100 Problemas Resolvidos de Matemática

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Francisco Ramos
100 Problemas
Resolvidos de Matemática
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SUMÁRIO
Questões de vestibulares ................................................................................. 1
Matrizes e Determinantes ............................................................................. 25
Geometria Plana e Espacial .......................................................................... 39
Aritmética ..................................................................................................... 61
QUESTÕES DE VESTIBULARES
01. (ITA – 2007) Sejam x, y e z números reais positivos tais que seus logaritmos numa dada base k são números primos satisfazendo
Então, logk (xyz) é igua a
SOLUÇÃO
Aplicando algumas propriedades de logaritmo, obtemos:
log k (xy) = 49 → log k x + log k y = 49
log k ( x / z ) = 44 → log k x − log k z = 44
DICA
Como os logaritmos são primos positivos, então podemos concluir que
logkx=47, logky=2, logkz=3
Por que?
Pois, se a soma de dois números primos é ímpar, então um deles é 2 e o outro 47.
CONCLUINDO:
logk(xyz) = logkx + logky + logkz
47 + 2 + 3 = 52 (RESPOSTA)
2 — 100 Problemas Resolvidos de Matemática
02. (PUC – 2001) No saguão de um teatro há um lustre com 10 lâmpadas, todas de cores distintas entre si. Como medida de economia de energia elétrica,
o gerente desse teatro estabeleceu que só deveriam ser acesas, simultaneamente, de 4 a 7 lâmpadas, de acordo com a necessidade. Nessas condições, de
quantos modos distintos podem ser acesas as lâmpadas desse lustre?
SOLUÇÃO
Entre 4 a 7 lâmpadas do total ( 10 ), temos:
C10,4 + C10,5+C10,6+C10,7 =
10! 10! 10! 10!
+
+
+
4!6! 5!5! 6!4! 7 !3!
210 + 252 +210+ 120 = 792 (Resposta)
03.
binômio (2x + y) é igual a 243, então o número n é:
SOLUÇÃO
Substituindose x e y por 1, pois é assim que obtemos a soma dos
(2x + y) = 243
(2 .1 + 1) = 243
3 = 3
n = 5 (RESPOSTA)
04. (UFCE) O mapa de uma cidade é formado por seis bairros distintos.
Desejase pintar esse mapa com as cores vermelho, azul e verde, do seguinte
modo: um bairro deve ser vermelho, dois azuis e os demais verdes. De quantas
maneiras distintas isso pode ser feito?
Questões de vestibulares — 3
SOLUÇÃO
P6(2,3) =
6!
= 60 ( Re sposta )
2!3!
05. (ITA – 2007) Sendo c um número real a ser determinado, decomponha o
polinômio 9x² 63x + c, numa diferença de dois cubos
(x + a)³ (x + b)³.
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SOLUÇÃO
Para que o polinômio
9x² 63x + c = (x + a)³ (x + b)³
Devemos desenvolvêlo da seguinte forma:
9x² - 63x + C = (3a - 3b)x² + (3a² - 3b²)x + (a³ - b³)
↓
a
⎧3a − 3b = 9
⎪ 2
2
⎨3a − 3b = −63
⎪a 3 − b 3 = c
⎩
↓
b
↓
c
⎧a − b = 9
⎪ 2
2
⎨a − b = −21
⎪a 3 − b 3 = c
⎩
Encontrando a, b e c nas equações:
a = 3 + b (isolando a na primeira equação)e, substituindo na segunda
equação:
(3 + b)² b² = 21
9 + 6b + b² b² = 21
6b = 30
b=-5
Logo a = 3 + b
a = 3 + (5) oa = 3 5
a = 2
Encontrando c = a³ b³
c = (2)³ (5)³
c = 8 + 125
c = + 117
$ ! " & ' ! * //; & //< & + 114
(RESPOSTA)
4 — 100 Problemas Resolvidos de Matemática
06. (ITA – 2007) Determine quantos números de 3 algarismos podem ser
formados com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, satisfazendo à seguinte regra: O número não
pode ter algarismos repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou 2, caso em que
o 7 (e apenas o 7) pode aparecer mais de uma vez. Qual o resultado obtido.
SOLUÇÃO
Sendo 1 ou 2 o algarismo das centenas, obtemos:
2.(6 .5 + 1) = 62 números, logo apenas o 7 pode aparecer mais de uma
vez.
Sendo 3, 4, 5, 6 e 7 como algarismos das centenas, obtemos:
5 . 6 . 5 = 150 números
Finalizando com a soma de 62 + 150 = 212 números (RESPOSTA)
07. (PUC – 2001) Seja N um número qualquer, inteiro e positivo. Se N é par,
dividao por 2; se N é ímpar, multipliqueo por 3 e adicione 1 ao resultado.
@
@#B%"
H%
o número 1. Assim, por exemplo, se N = 12, temse:
12
6
3
10
5
16
8
4
2
1
Ou seja, foram necessárias 9 passagens até obterse o resultado 1. Nessas
condições, se N = 11, o número de passagens necessárias para obterse o
%
/J
SOLUÇÃO
11
34
17
52
26
13
40
20
10
5
16
8
4
2
1, então o número de passagens a partir de 11 para obter
%
/#14 (RESPOSTA).
08. (ITA – 2007) Dentre 4 moças e 5 rapazes devese formar uma comissão
de 5 pessoas com, pelo menos, 1 moça e 1 rapaz. De quantas formas distintas
tal comissão poderá ser formada?
Questões de vestibulares — 5
SOLUÇÃO
C9 ,5 =
9!
9! 9.8.7.6.5!
=
=
5!(9 − 5)! 5!4!
5!4!
3024
= 126
24
comissões, porém não serve aquela constituída
pelos cincos rapazes. Então dará 126 1 = 125
comissões (RESPOSTA)
09. (FUVEST2004) O número de gols marcados nos 6 jogos da primeira
rodada de um campeonato de futebol foi 5, 3, 1, 4, 0 e 2. Na segunda rodada,
serão realizados mais 5 jogos. Qual deve ser o número total de gols marcados
nessa rodada para que a média de gols, nas duas rodadas, seja 20% superior a
média obtida na primeira rodada?
SOLUÇÃO
M1
Média de gols da primeira rodada.
t
Média de gols nas duas primeiras rodadas.
M
X
Nº de gols da segunda rodada.
Obtemos:
M t = (1 + 20% ).M1 →
15 + X
15
= 1, 20.
6+5
6
15 + X = 33 → X = 18 gols ( RESPOSTA )
10. (ITA – 2007) Seja A um conjunto com 14 elementos e B um subconjunto
de A com 6 elementos. O número de subconjuntos de A com um número de
elementos menor ou igual a 6 e disjuntos de B é:
SOLUÇÃO
Subconjuntos de A que são disjuntos de B são subconjuntos de (A –
B). Como B está contido em A, n(A – B) = n(A) – n(A ˆ B) = n(A)
– n(B) = 14 – 6 = 8
6 — 100 Problemas Resolvidos de Matemática
O conjunto A B possui 28 - 9 subconjuntos, logo:
⎛ 8⎞ ⎛ 8 ⎞
⎛ 8⎞
⎛ 8⎞ ⎛ 8⎞
C8,0 + C8,1 + ... + C8,6 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ = 28 − ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = 28 − 1 − 8 =
⎝ 8⎠ ⎝ 7⎠
⎝ 6⎠
⎝ 0⎠ ⎝1 ⎠
28 - 9 (RESPOSTA)
11. (PUC – SP) Os pontos A(5,3) e B(5,y), y 5,pertencem a semiplanos
opostos em relação à reta bissetriz dos quadrantes ímpares se, e somente se:
SOLUÇÃO
B%@
YZ
yB>5
(RESPOSTA)
Questões de vestibulares — 7
12. (ITA – 58) Provar que se uma P.A. é tal que a soma dos seus n primeiros
termos é igual a n + 1 vezes a metade do enésimo termo, então r = a1.
SOLUÇÃO
⎛a ⎞
Sn = n + 1 ⋅ ⎜ n ⎟
⎝ 2⎠
⎛ a + a n ⎞ a n ( n + 1)
n⎜ 1
=
⎝ 2 ⎟⎠
2
na1 + n ⋅ a n = n ⋅ a n + a n
a1 + ( n − 1) ⋅ r = n ⋅ a1
rn − r = n ⋅ a1 − a1
na1 = a n ou a n = n.a1
a1 + rn − r = n ⋅ a1
r ( n − 1) = a1 ( n − 1)
r = a1 (FOI PROVADO)
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$J|%
}~|
a+n
⎛ 7 1⎞
= ax + b e g(x) = mx + n. Se P = ⎜ , ⎟ , o valor de
é:
⎝ 4 2⎠
b⋅m
SOLUÇÃO
€"
[email protected]
8 — 100 Problemas Resolvidos de Matemática
⎧⎪g ( 0) = m ⋅ 0 + n = 4
⎨
⎪⎩g ( 2) = m ⋅ 2 + n = 0
⎧f ( 0) = a ⋅ 0 + b = −3
⎪
⎨ ⎛ 7⎞
⎛ 7⎞
⎛ 1⎞
⎪f ⎜⎝ 4 ⎟⎠ = a ⋅ ⎜⎝ 4 ⎟⎠ + b = ⎜⎝ 2 ⎟⎠
⎩
n=4
m = −2
b = −3
a=2
Encerrando:
a+n
2+4
6
=
= = 1( RESPOSTA )
b ⋅ m −3 ⋅ ( −2) 6
14. (UNESP – 2007) Cássia aplicou o capital de R$ 15.000,00 a juros compostos, pelo período de 10 meses e à taxa de 2% a. m(ao mês). Considerando a
aproximação (1,02)5 = 1,1 , Cássia computou o valor aproximado do montante
"
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SOLUÇÃO
Aplicando na fórmula do montante, temos:
M = C . (1 + i)
M = 15.OOO,OO . (1,02)10
M = 15.000,00 . [(1,02)5]²
M = 15.000,00 . (1,1)²
M = 18.150,00 (RESPOSTA)
15. (UFPE – 2001) Os times A, B e C participam de um torneio. Suponha
que as probabilidades de A ganhar e perder de B são respectivamente 0,6 e
0,2, e as probabilidades de A ganhar e perder de C são respectivamente 0,1 e
0,6. Jogando com B e em seguida com C, qual a probabilidade de A empatar
os dois jogos?
SOLUÇÃO
O time A empatando com B e C separadamente:
Questões de vestibulares — 9
⎧⎪1 − 0, 6 − 0, 2 = 0, 2 ( B)
⎨
⎪⎩1 − 0,1 − 0, 6 = 0, 3( C)
Empatando com ambos:
O,2 . 0,3 = 0,06 (RESPOSTA)
16. (UFSCAR – 2007) Considere a, b e c algarismos que fazem com que a
conta a seguir, realizada com números de três algarismos, esteja correta.
4 a 5
1 5 b
c 7 7
Nas condições dadas, b . ca é igual a:
SOLUÇÃO
Observando a conta dada, obtemos:
1) 15 – b = 7
2) a – 1 = 7 – 5
3) 4 – 1 – 1 = c
Então, a = 3 ; b = 8 e c = 2
Fazendo, b . ca = 8 . 23 = 8 . 1/8 = 1 (RESPOSTA)
17. (MACKENZIE – 2009) Se Y = 2X, sendo
de (X + Y)² é:
SOLUÇÃO
X=
Sabemos que X =
1+ i
, então:
1− i
1 + i 1 + i 1 + 2i + i 2
⋅
= 2 2 =i
1− i 1+ i
1 −i
X=
1+ i
e i = −1 , o valor
1− i
10 — 100 Problemas Resolvidos de Matemática
Fazendo (X + Y)² = (X + 2X)² = (3X)² = 9X² = 9 . i² = 9 . (1) =
- 9 (RESPOSTA)
18. (UNESP – 2007) Numa certa região, uma operadora telefônica utiliza
8 dígitos para designar seus números de telefones, sendo que o primeiro é
sempre 3, o segundo não pode ser zero(0) e o terceiro número é diferente do
quarto. Escolhido um número ao acaso, a probabilidade de os quatro últimos
algarismos serem distintos entre si é:
SOLUÇÃO
O sistema numérico decimal tem dez dígitos, pois é este que será
utilizado.
Escolhendo ao acaso, as chances de os quatro últimos dígitos serem
diferentes é:
{
10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7
63
=
10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 125 ,
então as condições para os quatro primeiros
$
‚
(RESPOSTA)
19. (UFPE – 2001) Uma escola deverá distribuir um total de 1.260 bolas de
gude amarelas e 9.072 boas de gude verdes entre alguns de seus alunos. Cada
aluno contemplado receberá o mesmo número de bolas amarelas e o mesmo
número de bolas verdes. Se a escola possui 300 alunos e o maior número
possível de alunos da escola deverá ser contemplado, qual o total de bolas que
cada aluno contemplado receberá?
SOLUÇÃO
Tratase de M.D.C pelo processo da decomposição em fatores primos.
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