Disciplina: Educação Matemática e Tecnologias

ISNTITUTO FEDERAL CATARINENSE – CAMPUS SOMBRIO
Disciplina: Educação Matemática e Tecnologias
Professora: Margarete Farias Medeiros
Acadêmicas: Edna de Borba Cardoso e Suzana Scandolara Selau
Teoremas da Geometria Plana no Software Geogebra
Sequência didática:
Texto retirado de:
http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/atividades_diversas/teoremas_geometria/Objetos/GeometriaPla
na.swf
Introdução: O conhecimento em geometria se organiza através de noções e relações primitivas,
axiomas, definições e teoremas. As noções e as relações primitivas são aceitas sem explicação e
revestem-se de significados intuitivos (pontos, retas, estar entre, ser congruente a, etc). Os axiomas
são verdades aceitas como ponto de partida. No caso da geometria euclidiana, a intuição advinda
das experiências com o mundo sensível reforça essa aceitabilidade, e assim admitimos como
axiomas, entre outros:
 “Dados dois pontos distintos, existe uma única reta que os contém”.
 “Qualquer reta contém pelo menos dois pontos”.
 “Existem pelo menos três pontos não colineares”.
Também vamos admitir os axiomas que garantem que podemos transportar segmentos e transportar
ângulos a partir de determinada semirreta; e que também podemos medir segmentos e ângulos.
Outros axiomas que serão admitidos:
 “Se dois triângulos tem pares de lados em congruência subentendendo ângulos congruentes
então os demais elementos dos triângulos são congruentes (lado e ângulo)”. (Critério de
congruência LAL).
 “Por um ponto não pertencente a uma reta passa uma única reta paralela”.
As definições são simples facilitadoras de comunicação. Por exemplo, a expressão “mediatriz de
um segmento” significa “reta perpendicular ao segmento que passa pelo seu ponto médio deste”. Os
teoremas são afirmações passíveis de demonstração, estando sua veracidade garantida por
argumentação lógico-dedutiva, baseada nos axiomas e em teoremas já demonstrados. As
demonstrações dos teoremas aqui apresentados dependem de alguns teoremas básicos, que vamos
assumir como válidos mesmo sem tê-los aqui demonstrado. Isto porque a coletânea tem o objetivo
de evidenciar o processo de demonstração em Geometria. Os teoremas que serão assumidos são:
 “Se dois triângulos tem lados, correspondentemente, congruentes então os ângulos são,
correspondentemente, congruentes.” (Critério de congruência LLL).
 “Se dois triângulos tem pares de ângulos em congruência que subentendem lados
congruentes então os demais elementos (dois lados e um ângulo) também são congruentes.”
 “Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes”.
 “Duas retas são paralelas se e somente se os ângulos alternos internos são congruentes, bem
como os ângulos correspondentes”.
 “Um triângulo é isósceles se e somente se os ângulos da base são congruentes”.
Teorema 1: A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°.
1ª inserir os pontos A , B e C;
2ª inserir poligono entre os pontos, tirar rótulo dos segmentos;
3ª inserir retas entre os pontos AB, BC e inserir reta paralelela em C;
4ª inserir ângulos;
5ª tirar rotulos;
6ª colorir os ângulos congruentes;
7ª mover ponto A, B ou C.
Argumentos:
 Do paralelismo das retas temos ângulos amarelos
congruentes (alternos internos).
 E também ângulos vermelhos congruentes (correspondentes).
 Assim, no triângulo ABC, os ângulos de vértices A, B e C somam um ângulo raso, ou seja,
180°.
Teorema 2: Se um quadrilátero ABCD tem diagonais se bisectando, congruentes e perpendiculares,
então ABCD é quadrado.
1ª inserir pontos A e C;
2ª inserir segmento de reta entre os ponto AC;
3ª inserir ponto médio M entre os pontos AC,
4ª inserir reta perpendicular entre os pontos AC, passando por M;
5ª inserir círculo com centro M, passando pelos pontos AC, tirar rótulo;
6ª inserir interseção de dois objetos, gerando os ponto B e D;
7ª inserir segmento de reta entre os pontos, formando um quadrado, tirar rotulo;
8ª mover ponto A ou C.
Argumentos:
 Os segmentos MA, MC, MD e MB são raios do círculo, logo congruentes.
 Os ângulos de vértice M são retos.
 Aplicando o critério LAL temos a congruência dos triângulos AMB,
BMC, CMD e DMA.
 Logo os segmentos AB, BC, CD e DA são congruentes.
 E mais, os 4 triângulos são isóceles com ângulos da base de 45°, portanto os ângulos em A,
B, C e D são retos.
 Assim mostramos que ABCD é um quadrado.
Teorema 3: Se um quadrilátero ABCD tem os lados consecutivos AB e BC congruentes e os
ângulos de vértices A e B são retos, então ABCD é quadrado.
1ª inseir pontos A e B;
2ª inserir segmento de reta entre os pontos A e B;
3ª reta perpendicular passando pelo ponto A;
4ª reta perpendicular passando pelo ponto B;
5ª inseir círculo com centro em A, passando por B;
6ª inserir ponto de interseção e segmento de reta;
7ª reta paralela a AB passando por D;
8ª interseção e segmento de reta;
9ª colorir e tirar rotulos;
10ª quadrilátero rosa.
Argumentos:
 t pararelo à AB logo os ângulos em D e C são retos.
 AB e AD são raios do círculo logo o triângulo BAD é isóceles com
ângulos da base de 45°.
 Pelo critério LAL os triângulos BAD e BCD são congruentes.
 Logo são congruentes os segmentos BA e BC, bem como os segmentos DA e DC.
 Assim mostramos que ABCD é um quadrado.
Teorema 4: Se um quadrilátero ABCD tem um par de lados paralelos e congruentes, o quadrilátero
é um paralelogramo.
1ª inserir pontos A e B, segmento de reta entre AB e reta paralela;
2ª retas perpendiculares passando por A e por B;
3ª interseção de dois objetos, gerando pontos C e D;
4ª inserir segmentos de retas entre os pontos AD, DC, e CB;
5ª esconder retas; tirar rotulos;
6ª traças segmento de reta, formando uma diagonal do ponto B a D;
Argumentos:
 Os ângulos ABD e CDB são congruentes pois alternos internos em
retas paralelas.
 Como AB e CD congruentes, por LAL os triângulos ABC e
CDB são congruentes.
 Assim os ângulos ADB e CBD são congruentes.
 Sendo alternos internos as retas AD e BC são paralelas.
 Portanto ABCD é paralelogramo.
Teorema 5: Em um paralelogramo ABCD os lados opostos são congruentes.
1ª inserir pontos A e B;
2ª reta r entre o ponto A e B;
3ª reta paralela s, a reta r;
4ª reta perpendicular t passando pelo ponto A;
5ª reta paralela u, a reta t;
6ª interseção de dois pontos entre a reta st e reta su;
7ª nomear os pontos;
8ª inserir segmento de reta entre os pontos;
9ª colorir segmentos de reta e tirar rotulos;
10ª temos um paralelogramo;
11ª traçar um segmento de reta entre os pontos B e D;
12ª temos a diagonal, tirar rotulo e colorir;
13ª mover ponto A.
Argumentos:
 Os ângulos ADB e CBD são congruentes pois alternos internos em reta paralelas.
 Da mesma forma são congruentes os ângulos ABD e CDB.
 Pelo critério ALA os triângulos DAB e BCD são congruentes.
 Logo AD e BC são segmentos congruentes bem como os segmentos AB e DC.
Teorema 6: Em um paralelogramo ABCD as diagonais se bissectam.
 Construir até o passo 12ª do teorema 5 e continuar, inserir outro segmento de reta para a
outra diagonal e o ponto de interseção entre as diagonais.
 Pelo teorema 5 os lados opostos de ABCD são congruentes.
 Os ângulos EDA e EBC são congruentes pois alternos
internos em paralelas.
 Os ângulos EAD e ECB também são congruentes pois alternos
Internos em pararelas.
 Pelo critério ALA são congruentes os triângulos EAD e ECB.
 Portanto os segmentos EA e EC são congruentes bem como os
segmentos EB e ED são congruentes.
Teorema 7: Se um quadrilátero as diagonais se bissectam então o quadrilátero é um paralelogramo.
1ª inseir os pontos A e C, e o segmento de reta entre os pontos;
2ª inseir o ponto médio O entre o ponto A e C;
3ª inseir pontos B e D;
4ª inseir segmenode reta passando pelo ponto O;
5ª temos o quadrilatero ABCD.
Argumentos:
 Por construção os segmentos AO e OC são congruentes e também
são congruentes os segmentos OB e OD.
 Nos triângulos OAB e OCD os ângulos em O são opostos pelo
vértice, portanto congruentes.
 Pelo critério LAL são congruentes os triângulos OAB e OCD.
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
Logo são congruentes os segmentos AB e DC.
Também são congruentes os ângulos OBC e ODC.
E sendo ângulos alternos internos as retas AB e OC são paralelas.
Sendo os segmentos AD e DC paralelos e congruentes pelo teorema 4 ABCD é
paralelogramo.
Teorema 8: Se P é ponto da mediatriz do segmento AB então o segmentos PA e PB são
congruentes.
1ª inserir os pontos A e B;
2ª inserir o segmento de reta entre os pontos A e B;
3ª inserir ponto médio M entre os pontos AB;
4ª reta perpendicular r, passando pelo ponto M;
5ª inserir ponto P na reta r;
6ª inserir segmento de reta entre os pontos PA e PB;
7ª mover ponto A ou B.
Argumentos:
 Como M é ponto médio de AB, tem-se MA e MB segmentos congruentes.
 Nos triângulos AMP e BMP ao ângulos de vértice M são retos.
 Portanto, pelo critéro LAL os triângulos AMP e BMP são congruentes.
 Assim PA e PB são segmentos congruentes.
Teorema 9: Dado um triângulo ABC sempre existe um circulo passando pelos três vértices.
1ª inseir os pontos A, B e C;
2ª traçar os segmentos de reta entre os pontos ABC;
3ª traçar a mediatriz r e s, entre os pontos AB e AC;
4ª inserir ponto de interseção O entre as mediatrizes;
5ª inserir cículo sendo o ponto O centro e passando pelos pontos ABC;
6ª mover ponto A.
Argumentos:
 Como O pertence a mediatriz r de BC temos OC e OB congruentes.
 Como O pertence a mediatriz s de AB temos AO e OB congruentes.
 Assim o círculo passando por A também contém os pontos B e C.
Teorema 10: Se um segmento tem extremidades nos pontos médios de dois lados de um triângulo,
então ele é paralelo ao terceiro lado e tem metade do comprimento do terceiro lado.
1ª inserir os ponto A, B e C;
2ª traçar o segmento de reta entre os pontos;
3ª inserir ponto médio entre AB e AC;
4ª reta paralela à AB, passando por C;
5ª traçar semireta entre os pontos MN;
6ª inserir ponto interseção;
7ª mover ponto A.
Argumentos:
 Os ângulos em N são opostos pelo vértice.
 AN e NC são congruentes.
 Os ângulos em A e C são congruentes pois são alternos internos em retas paralelas.
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Logo os triângulos ANM e CND são congruentes pelo critério ALA.
Assim DC e AM são congruentes.
Portanto CD e BM são congruentes e como são segmentos paralelos.
Pelo teorema 4, BMDC é paralelogramo.
Assim MN é paralelo à BC.
Como N é ponto médio de MD, MN=BC/2.
Teorema 11: Em um triângulo o ponto da interseção de duas medianas divide as medianas
na razão 1:2.
1ª inserir pontos A, B e C;
2ª traçar segmento de reta entre os pontos;
3ª inserir ponto médio entre AB e AC;
4ª segmento de reta entre os pontos MC e NB;
5ª inserir interseção;
6ª inserir ponto médio entre OB e OC.
Argumentos:
 Pelo Teorems da Base Média no triângulo BOC, temos QP paralelo à BC e
QP=BC/2.
 Pelo Teorema da Base Média no triângulo BAC, temos MN paralelo à BC e
MN=BC/2.
 Logo MN e QP são segmentos paralelos e congruentes.
 Pelo teorema 4 MNPQ é paralelogramo.
 Pelo teorema 6 as diagonais de MNPQ se bissctam.
 Como P é pomto médio de CO e Q é ponto médio de BO temos BQ=QO=ON e
CP=PO=OM.
 Assim O divide as madianas BN e CM na razão 1:2.