Apostila 5 - Biblioteca Anton Dakitsch

Instituto Federal Fluminense Campus Campos Centro
Programa Tecnologia Comunicação Educação (PTCE)
Com esta apostila espera-se levar
o aluno a:
o
Apostila organizada por:
Vanderlane Andrade Florindo
Silvia Cristina Freitas Batista
Carmem Lúcia Vieira Rodrigues Azevedo
o
o
o
Compreender o significado das
representações dos intervalos reais;
Representar, no eixo real, intervalos
reais dados na forma algébrica e
vice-versa;
Identificar o modelo de funções
definidas por partes com sentenças
dadas por leis de funções afins;
Representar
gráfica
e
algebricamente funções definidas por
partes com sentenças dadas por leis
de funções afins.
Campos dos Goytacazes/RJ – Julho – 2015
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Sumário
1. Intervalos Reais ....................................................................................................... 3
2. Funções Definidas por Partes: sentenças dadas por leis de funções afins .............. 5
2. 1. Representação gráfica ......................................................................................... 8
Exercícios .................................................................................................................... 25
Gabarito ....................................................................................................................... 29
Referências .................................................................................................................. 31
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1.Intervalos Reais
Para
melhor
compreendermos
o
assunto proposto, vamos rever como
denotamos e representamos intervalos
reais.
Tomando dois números reais a e b quaisquer, com a < b, os subconjuntos de ℝ mostrados no
quadro 1 são chamados intervalos reais.
Quadro 1 – Intervalos reais
Representação algébrica
Representação no eixo real
Descrição
{𝑥 ∈ ℝ | 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} ou [𝑎, 𝑏]
Intervalo fechado de
extremos a e b.
{𝑥 ∈ ℝ | 𝑎 < 𝑥 < 𝑏} ou ]𝑎, 𝑏[
ou (𝑎, 𝑏)
Intervalo aberto de
extremos a e b.
{𝑥 ∈ ℝ | 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} ou [𝑎, 𝑏[
ou [𝑎, 𝑏)
{𝑥 ∈ ℝ | 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} ou ]𝑎, 𝑏]
ou (𝑎, 𝑏]
Intervalo fechado à
esquerda e aberto à
direita de extremos a e b.
Intervalo aberto à
esquerda e fechado à
direita de extremos a e b.
{𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥ 𝑎} ou [𝑎, +∞[ ou
[𝑎, +∞)
Intervalo ilimitado
fechado à esquerda.
{𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 > 𝑎} ou ]𝑎, +∞[ ou
(𝑎, +∞)
Intervalo ilimitado aberto
à esquerda.
{𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ 𝑎} ou ]−∞, 𝑎] ou
(−∞, 𝑎]
Intervalo ilimitado
fechado à direita.
{𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < 𝑎} ou ]−∞, 𝑎[ ou
(−∞, 𝑎)
Intervalo ilimitado aberto
à direita.
ℝ ou ]−∞, +∞[ ou (−∞, +∞)
Intervalo ilimitado de
−∞ a + ∞.
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Exemplo resolvido 1:
Represente na reta real os intervalos reais abaixo:
a) ] − 1, 3]
d) {𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 > 2}
b) {𝑥 ∈ ℝ| − 2 ≤ 𝑥 ≤ 5}
e) ]−∞, −1]
c) [1, 4)
f) {𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 < 5}
Solução:
a)
d)
b)
e)
c)
f)
Exemplo resolvido 2:
Escreva a notação algébrica dos seguintes intervalos reais representados na reta real:
a)
d)
b)
e)
c)
f)
Solução:
a) {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −6} ou ]−∞, −6[ ou (−∞, −6)
b) {𝑥 ∈ ℝ | − 5 ≤ 𝑥 < 4} ou [−5, 4[ ou [−5, 4)
c) {𝑥 ∈ ℝ | 0 ≤ 𝑥 ≤ 3} ou [0, 3]
d) ℝ ou ]−∞, +∞[ ou (−∞, +∞)
e) {𝑥 ∈ ℝ | − 2 < 𝑥 < 0} ou ]−2, 0[ ou (−2, 0)
f) {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥ −5} ou [−5, +∞[ ou [−5, +∞)
Obs.: No restante da apostila,
para não tornar o texto cansativo,
utilizaremos, na representação
algébrica de intervalos reais,
apenas as duas primeiras notações
usadas nos itens ao lado (ou seja,
não utilizaremos a notação com
parênteses).
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2. Funções Definidas por Partes: sentenças dadas por leis de
funções afins
Uma função definida por partes é composta por várias sentenças e o seu domínio é a união dos
domínios de todas as sentenças que a compõem. Funções definidas por partes também são
chamadas funções definidas por várias sentenças.
−𝑥 3 , se 𝑥 ≤ 0
5
Um exemplo de função definida por partes é 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 7, se 0 < 𝑥 < 3, que é composta por
𝑥2
2
− 3, se 𝑥 ≥ 3
três sentenças, sendo uma polinomial do 2°. grau, outra do 5°. grau e outra do 3°. grau. Observe que o
domínio de f é ℝ. Obtemos esse domínio por meio da união dos domínios das três sentenças.
Nesta apostila, no entanto, consideraremos apenas funções definidas por partes nas quais as
sentenças sejam dadas por leis de funções afins. Como por exemplo, as funções
3, se 𝑥 < 2
𝑥 + 1, se 𝑥 < −3
𝑔(𝑥) = {2𝑥 − 3, se 𝑥 = 2 e ℎ (𝑥) = {
. Perceba que a função g tem
−𝑥 − 2, se − 3 ≤ 𝑥 ≤ −1
𝑥 − 1, se 𝑥 > 2
domínio ℝ e que a função h tem domínio ] − ∞, −1].
Não se preocupe!!!
No
exercício
resolvido
1
mostraremos como determinar
o domínio de funções desse tipo.
Exemplo resolvido 1:
Determine o domínio das funções a seguir:
𝑥, se 𝑥 ≤ 0
𝑥
+
1,
se 0 < 𝑥 ≤ 2
a) 𝑔(𝑥) = {
𝑥 − 1, se 𝑥 > 2
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Solução:
A função g é formada por três partes, sendo assim seu domínio é a união dos domínios dessas três
sentenças. Representando o domínio de cada sentença no eixo real, temos:
I: 𝑥 ≤ 0
II: 0 < 𝑥 ≤ 2
III: 𝑥 > 2
Logo, o domínio da função g é:
I ∪ II ∪ III
A representação algébrica do domínio é dada por ]−∞, +∞[ ou ℝ.
𝑥 + 3, se 𝑥 < 5
𝑥
b) ℎ(𝑥) = { 5 , se 𝑥 = 5
𝑥, se 5 < 𝑥 < 8
Solução:
A função h é formada por três partes, sendo assim seu domínio é a união dos domínios dessas três
sentenças. Representando o domínio de cada sentença no eixo real, temos:
I: 𝑥 < 5
II: 𝑥 = 5
III: 5 < 𝑥 < 8
Logo, o domínio da função h é:
I ∪ II ∪ III
A representação algébrica desse domínio é dada por ]−∞, 8[ ou {𝑥 ∈ ℝ |𝑥 < 8}.
Note que o domínio
da segunda
sentença é apenas
um ponto, pois a
condição é dada
apenas para 𝑥 = 5.
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𝑥, se − 4 < 𝑥 ≤ 0
c) 𝑘(𝑥) = {
𝑥 + 3, se 𝑥 > 2
Solução:
A função k é formada por duas partes. Representando o domínio de cada sentença no eixo real,
temos:
I: −4 < 𝑥 ≤ 0
II: 𝑥 > 2
Logo, o domínio da função k é:
I ∪ II
A
representação
algébrica
desse
domínio
é
dada
por
] − 4, 0] ∪ ]2, +∞[
{𝑥 ∈ ℝ | − 4 < 𝑥 ≤ 0 ou 𝑥 > 2}.
−1, se − 3 < 𝑥 ≤ −1
d) 𝑙(𝑥) = { 2, se − 1 < 𝑥 < 3
𝑥 − 1, se 3 ≤ 𝑥 < 8
Solução:
A função l é formada por três partes. Representando o domínio de cada sentença no eixo real,
temos:
I: −3 < 𝑥 ≤ −1
II: −1 < 𝑥 < 3
III: 3 ≤ 𝑥 < 8
Logo, o domínio da função l é:
I ∪ II ∪ III
A representação algébrica desse domínio é dada por ] − 3, 8[ ou {𝑥 ∈ ℝ | − 3 < 𝑥 < 8}.
ou
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Exemplo resolvido 2:
Dada a função 𝑓(𝑥) = {
−2, se 𝑥 ≤ 2
, determine:
−𝑥 + 1, se 𝑥 > 2
a) f (3)
b) f (0)
c) f (2)
Solução:
A função f é definida por duas sentenças: uma para x ≤ 2 e outra para x > 2. Para resolver os itens a,
b e c, será preciso identificar o intervalo ao qual pertence cada valor de x apresentado.
a) Como 3 > 2, o número 3 pertence ao domínio da segunda sentença. Então, devemos
substituir x por 3 em 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 1 para encontrar f (3). Assim:
𝑓(3) = −3 + 1 = −2
b) Como 0 < 2, o número 0 pertence ao domínio da primeira sentença, assim, utilizaremos
𝑓(𝑥) = −2, logo:
𝑓(0) = −2
c) Para encontramos f (2), devemos substituir x por 2 na primeira lei, pois esta inclui valores
menores ou iguais a 2. Assim:
𝑓(𝑥) = −2
𝑓(2) = −2
2. 1. Representação gráfica
Antes de iniciarmos o estudo de
traçado de funções definidas por partes
dadas por leis de funções afins, vamos
aprender a traçar gráficos de funções
afins com restrição do domínio.
Na apostila “Função Afim: definição e representação gráfica” estudamos como traçar gráficos de
funções afins. Para representar graficamente a função 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3, por exemplo, basta marcar, no
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plano cartesiano, dois pontos que satisfaçam à lei de formação da função e, então, traçar a reta
definida por eles, como mostra a figura 1.
Figura 1 – Gráfico de 𝑓
O domínio da função 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3 é ℝ, no entanto, podemos construir o gráfico de outras
funções que tenham essa mesma lei, mas cujos domínios sejam diferentes de ℝ, conforme mostrado
nos exemplos a seguir:
 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 3, para 𝑥 > 3
Para representarmos graficamente trechos de uma função afim devemos seguir os mesmos
passos do traçado da representação de funções afins de domínio ℝ. Como precisamos de apenas
dois pontos, escolhemos dois valores de x, pertencentes ao domínio da função, e encontramos os
valores de y correspondentes, da forma descrita abaixo.
Quando o domínio da sentença for um intervalo real limitado de a até b, utilizaremos os
extremos desse intervalo (sejam abertos ou fechados) para traçarmos a representação gráfica. Já,
quando o domínio for um intervalo real ilimitado, utilizaremos o extremo do mesmo (aberto ou
fechado) e outro valor de x pertencente ao domínio.
Neste exemplo, escolheremos o extremo do intervalo, que nesse caso é 3, e outro valor de x
maior que 3.
Espera um minuto! Mas não queremos
apenas a representação da função para
valores de 𝑥 maiores que 3? Isso
significa que 𝑥 = 3 não pertence à
função, por que vamos incluí-lo?
P á g i n a | 10
Devemos incluir 𝑥 = 3, pois, em ℝ,
não é possível definir qual é o número
imediatamente maior ou menor que
outro.
Para 𝑥 = 3, temos:
𝑔(𝑥) = 𝑥 − 3
𝑔(3) = 3 − 3
𝑔(3) = 0
Logo, um dos pontos será (3, 0).
Lembre-se de que estamos trabalhando com
um intervalo ilimitado aberto à esquerda,
então, haverá uma bolinha aberta no ponto
em que x = 3, ou seja, no ponto (3, 0).
Escolhendo um valor de x maior que 3, x = 4, por exemplo, temos:
𝑔(4) = 4 − 3
𝑔(4) = 1
Logo, o outro ponto será (4, 1).
Representando graficamente a função g, temos (Figura 2):
Figura 2 – Gráfico de 𝑔
P á g i n a | 11
 ℎ(𝑥) = 𝑥 − 3, para 𝑥 ≥ 3
O extremo do intervalo, neste exemplo, também é 3, sendo assim, devemos utilizar x = 3 para
determinar um dos pontos.
Para x = 3, temos o ponto (3, 0), como já calculado anteriormente.
Como estamos trabalhando com um
intervalo ilimitado fechado à esquerda,
haverá uma bolinha fechada no ponto em
que x = 3, ou seja, no ponto (3, 0).
Escolhendo x = 4, temos o ponto (4, 1), como já calculado anteriormente.
Utilizando os pontos encontrados, representamos graficamente a função h (Figura 3):
Figura 3 – Gráfico de ℎ
 p (x) = x – 3, para 𝑥 < 3
Para o extremo x = 3, temos o ponto (3, 0), já calculado anteriormente.
Escolhendo um valor de x menor que 3, x = 2, por exemplo, temos:
𝑝(2) = 2 − 3
𝑝(2) = −1
Logo, o outro ponto será (2, −1).
Representando graficamente a função p, temos (Figura 4):
P á g i n a | 12
Figura 4 – Gráfico de 𝑝
 q (x) = x – 3, para 𝑥 ≤ 3
Para o extremo x = 3, temos o ponto (3, 0), já calculado anteriormente.
Escolhendo x = 2, temos o ponto (2, −1), também calculado anteriormente.
Representando graficamente a função q, temos (Figura 5):
Figura 5 – Gráfico de 𝑞
 t (x) = x – 3, para 0 ≤ 𝑥 ≤ 3
Este exemplo é de um intervalo limitado
fechado, sendo assim, devemos tomar como
valores de x, para representarmos o trecho, os
extremos do intervalo que são 0 e 3.
P á g i n a | 13
Para x = 3, temos o ponto (3, 0), já calculado anteriormente.
Para x = 0, temos:
𝑡(𝑥) = 𝑥 − 3
𝑡(0) = 0 − 3
𝑡(0) = −3
Logo, o outro ponto será (0, −3).
Como os dois extremos pertencem ao domínio da função t, representamos os pontos com
bolinhas fechadas (Figura 6). Assim:
Figura 6 – Gráfico de 𝑡
 v (x) = x – 3, para 0 < 𝑥 < 3
Para x = 3, temos o ponto (3, 0), já calculado anteriormente.
Para x = 0 temos o ponto (0, – 3), já calculado anteriormente.
Como os dois extremos não pertencem ao domínio da função, representamos os pontos com
bolinhas abertas (Figura 7).
Figura 7 – Gráfico de 𝑣
P á g i n a | 14
 u (x) = x – 3, para 0 ≤ 𝑥 < 3
Para 𝑥 = 3, temos o ponto (3, 0), já calculado anteriormente.
Para 𝑥 = 0, temos o ponto (0, – 3), já calculado anteriormente.
O extremo x = 0 pertence ao domínio da função,
então, representamos o ponto (0, – 3) com bolinha
fechada. Já o extremo x = 3 não pertence ao domínio
da função, logo, representamos o ponto (3, 0) com
bolinha aberta.
Representando graficamente a função u, temos (Figura 8):
Figura 8 – Gráfico de 𝑢
 r (x) = x – 3, para 0 < 𝑥 ≤ 3
Para 𝑥 = 3, temos o ponto (3, 0), já calculado anteriormente.
Para 𝑥 = 0, temos o ponto (0, – 3), já calculado anteriormente.
O extremo x = 3 pertence ao domínio da função,
então, representamos o ponto (3, 0) com bolinha fechada.
Já o extremo x = 0 não pertence ao domínio da função,
logo, representamos o ponto (0, – 3) com bolinha aberta.
Representando graficamente a função r, temos (Figura 9):
P á g i n a | 15
Figura 9 – Gráfico de 𝑟
Agora que já revisamos como traçar gráficos
de funções afins com restrição de domínio,
vamos estudar a representação gráfica de
funções definidas por partes dadas por leis
de funções afins.
A representação gráfica de funções definidas por partes depende, exclusivamente, dos intervalos
do domínio da função e das leis das funções relacionadas a cada um deles.
Vamos construir o gráfico da função 𝑓(𝑥) = {
−𝑥 + 1, se 𝑥 ≤ 2
.
𝑥 + 2, se 𝑥 > 2
Perceba que essa função possui duas sentenças, então, para construirmos o seu gráfico, devemos
traçar, em um mesmo plano cartesiano, os gráficos de cada uma dessas sentenças, assim:
 Construindo 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 1, se 𝑥 ≤ 2, temos:
Observe que, nessa sentença, a lei de formação 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 1 assume o modelo de uma função
afim, porém, o domínio não é ℝ, e sim {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 ≤ 2}, portanto, sua representação gráfica não é
uma reta e sim um trecho de uma reta. Mesmo assim, necessitaremos de dois pontos para traçar essa
representação gráfica. Porém, como visto anteriormente, um desses pontos, necessariamente, deverá
ter como abscissa o extremo do intervalo que, nesse caso, é 𝑥 = 2.
Assim, trabalharemos com 𝑥 = 2 e com outro valor de 𝑥 que pertença ao intervalo considerado
(𝑥 ≤ 2), por exemplo, 𝑥 = 1.
P á g i n a | 16
Para 𝑥 = 2, temos:
𝑓(𝑥) = −𝑥 + 1
𝑓(2) = −2 + 1 = −1  ponto (2, −1)
Como o intervalo é 𝑥 ≤ 2, ou seja, ilimitado fechado a direita em 2, logo, o ponto (2, −1)
pertence à função.
Para 𝑥 = 1, temos:
𝑓(1) = −1 + 1 = 0  ponto (1, 0)
Construindo o gráfico dessa parte da função (Figura 10):
Figura 10 – Gráfico de 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 1, se 𝑥 ≤ 2
 Construindo 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2, se 𝑥 > 2:
Como na primeira, necessitaremos de dois pontos para traçar a representação gráfica dessa
sentença, pois a mesma também assume o modelo de uma função afim (𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2). Assim,
trabalharemos com 𝑥 = 2 e com outro valor de 𝑥 que pertença ao intervalo considerado (𝑥 > 2),
por exemplo, 𝑥 = 3. Dessa forma:
Para 𝑥 = 2, temos:
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2
𝑓(2) = 2 + 2 = 4  ponto (2, 4)
Lembre-se, no entanto, de que esse extremo é aberto, ou seja, o ponto não pertence a essa parte
da função.
Para 𝑥 = 3, temos:
𝑓(3) = 3 + 2 = 5  ponto (3, 5)
P á g i n a | 17
Construindo o gráfico dessa parte da função (Figura 11):
Figura 11 – Gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2, se 𝑥 > 2
Juntando os gráficos das duas sentenças, temos (Figura 12):
Figura 12 – Gráfico de 𝑓
Lembre-se de que, pela definição de
função, não é possível ter mais de
um valor de 𝑦 correspondente a um
mesmo valor de 𝑥. Note, nesse
exemplo, que o ponto (2, −1) é
fechado, mas o ponto (2, 4) é
aberto, ou seja, a imagem de 𝑥 = 2
é 𝑦 = −1.
Observe que na representação gráfica de uma sentença para outra existe uma descontinuidade,
que chamamos de “salto”, em que o gráfico passa do ponto (2, −1) para o ponto (2, 4).
3𝑥, se 𝑥 < 0
Agora, vamos construir o gráfico da função 𝑔(𝑥) = { −1, se 0 ≤ 𝑥 < 3 .
−2𝑥 + 1, se 𝑥 ≥ 3
Para simplificar a explicação da construção do gráfico da função g, organizaremos uma tabela
(Tabela 1). Assim:
P á g i n a | 18
Tabela 1 – Dados para a construção do gráfico da função 𝑔
Sentença
3𝑥, se 𝑥 < 0
−1, se 0 ≤ 𝑥 < 3
−2𝑥 + 1, se 𝑥 ≥ 3
x
𝑔(𝑥)
Ponto
0
𝑔(0) = 3.0 = 0
(0, 0)
Representação do
extremo do intervalo
Bolinha aberta
-1
𝑔(−1) = 3. (−1) = −3
(−1, −3)
---
0
𝑔(0) = −1
(0, −1)
Bolinha fechada
3
𝑔(3) = −1
(3, −1)
Bolinha aberta
3
𝑔(3) = −2. (3) + 1 = −5
(3, −5)
Bolinha fechada
4
𝑔(4) = −2. (4) + 1 = −7
(4, −7)
---
Utilizando os pontos apresentados na tabela 1, traçamos o gráfico a seguir (Figura 13):
Figura 13 – Gráfico de 𝑔
Esse gráfico possui dois “saltos”. Um do ponto (0, 0) para o ponto (0, −1) e o outro do ponto
(3, −1) para (3, −5).
Existe outro tipo de descontinuidade comum em gráficos que é a descontinuidade removível.
Gráficos com esse tipo de descontinuidade apresentam “furos”, como mostrado nos exemplos a
seguir:
𝑥 + 1, se 𝑥 ≠ 2
𝑓(𝑥) = {
𝑥 − 1, se 𝑥 = 2
Para construir o gráfico da primeira sentença da função f, precisamos de dois pontos, uma vez
que sua lei de formação, 𝑦 = 𝑥 + 1, assume o modelo de uma função afim. Devemos, então,
escolher dois valores de 𝑥 e encontrar os valores de 𝑦 correspondentes para determinarmos os
P á g i n a | 19
pontos. O domínio dessa sentença é ℝ − {2} =] − ∞, 2[ U ]2, +∞[, ou seja, todos os reais exceto o
2, no entanto, teremos que escolher 𝑥 = 2, para registrar o ponto de descontinuidade. O outro valor
de 𝑥 poderá ser qualquer real diferente de 2, por exemplo 𝑥 = 0.
Para 𝑥 = 2, temos:
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1
𝑓(2) = 2 + 1 = 3  ponto (2, 3)
Como 𝑥 = 2 não pertence ao domínio da primeira
sentença da função 𝑓 , o ponto (2, 3) será aberto.
Para 𝑥 = 0, temos:
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1
𝑓(0) = 0 + 1 = 1  ponto (0, 1)
Usando os dois pontos encontrados, traçamos a representação gráfica da primeira sentença, como
mostrado na figura 14:
Figura 14 – Gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, se 𝑥 ≠ 2
É importante lembrar que o domínio dessa sentença é ]−∞, 2[ U ]2, +∞[. Assim,
embora não tenhamos escolhido nenhum valor de x maior do que 2 para a
determinação dos pontos a serem marcados, o gráfico existe também para esses
valores.
Então, para obtermos, de forma mais segura, a representação gráfica correta,
poderemos considerar três pontos, ao invés de apenas dois:
- um com abscissa menor do que 2, como (0,1) que determinamos;
- o com abscissa 2, ou seja (2,3);
- um com abscissa maior que 2, por exemplo, x = 3, que nos levaria a (3, 4).
Com esses três pontos, seria mais fácil traçar o gráfico, pois estaríamos
considerando o domínio de forma mais completa.
P á g i n a | 20
Para a segunda sentença, 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1, teremos um único ponto, fechado, já que a condição é
𝑥 = 2, assim:
𝑓(2) = 2 − 1 = 1  ponto (2, 1)
Representando graficamente as duas sentenças da função f, temos (Figura 15):
Figura 15 – Gráfico de 𝑓
−𝑥 + 1, se 𝑥 < 0 e 𝑥 ≠ −1
𝑥 + 5, se 𝑥 = −1
𝑔(𝑥) = {
𝑥 + 1, se 𝑥 ≥ 0
Para simplificar a explicação da construção do gráfico da função g, organizaremos uma tabela
(Tabela 2):
Tabela 2 – Dados para a construção do gráfico da função 𝑔
Sentença
−𝑥 + 1, se 𝑥 < 0 e 𝑥 ≠ −1
𝑥 + 5, se 𝑥 = −1
𝑥 + 1, se 𝑥 ≥ 0
x
𝑔(𝑥)
Ponto
0
𝑔(0) = −0 + 1 = 1
(0, 1)
Representação do
extremo do intervalo
Bolinha aberta
−1
𝑔(−1) = −(−1) + 1 = 2
(−1, 2)
Bolinha aberta
−1
𝑔(−1) = −1 + 5 = 4
(−1, 4)
Bolinha fechada
0
𝑔(0) = 0 + 1 = 1
(0, 1)
Bolinha fechada
1
𝑔(1) = 1 + 1 = 2
(1, 2)
---
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Perceba que na primeira sentença da função g há duas condições a serem
atendidas, 𝑥 < 0 e 𝑥 ≠ −1, o que justifica a escolha de 𝑥 = 0 e 𝑥 = −1 na
tabela 2. Como esses dois valores não pertencem ao domínio da primeira
sentença, os pontos (0, 1) e (−1, 2) são abertos. No entanto, no gráfico
abaixo, visualizamos apenas o ponto (−1, 2) aberto, já que o ponto (0, 1) é
fechado na representação gráfica da terceira sentença 𝑥 + 1, se 𝑥 ≥ 0.
Assim, ao traçarmos o gráfico da função g por inteiro, representamos o
ponto (0,1) apenas com bolinha fechada.
Usando os dados da tabela 2, podemos representar a função g (Figura 16):
Figura 16 – Gráfico de 𝑔
Funções definidas por partes também podem ser contínuas em todo o seu domínio, como a
função 𝑓(𝑥) = {
−𝑥, se 𝑥 < 0
, que iremos representar graficamente.
𝑥, se 𝑥 ≥ 0
De maneira informal, dizemos que uma função real é contínua
quando seu gráfico não apresenta interrupções. A definição
formal exige conceitos não abordados nessa apostila e,
portanto, não a apresentaremos aqui.
Para simplificar a explicação da construção do gráfico da função f, organizaremos uma tabela
(Tabela 3):
Tabela 3 – Dados para a construção do gráfico da função 𝑓
Sentença
−𝑥, se 𝑥 < 0
𝑥, se 𝑥 ≥ 0
x
𝑓(𝑥)
Ponto
0
𝑓(0) = −0 = 0
(0, 0)
Representação do extremo
do intervalo
Bolinha aberta
−1
𝑓(−1) = −(−1) = 1
(−1, 1)
---
0
𝑓(0) = 0
(0, 0)
Bolinha fechada
1
𝑓(1) = 1
(1, 1)
---
P á g i n a | 22
Usando os dados da tabela 3, podemos representar a função f (Figura 17):
Figura 17 – Gráfico de 𝑓
Como podemos observar, o gráfico da função f é contínuo em ℝ, que é o seu domínio.
Exemplo resolvido 1:
(Paiva – 2010, p.155 – adaptada) Em um local ao nível do mar, um bloco de gelo é colocado em um
recipiente sobre o fogo. O gráfico abaixo descreve a variação de temperatura (T) em função do
tempo (t) e as mudanças de estado ocorridas nessa experiência (Figura 18).
Figura 18 – Exemplo 1
a) Qual a temperatura inicial do bloco de gelo ao ser colocado no recipiente sobre o fogo?
b) Quanto tempo durou o processo de fusão?
c) Quanto tempo durou o processo de ebulição?
d) Qual era a temperatura da água depois de 9 minutos do início do aquecimento?
e) Expresse a lei da função descrita pelo gráfico no intervalo do domínio [0, 17].
Solução:
a) A temperatura inicial é aquela em que o tempo (t) é igual a zero, ou seja, - 30 °C.
b) O processo de fusão se deu do tempo 3 ao tempo 6, então se deu por (6 – 3 = 3) 3 minutos.
c) O processo de ebulição vai do tempo 11 ao tempo 17, assim durou (17 – 11 = 6) 6 minutos.
P á g i n a | 23
d) O tempo 9 min está relacionado ao trecho destacado na figura 19.
Figura 19 – Trecho destacado – exemplo 1
Precisamos, então, definir a lei que rege o intervalo do domínio destacado, [6, 11]. Sabemos que se
trata de um trecho de uma função afim, podemos encontrar sua lei tomando dois pontos e
substituindo na função 𝑇(𝑡) = 𝑎𝑡 + 𝑏.
Podemos utilizar os pontos (6, 0) e (11, 100), evidentes nesse intervalo, para encontrar o valor de a,
assim:
Caso você ainda tenha dúvidas
de como encontrar a lei de uma
f ( x 2 )  f ( x1 ) 100  0 100
a


 20
x 2  x1
11  6
5
função afim, consulte a apostila
“Função
Afim:
definição
e
representação gráfica”.
Substituindo 𝑎 = 20 e o ponto (6, 0), em 𝑇(𝑡) = 𝑎𝑡 + 𝑏, temos:
6 . 20 + 𝑏 = 0  120 + 𝑏 = 0  𝑏 = −120
Temos, então, que a lei que rege esse trecho é: 𝑇(𝑡) = 20𝑡 − 120. Substituindo t = 9 na função
encontrada, teremos:
𝑇(9) = 20.9 − 120 = 180 − 120 = 60
Logo, a temperatura da água depois de 9 minutos do início do aquecimento é 60 °C.
e) Nesse intervalo do domínio, a função é definida por quatro sentenças. Temos que determinar
a lei da função para cada uma das partes nos seguintes intervalos de t:
 Para o intervalo [0, 3]:
Nesse intervalo temos os pontos (0, –30) e (3, 0). O ponto (0, –30) indica que o valor inicial da
função é –30, ou seja, b = –30.
P á g i n a | 24
Substituindo o valor de b e o ponto (3, 0) na lei de formação T (t) = at + b, temos:
0 = 𝑎. 3 − 30
3𝑎 = 30
𝑎 = 10
Sendo assim, a função desse trecho é: 𝑇(𝑡) = 10𝑡 − 30
 Para o intervalo ]3, 6]:
Nesse intervalo, a função é constante e é dada por 𝑇(𝑡) = 0.
Caso você não se lembre da definição de função
constante e de suas características, consulte a apostila
“Função Afim: definição e representação gráfica”.
 Para o intervalo ]6,11]:
Nós já definimos a lei que rege esse intervalo no item anterior, que é: 𝑇(𝑡) = 20𝑡 − 120.
 Para o intervalo ]11, 17]:
Nesse intervalo, a função é constante e é dada por 𝑇(𝑡) = 100.
Assim, a lei que define a função T (t) no intervalo de [0, 17] é:
10𝑡 − 30, se 0 ≤ 𝑡 ≤ 3
0
, se 3 < 𝑡 ≤ 6
𝑇(𝑡) = {
20𝑡 − 120, se 6 < 𝑡 ≤ 11
100 , se 11 < 𝑡 ≤ 17
Nesse caso, como a função é contínua no
intervalo descrito, os intervalos das sentenças
dessa função poderiam ser escritos de outras
formas. Seguem alguns exemplos.
Outras formas de escrever a lei dessa função:
10𝑡 − 30, se 0 ≤ 𝑡 < 3
0, se 3 ≤ 𝑡 < 6
𝑇(𝑡) = {
20𝑡 − 120, se 6 ≤ 𝑡 ≤ 11
100, se 11 < 𝑡 ≤ 17
ou
10𝑡 − 30, se 0 ≤ 𝑡 ≤ 3
0, se 3 < 𝑡 < 6
𝑇(𝑡) = {
20𝑡 − 120, se 6 ≤ 𝑡 < 11
100, se 11 ≤ 𝑡 ≤ 17
P á g i n a | 25
1. Represente na reta real os intervalos reais abaixo:
a) {𝑥 ∈ ℝ| − 8 < 𝑥 < 8}
e) ]2, + ∞[
b) {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 2}
f) ] − ∞, + ∞[
c) ] − 2, −1]
g) ] − ∞, 3[
d) {𝑥 ∈ ℝ| − 3 ≤ 𝑥 ≤ 6}
h) {𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 ≤ 0}
2. Escreva a notação algébrica dos seguintes intervalos reais representados na reta real:
a)
e)
b)
f)
c)
g)
d)
h)
P á g i n a | 26
3. Determine o domínio das funções:
a)
𝑥 − 1, se 𝑥 < 4
𝑗(𝑥) = {
3, se 4 ≤ 𝑥 < 6
b) ℎ(𝑥) = {
c)
−𝑥 + 1, se 𝑥 ≤ −1
𝑥, se 𝑥 > −1
g representada graficamente abaixo:
−3𝑥 + 2, se 𝑥 < 0
d) 𝑞(𝑥) = {𝑥 + 2, se 0 ≤ 𝑥 < 2
3𝑥 − 2, se 𝑥 ≥ 2
4.
e)
3𝑥 + 2, se 𝑥 = 0
𝑥 + 2, se 0 < 𝑥 < 2
𝑘(𝑥) = {
3𝑥 − 2, se 𝑥 = 2
4, se 3 ≤ 𝑥 ≤ 4
f)
s representada graficamente abaixo:
5  x, se x  3
Considere a função real definida por g ( x)  
, determine o valor da
 3x  1, se x  3
expressão
g (2)  g (8)
 g (3) .
g (4)  g (0)
P á g i n a | 27
5. (Souza, 2013, p. 80) Em certo instante t = 0, um avião sai do repouso e começa a ganhar
velocidade na pista até decolar. Mantém velocidade constante no trajeto e, ao se aproximar do
ponto de aterrissagem, reduz a velocidade, pousa e para. De acordo com o texto, o gráfico que
melhor representa a velocidade v do avião em função do tempo t é:
6. (UERJ – 2002; modificada) Uma panela, contendo um bloco de gelo a – 40 °C, é colocada
sobre a chama de um fogão. A evolução da temperatura T, em grau Celsius, ao logo do tempo x,
em minuto, é descrita pela seguinte função real:
20𝑥 − 40, se 0 ≤ 𝑥 < 2
0, se 2 ≤ 𝑥 ≤ 10
𝑇(𝑥) = {
10𝑥 − 100, se 10 < 𝑥 ≤ 20
100, se 20 < 𝑥 ≤ 40
Qual a temperatura atingida em 15 minutos?
7. Represente graficamente as funções abaixo:
1 − 𝑥, se 𝑥 ≤ 1
a) ℎ(𝑥) = {
−2, se 𝑥 > 1
𝑥 − 2, se 𝑥 < −3
b) 𝑘(𝑥) = {1 + 𝑥, se − 3 ≤ 𝑥 < 0
𝑥, se 𝑥 ≥ 0
2𝑥, se 𝑥 < 3
c) 𝑐(𝑥) = {2𝑥 − 3, se 𝑥 = 3
𝑥 − 1, se 𝑥 > 3
P á g i n a | 28
8. Determine:
a) uma lei para a função h, definida no intervalo de [-4, 4[, representada na figura abaixo:
b) uma lei para a função j, definida no intervalo de [-4, 3[, representada na figura abaixo:
c) a lei da função k, definida em ℝ, sabendo que o ponto (0,
representada na figura abaixo:
1
2
) pertence a essa função,
P á g i n a | 29
1. a)
e)
b)
f)
g)
c)
h)
d)
2. a) [2 , 3[ ou {𝑥 ∈ ℝ|2 ≤ 𝑥 < 3}
e) ] − ∞, −1] ou {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −1}
b) [−1, +∞[ ou {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≥ −1}
f) ]0, +∞[ ou {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 0}
c) ] − ∞, 2[ou {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < 2}
g) ] − 2 , 3] ou {𝑥 ∈ ℝ| − 2 < 𝑥 ≤ 3}
d) [1, 0[ ou {𝑥 ∈ ℝ|1 ≤ 𝑥 < 0}
h) ] − 1, 2[ ou {𝑥 ∈ ℝ| − 1 < 𝑥 < 2}
3. a) ] − ∞, 6[ ou {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < 6}
e) [0, 2] ∪ [3, 4] ou {𝑥 ∈ ℝ|0 ≤ 𝑥 ≤ 2 ou
b) ]−∞, +∞[ ou ℝ
3 ≤ 𝑥 ≤ 4}
c) [−4, 3[ou {𝑥 ∈ ℝ| − 4 ≤ 𝑥 < 3}
f) ] − ∞, −3[ ∪ [−2, +∞[ ou
d) ]−∞, +∞[ ou ℝ
{𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < −3 ou 𝑥 ≥ −2}
4.
g (2)  g (8)
7  21
28
 g (3) 
2
29
g (4)  g (0)
95
4
5. item d
6. 50 °C
P á g i n a | 30
7. a)
b)
c)
P á g i n a | 31
2𝑥 + 7, se − 4 ≤ 𝑥 ≤ −2
−3
8. a) ℎ(𝑥) = { 2 𝑥, se − 2 < 𝑥 < 2 ou
−4, se 2 ≤ 𝑥 < 4
2𝑥 + 7, se − 4 ≤ 𝑥 < −2
−3
ℎ(𝑥) = { 2 𝑥, se − 2 ≤ 𝑥 < 2
−4, se 2 ≤ 𝑥 < 4
1, se − 4 ≤ 𝑥 < −3
1, se − 4 ≤ 𝑥 < −3
0, se − 3 ≤ 𝑥 < −1
0, se − 3 ≤ 𝑥 < −1
b) 𝑗(𝑥) =
ou 𝑗(𝑥) =
−𝑥, se 𝑥 = −1
1 , se 𝑥 = −1
1
1
1
1
− 4 𝑥 + 4 , se − 1 < 𝑥 < 3
− 4 𝑥 + 4 , se − 1 < 𝑥 < 3
{
{
Existem infinitas outras respostas para a função j
(item b), uma vez que a terceira sentença pode ser
substituída por qualquer lei cujo resultado seja igual
a 1, como, por exemplo, −2𝑥 − 1 e −3𝑥 − 2.
𝑥 + 4, se 𝑥 < −4
1, se − 4 ≤ 𝑥 < −3
c) 𝑘(𝑥) = −𝑥 − 5, se − 3 ≤ 𝑥 < −2
1
1
− 4 𝑥 + 2 , se 𝑥 ≥ −2
{
Referências
PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática: Paiva. 2. ed. São Paulo: Moderna, 2010.
SOUZA, Joamir Roberto. Novo olhar: matemática. 2. ed. v. 1. São Paulo: FTD, 2013.