10 - LEIS DE KIRCHHOFF

10 - LEIS DE KIRCHHOFF
10.1- DEFINIÇÃO DE NÓ, RAMO E MALHA
Quando em um circuito elétrico existe mais do que uma fonte de tensão e mais do que
um resistor, geralmente são necessárias outras leis, além da lei de Ohm, para sua resolução.
Estas leis adicionais são as leis de Kirchhoff, as quais propiciam uma maneira geral e
sistemática de análise de circuitos. Elas são duas, a saber:
• Primeira lei de Kirchhoff ou lei das Correntes
• Segunda lei de Kirchhoff ou lei das Tensões
Para o uso destas leis são necessárias algumas definições:
Nó: é um ponto do circuito onde se conectam no mínimo três elementos.
Ramo ou braço: é um trecho de um circuito compreendido entre dois nós consecutivos.
Malha: é um trecho de circuito que forma uma trajetória eletricamente fechada.
Na figura 10.1, por exemplo, identifica-se:
a) dois nós: B e F
b) três ramos: BAEF, BDF e BCGF
c) três malhas: ABDFEA, BCGFDB e ABCGFEA
A
R1
E3
B
D
E1
C
E2
R3
R2
E
F
R4
E4
G
Figura 10.1 - Circuito elétrico com dois nós.
10.2 - PRIMEIRA LEI DE KIRCHHOFF
Uma boa introdução à Primeira Lei de Kirchhoff já foi vista no circuito paralelo. Num
dado nó entrava a corrente total do circuito e do mesmo nó partiam as correntes parciais para
cada resistor. Como no nó não há possibilidade de armazenamento de cargas ou vazamento das
mesmas, tem-se que a quantidade de cargas que chegam ao nó é exatamente igual à quantidade
de cargas que saem do nó.
Desta constatação surge o enunciado da primeira lei de Kirchhoff:
"A soma algébrica das correntes em um nó é sempre igual a zero."
n
i =1
Ii = 0
(10.1)
Por convenção, consideram-se as correntes que entram em um nó como positivas e as
que saem como negativas. Desta forma, a lei das correntes de Kirchhoff pode ser interpretada
da seguinte forma:
X-2
Eletricidade Básica
"A soma das correntes que chegam em um nó é sempre igual à soma das correntes que saem deste nó."
n
i =1
I ichegam =
m
j =1
(10.2)
I jsaem
Por exemplo, no circuito mostrado na fig. 10.2, ao se aplicar a lei das correntes de
Kirchhoff aos nós B e F, obtém-se:
Nó B: I1 + I 2 = I 3
Nó F: I 3 = I1 + I 2
R1
A
E3
B
D
E1
I1
E
I2
E2
I3
R3
R2
F
R4
C
E4
G
Figura 10.2 Circuito para a aplicação da lei das correntes de Kirchhoff.
Observa-se que as equações dos nós B e F são na realidade as mesmas, ou seja, a aplicação da lei das correntes de Kirchhoff ao nó F não aumenta a informação sobre o circuito. Assim, o número de equações independentes que se pode obter com a aplicação da lei das correntes de Kirchhoff em um circuito elétrico é igual ao número de nós menos um.
Ne1 = n -1
(10.3)
Onde:
Ne1 = número de equações independentes obtidas com a aplicação da lei das correntes;
n = número de nós do circuito.
10.3 - SEGUNDA LEI DE KIRCHHOFF
A lei de Kirchhoff das tensões é aplicada nas malhas. Ela já foi usada no estudo dos
circuitos de resistores em série, onde a soma das quedas de tensão nos resistores é igual à f.e.m.
da fonte.
Se no circuito existe mais de uma fonte de f.e.m. deve-se determinar a resultante das
mesmas, ou seja, somá-las considerando os seus sentidos relativos.
A
+
R1
B
+
R2 C
I
+
−
E1
R3
E1> E 2
− +
E
+
E2
D
Et = VAB + VBC + VCD;
E1- E2 = I.R1 + I.R2 + I.R3;
+E2 - E1 + I.R1 + I.R2 + I.R3 = 0;
Figura 10.3 - Circuito série para a aplicação da lei das tensões de Kirchhoff.
Leis de Kirchhoff
X-3
Entenda-se que, na fonte de f.e.m., uma forma de energia não-elétrica é convertida para elétrica cedendo energia para as cargas, ou seja, colocando as cargas em um potencial mais
elevado. Nas quedas de tensão as cargas se dirigem para um potencial mais baixo havendo o
consumo da energia das cargas convertendo-a para uma forma de energia não-elétrica, por exemplo, calor, luz etc. Assim, ao percorrer uma malha fechada, percebe-se que toda a energia
entregue às cargas num trecho do circuito elétrico é dissipada num outro trecho.
A tensão, por definição, está associada à energia cedida às cargas ou retirada das
mesmas durante o seu movimento. Daí é obtido o enunciado da Segunda Lei de Kirchhoff:
"A soma algébrica das tensões ( f.e.m.s e quedas de tensão ) ao longo de uma
malha elétrica é igual a zero."
n
(10.4)
Vi = 0
i =1
Para a aplicação da lei das tensões de Kirchhoff, faz-se necessário adotar alguns procedimentos que são descritos a seguir:
1. Atribuir sentidos arbitrários para as correntes em todos os ramos;
2. Polarizar as fontes de f.e.m. com positivo sempre na placa maior da fonte;
+
E
−
3. Polarizar as quedas de tensão nos resistores usando a convenção de elemento passivo e sentido convencional de corrente elétrica. Isto equivale a colocar a polaridade positiva da queda de
tensão no resistor no terminal por onde a corrente entra no mesmo;
R
+
−
V
I
4. Montar a equação percorrendo a malha e somando algebricamente as tensões. O sinal da
tensão corresponde ao sinal da polaridade pela qual se ingressa no componente, independentemente do sentido da corrente elétrica.
De acordo com o circuito apresentado na fig. 10.3, ao se aplicar a lei das tensões de
Kirchhoff às malhas ABDFEA e BCGFDB, no sentido horário, obtém-se:
Malha ABDFEA:
R1 I1 + E2 − R2 I 2 + R4 I1 + E1 = 0
Malha BCGFDB: − E3 + R3 I 3 + E4 + R2 I 2 − E2 = 0
R1
A +
E1
I1
E
D
−
I2
−
C
E2
+
I3
R2
R3
−
+
+
R4
E3
− B
F
E4
G
Fig. 10.3 - Circuito para a aplicação da lei das tensões de Kirchhoff.
X-4
Eletricidade Básica
No circuito da fig. 10.3, existe ainda mais uma malha (a malha externa ABCGFEA).
Nesta malha poderia ser aplicada também a lei das tensões de Kirchhoff. Entretanto, como no
caso da lei das correntes, a equação resultante seria dependente das duas já obtidas. Portanto,
esta equação seria inútil.
Supondo-se que, no circuito da fig. 10.3, fossem conhecidos os valores de todas as
f.e.m.s das fontes de tensão e todas as resistências, restariam como incógnitas as três correntes.
Para resolver um sistema de equações lineares com três incógnitas são necessárias três equações. Uma equação já foi obtida com a aplicação da lei da correntes de Kirchhoff. Portanto, são
necessárias mais duas, que podem ser obtidas pela aplicação da lei das tensões de Kirchhoff.
Em síntese, pode-se concluir que, em um circuito elétrico com r ramos e n nós, tem-se
r correntes, uma em cada ramo. A lei das correntes de Kirchhoff fornece Ne1 = n − 1 equações
e, portanto, a lei das tensões de Kirchhoff deve fornecer Ne2 = r − n + 1 equações para que o
problema possa ser resolvido.
Por exemplo, no circuito da fig. 10.3, tem-se r = 3, n = 2. Se r = 3, o número de correntes é 3. O número de equações fornecidas pela lei das correntes é Ne1= 2 − 1 = 1 e o número
de equações fornecidas pela lei das tensões é Ne2 = 3 − 1 = 2, conforme discutido anteriormente.
A seguir, apresenta-se um resumo para aplicação da LCK e LTK.
Resumo para aplicação das Leis de Kirchhoff
1o) Identificar os nós, ramos e malhas do circuito elétrico;
2o) Atribuir para cada ramo do circuito um sentido para a corrente elétrica;
3o) Polarizar as fontes de tensão;
4o) Polarizar as quedas de tensão nos resistores de acordo com o sentido adotado para a
corrente;
5o) Havendo nós, aplicar a 1a Lei de Kirchhoff, obtendo-se Ne1 = n – 1;
6o) Se o número de equações ainda não for suficiente para resolver o circuito, aplicar a 2a Lei
de Kirchhoff, onde o número de equações é dado por Ne2 = (r − n + 1);
7o) Escolher um ponto de partida e adotar um sentido de percurso para analisar a(s) malha (s).
Exemplo resolvido 10.1: Calcule o sentido e o módulo da corrente elétrica no circuito da fig.
10.4.
1Ω
4,7 Ω
6V
Resolução:
3,3 Ω
15 V
Fig. 10.4 - Circuito elétrico para o Exemplo 10.1.
a) Arbitra-se (escolhe-se) um sentido para a corrente elétrica no circuito. Por exemplo,
no sentido indicado na figura 10.5.
b) Polarizam-se as quedas de tensão nos resistores (polaridade positiva no terminal
por onde a corrente entra) e as f.e.m.s das fontes (o terminal maior é o positivo).
c) Percorre-se a malha, somando algebricamente as tensões (o sinal da tensão corresponde ao sinal da polaridade da tensão encontrada na entrada do componente).
Estas etapas estão mostradas na figura 10.5 e na equação abaixo.
Leis de Kirchhoff
1Ω
+
4,7 Ω
−
+
X-5
3,3 Ω
−
+
−
I
+
−
−
6V
+
15 V
Figura 10.5 Esquema de solução para o Exemplo 10.4.
1I + 4, 7 I + 3,3I + 15 − 6 = 0
I = −1 A
9 I = −9
O sinal negativo que aparece para o valor da corrente I significa que o sentido escolhido para ela está invertido. Neste exemplo, o sentido correto da corrente elétrica I é para baixo na fig. 10.5 e não para cima como foi arbitrado no início da resolução.
Exemplo resolvido 10.2: Calcule os valores da I1, I2 e I3 a partir dos valores das f.e.m.s e das
resistências elétricas usando obrigatoriamente as leis de Kirchhoff.
A
R1 = 4 Ω; R2 = 3,3 Ω; R3 = 2,7 Ω;
R1
E1
D
C
E2
R2
E1 = 36 V; E2 = 12 V;
B
R3
Fig.10.6 - Circuito elétrico para o Exemplo 10.2.
Solução:
a) O circuito possui 2 nós, 3 ramos e 3 malhas.
b) Os sentidos de corrente e polaridades foram arbitrados conforme fig.10.7.
A
I3
+
E1
-
+
R1
-
I1
D
- E2 +
C
+
R2
-
I2
- R3 +
R1 = 4 Ω; R2 = 3,3 Ω; R3 = 2,7 Ω;
E1 = 36 V; E2 = 12 V;
B
Fig.10.7 - Circuito elétrico para o Exemplo 10.2 com sentidos de corrente e polarizações.
c) Aplicando-se a lei das correntes de Kirchhoff tem-se apenas uma equação obtida em relação aos nós, pois (Ne1 = n - 1)
I3 = I1 + I2;
d) Aplicando-se a lei das tensões de Kirchhoff, tem-se duas equações obtidas pelas malhas,
pois [NE2 = (r − n + 1) = 3-2+1 = 2]
1ª) Malha ACDA: Começando pelo nó A, percorrendo a malha no sentido horário e chegando novamente ao no A tem-se:
+ I1.R1 + E2 - E1 = 0
2ª) Malha ABCA: Começando pelo nó A, percorrendo a malha no sentido horário e chegando novamente ao no A tem-se:
+ I2.R2 + I2 .R3 - I1 .R1 = 0
X-6
Eletricidade Básica
e) Substituindo os valores numéricos disponíveis tem-se:
I3 = I1 + I2;
+ I1.4Ω + 12 V – 36 V = 0
+ I2.3,3 Ω + I2 . 2,7 Ω - I1 .4Ω = 0
f) Colocando em forma de sistema de equações tem-se:
(1): I1
+ I2 - I3
= 0;
(2): I1.4
= 24;
(3): - I1 .4 + I2.6
= 0;
g) Usando um método de resolução de sistema de equação chega-se na resposta. Nesse caso
foi usado o método da substituição.
De (2) obtém-se: I1 = 24V/4Ω
(4) I1 = 6 A;
Substituindo I1 em (3) chega-se a - 24 + I2.6 = 0; I2 = 24/6 e (5) I2 = 4 A;
Substituindo (4) e (5) em (1) chega-se a 6 + 4 - I3 = 0;
I3 = 10 A
Com os resultados foram todos positivos significa que os sentidos de corrente arbitrados estavam corretos. Estes mesmos resultados poderiam ser obtidos, neste caso mais simples, usando a teoria dos circuitos em paralelo.
Exemplo resolvido 10.3: Calcule os valores da E2 e da resistência elétrica do resistor R2 no
circuito da figura 10.8. Sabe-se que as correntes que percorrem R1 e R2 valem, respectivamente,
I1 = 8 A e I2 = 5 A.
60 V
E2
I1
I2
R2
1Ω
2Ω
4Ω
Resolução:
Figura 10.8 - Circuito elétrico para o Exemplo 10.3.
a) Observa-se que o circuito possui 2 nós, 3 ramos e 3 malhas.
b) Os sentidos de corrente e polaridades foram arbitrados conforme fig.10.9.
A
+
−
−
60 V
E
+
I1
+
D
I2
R2
1Ω
−
+
4Ω
E2
B
2Ω
−
−
I3
+
−
+
C
Fig. 10.9 - Esquema de solução para o Exemplo 10.3.
c) Aplicando-se a lei das correntes de Kirchhoff tem-se apenas uma equação obtida em relação aos nós, pois (Ne1 = n-1)
Nó A: I1 = I 2 + I 3 , como I1 = 8 A e I2 = 5 A, tem-se: 8 = 5 + I 3 I 3 = 3 A ;
d) Aplicando-se a lei das tensões de Kirchhoff, tem-se duas equações obtidas pelas malhas,
pois [Ne2 = (r − n + 1) = 3-2+1 = 2]
Leis de Kirchhoff
X-7
1ª) Malha ACDEA:
R2 I 2 + 4 I1 + 1I1 − 60 = 0 , como I1 = 8 A e I2 = 5 A, tem-se:
5 R2 + 4 × 8 + 1× 8 − 60 = 0
2ª) Malha ABCA:
E2 + 2 I 3 − R2 I 2 = 0
5 R2 = 20
E2 + 2 × 3 − 4 × 5 = 0
R2 = 4 Ω
E2 = 14 V
Exemplo resolvido 10.4: Calcule o valor e o sentido correto das correntes em cada ramo do
circuito da fig.10.10.
40 V
3Ω
40 V
A
B
−
3Ω
−
−
3Ω
12 Ω
51 V
12 Ω
E
2Ω
50 V
C
+
20 V
Fig. 10.10 - Circuito elétrico para o Exemplo 10.4.
I3
3Ω
I2
I1
+ F
51 V
+
20 V
50 V
D + 2Ω −
G
Fig. 10.11 - Esquema de solução para o Exemplo 10.4
Arbitrando-se os sentidos das correntes nos ramos como mostrado na fig.10.11, aplicando-se a lei das correntes de Kirchhoff ao nó B e a lei das tensões de Kirchhoff às malhas
ABCDEA e BFGDCB, obtém-se:
I1 + I 2 + I 3 = 0
→
Lei das correntes de Kirchhoff no nó B
40 − 3I 2 − 20 − 50 + 12 I1 = 0
→
Lei das tensões de Kirchhoff na malha ABCDEA
−3I 3 − 51 − 2 I 3 + 20 + 3I 2 = 0
→
Lei das tensões de Kirchhoff na malha BFGDCB
Substituindo-se os valores numéricos dos resistores e das fontes de tensão e rearranjando-se as correntes (incógnitas), obtém-se o seguinte sistema de equações lineares:
I1 + I 2 + I 3 = 0
12 I1 − 3I 2
= 30
3I 2 − 5 I 3 = 31
Este sistema pode ser resolvido pelo método de Cramer, como mostrado a seguir.
• Cálculo do determinante principal:
1 1 1 1 1
∆ = 12 −3 0 12 −3
0 3 −5 0 3
∆ = [1× ( −3) × (−5) + 1× 0 × 0 + 1×12 × 3] − [1× ( −3) × 0 + 1× 0 × 3 + 1× 12 × (−5)]
∆ = 15 + 0 + 36 − [0 + 0 − 60] = 111
X-8
Eletricidade Básica
• Cálculo do determinante para a corrente I1:
0 1 1 0 1
∆I1 = 30 −3 0 30 −3
31 3 −5 31 3
∆I1 = [0 × (−3) × (−5) + 1× 0 × 31 + 1× 30 × 3] − [1× (−3) × 31 + 0 × 0 × 3 + 1× 30 × (−5)]
∆I1 = 0 + 0 + 90 − [−93 + 0 − 150] = 333
• Cálculo do determinante para a corrente I2:
1 0 1 1 0
∆I 2 = 12 30 0 12 30
0 31 −5 0 31
∆I 2 = [1× 30 × (−5) + 0 × 0 × 0 + 1×12 × 31] − [1× 30 × 0 + 1× 0 × 31 + 0 ×12 × (−5)]
∆I 2 = −150 + 0 + 372 − [0 + 0 − 0] = 222
• Cálculo da corrente I1:
∆I 333
I1 = 1 =
∆ 111
I1 = 3 A
• Cálculo da corrente I2:
∆I
222
I2 = 2 =
∆
111
I2 = 2 A
• Cálculo da corrente I3:
I1 + I 2 + I 3 = 0
I 3 = − I1 − I 2 = −3 − 2
I 3 = −5 A
40 V
3Ω
5A
12 Ω
2A
3Ω
51 V
3A
20 V
50 V
2Ω
Fig.10.12- Sentidos corretos para as correntes nos ramos no circuito do Exemplo 10.4.
Leis de Kirchhoff
X-9
Questões propostas:
10.1- Determine os valores das correntes desconhecidas no circuito da figura 10.13.
X1
I1
10 A
X2
−
X3
I2
X5
X1
10 V
V1
X3
+
X4
−
−
X6
I3
+
V2
+
8A
X4
X2
9A
−
Figura 10.13
X5
V3
+
8V
+
−
−
X6
9V
+
Figura 10.14
Rta.: I1=1A; I2=18A; I3=9A.
10.2- Determine os valores das tensões desconhecidas no circuito da figura 10.14.
Rta.: V1=11V; V2=2V; V3= -1V.
10.3 -
Rta.: I = 0,3A.
Calcule o valor da corrente I no circuito da figura 10.15.
10 Ω
12 V
15 Ω
I
30 V
0,5 Ω
5V
11 Ω
4A
1Ω
6Ω
R3
Figura 10.16
8Ω
8V
40 V
Figura 10.15
10.4- Calcule o valor da resistência do resistor R3 no circuito da fig. 10.16.
Rta.: R3=1 .
10.5- Sabendo que a corrente através do resistor R3 no circuito da fig. 10.17 vale 4 A, calcule
os valores e os sentidos corretos das outras correntes e o valor do resistor R3.
Rta.: I1=4A; I2=0; R3= 1,5 .
0,5 Ω
12 V
0,3 Ω
10 V
5Ω
3V
I1
I2
R2
5V
I3
5Ω
4A
R3
1Ω
Figura 10.17
Figura 10.18
X - 10
Eletricidade Básica
10.6- Calcule os valores das correntes I2 e I3 e do resistor R2, no circuito da figura 10.18, sabendo que a intensidade da corrente I1 vale 0,2 A.
Rta.: I2=0,8A; I3=0,6A; R2= 2,5 .
10.7- Calcule o valor e o sentido correto das correntes nos ramos no circuito da figura 10.19.
Rta.: I1=6A; I2=4A; I3= 10A.
80 V
3Ω
25 Ω
3Ω
12 Ω
102 V
I2
I1
90 V
30 V
10 Ω
40 V
15 Ω
2Ω
100 V
Figura 10.19
Figura 10.20
Rta.: I1=9A; I2=1,5A.
10.8- Calcule os valores das correntes I1 e I2 no circuito da figura 10.20.
Rta.: I=3A para cima.
10.9- No circuito da figura 10.21, calcule o valor da corrente I.
20 Ω
25 Ω
Vs
60 V
R
I
100 V
200 V
1Ω
5A
2 Ω
8A
4 Ω
Figura 10.21
Figura 10.22
10.10- No circuito da figura 10.22, calcule os valores da tensão Vs e da resistência R.
Rta.: Vs=14V; R=4 .
10.11- Determine a potência dissipada em R1 e R2 do circuito da figura 10.23.
Rta.: P1=20mW; P2=22,5mW.
R
6 kΩ
20 V
20 k Ω
5V
R2
R1
10 kΩ
3V
5 kΩ
25 V
3V
1 kΩ
B
3 kΩ
12V
Figura 10.23
Figura 10.24
10.12- Qual deve ser o valor do resistor R para que a corrente no ramo AB da figura 10.24 seja
nula?
Rta.: R=26k .