Estado Triaxial de Tensões

Estado Triaxial de Tensões
Nota de aula 5 - Estado
Triaxial de Tensões Resistência dos Materiais
II
Flávia Bastos (retirado da apostila do Prof. Elson Toledo)
MAC - Faculdade de Engenharia - UFJF
2o. semestre de 2010
Flávia Bastos
RESMAT II
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Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Informações sobre este documento: Estes slides servem para
auxiliar no desenvolvimento expositivo durante as aulas de
resistência dos materiais II ministradas pela professora Flávia
Bastos e são baseados na apostila do Prof. Elson Toledo.
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Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Natureza da grandeza tensão
Tensão é uma medida de intensidade de força, tanto dentro
quanto no contorno de um corpo sujeito a forças.
• Forças de corpo: agem em elementos volumétricos
distribuídos ao longo de todo o corpo (ex: força peso);
• Forças de superfície: agem em elementos de área
localizados em determinadas porções da superfície ou
contorno do corpo (ex: força de contato);
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Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Natureza da grandeza tensão
Seja P um ponto no interior do corpo. Imagine um plano de
seção π passando pelo ponto P.
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Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Natureza da grandeza tensão
Seja P um ponto no interior do corpo. Imagine um plano de
seção π passando pelo ponto P.
O ponto P está no centro de um elemento de área ∆A, cuja normal é
n. Seja ∆FR a parcela de força sobre o elemento ∆A em torno de P.
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Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Natureza da grandeza tensão
Define-se o vetor de tensão total no ponto P segundo o plano π
como:
−−→
∆Fr
ρn = lim
f ∆A→0 ∆A
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Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Natureza da grandeza tensão
O vetor de tensão total pode ser decomposto segundo duas
direções:
ρn = σn n + τ t
(2)
e
e
f
onde n e t são vetores unitários, ou ainda, utilizando um par de
e
eixos eortogonais
t1 e t2 no plano π:
e e
ρn = σn n + τt1 t1 + τt2 t2
(3)
e
e
e
f
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Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Natureza da grandeza tensão
Podemos proceder de modo sistemático realizando cortes
segundo planos coordenados passando pelo ponto de
interesse.
ρx = σxx i + τxy j + τxz k
e
e
e
e
ρy = τyx i + σyy j + τyz k
e
e
e
e
ρz = τzx i + τzy j + σzz k
e
e
e
e
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(4)
(5)
(6)
Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Natureza da grandeza tensão
Convenção de sinais:
• Em faces cuja
normal é positiva,
tensões serão
positivas se
apontarem nas
direções positivas
dos eixos.
• Em faces cuja
normal é negativa,
tensões serão
positivas se
apontarem nas
direções negativas
dos eixos.
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Natureza da grandeza tensão
Natureza da grandeza tensão
O primeiro índice indica o eixo da normal ao plano de seção e
o segundo índice indica o eixo na direção que a componente
atua. Os valores das componentes formam a matriz de tensões
dada por:


σxx τxy τxz
σ =  τyx σyy τyz 
(7)
e
e
τzx τzy σzz
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Natureza da grandeza tensão
Simetria da matriz de tensões
X
MP = 0
(8)
∂τyx
∂τxy
τyx +
dy dxdz
dy − τxy +
dx dydz |{z}
dx = 0
| {z } |{z}
| {z }
∂y
∂x
|
{z
} Área braço |
{z
} Área braço
Tensão
Tensão
(9)
τyx dxdydz +
∂τyx 2
∂τxy 2
dy dxdz − τxy dxdydz −
dx dydz
∂y
∂x
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Natureza da grandeza tensão
Simetria da matriz de tensões
(11)
τyx = τxy
Analogamente:
τzx = τxz
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e
τyz = τzy
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(12)
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Natureza da grandeza tensão
Simetria da matriz de tensões
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Natureza da grandeza tensão
Simetria da matriz de tensões
τyx = τxy
τzx = τxz
e
τyz = τzy
e
(13)
Logo:
σT = σ
e
e
e
e
Escrevemos que:
(14)


σxx τxy τxz
σ =  τxy σyy τyz 
e
e
τxz τyz σzz
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Natureza da grandeza tensão
Cálculo do Vetor tensão total num
plano qualquer
Plano qualquer de normal
N (l, m, n) (cossenos diretores).
Área ∆AOC = ∆ABC ·m;
Área ∆BOC = ∆ABC · l;
Área ∆BOA = ∆ABC · n;
ΣFx = 0
ρx (∆ABC) = σxx (∆ABC) · l + τyx (∆ABC) · m + τzx (∆ABC) · n
(16)
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Natureza da grandeza tensão
Cálculo do Vetor tensão total num
plano qualquer
X
Fx = 0 ⇒ ρx = σx l + τyx m + τzx n
(17)
X
Fy = 0 ⇒ ρy = τxy l + σy m + τzy n
(18)
X
Fz = 0 ⇒ ρz = τxz l + τzy m + σz n
(19)
ou:

 


σxx τyx τzx  l 
 ρx 
ρy
m
=  τxy σyy τzy 




ρz
τxz τyz σzz
n
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Natureza da grandeza tensão
Podemos então reescrever:
ρn = σ T N
f e
e e
σT = σ
e
e
e
e


 l 
m
N=


e
n
ou como
ρn = σ N
f e
ee
com
(21)
(22)
A tensão normal em um plano qualquer é obtida pela projeção
do vetor total sobre a normal ao plano (produto escalar):
Tensão tangencial:
σn = ρn · N
f e
τn =
(23)
q
|ρn |2 − σn2
f
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Natureza da grandeza tensão
Exemplo 1
Dado o tensor de tensão abaixo que define o estado de tensão
num ponto de uma estrutura, pede-se determinar o vetor
tensão total, a tensão normal e a tensão tangencial total
atuando num plano paralelo ao plano x + 2y + 2z = 6 passando
por este ponto. Determine também as forças totais, tangencial
e normal neste plano considerando uma área de 10mm2 .


2 4 3
σ = 100  4 0 0  N/mm2
e
e
3 0 1
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Natureza da grandeza tensão
Exemplo 2
Problema da solicitação axial:
 F
A
σ= 0
e
e
0

0 0
0 0 
0 0
Para um plano de seção cuja normal é N = cosϕi + senϕj
e
e
e
passando por um ponto P qualquer da peça,
determinar
as
orientações que resultam nas máximas tensões normal e
tangencial.
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Natureza da grandeza tensão
Exemplo 2
Solução.
• Tensão total no plano.
ρn = σ N
f e
ee

F
A
ρn =  0
f
0
com


 l 
m
N=


e
n
 

0 0  cosϕ  
senϕ
=
0 0 

 
0
0 0
F
A cosϕ
0
0
|ρn | = σx cosϕ
f
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



 ρnx 
ρny
=
 

ρnz
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Natureza da grandeza tensão
Exemplo 2
Solução.
• Tensão normal no plano.
σn = ρn · N
f e


F
 cosϕ  F
senϕ
σn = A cosϕ 0 0
= cos2 ϕ

 A
0
σn = σx cos2 ϕ
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Natureza da grandeza tensão
Exemplo 2
Solução.
• Tensão tangencial no plano.
q
|ρn |2 − σn2
f
p
p
τn = σx cos2 ϕ − cos4 ϕ = σx cos2 ϕ(1 − cos2 ϕ) = σx cosϕsenϕ =
τn =
τn = σx
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sen2ϕ
2
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Natureza da grandeza tensão
Exemplo 2
Solução.
• Tensão normal máxima.
σn = σx cos2 ϕ
dσn
sen2ϕ
= −2σx cosϕsenϕ = −2σx
= −σx sen2ϕ
dϕ
2
dσn
= −σx sen2ϕ = 0
dϕ
2ϕ = 0 ∴ ϕ = 0
sen2ϕ = 0 ⇒
2ϕ = π ∴ ϕ = π2
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ou
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Natureza da grandeza tensão
Exemplo 2
Solução.
• Tensão normal máxima.
d2 σn
= −2σx cos2ϕ < 0 em ϕ = 0 ⇒ σn = σx
dϕ2
d2 σn
π
= −2σx cos2ϕ > 0 em ϕ = ⇒ σn = 0
2
dϕ
2
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Natureza da grandeza tensão
Exemplo 2
Solução.
• Tensão tangencial máxima.
τn = σx
sen2ϕ
2
dτn
= σx cos2ϕ = 0
dϕ
cos2ϕ = 0 ⇒
2ϕ = ± π2 ∴ ϕ = ± pi
4
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Natureza da grandeza tensão
Exemplo 2
Solução.
• Tensão tangencial máxima.
d2 τn
σx
pi
= −2σx sen2ϕ < 0 em ϕ =
⇒ τn =
dϕ2
4
2
d2 τn
π
σx
= −2σx cos2ϕ > 0 em ϕ = − ⇒ τn = −
2
dϕ
4
2
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Natureza da grandeza tensão
Exemplo 2
Solução.
• Em ϕ = 0 ⇒ σn = σx e τn = 0;
• Em ϕ = π2 ⇒ σn = 0 e τn = 0;
• Em ϕ = ± π4 ⇒ σn = σ2x e τn = ± σ2x ;
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