UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE Faculdade

UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE
Faculdade de Ciências
Departamento de Matemática e Informática
CIG-Pós-Laboral, Teste I, Matemática Discreta II, Duração: 90 minutos, 09.09.2015
Guião de correção
1. (2V+2V) Seja T : N → Z , a função definida da seguinte maneira:
(B) T (1) = 1
(R) T (n) = 2T (n − 1) + 3, ∀n ≥ 2
a) Ache T (4), T (5)
Resolução:
T (4) = 2T (3) + 3 = 2[2T (2) + 3] + 3 = 4T (2) + 6 + 3 = 4[2T (1) + 3] + 9 =
8T (1) + 12 + 9 = 8 + 12 + 9 = 29
T (5) = 2T (4) + 3 = 2 · 29 + 3 = 61
b) Mostre que para ∀n ∈ N, T (n) = 2n+1 − 3
Demonstração:
Passo Básico: para n = 1 temos T (1) = 22 −3 = 1 é verdade pela base na definição
dada.
Passo indutivo: Suponhamos que para n = k > 1 a proposição T (k) = 2k+1 − 3 é
verdadeira.
Vamos provar que para n = k + 1 também é verdade que T (k + 1) = 2k+2 − 3.
Pela definição recursiva (R) temos que T (k +1) = 2T (k)+3, e pela suposição temos
que T (k + 1) = 2 · 2k+1 − 3 = 2k+2 − 3.
1
2. (2V+2V) Considere S ⊂ Z definido por
(B) 4 ∈ S
(R) Se x ∈ S e y ∈ S , então x + y ∈ S .
a) Encontre os elementos de S
Resolução:
3 ∈ S ⇒ 3 + 3 = 6 ∈ S ⇒ 3 + 6 = 9 ∈ S, 6 + 6 = 12 ∈ S ⇒ 9 + 3, 9 + 9, 9 + 6, 12 +
9, 12 + 12 ∈ S . Logo, S = {3, 6, 9, 12, 15, 18, . . .}.
b) Prove que se z ∈ S então 4|z .
Demonstração:
Passo Básico: Pela base na definição dada 3 ∈ S , 3|3 é verdade.
Passo indutivo: Suponhamos que para x = k ∈ S a proposição 3|k é verdadeira. Sendo
assim k pode está na forma k = 3i, onde i = 1, 2, 3, . . .. E pelo passo recursivo (R)
teremos k + k = 3i + 3i = 3 · |{z}
2i = 3j consideremos ainda consideremos k1 e k2 ∈ S ,
j
i1 ̸= i2 tal que 3|k1 e 3|k2 , então k1 = 3i1 e k2 = i2 , i1 , i2 ∈ 1, 2, 3, . . . pelo passo recursivo
k1 + k2 = 3i1 + 3i2 = 3(i1 + i2 ) que também é divisı́vel por 3. 2
3. (1V+2V+2V+2V) Dada a expressão F = + − ∗842/ ∗ 531
a) Verifique se F é uma formula calculando a sucessão de ı́ndices.
Resolução:
1, 2, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 0, −1 visto que o último indice é −1 então F é uma formula.
b) Construa a árvore binária correspondente a F .
c) Escreva F na forma infixa e posfixa designando por F1 e F2 respectivamente e calcule
o valor de F2 .
Resolução:
Forma infixa: F1 = (((8 ∗ 4) − 2) + ((5 ∗ 3)/1))
Forma posfixa: F2 = 84 ∗ 2 − 53 ∗ 1/+ e
V (F2 ) = (8 ∗ 4)2 − (5 ∗ 3)1/+ = (32)2 − (15)1/+ = (30)(15)+ = 30 + 15 = 45
d) Com ajuda da operação ligação escreva uma expressão para a arvore obtida em b).
Resolução:
F = lig(+, lig(−, lig(∗, ⊙8, ⊙4), ⊙2), lig(/, lig(∗, ⊙5, ⊙3), ⊙1))
3
4. (2V+2V+1V) Seja dada uma messagem escrita com as letras (a,b,c,d,e,f) as ocorrências
das quais são, respectivamente, os números da lista L={ 7;3;42;2;19;8}
a) Aplicando o algoritmo de Huffman construa uma árvore binária óptima, sendo L a
lista dos pesos.
Resolução:
L1 = {2, 3, 7, 8, 19, 42}; p′1 = 2 + 3 = 5; A1 = lig(5, ⊙2, ⊙3)
L2 = {5, 7, 8, 19, 42}; p′1 = 5 + 7 = 12; A2 = lig(12, A1 , ⊙7)
L3 = {8, 12, 19, 42}; p′1 = 8 + 12 = 20; A3 = lig(20, ⊙8, A2 )
L4 = {19, 20, 42}; p′1 = 19 + 20 = 39; A4 = lig(39, ⊙19, A3 )
L5 = {39, 42}; p′1 = 39 + 42 = 81; A5 = lig(81, A4 , ⊙42)
Figura 1: Árvore binária óptima A
b) Escreva os códigos duma menssagem mı́nima de comprimento usando o resultado
obtido em a).
Resolução:
Sı́mbolos
a
Códigos
0111
b
c
01101 1
d
e
f
01100 00 010
c) Ache o comprimento desta mensagem.
Resolução:
O comprimento da messagem é igual ao peso da árvore:
P (A) = 7 · 4 + 3 · 5 + 42 · 1 + 2 · 5 + 2 · 19 + 8 · 3 = 157
Bom trabalho!
Docente: Boaventura Maxlhope
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