Truques e Dicas - Matemática Simples

Truques e Dicas
O que se segue serve para esclarecer alguma questão que possa surgir ao resolver um
exercı́cio de matemática. Espero que lhe seja útil!
Cap. I Fracções
1. Soma e Produto de Fracções
Para somar (ou subtrair) fracções é necessário que estas estejam ao mesmo denominador.
Feito isto mantém-se o denominador e somam-se (ou subtraem-se) os numeradores:
2 1
2
1
12
5
12 − 5
7
− =
−
=
−
=
=
5 6
5 (×6) 6 (×5) 30 30
30
30
Para multiplicar fracções basta multiplicar os numeradores e os denominadores:
2×1
2
1
2 1
× =
=
=
5 6
5×6
30
15
Caso algum factor não tenha denominador considera-se que este é igual a 1:
3×
4
3 4
12
= × =
5
1 5
5
2. Divisão de Fracções
Para resolver divisões do tipo:
2
3
4
7
Pode-se multiplicar a fracção superior pelo inverso da inferior. Ou então, recorrer à regra
do ”pneu”em que os extremos da divisão passam (a multiplicar) para o numerador e os
elementos do meio passam para o denominador. Isto é
2
3
4
14
12
7
Caso a divisão tenho apenas três parcelas então aconselha-se a completar a parcela de
modo a obter uma situação como a anterior. Vejamos dois exemplos diferentes:
x+3
5
x−1
x+3
5
x−1
=
=
x+3
5
x−1
1
x+3
1
5
x−1
=
=
(x + 3) × 1
5 × (x − 1)
(x + 3) × (x − 1)
1×5
É importante saber onde está a ”principal”divisão de modo a completar de modo conveniente.
1
3. Simplificação em Fracções
Em fracções só é permitido eliminar factores que estejam a multiplicar, por exemplo:
x2 − 7x
x(x2 − 7x)
=
x2
x
Em caso de soma no numerador é sempre possı́vel separar a fracção e depois proceder à
simplificação. Por exemplo:
x2 − 3
x2
3
x
3
=
−
= −
2x
2x 2x
2 2x
4. Eliminação de Denominadores
Apenas em equações e inequações é permitido eliminar os denominadores, e claro que
todos os elementos da fracção devem ter tal denominador:
x2 −
1 x
10x2
2
5x
40
+ =4⇔
−
+
=
⇔ 10x2 − 2 + 5x = 40
5 2
10
10 10
10
5. Sinal Negativo Atrás de uma Fracção
Na resolução de alguns problemas é usual surgir um sinal negativo antes de uma fracção.
Tal sinal afecta toda os elementos da fracção. Um modo de simplificar uma situação deste
tipo pode ser (por exemplo) trocar de sinal todos os elementos do numerador ficando desta
forma um sinal positivo antes da fracção:
2−
x2 − 3x + 7
−x2 + 3x − 7
=2+
x+5
x+5
Cap. II Equações e Inequações
6. Resolução de Equações de Grau 1
Numa equação (ou inequação) um determinado valor passa para o outro membro da igualdade (ou desigualdade) a efectuar a operação contrária.
. Um valor a somar passa para o outro lado a subtrair:
x+3=5⇔x=5−3
. Um valor a subtrair passa para o outro lado a somar:
x−3=5⇔x=5+3
. Um valor a multiplicar passa para o outro lado a dividir:
5
3
. Um valor a dividir passa para o outro lado a multiplicar:
3x = 5 ⇔ x =
x
=5⇔x=3×5
3
2
7. Resolução de Equações de Grau 2
Para resolver equações de grau 2 do tipo ax2 + bx + c = 0 recorre-se à fórmula resolvente:
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
No entanto, existem duas situações especiais que não necessitam de fórmula resolvente:
. ax2 + c = 0 Neste caso basta isolar x2 e fazer a raiz quadrada. Por exemplo:
√
48
⇔ x2 = 16 ⇔ x = ± 16 ⇔ x = ±4
3
2
. ax + bx = 0 Neste caso basta colocar em evidência x e recorrer à lei do anulamento do
produto. Por exemplo:
3x2 − 48 = 0 ⇔ 3x2 = 48 ⇔ x2 =
2x2 + 6x = 0 ⇔ x(2x + 6) = 0 ⇔ x = 0 ∨ 2x + 6 = 0 ⇔
⇔ x = 0 ∨ 2x = −6 ⇔ x = 0 ∨ x =
−6
⇔ x = 0 ∨ x = −3
2
8. Inequações de Grau 1
A resolução de uma inequação deste tipo é muito semelhante à resolução de uma equação.
É importante ter em conta que ao multiplicar ou dividir a inequação por um número negativo
o sinal da desigualdade ”vira”. Por exemplo:
2
4
4
12
36
24
− x+ ≤6⇔− x+
≤
⇔ −4x ≤ 36 − 12 ⇔ −4x ≤ 24 ⇔ x ≥
⇔ x ≥ −6
3
2
6
6
6
−4
O conjunto solução é S = [−6, +∞[.
9. Inequações de Grau 2
Apenas para os alunos do 110 e 120
Vejamos o exemplo x2 + 4x + 9 ≤ 3x2 − 2x + 1. A resolução de uma inequação deste tipo
é diferente à resolução de uma equação do segundo grau. É necessário recorrer aos seguintes
passos:
. Passar todos os termos da desigualdade para o membro do lado esquerdo e simplificar:
x2 + 4x + 9 ≤ 3x2 − 2x + 1 ⇔ x2 + 4x + 9 − 3x2 + 2x − 1 ≤ 0 ⇔ −2x2 + 6x + 8 ≤ 0
. Num cálculo auxiliar determinar os zeros da equação que se obtém ao substituir a
desigualdade por uma igualdade:
−2x2 + 6x + 8 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 4
. Fazer o esboço da parábola indicando os zeros e a concavidade. Relembre que uma
parábola ax2 + bx + c tem a concavidade voltada para cima se a > 0 e voltada para baixo se
a < 0. Neste caso a = −2 logo a concavidade é voltada para baixo:
3
+
−
4
−1
−
. O conjunto solução é obtido tendo em conta o esboço obtido assim como a desigualdade
obtida no primeiro passo. Se esta for do tipo · · · > 0 (ou · · · ≥ 0) conta a parte acima do eixo
dos xx. Se for · · · < 0 (ou · · · ≤ 0) conta a parte abaixo (no caso das desigualdades dentro
de parêntesis os intervalos são fechados).
Neste caso −2x2 + 6x + 8 ≤ 0 conta a parte negativa da parábola. A solução é S =
] − ∞, −1] ∪ [4, +∞[.
10. Os Casos Notáveis
Caso surja alguma expressão do tipo (2x − 3)2 esta deve ser resolvida recorrendo ao caso
notável. Aqui fica uma lista dos três casos notáveis existentes:
.(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
.(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
.(a − b)(a + b) = a2 − b2
Como alternativa é sempre possı́vel recorrer ao facto de (por exemplo) (2x − 3)2 = (2x −
3)(2x−3) e a seguir aplica-se a propriedade distributiva da multilicação. No entanto é sempre
aconselhável conhecer os casos notáveis.
Cap. III Potências e Raizes
11. Propriedades de Potências
Aqui fica uma lista das propriedades de potências e exemplos:
Propriedades
Produto
Divisão
Dupla
Soma
Produto de Igual Base
Divisão de Igual Base
Expoente Negativo (1)
Expoente Negativo (2)
Potência
(ab)n = an × bn
n
( ab )n = abn
(an )m = an×m
k1 an ± k2 an = (k1 ± k2 )an
an × am = an+m
an
= an−m
am
a−n = a1n
( ab )−n = ( ab )n
Exemplo
(3x)2 = 32 x2
2
( x3 )2 = x32
(x2 )4 = x2×4 = x8
3x2 − 4x2 = −x2
x3 × x7 = x3+7 = x10
x7
= x7−3 = x4
x3
3−2 = 312
( 35 )−2 = ( 53 )2
12. Passagem de Raiz para Potência
É sempre possı́vel passar uma raiz para potência (e vice-versa) uma vez que:
√
m
n
xn = x m
√
3
5
Por exemplo x3 = x 5 . Desta forma todas as propriedades atrás descritas são igualmente
aplicáveis às raizes.
4
13. Resolução de Equações com Potências
Na resolução de equações do tipo
xn = a é importante ter em atenção
ao expoente n:
√
√
. Se este for ı́mpar então x =√n a. Por exemplo: x5 = 9 ⇔ x = 5√9.
. Se este for par então x = ± n a. Por exemplo: x4 = 9 ⇔ x = ± 4 9. Note que neste caso
se a for negativo tal equação é impossı́vel uma vez que não existem raı́zes pares de números
negativos.
14. Raizes e Valores sem Raiz
. É possı́vel multipicar dois valores dentro de raizes desde que o ı́ndice seja igual. Por
exemplo:
√
5×
√
3=
√
3×5=
√
15
. Duas expressões a somar (ou subtrair) com a mesma raiz pode ser simplificado do
seguinte modo:
√
√
√
5
5
5
3 4 − 6 4 = −3 4
√
. Numa multiplificação de expressões do tipo a n b multiplicam-se os valores fora da raiz
e os valores dentro da raiz separadamente (desde que os ı́ndices sejam iguais):
√
√
√
6
6
6
(3 8) × (5 9) = 15 72
15. Racionalizar Denominadores
Caso exista uma raiz quadrada no denominador convém retirá-lo multiplicando ambos
termos da fracção por essa raiz. Por exemplo:
√
√
√
√
3
5
3
3 5
3 5
3 5
√ = √ ×√ = √
=
=
2×5
10
2 5
2 5
5
2( 5)2
5