Prova com Gabarito ENG FBA CAT

UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
PROVA DE CÁLCULO 1 e 2
PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA
PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 16/10/2016
CANDIDATO:
CURSO PRETENDIDO:
OBSERVAÇÕES:
1.
2.
3.
4.
5.
Prova SEM consulta;
A prova PODE ser feita a lápis;
PROIBIDO o uso de calculadoras e similares;
Duração: 2 HORAS.
Nas questões discursivas EXPLICITAR os cálculos.
Questão 1 (10 pontos).
Avalie:
|x − 1|
x→0 x − 1
lim
a) 0
b) −1
c) ∄
d) 1
Resposta: b)
Usando a definição do valor absoluto, para valores próximos ao zero temos,
|x − 1|
= lim −1 = −1
x→0 x − 1
x→0
lim
Questão 2 (10 pontos).
de p a série
Considere a sequência an = n(1 + n2 )p . Para quais valores
∞
X
an
n=0
é convergente?
a) p ∈ (−∞, −1)
b) p ∈ (−∞, −1]
Resposta: a)
Usando o teste da integral temos
Z∞
0
c) p ∈ (−∞, 0)
1
x(1 + x )dx =
2
2
Z∞
1
up du
d) p ∈ (−1, 0)
a qual é finita quando p < −1.
Questão 3 (10 pontos). Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno
do eixo x da região x2 ≤ y ≤ x com x ∈ [0.2].
a) 4π
b) 2π
c) 3π
d) 8π
Resposta: a)
Note que as funções x2 e x se cruzam em x = 1, assim o volume é dado pelas integrais
Z1
Z2
2
4
V = π (x − x )dx + π (x4 − x2 )dx = 4π.
0
Questão 4 (10 pontos).
y = v + u cos(w), calcule
1
Considere função f(x, y) = x2 − xy3 , se x = u2 v + w3 e
∂f
∂w
para u = 0, v = 1 e w = 1.
a) −3
b) 3
c) 0
d) 2
Resposta: b)
Usando a regra da cadeia obtemos
∂f
= 6 u2 v + w3 w2 − 3 w2 (v + u cos (w))3 + 3 u2 v + w3 (v + u cos (w))2 u sin (w)
∂w
avaliando nos valores dados temos
Questão 5 (10 pontos).
∂f
=3
∂w
Calcule
Z π/2
cos(x)sen (2x)dx
0
a)
2
3
b) 0
c)
1
3
d) − 23
Resposta: a)
2
Vamos calcular a integral
Z π/2
Z π/2
2
cos(x)sen (2x)dx = 2
cos2 (x)sen (x)dx = .
3
0
0
Questão 6 (10 pontos).
Avalie
Z
xdx
x4 − 1
Resposta:
Calculando via frações parciais temos
Z
xdx
1
1
1
2
=
ln
(x
−
1)
+
ln
(x
+
1)
−
ln
x
+
1
+C
x4 − 1
4
4
4
onde C é uma constante arbitrária.
Questão 7 (10 pontos).
Avalie
2
2
ex +y
lim p
(x,y)→(0,0)
x2 + y2
Resposta:
Por qualquer caminho o denominador vai a zero por valores positivos, enquanto o numerador tende a 1, logo a função tende a +∞.
Questão 8 (10 pontos).
Sabendo que
∞
X
1
π2
=
.
2
n
6
n=1
Calcule
∞
X
n=3
1
(2n)2
Resposta:
Primeiramente,
∞
X
n=1
∞
1X 1
π2
1
=
=
(2n)2
4 n=1 (n)2
24
3
e ainda,
∞
X
n=3
∞
X 1
1
1
π2
5
1
=
−
−
=
− .
2
2
(2n)
(2n)
4 16
24 16
n=1
Questão 9 (10 pontos).
Para x ∈ [0, π], determine o ponto de mı́nimo da função
f(x) = sen (x) + cos(x).
Resposta:
A derivada é dada por
f ′ (x) = cos(x) − sen (x)
e está definida para todo valor de x, se anulando, no intervalo do enunciado, quando
x = π4 , logo este valor de x é ponto crı́tico de f. Avaliando, a função no ponto crı́tico e
nas extremidades do intervalo temos
π √
= 2, f(π) = −1.
f(0) = 1, f
4
Logo, o ponto de mı́nimo é x = π.
Questão 10 (10 pontos).
Avalie
Z √π
2x3 cos(x2 )dx.
0
Resposta:
Resolvendo a integral indefinida obtemos,
Z
2x3 cos(x2 )dx = cos(x2 ) + x2 sen (x2 ) + C,
logo,
Z √π
2x3 cos(x2 )dx = −2
0
4
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
FÍSICA – PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE
CURSO SUPERIOR – 16/10/2016
CANDIDATO: _______________________________________________________
CURSO PRETENDIDO: _______________________________________________
OBSERVAÇÕES:
01 – Prova sem consulta.
02 – Duração: 2 HORAS
1) Uma partícula descreve um movimento unidimensional ao longo do eixo x. A força
resultante sobre essa partícula é dada por F = – k x. Supondo que o valor da constante
k seja 3,0 N/m, o trabalho realizado por essa força quando a partícula vai da posição
x = 0,20 m até a posição x = 0,40 m é:
a) – 0,60 J.
b) – 0,18 J.
c) zero.
d) 0,18 J.
e) 0,60 J.
Solução: Alternativa (b).
2) Um pêndulo simples é constituído por uma
esfera de massa M presa a um fio inextensível
de comprimento L, como mostra a figura ao
lado. O pêndulo é solto a partir do repouso
quando o fio faz um ângulo  com a vertical e
passa a oscilar livremente sem atrito,
descrevendo um movimento circular cujo
centro é o ponto O. Quando a esfera passa
pelo ponto mais baixo da trajetória, movendose da direita para a esquerda, seu momento
angular em relação ao ponto O é:
a) horizontal e aponta para a esquerda da
figura;
b) horizontal e aponta para a direita da figura;
c) vertical e aponta para a parte de cima da
figura;
d) perpendicular ao plano do papel;
e) nulo.
Solução: Alternativa (d).
O
3) A figura abaixo mostra seis imagens sucessivas que registram a posição de um cubo
que se desloca da esquerda para a direita ao longo de uma superfície horizontal plana.
Considerando que o tempo decorrido entre uma imagem e a seguinte seja o mesmo,
que a força resultante sobre o cubo seja constante e que o eixo x esteja orientado para
a direita, é correto afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e)
A velocidade inicial do cubo e sua aceleração são positivas.
A velocidade inicial do cubo e sua aceleração são negativas.
A velocidade inicial do cubo é positiva e sua aceleração é negativa.
A velocidade inicial do cubo é negativa e sua aceleração é positiva.
A velocidade inicial do cubo é positiva e sua aceleração é nula.
Solução: Alternativa (c).
À medida em que o tempo passa, o cubo se desloca para a direita e a distância entre
duas posições sucessivas é cada vez menor. Logo, a aceleração é negativa e a
velocidade inicial é positiva.
4) A figura ao lado mostra o movimento de um
projétil. Supondo que seja possível desprezar o
efeito da resistência do ar, é correto afirmar que
no ponto mais alto da trajetória:
a) A aceleração e a velocidade são nulas.
b) A aceleração é nula, mas a velocidade é
diferente de zero.
c) A velocidade é nula, mas a aceleração é
diferente de zero.
d) A aceleração e a velocidade são diferentes
de zero.
e) É impossível saber se a aceleração e a
velocidade serão nulas ou não.
Solução: Alternativa (d).
Em qualquer ponto da trajetória a aceleração do projétil é a aceleração da gravidade e o
componente horizontal da velocidade sempre será diferente de zero. Portanto em
qualquer ponto da trajetória tanto a aceleração quanto a velocidade do projétil serão
diferentes de zero.
5) Uma haste delgada, homogênea, de comprimento L e massa M pode girar em torno
do eixo z, que é perpendicular a seu eixo de simetria. O momento de inércia em cada
uma das situações mostradas na figura abaixo é dado por I1, I2 e I3. A partir dessas
informações é correto afirmar que:
a) I1 > I2 > I3.
b) I1 > I3 > I2.
c) I2 > I1 > I3.
d) I2 > I3 > I1.
e) I3 > I2 > I1.
I1
Solução: Alternativa (a).
I2
I3
6) Considere as seguintes situações:
I. Um automóvel de massa m viaja com uma velocidade de 90 km/h em uma
estrada retilínea e horizontal quando colide com uma carreta que estava em
repouso.
II. Um automóvel idêntico a esse, inicialmente em repouso, cai de uma altura h e
colide com o chão.
Supondo que a resistência do ar possa ser desprezada, calcule qual deveria ser a
altura h para que o momento linear do automóvel imediatamente antes da colisão
fosse o mesmo nas duas situações. Adote g = 10 m/s2.
Solução:
Se os automóveis são idênticos, eles têm a mesma massa. Se o momento linear for o
mesmo nas duas situações, então a velocidade também será a mesma. Assim, basta
calcular a altura h tal que a velocidade do segundo automóvel seja de 90 km/h
imediatamente antes da colisão:
7) Um ônibus viaja ao longo de uma estrada retilínea com uma velocidade constante de
72 km/h enquanto um passageiro caminha ao longo corredor com uma velocidade
constante de 1 m/s em relação ao piso do ônibus. Calcule a velocidade desse
passageiro em relação à estrada quando:
a) o passageiro sai da primeira fila junto ao motorista e vai para o fundo do ônibus;
b) o passageiro sai da última fila e vai até a frente do ônibus.
Solução:
8) Uma caixa sem tampa tem o formato de um cubo. Todas as suas cinco faces (o fundo
da caixa e as quatro faces laterais) são idênticas, têm lado L e massa M. Supondo que
a espessura das faces possa ser desprezada, calcule a distância entre o fundo e o
centro de massa da caixa.
Solução:
Adotando um sistema de coordenadas em que o fundo da caixa esteja no plano x y e
que a coordenada z da abertura da caixa seja positiva, vem:
9) Um torque constante é aplicado a um disco homogêneo de 400 g, inicialmente em
repouso, que pode girar em torno de um eixo vertical que passa por seu centro.
Depois de 5,0 segundos sua velocidade angular chega a 30 rotações por minuto.
Sabendo que o raio do disco é de 20 cm, calcule:
a) a aceleração angular do disco;
b) o torque aplicado a ele.
Dado: Idisco = (m r2)/2
Solução:
Como o torque e o momento de inércia são constantes, a aceleração angular também
será constante. Então:
(a)
(b)
10) Duas caixas A e B estão conectadas por uma corda inextensível, como mostra a figura
acima. A caixa B é puxada para a direita com uma força constante de 20 N. Supondo
que não haja atrito entre as caixas e o solo, que a massa de A seja 2,0 kg e que a
massa de B seja 3,0 kg, calcule:
a) A aceleração da caixa A.
b) A tração na corda que une as duas caixas.
Solução: