Alfabeto da Lógica Proposicional

Alfabeto da Lógica
Proposicional
Ciência da Computação
Definição 1.1 (alfabeto) - O alfabeto da
Lógica Proposicional é constituído por:
Programação em Lógica
símbolos de pontuação: ( , ; , )
símbolos de verdade: V , F
símbolos proposicionais:
P , Q , R , S, P1 , Q1 , R1 , S1 , α , β , ...;
conectivos proposicionais: ~ , ∧ , ∨ , → , ↔
Sintaxe e Semântica da Lógica
Proposicional – Parte I
Prof. Sergio Ribeiro
Material adaptado do livro-texto de João Nunes de Souza
Programação em Lógica
Sintaxe da Lógica
Proposicional
Sintaxe da Lógica
Proposicional
Definição 1.2 (fórmula ) - As fórmulas da
linguagem da Lógica Proposicional são
construídas, de forma indutiva, a partir dos
símbolos do alfabeto conforme as regras a
seguir. O conjunto das fórmulas é o menor
conjunto que satisfaz as regras:
se H e G são fórmulas, então a conjunção de H e G,
dada por: (H ∧ G), é uma fórmula;
se H e G são fórmulas, então a disjunção de H e G,
dada por: (H ∨ G), é uma fórmula;
se H e G são fórmulas, então a implicação de H em G,
dada por: (H → G), é uma fórmula. Nesse caso, H é o
antecedente e G o conseqüente da fórmula (H → G);
se H e G são fórmulas, então a bi-implicação de H e G,
dada por: (H ↔ G), é uma fórmula. Nesse caso, H é o
lado esquerdo e G o lado direito da fórmula (H ↔ G).
todo símbolo de verdade é uma fórmula;
todo símbolo proposicional é uma fórmula;
se H é uma fórmula, então (~H), a negação de
H, é uma fórmula;
Programação em Lógica
3
Sintaxe da Lógica
Proposicional
Programação em Lógica
4
Propriedades Semânticas
da Lógica Proposicional
Definição 1.3 (subfórmula ) - Seja H uma
fórmula da Lógica Proposicional, então:
Definição 1.4 (propriedades semânticas
básicas da Lógica Proposicional ) - Sejam
H, G, H1, H2,...,Hn, fórmulas da Lógica
Proposicional. As propriedades semânticas
básicas da Lógica Proposicional são
definidas a seguir.
H é uma subfórmula de H;
se H é uma fórmula do tipo (~G),
então G é uma subfórmula de H;
se H é uma fórmula do tipo: (G ∨ E), (G ∧ E),
(G → E) ou (G ↔ E)
então G e E são subfórmulas de H;
se G é subfórmula de H, então toda subfórmula
de G é subfórmula de H.
Programação em Lógica
2
5
Programação em Lógica
6
1
Propriedades Semânticas
da Lógica Proposicional
Propriedades Semânticas da
Lógica Proposicional
H é uma tautologia,
se, e somente se,
para toda interpretação I, I[H]= V
H é contraditória,
se, e somente se,
para toda interpretação I, I[H] = F
H é satisfatível,
se, e somente se,
existe uma interpretação I, tal que I[H]= V
H implica semanticamente G,
ou G é uma conseqüência lógica semântica de H,
se, e somente se,
para toda interpretação I, se I[H] = V, então I[G] = V
H é uma contingência,
se, e somente se,
existem duas interpretações I1 e I2, tais que
I1[H] = V e I2[H] = F
Programação em Lógica
H equivale semanticamente a G,
se e somente se,
para toda interpretação I, I[H] = I[G]
7
Exemplos
Programação em Lógica
8
Exemplos
A fórmula H = P ∨ ~P é uma tautologia.
A fórmula H = P ∧ ~P é contraditória.
Interpretações
P
~P
P ∨ ~P
Interpretações
P
~P
P ∧ ~P
I1
F
V
V
I1
F
V
F
I2
V
F
V
I2
V
F
F
A fórmula H = P ∨ Q é satisfatível e contingente.
Interpretações
P
Q
P∨Q
I1
F
F
F
I2
F
V
V
I3
V
F
V
I4
V
V
V
9
Programação em Lógica
E implica G? sim
Logo, E ╞ G
Interpretações
P
Q
E
H
G
I1
F
F
F
F
V
I2
F
V
V
F
V
I3
V
F
F
F
F
E implica H? não
I4
V
V
V
V
V
Por que?
Programação em Lógica
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Propriedades Semânticas da
Lógica Proposicional
Exemplos
Dada uma interpretação I,
então
I satisfaz H, se I[H] = V
As fórmulas H = (~P ∧ ~Q) e G = ~(P ∨ Q) são
equivalentes.
Interpretações
P
Q
~P
~Q
H
PvQ
G
I1
F
F
V
V
V
F
V
I2
F
V
V
F
F
V
F
I3
V
F
F
V
F
V
F
I4
V
V
F
F
F
V
F
Programação em Lógica
Seja E = ((P ∧ Q) ∨ Q), H = (P ∧ Q) e G = (P → Q)
O conjunto β = {H1,H2,...,Hn,...} é satisfatível,
se, e somente se,
existe ao menos uma interpretação I, tal que
I[H1] = V, I[H2] = V,... = I[Hn] = V, ....
Nesse caso, I satisfaz o conjunto de fórmulas.
Caso não haja tal interpretação, então o
conjunto β é insatisfatível.
11
Programação em Lógica
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2
Propriedades Semânticas da
Lógica Proposicional
Propriedades Semânticas da
Lógica Proposicional
Notação. Se um conjunto de fórmulas β
implica semanticamente H,
ou seja, H é conseqüência lógica
semântica de β,
então tal fato é indicado por β╞ H.
No caso em que β é vazio,
então é utilizada a notação ╞ H.
Dado um conjunto de fórmulas vazio, então
toda interpretação I satisfaz esse conjunto.
O conjunto β = {H1,H2,...,Hn,...},
implica semanticamente uma fórmula H,
se para toda interpretação I;
se I[β]= V, então I[H]= V
Nesse caso, também dizemos que H é uma
conseqüência lógica semântica de β.
Programação em Lógica
13
Neste caso, dizemos que H é uma tautologia
ou que H é um teorema.
Programação em Lógica
Propriedades Semânticas da
Lógica Proposicional
Propriedades Semânticas da
Lógica Proposicional
O símbolo ╞ é, portanto, utilizado para
denotar a implicação semântica ou
conseqüência semântica, que relaciona
interpretações de fórmulas.
No caso em que β não implica
semanticamente H, isto é,
H não é conseqüência lógica semântica
de β, é utilizada a notação: β |≠ H.
Nota. "implicação semântica" significa o
mesmo que "conseqüência lógica
semântica".
Programação em Lógica
Notação. Se uma interpretação I satisfaz
o conjunto de fórmulas β, esse fato é
indicado por I[β] = V.
15
Exemplos
Programação em Lógica
Programação em Lógica
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Exemplos
O seguinte conjunto de fórmulas é satisfatível ou
insatisfatível? β = {(P → Q), (Q → R) e (R → P)}
O seguinte conjunto de fórmulas é
satisfatível ou insatisfatível?
β = {P, ~P, Q}
Interpretações
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Int.
P
Q
R
P→Q
Q→R
R→P
I1
F
F
F
V
V
V
I2
F
F
V
V
V
F
Q
I3
F
V
F
V
F
V
P
~P
I1
F
V
F
I4
F
V
V
V
V
F
I2
V
F
V
I5
V
F
F
F
V
V
I6
V
F
V
F
V
V
I7
V
V
F
V
F
V
I8
V
V
V
V
V
V
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Programação em Lógica
18
3
Relações entre as
Propriedades Semânticas
Relações entre as
Propriedades Semânticas
Proposição 1.1 (tautologia e contradição)
Proposição 1.2 (tautologia e satisfatibilidade)
Dada uma fórmula H, então:
Dada uma fórmula H,
se
H é tautologia
então
H é satisfatível
H é tautologia,
se, e somente se,
~H é contraditória
Programação em Lógica
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Programação em Lógica
Relações entre as
Propriedades Semânticas
Relações entre as
Propriedades Semânticas
Proposição 1.3 (tautologia e contradição)
Proposição 1.4 (implicação semântica
e o conectivo →)
Dada uma fórmula H, então:
H é tautologia,
se, e somente se,
¬H é contraditória
20
Dadas duas fórmulas H e G,
H╞ G,
se, e somente se,
(H → G) é tautologia
¬H não é satisfatível,
se, e somente se,
¬H é contraditória
Programação em Lógica
21
Relações entre as
Propriedades Semânticas
22
Relações entre as
Propriedades Semânticas
Proposição 1.6 (transitividade da
equivalência semântica)
Proposição 1.5 (equivalência semântica
e o conectivo ↔)
Dadas as fórmulas E, H e G,
se
E equivale a H
e
H equivale a G,
então
E equivale a G
Dadas as fórmulas H e G,
H equivale a G,
se, e somente se,
(H ↔ G) é tautologia
Programação em Lógica
Programação em Lógica
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Programação em Lógica
24
4
Exercícios
1.
Comente, do ponto de vista lógico:
a)
b)
c)
2.
Exercícios
3.
a diferença entre sintaxe e semântica
a diferença entre veracidade e validade
a diferença entre falsidade e contradição
a)
b)
Seja I uma interpretação tal que:
I[P ↔ Q] = V. O que se pode deduzir
sobre a interpretação: I[~P ∧ Q] e
I[P ∨ ~Q]?
Programação em Lógica
4.
25
Sejam H e G duas fórmulas tais que H
implica G. A partir deste fato, é possível
concluir que para toda interpretação I,
I[H] = V e I[G] = V? Justifique sua
resposta.
26
Exercícios
Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras
e falsas. Justifique sua respostas.
a)
Dada uma fórmula contraditória H, é possível
encontrar uma interpretação I tal que I[H] = V.
b)
Se H é uma tautologia, então não existe
interpretação I tal que I[~H] = V.
c)
Se [H1,H2,...,Hn] é um conjunto satisfatível de
fórmulas, então para toda interpretação I,
I[Hi] = V.
Programação em Lógica
H é contraditória ⇒ (H → G) é válida.
H é tautologia e G é contraditória ⇒ (H → G)
é contraditória.
Programação em Lógica
Exercícios
5.
Dadas as fórmulas H e G, demonstre que:
27
6.
Verifique se o conjunto de argumentos
abaixo é satisfatível.
Marcos não está feliz ou se Silvia foi ao baile,
então Marcos também foi ao baile. Se Marcos
está feliz, então Silvia não foi ao baile. Se
Marcos foi ao baile, então Silvia também foi ao
baile.
Programação em Lógica
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5