Francisco Ramos 100 Problemas Resolvidos de Matemática ! " # $ !!"# $%&'%#()(%##*'+" , -' " ' .. " /!' "!0!' 1!2 '" 3-46' !' !%838 . &(!%99- *+ &(%+ ,%9!+:; <, + !" ! . " " " 1" ." = 46' " " ""' ! -" 1'">1!=! !'"461-46 ?. "+4"" 2 !!","!!@! -,.","/"012-," #$%&'%(' ! " # $ AB@! ')&%) % ",! ) C" D "3! E 9FB#G*H*IHD##H&D)*HDI%& I%$ I%D !,30 "-+567 8589,!% :;<; /%= > <666 ?-@%= > <6A:6 !<"0%0,B0,,19 CCC0,,19? SUMÁRIO Questões de vestibulares ................................................................................. 1 Matrizes e Determinantes ............................................................................. 25 Geometria Plana e Espacial .......................................................................... 39 Aritmética ..................................................................................................... 61 QUESTÕES DE VESTIBULARES 01. (ITA – 2007) Sejam x, y e z números reais positivos tais que seus logaritmos numa dada base k são números primos satisfazendo Então, logk (xyz) é igua a SOLUÇÃO Aplicando algumas propriedades de logaritmo, obtemos: log k (xy) = 49 → log k x + log k y = 49 log k ( x / z ) = 44 → log k x − log k z = 44 DICA Como os logaritmos são primos positivos, então podemos concluir que logkx=47, logky=2, logkz=3 Por que? Pois, se a soma de dois números primos é ímpar, então um deles é 2 e o outro 47. CONCLUINDO: logk(xyz) = logkx + logky + logkz 47 + 2 + 3 = 52 (RESPOSTA) 2 — 100 Problemas Resolvidos de Matemática 02. (PUC – 2001) No saguão de um teatro há um lustre com 10 lâmpadas, todas de cores distintas entre si. Como medida de economia de energia elétrica, o gerente desse teatro estabeleceu que só deveriam ser acesas, simultaneamente, de 4 a 7 lâmpadas, de acordo com a necessidade. Nessas condições, de quantos modos distintos podem ser acesas as lâmpadas desse lustre? SOLUÇÃO Entre 4 a 7 lâmpadas do total ( 10 ), temos: C10,4 + C10,5+C10,6+C10,7 = 10! 10! 10! 10! + + + 4!6! 5!5! 6!4! 7 !3! 210 + 252 +210+ 120 = 792 (Resposta) 03. binômio (2x + y) é igual a 243, então o número n é: SOLUÇÃO Substituindose x e y por 1, pois é assim que obtemos a soma dos (2x + y) = 243 (2 .1 + 1) = 243 3 = 3 n = 5 (RESPOSTA) 04. (UFCE) O mapa de uma cidade é formado por seis bairros distintos. Desejase pintar esse mapa com as cores vermelho, azul e verde, do seguinte modo: um bairro deve ser vermelho, dois azuis e os demais verdes. De quantas maneiras distintas isso pode ser feito? Questões de vestibulares — 3 SOLUÇÃO P6(2,3) = 6! = 60 ( Re sposta ) 2!3! 05. (ITA – 2007) Sendo c um número real a ser determinado, decomponha o polinômio 9x² 63x + c, numa diferença de dois cubos (x + a)³ (x + b)³. !"#$% SOLUÇÃO Para que o polinômio 9x² 63x + c = (x + a)³ (x + b)³ Devemos desenvolvêlo da seguinte forma: 9x² - 63x + C = (3a - 3b)x² + (3a² - 3b²)x + (a³ - b³) ↓ a ⎧3a − 3b = 9 ⎪ 2 2 ⎨3a − 3b = −63 ⎪a 3 − b 3 = c ⎩ ↓ b ↓ c ⎧a − b = 9 ⎪ 2 2 ⎨a − b = −21 ⎪a 3 − b 3 = c ⎩ Encontrando a, b e c nas equações: a = 3 + b (isolando a na primeira equação)e, substituindo na segunda equação: (3 + b)² b² = 21 9 + 6b + b² b² = 21 6b = 30 b=-5 Logo a = 3 + b a = 3 + (5) oa = 3 5 a = 2 Encontrando c = a³ b³ c = (2)³ (5)³ c = 8 + 125 c = + 117 $ ! " & ' ! * //; & //< & + 114 (RESPOSTA) 4 — 100 Problemas Resolvidos de Matemática 06. (ITA – 2007) Determine quantos números de 3 algarismos podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, satisfazendo à seguinte regra: O número não pode ter algarismos repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou 2, caso em que o 7 (e apenas o 7) pode aparecer mais de uma vez. Qual o resultado obtido. SOLUÇÃO Sendo 1 ou 2 o algarismo das centenas, obtemos: 2.(6 .5 + 1) = 62 números, logo apenas o 7 pode aparecer mais de uma vez. Sendo 3, 4, 5, 6 e 7 como algarismos das centenas, obtemos: 5 . 6 . 5 = 150 números Finalizando com a soma de 62 + 150 = 212 números (RESPOSTA) 07. (PUC – 2001) Seja N um número qualquer, inteiro e positivo. Se N é par, dividao por 2; se N é ímpar, multipliqueo por 3 e adicione 1 ao resultado. @ @#B%" H% o número 1. Assim, por exemplo, se N = 12, temse: 12 6 3 10 5 16 8 4 2 1 Ou seja, foram necessárias 9 passagens até obterse o resultado 1. Nessas condições, se N = 11, o número de passagens necessárias para obterse o % /J SOLUÇÃO 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1, então o número de passagens a partir de 11 para obter % /#14 (RESPOSTA). 08. (ITA – 2007) Dentre 4 moças e 5 rapazes devese formar uma comissão de 5 pessoas com, pelo menos, 1 moça e 1 rapaz. De quantas formas distintas tal comissão poderá ser formada? Questões de vestibulares — 5 SOLUÇÃO C9 ,5 = 9! 9! 9.8.7.6.5! = = 5!(9 − 5)! 5!4! 5!4! 3024 = 126 24 comissões, porém não serve aquela constituída pelos cincos rapazes. Então dará 126 1 = 125 comissões (RESPOSTA) 09. (FUVEST2004) O número de gols marcados nos 6 jogos da primeira rodada de um campeonato de futebol foi 5, 3, 1, 4, 0 e 2. Na segunda rodada, serão realizados mais 5 jogos. Qual deve ser o número total de gols marcados nessa rodada para que a média de gols, nas duas rodadas, seja 20% superior a média obtida na primeira rodada? SOLUÇÃO M1 Média de gols da primeira rodada. t Média de gols nas duas primeiras rodadas. M X Nº de gols da segunda rodada. Obtemos: M t = (1 + 20% ).M1 → 15 + X 15 = 1, 20. 6+5 6 15 + X = 33 → X = 18 gols ( RESPOSTA ) 10. (ITA – 2007) Seja A um conjunto com 14 elementos e B um subconjunto de A com 6 elementos. O número de subconjuntos de A com um número de elementos menor ou igual a 6 e disjuntos de B é: SOLUÇÃO Subconjuntos de A que são disjuntos de B são subconjuntos de (A – B). Como B está contido em A, n(A – B) = n(A) – n(A B) = n(A) – n(B) = 14 – 6 = 8 6 — 100 Problemas Resolvidos de Matemática O conjunto A B possui 28 - 9 subconjuntos, logo: ⎛ 8⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 8⎞ ⎛ 8⎞ ⎛ 8⎞ C8,0 + C8,1 + ... + C8,6 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ = 28 − ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = 28 − 1 − 8 = ⎝ 8⎠ ⎝ 7⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 0⎠ ⎝1 ⎠ 28 - 9 (RESPOSTA) 11. (PUC – SP) Os pontos A(5,3) e B(5,y), y 5,pertencem a semiplanos opostos em relação à reta bissetriz dos quadrantes ímpares se, e somente se: SOLUÇÃO B%@ YZ yB>5 (RESPOSTA) Questões de vestibulares — 7 12. (ITA – 58) Provar que se uma P.A. é tal que a soma dos seus n primeiros termos é igual a n + 1 vezes a metade do enésimo termo, então r = a1. SOLUÇÃO ⎛a ⎞ Sn = n + 1 ⋅ ⎜ n ⎟ ⎝ 2⎠ ⎛ a + a n ⎞ a n ( n + 1) n⎜ 1 = ⎝ 2 ⎟⎠ 2 na1 + n ⋅ a n = n ⋅ a n + a n a1 + ( n − 1) ⋅ r = n ⋅ a1 rn − r = n ⋅ a1 − a1 na1 = a n ou a n = n.a1 a1 + rn − r = n ⋅ a1 r ( n − 1) = a1 ( n − 1) r = a1 (FOI PROVADO) 13.[\]^_`'ww{$% $J|% }~| a+n ⎛ 7 1⎞ = ax + b e g(x) = mx + n. Se P = ⎜ , ⎟ , o valor de é: ⎝ 4 2⎠ b⋅m SOLUÇÃO " $J@ 8 — 100 Problemas Resolvidos de Matemática ⎧⎪g ( 0) = m ⋅ 0 + n = 4 ⎨ ⎪⎩g ( 2) = m ⋅ 2 + n = 0 ⎧f ( 0) = a ⋅ 0 + b = −3 ⎪ ⎨ ⎛ 7⎞ ⎛ 7⎞ ⎛ 1⎞ ⎪f ⎜⎝ 4 ⎟⎠ = a ⋅ ⎜⎝ 4 ⎟⎠ + b = ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎩ n=4 m = −2 b = −3 a=2 Encerrando: a+n 2+4 6 = = = 1( RESPOSTA ) b ⋅ m −3 ⋅ ( −2) 6 14. (UNESP – 2007) Cássia aplicou o capital de R$ 15.000,00 a juros compostos, pelo período de 10 meses e à taxa de 2% a. m(ao mês). Considerando a aproximação (1,02)5 = 1,1 , Cássia computou o valor aproximado do montante " @}# SOLUÇÃO Aplicando na fórmula do montante, temos: M = C . (1 + i) M = 15.OOO,OO . (1,02)10 M = 15.000,00 . [(1,02)5]² M = 15.000,00 . (1,1)² M = 18.150,00 (RESPOSTA) 15. (UFPE – 2001) Os times A, B e C participam de um torneio. Suponha que as probabilidades de A ganhar e perder de B são respectivamente 0,6 e 0,2, e as probabilidades de A ganhar e perder de C são respectivamente 0,1 e 0,6. Jogando com B e em seguida com C, qual a probabilidade de A empatar os dois jogos? SOLUÇÃO O time A empatando com B e C separadamente: Questões de vestibulares — 9 ⎧⎪1 − 0, 6 − 0, 2 = 0, 2 ( B) ⎨ ⎪⎩1 − 0,1 − 0, 6 = 0, 3( C) Empatando com ambos: O,2 . 0,3 = 0,06 (RESPOSTA) 16. (UFSCAR – 2007) Considere a, b e c algarismos que fazem com que a conta a seguir, realizada com números de três algarismos, esteja correta. 4 a 5 1 5 b c 7 7 Nas condições dadas, b . ca é igual a: SOLUÇÃO Observando a conta dada, obtemos: 1) 15 – b = 7 2) a – 1 = 7 – 5 3) 4 – 1 – 1 = c Então, a = 3 ; b = 8 e c = 2 Fazendo, b . ca = 8 . 23 = 8 . 1/8 = 1 (RESPOSTA) 17. (MACKENZIE – 2009) Se Y = 2X, sendo de (X + Y)² é: SOLUÇÃO X= Sabemos que X = 1+ i , então: 1− i 1 + i 1 + i 1 + 2i + i 2 ⋅ = 2 2 =i 1− i 1+ i 1 −i X= 1+ i e i = −1 , o valor 1− i 10 — 100 Problemas Resolvidos de Matemática Fazendo (X + Y)² = (X + 2X)² = (3X)² = 9X² = 9 . i² = 9 . (1) = - 9 (RESPOSTA) 18. (UNESP – 2007) Numa certa região, uma operadora telefônica utiliza 8 dígitos para designar seus números de telefones, sendo que o primeiro é sempre 3, o segundo não pode ser zero(0) e o terceiro número é diferente do quarto. Escolhido um número ao acaso, a probabilidade de os quatro últimos algarismos serem distintos entre si é: SOLUÇÃO O sistema numérico decimal tem dez dígitos, pois é este que será utilizado. Escolhendo ao acaso, as chances de os quatro últimos dígitos serem diferentes é: { 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 63 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 125 , então as condições para os quatro primeiros $ (RESPOSTA) 19. (UFPE – 2001) Uma escola deverá distribuir um total de 1.260 bolas de gude amarelas e 9.072 boas de gude verdes entre alguns de seus alunos. Cada aluno contemplado receberá o mesmo número de bolas amarelas e o mesmo número de bolas verdes. Se a escola possui 300 alunos e o maior número possível de alunos da escola deverá ser contemplado, qual o total de bolas que cada aluno contemplado receberá? SOLUÇÃO Tratase de M.D.C pelo processo da decomposição em fatores primos.