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3x+1
Série Rádio Cangália
Objetivos
1. Apresentar a conjectura de Collatz
2. Mostrar um aspecto formal da matemática
em um problema simples de entender.
3x+1
Série
Rádio Cangália
Conteúdos
Conjuntos, Números Naturais,
Conjectura, Lógica.
Duração
Aprox. 10 minutos.
Objetivos
1. Apresentar a conjectura de
Collatz
2. Mostrar um aspecto formal da
matemática em um problema
simples de entender.
Sinopse
O programa apresenta a
conjectura do problema 3x+1 e
discute algumas curiosidades em
torno dela para mostrar que,
mesmo parecendo verdade, os
matemáticos só consideram
verdadeiro aquilo que é provado
lógica e matematicamente.
Material relacionado
Vídeos: A razão dos irracionais;
Áudios: Primos gêmeos,
Conjectura de Goldbach ;
Experimento: Com quantas cores
posso pintar um mapa, Padrões
no plano,
Cilindro=Cone+Esfera/2, Apostas
no relógio;
Software:Explorando o jogo do
máximo.
ÁUDIO
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Introdução
Sobre a série
A série Rádio Cangália apresenta programas descontraídos de
variedades que usualmente abordam uma informação ou notícia de
conhecimentos gerais, com comentários de um professor de
matemática. Os temas não são tratados em profundidade, mas
oferecem oportunidade de o professor trabalhar assuntos
interdisciplinares em sala de aula ou em atividades extraclasse. O
programa pode trazer também uma piada ou uma frase célebre, sem
preocupações maiores além de oferecer motivos de discussão em
torno de um conteúdo e reforçar a descontração.
Sobre o programa
Esse é um resultado que os matemáticos não sabem provar até hoje.
Considere um número inteiro natural. Se o número for par, divida por
dois, se for ímpar calcule o triplo do número e some um. O resultado,
em ambos os casos vai ser outro número natural. Aí, repita o
procedimento: se for par, divida por dois, se for ímpar calcule o triplo
do número e some um. E assim por diante. Tudo indica que em algum
momento do procedimento de repetição o resultado seja 1.
Em notação matemática escrevemos da seguinte forma.
Definição: Sejam um número natural 𝑎! ∈ ℕ e a seguinte função de
iteração para 𝑛 ≥ 0:
𝑎!!! =
3𝑎! + 1,
𝑎!
,
2
𝑠𝑒 𝑎! é í𝑚𝑝𝑎𝑟
𝑠𝑒 𝑎! é 𝑝𝑎𝑟
Conjectura de Collatz: Para todo 𝑎! ∈ ℕ existe um passo k da função
de iteração acima tal que 𝑎! = 1.
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Parece que a conjectura é verdadeira pois até hoje (novembro/2011) o
procedimento, com o uso de computadores, sempre chegou ao
número 1, qualquer que tenha sido o número inicial. O problema é
que ninguém conseguiu provar lógica e matematicamente que isto
acontece com todos os números naturais.
Por que esse problema é importante? Talvez não tenha aplicação
prática alguma, mas representa a essência da matemática: Uma
verdade só é estabelecida se for provada. Por enquanto temos apenas
uma conjectura.
Além disso, é curioso que um procedimento numérico seja atraído ao
número 1 qualquer que seja o ponto de partida, ou melhor, se o
computador continuasse, o procedimento chegaria ao laço 1, 4, 2, 1,
4, 2, 1 etc.
Esse problema é conhecido como problema 3 X + 1, problema de
Collatz, problema de Siracusa, problema de Kakutani, algoritmo de Há,
problema de Ulam. Muitos nomes, mas nenhuma demonstração
definitiva.
Sugestões de atividades
Antes da execução
Há alguns exemplos de sequências iterativas em nível de ensino
médio. A mais conhecida é a sequência de Fibonacci que o professor
pode revisar.
Como preparativo ao problema do programa, desenvolver o seguinte
desafio problema.
Desafio Atividade
Considere o subconjunto dos números naturais de 1 a 999. Para cada
elemento desse conjunto considere os dígitos que o formam e calcule
a soma dos quadrados desses dígitos. Com o resultado, que é outro
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número do conjunto, repete o procedimento, isto é, some o quadrado
de seus dígitos. O que vai acontecer com esse procedimento repetido?
Em notação matemática seja 𝐶 = 𝑛 ∈ ℕ 𝑡. 𝑞. 1 ≤ 𝑛 ≤ 999 de forma que
𝑛 = 100𝑥 + 10𝑦 + 𝑧 onde os dígitos (x,y,z) em geral são inteiros de 0 a
9. Então para um dado n, o procedimento é calcular o número
𝑥 ! + 𝑦 ! + 𝑧 ! . Com
Observação. É fácil ver que o resultado do procedimento vai ser um
elemento do conjunto C. Isto é claro, pois o maior resultado do
procedimento deve ser para o número 999 que leva a 3×9! = 243.
Exemplos: É sempre interessante começar com casos simples.
1 → 1 → 1 ⋯ 2 → 4 → 16 → 1 + 36 = 37 → 9 + 49 = 58 → 25 + 64 = 89 → 64 + 81 = 145 ⋯ 6 → 36 → 9 + 36 = 45 → 16 + 25 = 41 → 16 + 1 = 17 → 1 + 49 = 50 → 25 ⋯ 13 → 1 + 9 = 10 → 1 327 → 3! + 2! + 7! = 9 + 4 + 49 = 62 → 6! + 2! = 40 → 16 → 37 → 58 ⋯
Deixar os alunos em grupos experimentarem com pelo menos quatro
números distintos e limite a quantidade de repetições até cinco.
Verificar se os alunos obtiveram algum padrão nesse processo de
repetição.
A primeira coisa a observar é que o conjunto C tem um número finito
de elementos e que esse procedimento gera números que continuam
em C. Assim, pode-se mostrar que um procedimento de repetição vai
gerar, mais cedo ou mais tarde, uma sequência que se repete. Essa
conclusão não é simples e tem muitas conseqüências.
Podemos perguntar que número se repete imediatamente. Já vimos
que o 1 é um número desses. Existem outros?
Vamos procurar com os números de um dígito 𝑛 = 𝑧 → 𝑧 ! , para 1 ≤ 𝑧 ≤
9. Para que o procedimento se repita devemos ter 𝑧 = 𝑧 ! ⟺ 𝑧 𝑧 − 1 =
0. Essa equação tem duas soluções, mas apenas o caso 𝑧 = 1 vai
fornecer 𝑛 = 1 que está no conjunto C. Em outras palavras, provamos
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que o único número com um dígito que se repete imediatamente é o
número 1.
Aplicamos o mesmo raciocínio com números de dois dígitos
𝑛 = 10𝑦 + 𝑧 → 𝑦 ! + 𝑧 ! , para 1 ≤ 𝑦 ≤ 9 e 0 ≤ 𝑧 ≤ 9 . Para que esse número
se replique no procedimento devemos ter 10𝑦 + 𝑧 = 𝑦 ! + 𝑧 ! ⟺ 10 −
𝑦 𝑦 = 𝑧 𝑧 − 1 . Podemos ver que y=z=0 é uma solução dessa equação,
mas não para o nosso problema, pois 1 ≤ 𝑦 ≤ 9. E se y não pode ser
zero então a equação 10 − 𝑦 𝑦 = 𝑧 𝑧 − 1 nos diz que z não pode ser
nem zero nem um. E assim avaliamos os casos z=2,3,4,5,6,7,8,9
resolvendo a equação do segundo grau 𝑦 ! − 10𝑦 + 𝑧 𝑧 − 1 = 0, isto é
𝑦 = 5 ± 25 − 𝑧(𝑧 − 1). Agora fica claro que essas soluções não
fornecem y inteiro positivo, pois para z =2,3,4,5, teríamos y irracional
e para z=6,7,8 e 9 teríamos y complexo. Assim, não existe solução
para a equação para y, z inteiros positivos. Em outras palavras,
provamos que não há números com dois dígitos que se repete
imediatamente no procedimento de tomar a soma dos quadrados dos
dígitos.
A análise do caso com três dígitos é um pouco diferente, mas não há
número do conjunto C com três dígitos tais que o procedimento
retorne o próprio número.
Esse problema tem dois cenários possíveis para a sequência.
Dependendo do número de partida a sequência pode chegar ao
número um e daí em diante o procedimento se repete trivialmente ou
a sequência chega ao seguinte ciclo:
145 → 1 + 16 + 25 = 42 → 20 → 4 → 16 → 37 → 9 + 49 = 58 → 25 + 64 = 89
→ 64 + 81 = 145
Os números que chegam ao número um são chamados de números
felizes. Para informação e comparação com resultados dos alunos os
números felizes do conjunto C são:
1,7,10,13,19,23,28,31,32,44,49,68,70,79,82,86,91,94,97,100,103,10
9,129,130,133,139,167,176,188,190,192,193,203,208,219,226,230,
236,239,262,263,280,291,293,301,302,310,313,319,320,326,329,33
1,338,356,362,365,367,368,376,379,383,386,391,392,397,404,409,
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440,446,464,469,478,487,490,496,536,556,563,565,566,608,617,62
2,623,632,635,637,638,644,649,653,655,656,665,671,673,680,683,
694,700,709,716,736,739,748,761,763,784,790,793,802,806,818,82
0,833,836,847,860,863,874,881,888,899,901,904,907,910,912,913,
921,923,931,932,937,940,946,964,970,973,989,998,1000
Durante a execução
Escreva no quadro os nomes e os dados numéricos mencionados no
programa à medida que eles forem falados.
Depois da execução
O professor pode desenvolver a atividade que envolve o problema do
3x+1 enfatizando que nesse caso só temos uma conjectura e no caso
do procedimento repetido da soma dos quadrados dos dígitos
(apresentado antes do programa) de um número podem levar ao um
ou a um ciclo conhecido.
O problema 3x+1 já foi testado (Oliveira e Silva, 2008) com a ajuda de
computadores até o número 2!" ≅ 5×10!" e o procedimento 3x+1
sempre chegou ao número um. Isto não é suficiente para provar que a
conjectura de Collatz seja verdadeira.
Problemas
1. Qualquer potência de 10 é um número feliz? Sim pois o
procedimento de somar os quadrados dos dígitos é
simplesmente. 10! → 1.
2. Se 139 é um número feliz, então eu posso afirmar que 193, 319,
391, 913 e 931 também são? Sim pois no procedimento
tomamos a soma dos quadrados dos dígitos e portanto qualquer
permutação dos dígitos vai fornecer o mesmo resultado.
3. Considere a seguinte variação do procedimento. Se x é um
número par, ele deve ser divido por 2. Se x é um número ímpar
ele deve ser somado a um. Qual é o resultado da repetição desse
procedimento? Mais cedo ou mais tarde, o resultado será um.
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Obviamente se um número é ímpar, então o seu triplo mais um é
imediatamente par. Dessa forma a formulação do procedimento pode
ser ligeiramente modificada da seguinte forma:
Definição: Sejam um número natural 𝑎! ∈ ℕ e a seguinte função de
iteração para 𝑛 ≥ 0:
𝑎!!!
3𝑎! + 1
,
2
=
𝑎!
,
2
𝑠𝑒 𝑎! é í𝑚𝑝𝑎𝑟
𝑠𝑒 𝑎! é 𝑝𝑎𝑟
Para os alunos que apreciam um programa de computador, pode-se
fazer uma rotina para fazer as contas e mostrar a “trajetória” do
número até o um. Veja abaixo uma rotina escrita e executada em
Python:
>>> def collatz(numero):
print('%d' % numero)
if numero == 1:
return
if numero % 2 == 0:
collatz(numero / 2)
else:
collatz((3 * numero + 1)/2)
>>> collatz(50)
50
25
38
19
29
44
22
11
17
26
13
20
10
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Sugerir aos alunos que pensem em uma variação para o problema
3x+1 e que façam experimentos, programas e conjecturas.
Sugestões de leitura
Weisstein, Eric W. "Collatz Problem." From MathWorld--A Wolfram Web
Resource. http://mathworld.wolfram.com/CollatzProblem.html
Althmann, Márcio F. “Conjectura de Collatz”. Página
http://www.marcioalthmann.net/2011/06/conjectura-de-collatz/
visitada em 6/Nov/2011.
Ficha técnica
Autor Samuel Rocha de Oliveira e Luis Ricardo Sarti
Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva
Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira
Universidade Estadual de Campinas
Reitor Fernando Ferreira Costa
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Diretor Caio José Colletti Negreiros
Vice-diretor Verónica Andrea González-López
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