lá vive por
75 anos (medido por uma pessoa longe da Terra), quanto tempo a mais a
dilatação gravitacional de tempo teria permitido esta pessoa a viver, se ela
tivesse se mudado para o nı́vel do mar ao nascer?
6. Enquanto passa uma hora na superfı́cie de uma Estrela de Nêutrons de massa
1.4 M⊙ e diâmetro 10 km, quanto tempo passa longe da estrela? Compare os
resultados usando a fórmula exata e a aproximação para campo fraco. (Dica:
1
para a aproximação, faça uma expansão de Taylor da raiz quadrada
para x ≪ 1)
√
1+x
7. Suponha que toda a matéria do Universo fosse convertida em energia na forma
de radiação de corpo negro. Use a densidade de matéria bariônica determinada
a partir dos dados do satélite WMAP, ρb,0 = 4.17 · 10−28 kg m−3 . Em que
comprimento de onda ficaria o pico do espectro de corpo negro? Em que região
do espectro eletromagnético se encontra este comprimento de onda? (Lembrete
sobre a radiação de corpo negro: densidade de energia: u = αT 4 , onde α =
7.566 · 10−16 J m−3 K−4 ; Lei de Wien sobre o comprimento de onda do máximo
do espectro: λmax = const/T , onde const = 2.89 · 103 m K.)
8. Use a fórmula para o efeito Doppler para a luz para derivar a fórmula que
dá a temperatura da radiação cósmica de fundo medida por um observador
com velocidade peculiar ~v na direção fazendo um ângulo θ com ~v (Trep é a
temperatura da radiação no seu referencial de respouso):
Tmov
p
Trep 1 − v 2 /c2
=
1 − (v/c) cos θ
Mostre que, para para v ≪ c, ela pode ser aproximada por
v
Tmov ≃ Trep 1 + cos θ
c
9. O maior momento angular possı́vel para um Buraco Negro eletricamente neutro
em rotação é Lmax = GM 2 /c. Use fı́sica newtoniana para estimar a velociade
angular máxima, ωmax , de um Buraco Negro de M = 108 M⊙ . Use M RS2 como
estimativa do seu momento de inércia, onde RS é o raio de Schwarzschild.
10. Encontre os redshifts de transição entre as eras de radiação e da matéria, zr,m ,
e entre as eras de matéria e Λ, zm,Λ . (Dica: São os redshifts para os quais as
densidades da radiação e da matéria, ρrel e ρm , respectivamente, e as da matéria
e da Energia Escura, ρm e ρΛ , são iguais.)
11. Calcule as densidades da matéria, dos componentes relativı́sticos (fótons e neutrinos) e da Energia Escura na época da Recombinação, z = 1089.
12. A zona habitável ao redor de uma estrela é a região na qual possı́veis planetas
teriam temperaturas que permitem a existência de água lı́quida, ou seja, entre
0 ◦ C e 100 ◦ C. Calcule os limites interiores e exteriores das zonas habitáveis
ao redor de estrelas da Sequência Principal M7 (Te = 2860 K, R = 0.2 R⊙ )
e O5 (Te = 42000 K, R = 13.4 R⊙ ), em unidades astronômicas. (Dica: O
método para calcular temperaturas de planetas foi apresentado na aula sobre
os planetas do Sistema Solar. Ignore possı́veis albedos e efeitos estufa dos
planetas hipotéticos.)