Estatística II Capítulo 1 - Faculdade Machado Sobrinho

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Estatística II
Capítulo 1:
Consciente ou inconsciente, a probabilidade é usada por qualquer individuo que
toma decisão em situações de incerteza. Conhecendo ou não regras para seu cálculo,
muitas pessoas interessam-se por eventos ligados às probabilidades. Do contrário,
poderíamos explicar o grande número de indivíduos que jogam loterias, bingos, corridas
de cavalo etc.? Aliás, as aplicações iniciais do cálculo das probabilidades ocorreram em
função de jogos de azar, no século XVI. A utilização das probabilidades indica a
existência de um elemento de acaso, ou de incerteza, quanto à decorrência ou não de um
evento. Por exemplo, se lançarmos uma moeda para o ar, de modo geral não podemos
afirmar se vai dar cara ou coroa. A probabilidade nos indicará uma medida de quão
provável é a ocorrência de determinado evento.
São várias situações em que é desejável ter uma medida (avaliação numérica) de
quão provável é a decorrência de determinado evento futuro: lançamento de um
produto, bons lucros em uma operação mercantil, chover amanhã à tarde, meu time
ganhar o próximo jogo, malogro de uma safra, compra de ações, etc. Embora o termo
probabilidade tenha ampla significação, com a qual todos estamos familiarizados, sua
definição e interpretação têm sido fonte de grandes dificuldades quando o termo deve
ser tomado em sentido estrito. As asserções sobre probabilidade podem provir tanto de
bases objetivas quanto subjetivas, podem derivar tanto da experimentação quanto de
raciocínio a priori.
Para melhor entendimento, é interessante relembrar alguns conceitos básicos no
estudo das probabilidades, tais como experimento, evento, evento simples e espaço
amostral de um experimento.
•experimento: é qualquer processo que permite ao pesquisador fazer
observações. Exemplos: a ocorrência de um raio; uma viagem aérea; o lançamento de
uma moeda; temperatura de uma região; apólices vendidas por seguradoras;
funcionários de uma empresa, etc.. Os experimentos podem ser determinísticos ou
aleatórios.
a) experimento determinísticos: conduzem sempre a um mesmo resultado,
quando as condições iniciais são as mesmas. Exemplo: tempo de queda livre
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de um corpo. Mantidas as mesmas condições, as variações obtidas para o
valor do tempo de queda livre de um corpo são extremamente pequenas (em
alguns casos, desprezíveis);
b) experimento aleatórios: os fenômenos aleatórios podem conduzir a
diferentes resultados; mesmo quando as condições iniciais são as mesmas,
existe a imprevisibilidade do resultado. Exemplo: lançamento de um dado.
A teoria das probabilidades não é aplicada a fenômenos determinísticos,
mas, por outro lado, é extremamente útil para fenômenos aleatórios.
•evento: é um resultado ou, eventualmente, um conjunto de resultados ocorridos
no experimento. Exemplos: o raio atingir (ou não) uma pessoa, o horário de chegar (ou
não) no horário correto; ao jogar a moeda o evento foi cara; a temperatura ser abaixo
(ou acima) de 20°C; a venda de passagens para Brasília ser maior que para o Rio de
Janeiro;
•evento simples: é um resultado, ou um evento, que não comporta mais
decomposições. Exemplo de evento simples: ao jogar o dado, o evento simples foi o
número cinco;
•evento não simples: o evento não simples pode ser decomposto em dois (ou
mais) eventos simples. Exemplo de evento não simples: jogar dois dados o evento foi o
número oito; não é um evento simples, pois é composto por mais de um evento simples,
tal como “dois e seis” ou “três e cinco”.
•evento certo: é aquele que ocorre em qualquer realização do experimento.
Exemplo de evento certo: no lançamento de um dado fatalmente sairá a face 1, 2, 3, 4, 5
ou 6.
•evento impossível: é aquele que não ocorre em qualquer realização do
experimento. Exemplo de evento impossível: no lançamento de um dado sair a face 7.
Logo, se o evento favorável (A) for constituído por um conjunto vazio, nesse
caso o número de elementos A é um conjunto nulo;
A = ɸ → n (A) = 0
•evento complementar: Para um evento A qualquer, o complementar de A, denotado
por Ā é dado por Ā = S. A, ou seja, é um ou outro conjunto formado pelos elementos
que pertencem a S e não pertencem a Ā. O resultado da reunião de A e Ā é exatamente
o espaço amostral. Ex.: Coroa é complementar de cara (e vice-versa); o conjunto de
cartas de paus, ouros e copas é complementar do conjunto de espadas.
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Exemplo: Num evento, foram vendidos 50 bilhetes, e será sorteado um prêmio.
Qual a probabilidade de uma pessoa, que tenha adquirido 4 bilhetes, ganhar o prêmio?
Qual a probabilidade de não ganhar (probabilidade contrária)?
•evento mutuamente exclusivo: Caracteriza-se quando dois ou mais eventos
não podem ocorrer simultaneamente, ou seja, a ocorrência de um exclui a possibilidade
de ocorrência do outro e vice-versa.
Exemplo 1: Se a carta é de paus, então ela não é de ouros; se o tempo está seco,
então não há chuva.
Exemplo 2: Ocorrência de face menor que 2 ou maior que 5 no lançamento de
um dado.
P (face menor que 2) = = 0,167 ou 16,7%.
P (face maior que 5) = = 0,167 ou 16,7%.
Observe que os eventos face menor que 2 ou face maior que 5 são mutuamente
excludentes, pois a ocorrência de um, impossibilita a ocorrência do outro. Porém, não
são complementares, pois não esgotam todos os resultados possíveis do experimento.
Eventualmente poderão esgotar todos os resultados possíveis, nesse caso serão
chamados de mutuamente excludentes e exaustivos.
•evento independente: dizemos que dois ou mais eventos são independentes
quando não exercem ações recíprocas, comportando-se cada um de maneira que lhe é
própria sem influenciar os demais. Caracteriza-se, portanto, quando a ocorrência de um
evento não for afetada pela ocorrência do outro, sendo a recíproca verdadeira.
Ex.: Consideremos o lançamento de duas moedas:
Temos: S = {Ca, Ca; Ca, Co; Co, Co; Co, Ca}
Os resultados dos eventos são independentes de uma moeda para outra.
•evento condicionado: quando associados dois ou mais eventos a um
experimento aleatório qualquer dizemos que eles são condicionados a outro evento B do
mesmo experimento. Caracteriza-se quando a ocorrência de um evento A qualquer
dependa da ocorrência de outro evento B.
Ex.: 1º) retirada, sem reposição, de duas cartas vermelhas de um baralho completo.
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2º) uma caixa contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Pretendo sortear a bola 5 e a bola
8. Tiro uma bola e verifico que é a bola 8, ___________________________
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•espaço amostral de um experimento ou universo (S): é composto pelo
conjunto de todos os elementos simples possíveis; o espaço amostral é também
chamado conjunto universo, sendo que n(S) é o número total de elementos que
compõem o universo S. Exemplo: no lançamento de uma moeda, o espaço amostral é
composto de dois eventos simples: cara e coroa. Nesse caso: n(S) = 2.
No lançamento de duas moedas, o espaço amostral é composto de quatro
eventos: (cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara) e (coroa, coroa). Para esse exemplo:
n(S) = 4, logo Ω =
.
Exemplos:
a) Qual o espaço amostral no lançamento de dois dados?
b) Se o experimento consiste no lançamento de 3 moedas consecutivas, qual o
espaço amostral?
Aplicação das regras para o cálculo das probabilidades:
A probabilidade de um evento A deve ser um número maior ou igual a 0, porém menor
ou igual a 1. Isto é:
0 ≤ P(A) ≤ 1 ou 0% ≤ P(A) ≤ 100%
Probabilidade do espaço amostral:
A probabilidade do espaço amostral S é igual a 1. Isto é:
P(S) = 1 ou P(S) = 100%
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Teoria das probabilidades:
A probabilidade P(A) é definida como a relação entre o número de possíveis resultados
favoráveis do evento e todos os possíveis resultados do experimento.
P(A) =
Sendo que:
A é o evento favorável;
n(A) é o número de elementos do evento favorável A;
n(S) é o número total de elementos do Universo (S).
Exemplos:
1) A pesquisa de um jornal de São Paulo revelou que 200 brasileiros foram mortos
por raios no período de um ano (ano 2.000). Qual a probabilidade de uma pessoa
ser atingida por um raio, sabendo-se que a população brasileira está em torno de
170 milhões?
2) Uma pesquisa do PC World foi realizada com 4.000 proprietários de
computadores pessoais, e verificou que 992 dos computadores apresentaram
falhas em um intervalo de dois anos após a compra. Tomando como base estes
resultados, qual a probabilidade de você comprar um computador pessoal e ele
apresentar problema nos próximos dois anos?
Regra da adição:
a) Para eventos mutuamente exclusivos
P(A ou B) = P(A) + P(B)
Ex: Qual a probabilidade de ocorrer dama ou valete ao retirarmos uma única
carta de um baralho completo?
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b) Para eventos não mutuamente exclusivos:
P(A B) = P(A)+ P(B) – P(A B)
Deseja-se calcular a probabilidade de ser retirada uma carta vermelha ou um rei. Seja:
A= {carta vermelha} e B= {rei}. Evidentemente, A e B não são mutuamente exclusivos,
porque há duas cartas de reis vermelhas (rei de ouros e rei de copas). Assim:
Agora, deseja-se determinar a probabilidade de ser retirada uma carta de espadas ou
uma dama de ouros.
Sejam: A= {carta de espada} e B= {dama de ouros}. Nesse caso, os eventos A e B não
são mutuamente exclusivos, pois A B =
Assim:
Probabilidade de um evento complementar
P(A) = 1 – P(Ā)
Se A= {carta de paus}, então Ā= {qualquer carta exceto paus}. Assim:
P(Ā) = 1-
=
=
= 75%
Regra do produto
a) para eventos independentes
P(A x B) = P(A). P(B)
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Ex.: Qual a probabilidade de acertamos os dois primeiros jogos da loteria esportiva
utilizando palpite simples?
b) para eventos condicionados
P(AxB) = P(A). [P(A). P(B/A)]
Ex. Retiram-se sem reposição, duas cartas de um baralho completo. Qual a
probabilidade de ambas serem espada?
Essa regra é válida para n eventos independentes: A1, A2, A3,..., An, desde que as
condições para a multiplicação de probabilidades sejam satisfeitas para todas as
combinações de dois ou mais eventos, isto é, desde que todas as combinações sejam
constituídas por eventos independentes. Então:
P( A1. A2......An) = P (A1 ∩ A2∩....∩An) = P(A1). P(A2). .... . P(An)
Exemplos:
1) São retiradas sem reposição duas cartas de um baralho de 52 cartas. Qual a
probabilidade que as duas cartas sejam de ouros?
2) Em uma experiência que consiste em lançar, simultaneamente, um dado e duas
moedas, qual é a probabilidade de obter um “cinco” e duas coroas em uma única
jogada?
3) Com a introdução do imposto sobre o lixo, uma empresa encomendou uma
pesquisa de opinião junto a parlamentares da Câmara Municipal. Segundo essa
pesquisa, a probabilidade de a empresa vencer a licitação para a coleta de lixo no
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bairro de Sérvia Amarela é de 60%. A pesquisa revelou ainda que a
probabilidade de a empresa ganhar a licitação para a coleta de lixo no bairro de
Conceição é de 90%. Qual a probabilidade de essa empresa vencer as duas
concorrências?
4) Um lote é formado por um total de 80 peças, sendo 45 peças perfeitas, 30 com
pequenos defeitos e 5 com defeitos graves. Pretende-se retirar 4 peças ao acaso e
sem reposição. Qual a probabilidade de que as 4 peças retiradas sejam:
a) todas as cartas perfeitas;
b) duas perfeitas e duas com pequenos defeitos;
c) nenhuma das 4 peças com pequenos defeitos.
Análise Combinatória:
A análise combinatória é usada para a resolução de problemas matemáticos de
contagens. Para problemas simples ou com poucos elementos, pode-se contar o número
de resultados de maneira direta, sem necessidade de recorrer às fórmulas matemáticas
da análise combinatória.
Para problemas menos simples, recorre-se às permutações e combinações para
determinar o número de resultados possíveis.
Permutações:
Permutação de n objetos é o número de maneiras diferentes que esses elementos podem
ser arrumados num grupo, alterando-se apenas a ordem dos elementos no grupo.
Permutações de n objetos (n objetos agrupados em n elementos):
Pn = n!
Pn = n! = (n). (n-1). (n-2). ..... 4. 3. 2. 1
Observa-se que o cálculo da permutação é feito por meio do fatorial do número n.
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Representa-se fatorial: n! (lê-se ene fatorial).
Obs. 1! = 1 e 0! = 1
Ex. P7= 7! =
a) Permutação sem repetição: conjuntos de elementos distintos.
Ex.: 1) Há 10 jogadores de xadrez em um campeonato, sendo 4 com camisas
verdes, 3 com camisas amarelas e 3 com camisas azuis. De quantos modos
podemos perfilar esses 10 jogadores de modo que os grupos com as camisas de
mesma cor fiquem juntas?
2) Três membros de uma organização social se oferecem como voluntários para
compor a diretoria, para o próximo ano, assumindo as funções de Presidente,
Tesoureiro e Secretário. Qual o número de maneiras pelas quais os três poderes
podem assumir tais cargos?
b) Permutação com repetição: Conjuntos com alguns elementos iguais entre si.
Pn
(β!γ!,...,δ!) =
Ex: 1) Quantos anagramas podem formar com a palavra ARAQUARA?
Exercício:
Quantos números com quarto algarismos podem ser formados com os 10 algarismos 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9:
a) Admitindo-se repetições
b) Não se admitindo repetição
c) Não admitindo repetições e o último algarismo devendo ser zero.
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Arranjo:
Seja Δ um conjunto de x elementos tal que Δ = {a 1, a2, ...., a7}. Classificamos
como Arranjo Simples de n elementos tomados p a p, onde (0
p
n) como aqueles
casos que dispomos dos elementos de um conjunto de n elementos sem repeti-los, de tal
forma que a ordem desses elementos seja importante.
Por exemplo: se tivermos um grupo de três pessoas A B C será diferente do
grupo de pessoas C A B, ainda que seja formado pelos mesmos elementos desse
conjunto.
Dispondo de n elementos distintos para formar grupos de p elementos também
distintos, onde 0
p
n, contamos com a expressão matemática:
onde n = número total de elementos
r = o que se pretende agrupar
Tomemos os exemplos a seguir para aplicações dos arranjos simples.
Exemplo1: De um baralho de 52 cartas, 3 são retiradas sucessivamente, sem reposição.
Quantas sequências de cartas são possíveis obter?
Exemplo 2: Oito pessoas desejam formar uma chapa para as eleições à presidência de
uma empresa. De quantas maneiras distintas pode-se formar uma chapa sabendo que, em cada
uma delas, haverá um presidente, um secretário e um tesoureiro?
Exemplo 3: Cinco pessoas constituem a junta diretora de uma empresa. Suponha que
somente três destes diretores sejam convidados a representar a empresa num banquete.
Quantos arranjos diferentes seriam possíveis para compor este trio?
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Combinação:
Seja Δ = {a1, a2, ...., a7} um conjunto qualquer com n elementos. Classifica-se
como combinação simples aqueles casos em que dispõe-se de n elementos distintos e, a
partir daí, formam-se grupos não ordenados com p elementos, onde (0
p
n). A
ordem de arrumação não altera o grupo. A expressão matemática que define o
número de combinações simples é definida por:
Tomemos os exemplos a seguir para aplicações de combinações.
Exemplo 1: Marcam-se 5 pontos sobre uma reta R e 8 pontos sobre uma outra reta F,
paralela a R. Quantos triângulos podem ser formados tomando-se três pontos quaisquer?
Exemplo 2: De 5 matemáticos e 7 físicos deve-se constituir uma comissão de 2
matemáticos e 3 físicos. De quantas maneiras podemos formar a comissão se:
a) qualquer matemático e qualquer físico podem ser incluídos;
b) determinado físico deve fazer parte da comissão;
c) dois determinados matemáticos não devem pertencer à comissão.
Diagrama da árvore
Quando o número de pontos do espaço amostral é relativamente pequeno, é possível a
sua contagem direta, utilizando o chamado diagrama da árvore (ou de decisão), que consiste em
representar graficamente todas as possíveis variantes de uma dada situação. Recebe esse nome
porque sua figura característica se assemelha a uma árvore, com suas ramificações partindo de
cada uma das possibilidades originais e intermediárias. Apesar de ser um processo gráfico
facilmente mecanizável, sua aplicação se restringe a eventos simples, uma vez que a sua
complexidade é diretamente proporcional ao número de possibilidades de ramificação.
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Ex.: Um estudante deve responder um teste do tipo verdadeiro (V) ou falso (F). Se
considerarmos apenas três questões, qual a probabilidade dele acertar todo o teste?
O diagrama nos diz que ele tem uma chance a favor e sete contra, se considerarmos
apenas três questões, portanto, 1/8 = 12,5%.
Outra forma é partir da definição de probabilidade. Com base nela podemos esboçar a
seguinte solução analítica:
Como se vê, a resposta do diagrama foi aqui confirmada.
Exercício: Uma caixa A contém 10 peças perfeitas e 3 defeituosas. Outra caixa B
contém 8 peças perfeitas e 5 defeituosas. Sorteando-se uma das caixas ao acaso, qual a
probabilidade de que seja retirada uma peça defeituosa?
Teorema de Bayes (Thomas Bayes . 1702 / 1761):
Em alguns casos é útil, dispormos de um processo sistemático de revisão das
probabilidades, à medida que forem obtidas novas informações.
Com base na probabilidade condicional, é possível calcular a probabilidade de um dado
evento B ocorrer após certo evento A ter ocorrido. O que o teorema de Bayes possibilita é a
quantificação de certo evento A ter sido provocado por B, C ou D. Assim, se A pode ter sido
provocado por B, C ou D e quer-se quantificar a chance dele ter sido produzido por D em
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particular, basta relacionar as chances de produção por D em relação à chance de ter sido
produzido por B, C ou D.
Exemplo: Temos 3 urnas:
- A contém 3 bolas vermelhas e 5 brancas
- B contém 2 bolas vermelhas e 1 branca
- C contém 2 bolas vermelhas e 3 brancas
Uma urna é sorteada ao acaso e uma bola é retirada.
Se a bola for vermelha, qual a probabilidade de que ela tenha vindo da urna A?
Exercício 1: Uma peça é manufaturada por 3 fábricas.
- A fábrica 1 produz o dobro da 2.
- 2% das peças da fábrica 1 são defeituosas.
- 2% das peças da fábrica 2 são defeituosas.
- 4% das peças da fábrica 3 são defeituosas.
- As fábricas 2 e 3 produzem o mesmo número de peças.
Uma peça é extraída ao acaso e é defeituosa.
Qual a probabilidade da peça ser da fábrica 3?
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Lista de Exercícios:
1) Um homem vai ao restaurante disposto a almoçar um prato de carne e uma sobremesa.
O cardápio oferece 8 tipos de pratos distintos de carne e 5 sobremesas diferentes. De
quantas formas esse homem pode almoçar neste restaurante? (Resp. 40)
2) Uma prova de matemática estava sendo realizada na escola e constava de oito questões
do tipo C/ E, ou seja, certo ou errado. Quantas sequências de respostas podem ser feitas
nesta provo? (Resp. 256)
3) Em uma festa, onde há 32 rapazes e 40 moças, 80% das moças e
dos rapazes sabem
danças. Quantos pares podem ser formados de modo que:
a) Ninguém saiba dançar (Resp. 160).
b) Apenas uma pessoa saiba dançar. (Resp. 736)
4) (UF – GO) Uma senha composta de seis algarismos tem as seguintes características:
→ seus números são distintos;
→ a soma dos dois últimos algarismos deve ser igual a seis.
Com essas características, determine a quantidade de senhas possíveis de serem
formadas. (Resp. 10.080).
5) Uma caixa contém 100 peças das quais 5 são defeituosas. Selecionam-se duas peças
repondo a primeira antes de retirar a segunda. Qual a probabilidade de ambas as peças
retiradas sejam defeituosas? (Resp. 0,16%)
6) Na jogada de um dado honesto determine a probabilidade de se obter:
a) Um número par; (Resp. 50%)
b) Um número menor do que 3; (Resp. 33,33%)
c) Um número maior ou igual a 3; (Resp. 66,67%)
d) Um número maior do que 6; (Resp. 0%)
e) Um número menor do que 10. (Resp. 100%)
7) Um casal pretende ter 4 filhos. Considere igual a a probabilidade de se ter um filho do
sexo masculino ou do sexo feminino.
Determine a probabilidade de o casal ter:
a) 4 Mulheres; (Resp. 6,25%)
b) 3 Mulheres e 1 Homem em qualquer ordem; (Resp. 25%)
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c) 2 Mulheres e 2 Homens em qualquer ordem; (Resp. 37,50%)
d) 1 Mulher e 3 Homens em qualquer ordem; (Resp. 25%)
e) 4 Homens; (Resp. 6,25%)
f) Homem; Mulher, Homem, Mulher, nesta ordem. (Resp. 6,25%).
8) Um aluno propõe resolver uma questão de um trabalho. A probabilidade de que consiga
resolver a questão sem necessidade de pesquisa é de 40%. Caso faça a pesquisa, a
probabilidade de que consiga resolver a questão é de 70%. Se a probabilidade do aluno
fazer a pesquisa é de 80%, calcule a probabilidade de que consiga resolver a questão.
(Resp. 64%).
9) Um lote contém 50 peças boas e 10 defeituosas. Uma peça é escolhida ao acaso e, sem
reposição desta, outra peça é escolhida. Determine a probabilidade das duas peças
serem defeituosas. (Resp. 2,54%)
10) Em uma urna, existem 10 bolas, sendo 3 vermelhas. Em outra urna, existem 12 bolas,
sendo 4 vermelhas. Retira-se uma bola de cada urna. Determine a probabilidade de:
a) ambas serem vermelhas; (Resp. 10%)
b) ao menos uma ser vermelha. (Resp. 63,33%)
11) Em um lote de 12 objetos existem 4 defeituosos. Seja o experimento retirar-se 2 objetos
quaisquer e verificar se são ou não defeituosos. Determine as probabilidades de que:
a)
ambos os objetos sejam defeituosos; (Resp. 9,09%)
b) ambos os objetos não sejam defeituosos; (Resp. 42,42%)
c) pelo menos um objeto seja defeituoso. (Resp. 57,58 xc%)
12) Lançam-se três moedas não viciadas. Encontre a probabilidade de:
a) ocorrer três caras se não se tem nenhuma informação; (Resp.12,5%)
b) ocorrer cara na primeira;(Resp. 50%)
c)
ocorrer cara numa das moedas.(Resp.87,5%)
13) São dadas três caixas, com os seguintes conteúdos:
a)
a caixa I tem 10 lâmpadas, das quais 4 são defeituosas
b) a caixa II tem 6 lâmpadas, das quais 1 é defeituosa
c) a caixa III tem 6 lâmpadas, das quais 3 são defeituosas.
Uma caixa é selecionada ao acaso e desta é escolhida uma lâmpada. Determine a probabilidade
de esta lâmpada ser defeituosa. 35,56%
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14) A probabilidade que o aluno A resolva certo problema é P(A) = 1/2, a que o aluno B o
resolva é P(B) = 1/3, e a que o aluno C resolva é P(C) = 1/4. Qual a probabilidade de
que:
a) os três resolvam o problema; (Resp.4,17%)
b) ao menos um resolva o problema. (Resp. 75%)
15) Numa fábrica, a máquina X produz 35% do total da produção; a máquina Y, 40%; e a
máquina Z, o restante dos 25%. Da produção de X, 2% apresentam defeito, da produção
de Y, 1,5% apresenta defeito; e da produção de Z, 0,8% apresenta defeito. Num dia em
que a produção foi de 2.000 peças, uma delas foi retirada ao acaso e verificou-se que era
defeituosa. A probabilidade de que essa peça tenha sido produzida na máquina X é igual
a? (Resp.
).
16) (UCDB –MT) Uma mulher tem 10 pares de sapato, todos diferentes. De quantas formas
ela pode selecionar 2 sapatos, sem que eles sejam do mesmo par? (Resp. 180)
17) (TCE) Em um grupo de dança, participam dez meninos e dez meninas. O número de
diferentes grupos de cinco crianças que podem ser formados de modo que em cada um dos
grupos participem três meninos e duas meninas é dado por:
a) 5.400;
b) 6.200;
c) 6.800; d) 7.200; e) 7.800.
(Resp. A)
18) (TFC) Em uma circunferência, são escolhidos 12 pontos distintos. Ligam-se quatro
quaisquer desses pontos de modo a formar um quadrilátero. O número total de diferentes
quadriláteros que podem ser formados é:
a) 128; b) 495; c) 545; d) 1.485; e) 11.880.
(Resp.B)
19) (Gestor Fazendário) Marcela é Mário fazem parte de uma turma de quinze formandos,
onde 10 são rapazes e cinco são moças. A turma reúne-se para formar uma comissão de
formatura de seis formandos, três rapazes e três moças. O número de diferentes comissões
que podem ser formadas, de modo que Marcela participe e Mário não participe é igual a:
a) 504;
b) 252; c) 284; d) 90; d) 84.
(Resp. A)
20) (Petrobrás) Uma pessoa joga seis partidas, vencendo três e perdendo três. Em quantas
ordens diferentes podem ocorrer suas vitórias?
a) 18;
b) 20; c) 36; d) 48; e) 120.
(Resp. B)
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21) Um representante de vendas deve visitar seis cidades durante uma viagem.
a- Se há dez cidades na área geográfica que vai visitar, quantos grupos diferentes de seis cidades
pode ele visitar? (210)
b-Suponhamos que existam dez cidades na região que ele visitará e suponhamos, também, que a
sequencia das visitas programadas às cidades selecionadas seja importante. Quantas diferentes
sequências existem de seis cidades escolhidas de um grupo de dez? (151.200)
c- Suponhamos que as seis cidades a visitar já tenham sido escolhidas, mas ainda não se tenha
determinado a sequencia na qual serão feitas as visitas. Quantas sequências existem para as seis
cidades escolhidas? (720)
22) Das dez cidades descritas no problema anterior, suponhamos que seis sejam de fato
mercados primários para o produto em questão, enquanto as outras quatro são mercados
secundários.
Se o vendedor escolhe aleatoriamente as seis cidades para visitar, qual a probabilidade de que:
a- quatro das cidades sejam mercados primários e dois secundários; (43%)
b- que todas as seis cidades sejam mercados primários? (0,5%)
23) Quatro atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para o 1º, 2º e
lugares? (24)
24) Dez pessoas, entre elas Antônio e Beatriz, devem ficar em fila. De quantas formas isto pode
ser feito se Antônio e Beatriz devem ficar sempre juntos? (725.760)
25) Num determinado setor de um hospital, trabalham cinco médicos e dez enfermeiros.
Quantas equipes distintas, construídas cada uma de um médico e quatro enfermeiros, podem ser
formados nesse setor? (1050)
26) Em um teste de múltipla escolha, com cinco alternativas distintas, sendo uma única correta,
o número de modos distintos de ordenar as alternativas de maneira que a única correta não
seja nem a primeira nem a última é: (72)
27) Numa prova oficial, de Fórmula Um, participarão 25 pilotos e, apenas os 6 primeiros
colocados ganharão pontos. Considerando que todos os pilotos terão a mesma chance de
classificação, qual é o número de maneiras diferentes que poderá ser formado o grupo daqueles
que obterão pontos, sem levar em consideração a posição dos 6 primeiros colocados? (177.100).
28) Uma urna contém 10 bolas: 6 pretas iguais e 4 brancas iguais. Quantas são as maneiras
diferentes de se extrair, uma a uma, as 10 bolas da urna? (210)
29) De quantas maneiras podemos dispor em uma fileira 5 fichas de cores distintas? (120).
30) Num grupo de 300 empresários cadastrados por uma agência de viagens, 100 visitarão
Fortaleza e 80 visitarão Manaus (os empresários restantes viajarão para outras cidades). Esses
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dados incluem 30 empresários que visitarão as duas cidades (ou seja, visitarão tanto Fortaleza
como Manaus).
Qual a probabilidade de um empresário aleatoriamente escolhido visitar:
a) Fortaleza (F); (Resp. 0,33)
b) Manaus (M); (Resp. 0,27)
c) Fortaleza (F) ou Manaus (M); (Resp. 0,50).
31) Considere o conjunto de números inteiros {1, 2, 3, ..., 19, 20}, e, por meio de um sorteio
aleatório, seja selecionado um número. Se o número sorteado for ímpar, qual a probabilidade de
o número sorteado ser o número 13? (Resp. 1/10 ou 10%).
32) Num evento beneficente, foram vendidos 20 números, e serão sorteados dois prêmios. Qual
a probabilidade de uma pessoa que tenha adquirido quatro números ganhar os dois prêmios?
(Resp. 3,16).
33) Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0, 1, 2, ..., 9. O segredo do cofre é
marcado por um sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas
tentativas deverão fazer (no máximo) para conseguir abri-lo? (Resp. 720).
34) Num grupo de 8 crianças há 6 meninos e 2 meninas. De quantas maneiras podemos
escolher:
a) 4 crianças; (Resp. 70)
b) 4 crianças, sendo que no mínimo há uma menina entre os escolhidos. (Resp. 55).
35) Um time de vôlei tem 16 jogadores, sendo que 3 são levantadores e 13 são atacantes. Como
escolher 1 levantador e 5 atacantes para formar o time que inicia o jogo? (Resp. 3.861).
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CAPÍTULO 2:
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CAPÍTULO 3:
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