EXPOSIÇÃO DIDÁTICA
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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE CAMPUS SANTA CRUZ CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA TURMA: 2014.1 EXPOSIÇÃO DIDÁTICA: A INTER/FASCINAÇÃO ENTRE FILOSOFIA E MATEMÁTICA: POR UMA UNIDADE FASCINANTE ENTRE A REFLEXÃO E A OPERAÇÃO Coordenação: Alexandre Medeiros de Araújo e Lenina Lopes Soares Silva EXPOSIÇÃO DIDÁTICA: A INTER/FASCINAÇÃO ENTRE FILOSOFIA E MATEMÁTICA: POR UMA UNIDADE FASCINANTE ENTRE A REFLEXÃO E e-mail: A OPERAÇÃO ORGANIZADORES: [email protected] Alexandre Medeiros Araújo Lenina Lopes Soares Silva e-mail: [email protected] INTRODUÇÃO A busca dos antigos filósofos por uma compreensão acerca do sentido da natureza e do conhecimento dos objetos matemáticos sempre foi uma constante em suas reflexões. O rigor matemático combinado com a reflexão filosófica, no Ocidente, foi uma prova da unidade do pensamento em sua busca por uma inteligibilidade do real. Sendo assim, a contribuição dos inúmeros filósofos da tradição para a matemática continua sempre viva e atual na medida em que o pensamento não se cansa de buscar a totalidade dos sentidos, para além de qualquer instrumentalidade. É com esse sentindo que essa Exposição convida a todos para um mergulho interfascinante na relação entre filosofia e matemática a partir de alguns banners apresentados aqui. Com isso, poderemos vislumbrar com maior propriedade o ímpeto movente desses pensadores em suas buscas insaciáveis pelo saber. Justifica-se esse trabalho porque tem-se observado que os alunos quando ingressam em cursos de formação docente para as ciências exatas tendem a rotular as disciplinas das humanidades como não pertencentes às suas áreas. Isso tem gerado problemas, principalmente para a compreensão do sentido dos conteúdos que dependem, por sua vez, de uma maior compreensão acerca dos fundamentos e/ou os princípios sob os quais a ciência se sustenta. MATERIAIS E MÉTODOS Pesquisa bibliográfica sobre filósofos clássicos, verificando quais contribuições eles deram para o conhecimento matemático no que diz respeito aos fundamentos, sentido e natureza epistemológica das suas teorias. Figura 2: Descartes, autor do plano cartesiano e Pitágoras, autor do teorema que leva seu nome. Fonte: http://www.datuopinion.com/filosofia-de-las-matematicas Figura 3: O teorema de Pitágoras Fonte: http://www.datuopinion.com/filosofia-de-las-matematicas RESULTADOS Na execução do micro-projeto de pesquisa e extensão os alunos da Licenciatura em Matemática do 1º período, 2014.1, perceberam que o processo da construção do saber matemático por meio da reflexão filosófica foi uma constante fundamental para o sentido e natureza das descobertas e operações matemáticas, e que essas não se realizam sem uma compreensão integradora de unidade do pensamento. Após as leituras sobre o filósofo escolhido, bem como a leitura de alguns dos seus trabalhos, foi feito um resumo expandido por cada aluno, no qual mostrou-se as contribuições para a matemática a partir das inquietações filosóficas. CONSIDERAÇÕES FINAIS Figura 1: O homem vitruviano de Da Vinci e Tales de Mileto EXPOTEC - Exposição de Ciência, Tecnologia e Cultura | 2014 – Santa Cruz 4ª Edição | 25 à 27 de novembro É imprescindível para a formação significativa de futuros educadores-matemáticos, a articulação entre os fundamentos epistemológicos, históricos e filosóficos da sua disciplina. E que essa proposta é uma ótima oportunidade para ampliar a formação docente e fascinar o ensino da matemática. •REFERÊNCIAS • CHAUÍ, M. Convite à Filosofia. São Paulo: Ática 2002. • SILVA, J. J. Filosofias da Matemática. São Paulo: Unesp, 2007. APOLÓNIO DE PERGA: O GEÔMETRA DA RAZÃO CRUZ, Josefa Cristiane Pontes, SILVA, Lenina Lopes Soares ARAÚJO, Alexandre Mederios Autora/Expositora Orientadora Orientador INTRODUÇÃO Apolónio de Perga (262 a.C-190 a.C) nasceu em Panfília na Grécia (Turquia) que atualmente é conhecida como Murtina ou Murtana e morreu em Alexandria/Egito. Apolónio ainda jovem quando deixou Perga em direção à Alexandria cujo Museu e Biblioteca eram o centro do saber daquela época. Estudou com os sucessores de Euclides, e mais tarde, veio a ensinar matemática na cidade de Perga. Foi autor de as Cónicas (obra composta por 8 livros), nos quais faz demonstrações de centenas de teoremas, recorrendo ao métodos geométricos de Euclides. Além de matemático também era astrônomo. Ficou célebre pelo seu modelo de apresentação dos planetas. [email protected] [email protected] [email protected] RESULTADOS Apolónio de Perga demonstra que respeita o trabalho de seus colegas e ainda aconselhava a aceitação do mesmo assim como são aceitas as coisas na matemática. • Foi um “grande filósofo geômetra”, considerado um dos mais originais matemáticos no campo da geometria pura. • Além das Cónicas, teve uma obra que chegou até nós, nela ele escreveu como Dividir Segundo uma Razão, tem outras obras hoje consideradas perdidas que tratam de como decompor uma área, tangências, lugares planos, determinar uma seção, inclinações, cálculos rápidos e comparação entre dodecaedro. • Apolónio de Perga com a sua metodologia inovadora influenciou vários matemáticos posteriores a ele como: Ptolomeu, Kepler, Isaac Newton e René Descartes, utilizaram a importância do seu raciocínio e aplicaram ao conjunto dos estudos da geometria. CONSIDERAÇÕES FINAIS Figura 01: Apolônio de Perga MATERIAIS E MÉTODOS Trata-se de uma pesquisa na qual se busca a bibliografia de um grande filósofo e matemático da filosofia antiga, para buscar informações sobre suas contribuições para a matemática. Nossa escolha Apolónio de Perga. EXPOTEC - Exposição de Ciência, Tecnologia e Cultura | 2014 – Santa Cruz 4ª Edição | 25 a 27 de novembro Observa-se que no decorrer de sua vida Apolónio de Perga contribuiu de forma significativa para a matemática antiga, fato observado pela representação e importância de seu conhecimentos aplicados pelos seus colegas matemáticos ao utilizarem seu raciocínio no conjunto de estudos da geometria. Ele era dotado de uma inteligência inovadora e merece ser reconhecido como um dos célebres da filosofia que muito contribuiu com matemática. REFERÊNCIAS http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo /seminario/apolonio/biografia.htm http://www.monitoriacalculo.hpg.ig.com.br /apolnio.htm ARISTÓTELES O SISTEMATIZADOR DOS CONHECIMENTOS ARAÚJO, José Márcio Luciano de Oliveira SILVA, Lenina Lopes Soares ARAÚJO, Alexandre Medeiros Autor/Expositor Orientadora Orientador [email protected] [email protected] [email protected] INTRODUÇÃO O filósofo grego Aristóteles nasceu em 384 a.C., na cidade antiga de Estagiara, e morreu em 322 a.C. Seus pensamentos filosóficos e ideias sobre a humanidade tem influências significativas na educação e no pensamento ocidental contemporâneo. Aristóteles é considerado o criador do pensamento lógico. Mas, quais foram suas contribuições para a humanidade? E como ele conseguiu fazer isso? Aristóteles tornou-se assim, um dos pensadores com maior influência na cultura ocidental. Foi aluno e discípulo do filósofo Platão. Elaborou um sistema filosófico no qual abordou e pensou sobre praticamente todos os conhecimentos científicos existentes, como geometria, física, metafísica, botânica, zoologia, astronomia, medicina, psicologia, ética, drama, poesia, retórica, matemática, e sobretudo, lógica. MATERIAIS E MÉTODOS Este filósofo valorizava a educação e a considerava uma das melhores formas de crescimento intelectual humano e ético. O estudo foi desenvolvido em forma de pesquisa bibliográfica no qual por meio de uma leitura ativa buscou-se compreender informações e obras referentes ao filósofo Aristóteles. Este que é um dos grandes pensadores ocidentais clássicos cujos conhecimentos são contemporâneos. A intenção é a de expandir linhas de pensamento e de expor uma ideia acerca deste filósofo clássico que deu tantas contribuições para a humanidade, e demonstrar a importância de retratar seus pensamentos matemáticos os quais impulsionaram a forma de pensar de outros filósofos na antiguidade clássica Sua grande obra é o livro Organon, que reúne grande parte de seus pensamentos. Retrata uma obra matemática na qual se constata que a lógica é a maior dela. A lógica, como disciplina intelectual, foi criada no século IV a.C por Aristóteles. A teoria do silogismo constitui o cerne de sua lógica, por meio dela ele caracteriza as formas de silogismo válidas ou não. Este foi o primeiro passo no desenvolvimento da lógica, a teoria do silogismo, isso foi extremamente importante que até o século XVIII Kant afirma que não houve mudança na teoria da lógica aristotélica. Figura 01: Aristóteles RESULTADOS Como se trata de uma pesquisa que gira em torno da filosofia e da a matemática, podemos citar que a lógica foi um dos mais importantes pontos de estudos de Aristóteles. Para este a lógica não era uma ciência teórica, nem prática nem produtiva, mas um instrumento para as ciências entre essas a matemática. Eis porque o conjunto das obras lógicas aristotélicas recebeu o nome de Organóm, palavra que significa instrumento. CONSIDERAÇÕES FINAIS Em virtude dos fatos apresentados, podemos mencionar a extrema importância do filósofo Aristóteles, pois sua lógica vai fundamentar a ciência, dando grandes contributos à matemática e à humanidade pela sistematização de vários conhecimentos. Sendo um grande estudioso deixou vários pensamentos importantes, e contribuiu basicamente para todos os conhecimentos. Seu legado e obras, ainda hoje, são necessários para o entendimento da filosofia e da matemática. REFERÊNCIAS EXPOTEC - Exposição de Ciência, Tecnologia e Cultura | 2014 – Santa Cruz 4ª Edição | 25 a 27 de novembro CHAUÍ, Marilena de Souza. Introdução à história da filosofia: dos pré-socráticos a Aristóteles. 2. ed. São Paulo: Companhia das Letras, 2002. A INTERFASCINAÇÃO ENTRE FILOSOFIA E MATEMÁTICA: ARQUIMEDES UMA PORTA PARA A CIÊNCIA COSTA, Giulianna Caroline da Silva. SILVA, Lenina Lopes Soares ARAÚJO, Alexandre Medeiros de Autora/Expositora Orientadora Orientador INTRODUÇÃO [email protected] [email protected] [email protected] RESULTADOS Os seres humanos vêm buscando maneiras de compreender os fenômenos e mistérios que rodam a humanidade e a origem das coisas. Nesse contexto, surgiram as ciências com o objetivo de encontrar respostas para perguntas formuladas pelas comunidades, configurando-se uma inteligência coletiva e de interdependência para o desenvolvimento das ciências e, consequente, da humanidade. A relação entre matemática e filosofia é de interdependência e reciprocidade, onde a busca pelo saber leva ao questionamento, a análise e a discussão das hipóteses levantadas. Arquimedes (287 a.C – 212 a.C) buscou o conhecimento e tornou-se um dos maiores cientistas, pela sua mente brilhante e suas observações para provar suas hipóteses e adquirir conhecimento, contribuindo para o desenvolvimento da física, astronomia, e principalmente, da matemática. Nos seus estudos enfatizou a aritmética, a trigonometria e a geometria, proporcionando descobertas e avanços significativos para o desenvolvimento da matemática e das antigas civilizações. Mas, será que a preocupação com a matemática pelos filósofos clássicos da filosofia ocidental, inclusive Arquimedes, é uma das razões para ela se diferenciar das demais tradições filosóficas? Arquimedes nasceu na cidade de Siracusa, colônia grega na ilha de Sicília. O Filho de Fídias, à medida que crescia, dedicava seu tempo aos estudos e o desenvolvimento de suas ideias; A educação de Arquimedes iniciou-se aos oito anos de idade, quando começou a aprender boas maneiras, autocontrole, disciplina, a ler os nomes e a fazer cálculos. Deixou a Sicilia e foi estudar em Alexandria. Nos seus estudos enfatizou a aritmética, a trigonometria e a geometria, proporcionando descobertas e avanços significativos para o desenvolvimento da matemática e das antigas civilizações. Na aritmética estudou a importância dos números e da contagem, afirmando que os números eram infinitos. Na trigonometria relacionou às distâncias aos ângulos, criando máquinas de guerra que garantiam a proteção do povo, e na geometria realizou descobertas importantes sobre os sólidos, fazendo a relação dessas formas entre si e com as superfícies planas, determinando, assim, o volume contido nas figuras sólidas. Figura 2 :Fonte: Google, 2014 . Figura 3: Fonte: Google, 2014 . CONSIDERAÇÕES FINAIS Figura 1: Arquimedes Fonte: Google,2014. MATERIAIS E MÉTODOS Arquimedes foi um desses filósofos que buscou fundamentar as suas teorias com base na observação, análise e discussão das hipóteses levantadas, fazendo várias descobertas e criando métodos para o desenvolvimento da matemática e ao mesmo tempo contribuindo para o avanço científico em várias áreas. REFERÊNCIAS O presente estudo busca compreender a relação entre matemática e filosofia e a contribuição de Arquimedes para o desenvolvimento das mesmas. Portanto, trata-se de uma pesquisa bibliográfica, descritiva e exploratória, a fim de proporcionar uma visão mais ampla sobre a Inter fascinação entre a matemática e a filosofia. EXPOTEC - Exposição de Ciência, Tecnologia e Cultura | 2014 – Santa Cruz 4ª Edição | 25 a 27 de novembro https://www.google.com.br/search?q=imagens+das+inven%C3%A7o es+de+arquimedes&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ei=dTb6 U6HDBrPKsQTap4GwBA&ved=0CBwQsAQ&biw=1440&bih=799#fa crc=_&imgdii=_&imgrc=RNifHNpXSupKeM%253A%3B_MSxSbru6c QfpM%3Bhttp%253A%252F%252Fmatematicaecidadania.files.word press.com%252F2011%252F11%252Fpi.jpg%3Bhttp%253A%252F %252Fmatematicaecidadania.wordpress.com%252F2011%252F11 %252F03%252Fbiografia-de-arquimedes%252F%3B350%3B263. Acesso em: 24 de agosto de 2014, as 16:15h. BENDICK, Jeanne. Arquimedes: uma porta para a ciência/Jeanne Bendick; tradução: Cecília Prada. – 2.ed. – São Paulo: Odysseus Editora, 2006. – (Imortais da Ciência/ coordenação Marcelo Gleiser) A INTER/FASCINAÇÃO ENTRE FILOSOFIA E MATEMÁTICA: [email protected] NOS ESTUDOS DE ARTHUR CAYLEY [email protected] MUNIZ, Jéssica Targino SILVA, Lenina Lopes Soares ARAÚJO, Alexandre de Medeiros Autora/Expositora Orientadores INTRODUÇÃO [email protected] DISCUSSÃO Desde o período da História Clássica, os grandes pensadores já interligavam a filosofia e a matemática através de conceitos como abstração, técnica e análise. Na História da Ciência Moderna destaca-se Arthur Cayley, filósofo e matemático nascido na Inglaterra em 1821 e que escreveu trabalhos relevantes para o mundo científico. MATERIAIS E MÉTODOS Trata-se de um estudo bibliográfico no qual por meio de uma leitura ativa buscou-se conhecer um pouco mais da biografia de Arthur Cayley e suas contribuições para a matemática. Arthur Cayley é considerado um dos escritores mais produtivos em toda história da matemática, publicou mais de 900 artigos que cobrem diversos aspectos da matemática moderna, com destaque para a geometria não-euclidiana e geometria n-dimensional. também criou construções pioneiras à geometria analítica, teoria das transformações, teoria das curvas e superfícies, matrizes algébricas e estudos de formas binárias e terciárias. RESULTADOS Arthur Cayley mostrou grande habilidade em cálculos numéricos precocemente ainda na fase escolar. Já adulto, apesar de ser advogado muito hábil considerava essa profissão apenas como uma forma de sustento para prosseguir com a matemática, continuando com seus estudos, escrevendo e publicando trabalhos, além de participar de conferências. Em 1863 foi convidado para lecionar matemática pura em Cambridge, abandonando a carreira de advogado. Embora ganhasse muito menos do que em seu último emprego, considerava-se muito mais feliz por poder se dedicar inteiramente à matemática. Figura 2: Representação Matricial Fonte: Internet CONSIDERAÇÕES FINAIS A partir da pesquisa feita, observa-se a importância do filósofo matemático Arthur Cayley para o universo não só matemático, mas também para estudos posteriores em diversas outras esferas científicas, comprovando a ideia de que o rigor matemático combinado com a reflexão filosófica é um assunto fascinante e interdependente. REFERÊNCIAS RODRIGO, Lídia Maria. Filosofia em sala de aula: teoria e prática para o ensino médio. Campinas, SP: Autores Associados, 2009. – (Coleção formação de professores) Disponível em: <http://www.matematica.br/historia/cayley.html> Acesso em 7 de agosto de 2014 Figura 1: Foto de Arthur Cayley Fonte: Internet EXPOTEC - Exposição de Ciência, Tecnologia e Cultura | 2014 – Santa Cruz 4º Edição | 25 à 27 de novembro Disponível em : <http://filosofia.uol.com.br/filosofia/ideologiasabedoria/33/artigo243178-2.asp> Acesso em 9 de agosto de 2014 BHASKARA E O LILAVATI: UMA NARRATIVA ÉPICA E AMOROSA À MATEMÁTICA BATISTA, Calígena LOPES, Lenina Lopes Soares ARAÚJO, Alexandre Medeiros Licenciatura em Matemática Orientadora Orientador [email protected] INTRODUÇÃO O presente trabalho é sobre Bhaskara, astrônomo, filósofo e matemático indiano do século XII e sua obra, com foco principal em seu livro Lilavati, concretamente sobre seu amor à matemática. Este trabalho está organizado em quatro partes: os materiais e métodos, resultados, considerações finais e por fim as referências. O objetivo do presente projeto é relatar um pouco sobre a vida do filósofo e matemático Bhaskara e também explicar porque sua obra Lilavati é épica e amorosa para ele próprio e para a matemática. MATERIAIS E MÉTODOS A metodologia utilizada se enquadra em um estudo bibliográfico por meio de leituras ativas e pesquisas na internet para mostrar em pequenos mas significativos detalhes, a obra do filósofo em questão. RESULTADOS É possível constatar que Bhaskara nasceu no ano de 1114 na Índia e morreu em 1185, então aos 71 anos. Figura 1: Bhaskara (1114-1185) e a Fórmula que leva seu nome, mas que não é de sua autoria Bhaskara contribuiu para a filosofia e a matemática e foi considerado um dos grandes matemáticos do século XII, graças aos seus avanços em álgebra, no estudo de equações e na compreensão do sistema numérico. Escreveu coleções que tratam de aritmética; algumas de suas obras são Bijaganita, Siddhantasiromani, Lilavati, Vasanabhasya of Mitaksara, Brahmatulya e Vivarana, nelas discorre sobre álgebra e o conteúdo traz vários problemas sobre equações lineares e quadráticas, entre todas as suas obras a mais conhecida é o Lilavati (livro elementar e dedicado a problemas simples de Aritmética, Geometria Plana e Combinatória.) . Bhaskara, tinha significativa paixão pela matemática e devido seu encanto e fascínio por tal campo científico resolveu atribuir o nome (Lilavati) a um de seus livros, pois é um nome próprio e significa “Graciosa”, talvez inspirado pela elegância da mulher nobre de sua época. Assim, deixaria a matemática mais “humanizada” essa expressão é bastante aceita e utilizada nas áreas onde são realizados cálculos... Conta-se que Bhaskara deu esse nome a uma de suas filhas, pois quando ela nasceu ele consultou os astros e lhe foi revelado que ela permaneceria solteira para sempre, porém, ele não se conformou com essa determinação do destino e recorreu aos ensinamentos dos astrólogos mais famosos daquele tempo. Um astrólogo, consultado por Bhaskara, o aconselhou a casar Lilavati com o primeiro pretendente que aparecesse, mas demonstrou que a única hora propícia para a cerimônia do enlace seria marcada, em certo dia, pelo cilindro do Tempo. No dia determinado para o casamento a noiva curiosa para saber quanto tempo faltava para se iniciar a cerimônia resolveu aproximar-se do cilindro e acabou, sem querer, deixando que uma das pérolas do seu vestido caísse no interior do vaso impedindo que a água pudesse entrar, e então foi marcado outro dia para o casamento, porém o noivo desapareceu [email protected] deixando assim a moça solteira para sempre. Reconheceu o sábio geômetra que é inútil ir contra o destino e disse à sua filha: “Escreverei um livro que perpetuará o teu nome e ficarás na lembrança dos homens mais do que viveriam os filhos que viessem a nascer do teu malogrado casamento.” Essa história foi inventada anos depois de sua morte. O livro Lilavati é escrito em 278 versos e trata de vários assuntos: tabelas, sistema de numeração, as oito operações, frações, zero, regra de três, regra de três composta, mistura, porcentagens, progressões, geometria, medidas, pilhas, problemas geométricos de sombras permutações, entre outros. CONSIDERAÇÕES FINAIS Existem muitas variações disponíveis na internet sobre Bhaskara e seus livros, nessas é encontrada sua história e os cálculos contidos nos livros. Desse modo, observamos que a paixão pelos cálculos o fez desenvolver coleções sobre vários assuntos do campo matemático, assim, ele obteve grande reconhecimento pelas suas obras, tanto que em 1207, uma instituição educacional foi criada para estudar o seu trabalho. REFERÊNCIAS Fonte: http://www.somatematica.com.br/biograf/bhaskara.php Fonte: http://www.infoescola.com/matematica/a-matematica-indiana-e-suascontribuicoes/ Fonte: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1696 Fonte : http://ecalculo.if.usp.br/historia/bhaskara.htm Figura 1. Fonte: Fonte: https://www.alunonaweb.com.br%2Fctd_biografia_detalhes.php Figura 2. Capa do Lilavati EXPOTEC - Exposição de Ciência, Tecnologia e Cultura | 2014 – Santa Cruz 4ª Edição | 25 a 27 de novembro Figura 2.Fonte:http://www.Fsanskritbhavan.blogspot.com%2Fworkshop-onlilavati.html l e n i n a s i l v a @ h o t m a i l . c o m MICRO-PROJETO DE PESQUISA E EXTENSÃO A INTER/FACINAÇÃO ENTRE FILOSOFIA E MATEMÁTICA NA OBRA DE BLAISE PASCAL SANTOS JÙNIOR, Valquirio Gomes dos SILVA, Lenina Lopes Soares ARAÚJO, Alexandre Medeiros Autor/Expositor Orientadora Orientador [email protected] [email protected] alexandre. [email protected] INTRODUÇÃO Blaise Pascal (1623-1662), foi um filósofo, físico e matemático francês de curta existência, falecendo pouco antes de completar 39 anos. Como filósofo e místico criou uma das afirmações mais pronunciadas pela humanidade nos séculos posteriores: “O coração tem razões que a própria razão desconhece”. A síntese de sua doutrina filosófica seria: o raciocínio lógico e a emoção. O objetivo deste trabalho é demonstrar as ideias e situações que se referem as contribuições para a matemática de Blaise Pascal. Envolto por pensamentos religiosos publicou seus principais livros filosóficos-religiosos: Les Provinciales (1656-1657), conjunto de 18 cartas escritas para defender o jansenista Antoine Arnauld, oponente dos jesuítas que estava em julgamento pelos teólogos de Paris, e Pensées (1670), um tratado sobre a espiritualidade, em que fez a defesa do cristianismo e marcou o início de seu afastamento dos jansenistas, facção católica inspirada em Santo Agostinho. Tornou-se destaque como um dos mestres do racionalismo e irracionalismo modernos. Um dos seus tratados sobre hidrostática, Traité de l'équilibre des liqueurs, só foi publicado postumamente, um ano após sua morte (1663). Esse livro esclarece sobre os princípios barométricos existentes nas prensas hidráulicas e da transmissibilidade de pressões. Estabeleceu o princípio de Pascal que diz: em um líquido em repouso ou equilíbrio as variações de pressão transmitem-se igualmente e sem perdas para todos os pontos da massa líquida. É o princípio de funcionamento do macaco hidráulico. Na Mecânica ele é homenageado com a unidade de tensão mecânica (ou pressão) Pascal (1Pa = 1 N/m²; 105 N/m² = 1 bar). Figura 01: Blaise Pascal CONSIDERAÇÕES FINAIS MATERIAIS E MÉTODOS Trata-se de um breve estudo bibliográfico no qual se destaca vida e obra do filósofo Blaise Pascal, suas descobertas e contribuições as quais permanecem até hoje no mundo científico. RESULTADO E DISCUSSÃO Filho de Etienne Pascal, professor de matemática, foi educado sobre a forte influência religiosa e tornou-se extremamente ascetista prova disto é que escreveu várias obras religiosas. Seus notáveis talentos precoces para com a física e outras ciências levou sua família para Paris, onde pode se dedicar à matemática. Realizou sua primeira pesquisa em Rouen (1634). Publicou Essay pour les coniques (1640), contendo o conhecido teorema de Pascal. Especializou-se em cálculos infinitesimais, criando uma máquina de somar chamada de “la pascaline” (1642), a primeira calculadora mecânica conhecida. Publicou também célebre Traité du triangle arithmétique em 1654. Juntamente com Pierre de Fermat, estabeleceu as bases da teoria das probabilidades e da análise combinatória (1654), que Huygens ampliou posteriormente (1657). É sabido que as contribuições de Blaise Pascal são de grande importância no mundo contemporâneo, pois hoje se utiliza métodos que ele deduziu em seus livros como: Teorema de Pascal citado em detalhes no livro Essay pour les coniques de 1640, e além de teorias matemáticas, a física também fazia parte de suas obras com o esclarecimento dos princípios barométricos existentes nas prensas hidráulicas, ainda da transmissibilidade de pressões no livro Traité de l'équilibre des liqueurs (1663). Por tudo isso se tornou um grande filósofo à frente de seu tempo. REFERÊNCIAS MORES, Ridendo Castigat. Blaise Pascal: PENSAMENTOS. Fonte Digital. Junho 2002 Versão para pdf e eBookLibris Fevereiro 2005 http://www.juraemprosaeverso.com.br/BiografiasDePessoas Famosas/BlaisePascal.htm - acesso em: 08/09/2014 às 14:1 hs http://pensador.uol.com.br/autor/blaise_pascal/biografia/acesso em: 07/09/2014 às 14:25 hs) http://www.e-biografias.net/blaise_pascal/- acesso em: 07/09/2014 às 14h57 ) EXPOTEC - Exposição de Ciência, Tecnologia e Cultura | 2014 – Santa Cruz 4ª Edição | 25 a 27 de novembro EUCLIDES DE ALEXANDRIA: A INTER/FACINAÇÃO ENTRE FILOSOFIA E MATEMÁTICA NOS PONTOS, NAS RETAS E NOS TEOREMAS DE PONTES, Rai Thonay SILVA, Lenina Lopes Soares ARAÚJO, Alexandre Medeiros Autor/Expositor Orientadora Orientador [email protected] [email protected] [email protected] INTRODUÇÃO A matemática está ligada à filosofia desde sua origem, pois a matemática é uma ciência extraída da filosofia e os grandes filósofos clássicos da antiguidade estão diretamente ligados à Matemática. Um grande exemplo é: Euclides de Alexandria, considerado o pai da geometria, sua obra “Os Elementos” foi utilizada por mais de dois mil anos como livro didático no estudo da matemática. MATERIAIS E MÉTODOS Este trabalho é fruto de um estudo bibliográfico no qual se buscou compreender a importância da contribuição de Euclides para a matemática mundial através de sua obra “Os Elementos”. RESULTADOS Ao desenvolver informações sobre a obra os elementos de Euclides de Alexandria e a contribuição da mesma para a Matemática, se descobriu que Euclides foi escritor e matemático da escola platônica, e que é considerado o pai da geometria, além disso, é autor da obra - Os Elementos -, principal e mais influente texto matemático de todos os tempos. Até hoje os jovens estudam a "geometria euclidiana" nos primeiros anos escolares. As definições de geometria de Euclides estão baseadas em axiomas que são definições e teoremas que estruturam a construção de várias formas planas, como por exemplo: os polígonos. Euclides de Alexandria nasceu na Síria em 330 a.C. e realizou seus estudos em Atenas. Foi convidado a lecionar Matemática na escola instituída em Alexandria chamada de “Museu” onde começou a se destacar dos demais professores, através dos seus métodos utilizados nas aulas de Geometria e Álgebra. Sua principal contribuição para a matemática foi a obra Os Elementos. Essa se torna importante para a Matemática, por não apresentar a Geometria como um agrupamento de dados desconexos, mas, sim ordenada em um sistema lógico, bem como as definições, os axiomas, os postulados e as preposições, fixando a existência de entes fundamentais como o ponto, a reta, o plano e os teoremas. Esses se apresentam na mais perfeita ordem, cada preposição resulta das definições, axiomas e das próprias proposições anteriormente provadas. Por demonstrações rigorosas. Euclides passa a ser o primeiro a utilizar esse método, conhecido como axiomático. Deste modo, Os Elementos passaram a constituir o primeiro e maior exemplo de um sistema lógico que seria até os dias atuais um modelo almejado por outras ciências. A obra de Euclides contêm 465 proposições nos trezes livros que compõem a coleção. CONSIDERAÇÕES FINAIS Evidenciou-se que Euclides teve grande influência para a matemática através de seus ensinamentos na área da geometria, e sua principal contribuição foi o livro clássico “Os Elementos”, seus cálculos e teoremas são necessários para a matemática fundamental e básica nos dias atuais. REFERÊNCIAS NOÈ, Marcos. Geometria Plana. Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/geometriaplana.htm > acesso em: 08/09/2014 às 14h10 ) BICUDO, Irineu. Os Elementos – Euclides. São Paulo; UNESP, 2009. VANKS, Estevão. Os Elementos de Euclides. Disponível em: <http://www.efeitojoule.com/2008/12/euclideselementos-de-euclides.html> acesso em: 07/09/2014 às 21h56 ) SANTANA, Ana Lúcia. Euclides. Disponível em: <http://www.infoescola.com/biografias/euclides/ > acesso em 06/09/2014 às 09h43) Figura 1) Euclides desenvolvendo suas teorias Fonte: http://www.infoescola.com/biografias/euclides EXPOTEC – Exposição Cultura 4ª Edição | 2014 – Santa Cruz GEORG CANTOR E SUAS CONTRIBUIÇÕES PARA A ANÁLISE MATEMÁTICA: ALÉM DO FINITO DANTAS, Pedro Luan Silva SILVA, Lenina Lopes Soares ARAÚJO, Alexandre Medeiros Autor/Expositor Orientadora Orientador [email protected] [email protected] INTRODUÇÃO De acordo com a pesquisa realizada, sobre os estudos de George Cantor, visando encontrar seu maior feito para a matemática, vimos que na teoria dos conjuntos ele mostrou sua grande capacidade intelectual já que era um problema que ninguém havia solucionado. Essa foi considerada uma das mais notáveis inovações da matemática dos últimos tempos. Mas nem tudo eram flores, pois havia um grande adversário (Leopold Kronecker) que combatia sua teoria com paradoxos nos quais, rejeitava axiomas clássicos. Cantor nasceu em são Petersburgo, na Rússia, a 3 de março de 1845 e faleceu em Halle, Alemanha, a 6 de janeiro de 1918. Deixou a Rússia ainda menino, emigrando com a família para a Alemanha. Estudou em Zurique, Berlim e Göttingen. Em 1872 foi nomeado professor assistente de matemática em Halle, assumindo a cadeira em 1879. A descoberta de diferentes infinitos e a verdadeira perseguição comandada por Leopold Kronecker representaram um desafio ao espírito religioso de Cantor. Acusado, inclusive, de blasfêmia por alguns de seus colegas, o matemático, que sofria de depressão, foi internado repetidas vezes em hospitais psiquiátricos. RESULTADOS Cantor formulou o conceito de números transfinitos (o número cardinal de um conjunto infinito). A famosa "hipótese do contínuo", que é um dos resultados desse conceito, é ainda hoje tema de muitos estudos. Tendo por base o contínuo linear, Cantor desenvolveu a teoria de conjuntos de pontos, na qual surgem noções como as de ponto de acumulação, conjunto fechado, conjunto perfeito, entre outras. Daí resulta a teoria geral dos conjuntos, em que aparecem as noções de número cardinal, número ordinal, ordem etc. O matemático conseguiu ainda descobrir que os conjuntos infinitos não têm sempre o mesmo tamanho, ou seja, o mesmo cardinal. Por exemplo, o conjunto dos números racionais é do mesmo tamanho que o do conjunto dos números naturais, o que não ocorre em relação aos números reais. Existem, portanto, vários infinitos, uns maiores que outros. Figura 02: Teoria Dos Conjuntos Fonte:http://viagensnotempoalpha.blogspot.com.br/2011_02_01_archive.html Figura 01: Filósofo matemático Georg Cantor Fonte: http://educacao.uol.com.br/biografias/georg-cantor.jhtm MATERIAIS E MÉTODOS Os procedimentos metodológicos utilizados para a pesquisa foram principalmente da pesquisa bibliográficadocumental. A partir da análise da biografia e de trabalhos realizados por Cantor para obter resultados válidos, buscamos conhecer um pouco mais de sua biografia e de suas contribuições para a matemática. Por fim, sistematizamos informações e selecionamos conhecimentos referentes a vida e obra desse grande pensador para apresentação neste banner. CONSIDERAÇÕES FINAIS Georg Cantor foi um dos matemáticos a entender o significado de número infinito, e dar a ele precisão matemática. Antes de Cantor ninguém havia entendido o infinito em matemática, era um conceito traiçoeiro, que parecia ir a lugar nenhum. Ele mostrou que o infinito pode ser perfeitamente compreendido, pois não há apenas um, mas uma infinidade de números infinitos. REFERÊNCIAS DAUBEN, J. W. Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Cambridge, Mass, 1979; reprinted 1990. Sites: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Cantor.html EXPOTEC - Exposição de Ciência, Tecnologia e Cultura | 2014 – Santa Cruz 4ª Edição | 25 a 27 de novembro http://educacao.uol.com.br/biografias/georgcantor.jhtm a l e x a n d r e . m e d e i r o s @ i f r n . e d u . b r GEORGE BOOLE CONHECIDO COMO PAI DA CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO FRANÇA, Fernando Augusto Tavares de França SILVA , Lenina Lopes Soares ARAÚJO, Alexandre Medeiros Autor/Expositor Orientadora Orientador [email protected] [email protected] [email protected] INTRODUÇÃO George Boole (1815-1864) nasceu em Lincoln, Inglaterra, onde começou a freqüentar a escola. Foi de seu pai que recebeu as primeiras instruções sobre matemática e o gosto pelos instrumentos ópticos. Quando começou a se interessar por idiomas passou a ter aulas com um livreiro local de latim e grego, e acreditava que esse conhecimento o ajudaria a melhorar sua condição social. Boole não teve formação acadêmica, mas aos 16 anos já era um professor assistente e em 1835 abriu uma escola e mudou o seu interesse, passando a estudar matemática. Em 1847, com 32 anos, Boole publicou seu primeiro trabalho: The Mathematical Analysis of Logic (A Análise Matemática da Lógica). O livro foi elogiado publicamente por todos os filósofos da Inglaterra e, principalmente, pelo lendário De Morgan, que observou estar diante do introdutor de uma nova época na história da Lógica Matemática. • Boole foi e continua a ser considerado pelos colegas de profissão, e por todos aqueles que se dedicam à matemática, como tendo sido um homem genial. A lei especial da Lógica de Boole diz que x em relação a y = x. Para isso, ser verdade, x = 1 ou x = 0. Sendo assim, na Lógica de Boole tem-se que utilizar um Sistema Binário. • Em 1859 Boole também publicou um Tratado em Equações Diferenciais e, em 1860, um Tratado em Cálculo de Diferenças Finitas, além de mais de 50 documentos sobre as propriedades básicas dos números. CONSIDERAÇÕES FINAIS George Boole MATERIAIS E MÉTODOS Trata-se de uma pesquisa exploratória de natureza bibiográfica, portanto, a metodologia é a leitura ativa em sites na internet para coleta de dados informativos. RESULTADOS Boole publicou, em 1854, An investigation into the Laws of Thought, onde definiu as teorias matemáticas da lógica e da probabilidade estabelecendo, ao mesmo tempo, a lógica formal e uma nova álgebra. Viu a lógica de um modo novo e chegou a uma álgebra mais simples. Ele fez uma analogia entre os símbolos algébricos e os que representavam a lógica. E com isso deu início a álgebra da lógica conhecida como Álgebra Booleana, que é muito aplicada na computação (notadamente em programação, via linguagens de programação). EXPOTEC - Exposição de Ciência, Tecnologia e Cultura | 2014 – Santa Cruz 4º Edição | 25 à 27 de novembro George Boole, apesar de não possuir formação acadêmica, por sua genialidade, tornou-se um dos mais influentes matemáticos de sua época, sendo capaz de pensar sempre à frente dos outros matemáticos, tornando-o reconhecido em seu tempo e momento histórico e a posteriormente. A lógica booleana é a base dos sistemas binários, pois usando um sistema de equações booleanas é possível representar qualquer algoritmo ou qualquer circuito eletrônico do computador. REFERÊNCIAS Internet: Site www.matemática.br (História de Boole) Site www.somatematica.com.br (Biografia de Boole) A INTER/FASCINAÇÃO ENTRE FILOSOFIA E MATEMÁTICA: NOS ESTUDOS DE GIUSEPPE PEANO MONTESKIER, Monteskier SILVA, Lenina Lopes Soares ARAÚJO, Alexandre Medeiros Autor/Expositor Orientadora Orientador INTRODUÇÃO Nos primeiros períodos da história os grandes pensadores não separavam a filosofia e da matemática e a interligavam por meio de conceitos como abstração, técnica e análise. Sob esse panorama já na Idade Moderna destaca-se Giuseppe Peano, filósofo e matemático nascido na Itália em 1858 e que escreveu livros e trabalhos que contribuiram bastante para o mundo científico e matemático. [email protected] [email protected] [email protected] RESULTADOS • Peano era também interessado em criar uma linguagem universal para a ciência, e criou a linguagem artificial Interlíngua em 1903. Ele compilou o vocabulário levando palavras de inglês, francês, alemão e latim. Foi desenvolvido mais adiante por Alexander Gode. • Porém, Peano considerava que o seu trabalho em análise matemática era que tinha grande significado. • Em 1886 Peano provou que se 𝒇 =(x, y) é contínua então 𝒅𝒚 a equação diferencial de primeira ordem, = 𝒇 =(x, y) 𝒅𝒙 tem uma solução. A existência de soluções com fortes hipóteses em 𝒇 tinha sido mais cedo determinada por Cauchy e, então, Lipschitz. Quatro anos depois Peano mostrou que as soluções não eram únicas, dando como 𝒅𝒚 exemplo a equação diferencial, = 𝟑𝒚, com 𝒚 𝟎 = 𝟎. 𝒅𝒙 • Peano introduziu os elementos básicos de cálculo geométrico e deu definições novas para o tamanho de um arco e para a área de uma superfície encurvada. • Ele produziu uma definição axiomática do sistema de número natural e mostrou como o sistema de número real pode ser derivado destes postulados. • Ele inventou as curvas 'space-filling' em 1890, estas são cartografias de [0,1] sobre a unidade quadrado. • Embora ele tenha sido um dos fundadores da lógica matemática, o filósofo e matemático alemão Gottlob Frege (1848-1925) é quem é considerado o pai de lógica matemática. CONSIDERAÇÕES FINAIS Figuras 01 e 02: Peano e Peano em família MATERIAIS E MÉTODOS Trata-se de um estudo bibliográfico no qual por meio de uma leitura ativa buscou-se conhecer um pouco mais da biografia de Giuseppe Peano e suas contribuições para a matemática com o objetivo de sistematizar informações acerca de Giuseppe Peano, (conhecido mais por Peano) por ter sido um dos importantes filósofos da matemática moderna, com suas pesquisas e descobertas em diversos campos da ciência, como a criação da lógica simbólica, os axiomas de Peano que definiram os números naturais em termos de conjuntos. O centro de seus interesses foram os fundamentos da matemática e o desenvolvimento de uma linguagem lógica formal. EXPOTEC - Exposição de Ciência, Tecnologia e Cultura | 2014 – Santa Cruz 4ª Edição | 25 a 27 de novembro A partir da pesquisa feita, observa-se a importância do filósofo matemático Peano para a ciência, não só na matemática, mas também para estudos em diversas esferas científicas, comprovando a ideia de que o rigor matemático combinado com a reflexão filosófica é um assunto fascinante e interdependente. REFERÊNCIAS OS GRANDES FILÓSOFOS MATEMÁTICOS. Disponível em: <http://osfilosofosmatematicos.blogspot.com.br> Acessado em 15 de Novembro 2014. GIUSEPPE PEANO. Disponível em: < http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/fregeru ssel/peano.htm > Acessado em 16 de Novembro 2014. GOOGLE SITES, PROF. BRUNO PEREIRA. Disponível em: <https://sites.google.com/site/profbrunolp/giuseppe-peano> Acessado em 15 de Novembro 2014. JHON NAPIER E A DESCOBERTA DOS LOGARITMOS Ossos de Napier (Napier’s bones) CAMPÊLO, Rita de Cássia Shirlyane Vasco SILVA, Lenina Lopes Soares ARAÚJO, Alexandre Medeiros [email protected] [email protected] [email protected] Autora/Expositora Orientadora Orientador INTRODUÇÃO Jhon Napier (1550-1617) foi um matemático escocês que é considerado o inventor dos logaritmos. Ele foi educado na Universidade de St. Andrew publicou a influente obra Descoberta de Plaine de toda revelação de St. Jhon (1593). Seu estudo de Matemática era, portanto, um passatempo. Em 1614, publicou o Mirifici ogarithmorum canonis descriptio (Uma Descrição do Maravilhoso Cânon de Logaritmos) que contem uma descrição de logaritmos, um conjunto de tabelas e de regras para o uso deles. Napier também fez contribuições à trigonometria esférica, achou expressões exponenciais para funções trigonométricas, e foi influente na introdução da notação decimal para frações. Vejamos sua definição de logaritmo: Dados dois números reais positivos a e b, onde a > 0, sendo que a ≠ 1 e b > 0, existe somente um número real x, tal que ax=b ou logab=x. Temos: a = base do logaritmo b = logaritmando x = logaritmo MATERIAIS E MÉTODOS Proporcionar informações sobre Jhon Napier por ter sido um dos matemáticos que contribuiu para a compreensão dos logaritmos com o propósito de simplificar os cálculos. Figura 1: Foto de exemplo: 0ssos de Napier. Fonte: disponivel em: <http://historia do computador.weebly.com/ossos-de-napier.html Trata-se de um estudo bibliográfico no qual por meio de uma leitura ativa buscou-se compreender a formação e desenvolvimento da contribuição para a matemática de Jhon Napier em livros e sites na internet. O logaritmo de b na base a é o expoente que devemos atribuir ao número a para obter b. Logo: log24 = 2, pois 2² = 4 log327 = 3, pois 3³ = 27 log12144 = 2, pois 12² = 144 Figura 2: Imagem de Jhon Napier CONSIDERAÇÕES FINAIS Observa-se, que Jhon Napier teve uma boa formação, e fez grandes descobertas na área da matemática, mas que também fazia grandes reflexões filosóficas, o que torna sua obra um dos fundamentos da matemática e um assunto fascinante para matemáticos ao longo dos tempos. RESULTADOS Napier apresentou outro método para simplificar cálculos no seu Rabdologiae (1617). Ali ele descreveu um método de multiplicação que usa barras com números marcados nelas. As barras de Napier, às vezes feitas de marfim, se pareciam com ossos, daí a expressão: Napeir’s bonés. EXPOTEC - Exposição de Ciência, Tecnologia e Cultura | 2014 – Santa Cruz 4ª Edição | 25 a 27 de novembro REFERÊNCIAS Grande Livro do estudante. Editora DCL, 2012. Estudante Nota 10. Editora DCL – São Paulo, 2009. Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/definicaologaritmico.htm A INTERDISCIPLINARIDADE DE LEIBNIZ BUSCANDO UM MÉTODO UNIVERSAL DE RACIOCÍNIO: DA INTEGRAL À REGRA DO PRODUTO - À APLICABILIDADE NO MUNDO DIGITAL COSTA, Nayanne Silva SILVA, Lenina Lopes Soares ARAÚJO, Alexandre Medeiros Autora/Expositora Orientadora Orientador [email protected] [email protected] [email protected] . Suas principais obras foram: INTRODUÇÃO Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) nasceu em Leipzig. Era filho de um jurista, professor da universidade local. Foi filósofo, matemático e lógico e antecipou o desenvolvimento da lógica simbólica. Contudo, ficou mais conhecido pela invenção do Cálculo Diferencial e Integral independentemente de Isaac Newton que o inventou entre os anos de 1665 e 1666. É creditada a Leibniz e a Newton o desenvolvimento do cálculo moderno, em particular a integral e a regra do produto. Uma das inúmeras contribuições de Leibniz à Matemática foi o estudo da aritmética binária. MATERIAIS E MÉTODOS O presente trabalho é um estudo bibliográfico, exploratório e descritivo que busca relatar a vida de Leibniz, as suas contribuições para o desenvolvimento da matemática através da exposição do estudo, trazendo informações sobre ele para a comunidade acadêmica. RESULTADOS O estudo da aritmética binária de Leibniz à Matemática acabou sendo muito usada nos computadores, TV´s e câmeras digitais do nosso mundo moderno. No entanto, não obstante sua genialidade, Leibniz não conseguiu descobrir nenhuma utilidade imediata para o produto de seus esforços. Uma de suas contribuições foi a calculadora de rodas dentadas que foi projetada para trabalhar com números decimais. Contudo, Leibniz nunca a converteu para números binários, talvez intimidado pelas longas cadeias de dígitos criadas por esse sistema. Leibniz tempos depois dedicou certo tempo pensando em como utilizaria números binários em um dispositivo de cálculo, mas nunca tentou construir tal máquina EXPOTEC - Exposição de Ciência, Tecnologia e Cultura | 2014 – Santa Cruz 4ª Edição | 25 a 27 de novembro - De arte combinatória (Sobre a arte da combinação), 1666; - Hipótese Physica Nova (Novas hipóteses físicas), 1671; - Discours de métaphysique (Discurso sobre metafísica), 1686; - Manuscritos inéditos sobre o cálculo de conceitos, 1690; - Noveaux Essais sur L'entendement humaine (Novo ensaio sobre o entendimento humano), 1705; - Théodicée (Teodicéia), 1710. - Monadologia (A Monadologia), 1714. AS NOTAÇÕES MODERNAS Devemos também a Leibniz muitas das notações ainda hoje usadas: * ® para indicar multiplicação : ® para indicar divisão ~ ® para indicar semelhança = ® para indicar igualdade CONSIDERAÇÕES FINAIS Sua filosofia pode ser entendida como sendo um conjunto de fundamentos da organização que determina a relação de liberdade entre vários elementos do mundo. Para Leibniz a possibilidade de estipular relações entre esses elementos, de maneira lógica é a razão. Portanto, Conclui-se que é preciso compreender que o conhecimento matemático de Leibniz foi a base para o desenvolvimento do código binário e a calculadora deixando um legado de sabedoria para os estudiosos da matemática. REFERÊNCIAS(Sobre Leiniz) BROAD, C.D., and LEWY, C., Leibniz: An Introduction (1975); Calinger, Ronald, Gottfried Wilhelm Leibniz (1976); FRANKFURT, Harry G., ed., Leibniz: A Collection of Critical Essays (1976); Hostler, J.M., Leibniz's Moral Philosophy (1975); ISHIGURO, Hide, Leibniz's Philosophy of Logic and Language, 2d ed. (1990); LECLERC, Ivor, ed., The Philosophy of Leibniz and the Modern World (1973); Loemker, Leroy E., Struggle for Synthesis (1972); PARKINSON, G.H., Logic and Reality in Leibniz's Metaphysics (1965; repr. 1985); RESCHER, Nicholas, ed., Leibniz: An Introduction to His Philosophy (1986); ROSS, George M., Leibniz (1984); RUSSELL, Bertrand, Critical Exposition of the Philosophy of Leibniz (1900; 2d ed., 1961); WOOLHOUSE, R.S., ed., Leibniz (1981). LEONARDO DA VINCI: UMA PERSONALIDADE MULTIFACETADA GONÇALVES, Joelson LOPES, Lenina Soares Silva ARAÚJO, Alexandre Medeiros de Licenciatura em Matemática Orientadora Orientador [email protected] [email protected] [email protected] INTRODUÇÃO Leonardo da Vinci nasceu em 1452, na cidade de Vinci, perto de Florença na Itália, e faleceu em 1519, na França. Foi notável como pintor e distinguiu-se como anatomista, físico, engenheiro, inventor, arquiteto, escultor, cartógrafo, geólogo, astrônomo, compositor, poeta, cozinheiro e... matemático. Realizou desenhos e projetos em matemática, perspectiva, ótica, mecânica, balística, fortificações, hidráulica e astronomia, projetando também uma máquina para voar. Dedicou-se a vários problemas astronômicos e mostrou alguma evidência de fatos favoráveis à hipótese de que a Terra girava ao redor de seu eixo de rotação, ideia esta não aceita em sua época. Começou estudando a ciência do movimento e via na força da água um propulsor das máquinas; acreditava que seu movimento e deslocamento era a chave da vida no mundo. Para ele a matemática era a mais pura de todas as ciências, pois, revelava todas as leis e necessidades da natureza. É neste contexto estético que se deve entender uma das mais significativas contribuições de Leonardo no campo da matemática. Referimo-nos ao belíssimo desenho conhecido por "Homem de Vitruvius". Ilustrando a velha tese de Protágoras (490 - 420 a.c.) segundo a qual "o homem é a medida de todas as coisas", Leonardo inscreve numa circunferência e num quadrado, um homem de braços e pernas estendidos, assim representando o cânone de proporções do corpo humano. O texto que acompanha o desenho transmite-nos a ideia muito concreta de que cada secção do corpo humano é uma medida (percentagem) do todo. METOOLOGIA Pesquisa de natureza exploratória-bibliográfica. RESULTADOS: LEONARDO MATEMÁTICO A visão estética da matemática de Leonardo da Vinci vai buscar as suas raízes na geometria de Euclides e Platão que Leonardo estudou com afinco. Quando, em 1509, Leonardo ilustra o livro Divina Proportione de Luca Pacioli (1445 - 1517), o fascínio pela geometria foi tal que, consta, terá deixado de parte a pintura para só a retomar anos mais tarde. Figura 2: Leonardo da Vinci CONSIDERAÇÕES FINAIS Existem outras obras na área da pintura e desenho em que Leonardo da Vinci utiliza a razão áurea como base, ou seja, até onde não parece, utiliza a Matemática. Assim, vemos que um filósofo não pode ser considerado filósofo apenas por suas obras escritas, Leonardo da Vinci prova que a filosofia está presente em outras obras, como o desenho (seja ele artístico ou projeto) e a pintura; como também está presente através dos números, na Matemática. Figura 1: O Homem de Vitruvius de Leonardo da Vinci A excelência dos seus desenhos revela os seus conhecimentos matemáticos bem como a utilização da razão áurea (que tem como resultado o número de ouro – phi Φ=1,618033989) que garante perfeição, beleza e harmonia únicas. EXPOTEC - Exposição de Ciência, Tecnologia e Cultura | 2014 – Santa Cruz 4º Edição | 25 à 27 de novembro REFERÊNCIAS http://www.museutec.org.br/previewmuseologico/leonardo_d a_vinci.htm http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/davinci/ matematico.htm http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/ouro.htm A INTER/FASCINAÇÃO ENTRE FILOSOFIA E MATEMÁTICA NA OBRA DE NIELS HENRIK ABEL ASSUNÇÃO, Luzia da Silva SILVA, Lenina Lopes Soares ARAÚJO, Alexandre Medeiros Autora/Expositora Orientadora Orientador [email protected] [email protected] [email protected] INTRODUÇÃO RESULTADOS O presente microprojeto de pesquisa e extensão desenvolvido nas disciplinas: Fundamentos Históricos e Filosóficos da Educação e Epistemologia da Ciência, constantes do primeiro período (2014.1) do Curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte – Campus Santa Cruz tem como objetivo mostrar as contribuições de Niels Henrik Abel (1802-1869) para a matemática. Abel foi um filósofo e matemático norueguês, um dos fundadores da matemática moderna e, notadamente, da teoria dos conjuntos. Embora de curta existência, também foi notável na teoria das funções integrais, onde demonstrou um teorema binominal que leva o seu nome. Aos 16 anos começou, por conta própria, a digerir os maiores trabalhos de seus predecessores, inclusive, os de Isaac Newton, Leonhard Euler e Lagrange. Criou as funções elípticas, gerando toda a análise sobre essas no século XIX. Iniciou, então, o estudo sistemático das funções algébricas e formulou as idéias gerais da teoria da convergência, e demonstrou que equações de 5º grau ou superiores não tinham resolução algébrica. Foi um dos pioneiros no desenvolvimento da matemática moderna. Conseguiu entrar na Universidade de Oslo em 1821, e suas primeiras pesquisas foram publicadas em 1823. Provou que a equação geral do 5° grau não podia ser resolvida por radicais. Foto: Equação Integral de Abel Fonte: Blog Filósofo Matemático CONSIDERAÇÕES FINAIS Foto: Niels Henrik Abel Fonte: Google Imagens Por fim, Niels Henrik Abel teve um papel relevante para o desenvolvimento da matemática, pois sua teoria foi responsável por solucionar equações de 5º grau, as quais outros matemáticos passaram 300 anos tentando resolvêlas. OBJETIVO Demonstrar situações nas quais possam ser observadas as contribuições para a matemática decorrentes dos estudos e pesquisas de Niels Henrik Abel. MATERIAIS E MÉTODOS Trata-se de um breve estudo bibliográfico desenvolvido em livros e em sites na internet buscando-se informações sobre as suas contribuições do matemático em estudo para esta área de conhecimento. EXPOTEC - Exposição de Ciência, Tecnologia e Cultura | 2014 – Santa Cruz 4ª Edição | 25 a 27 de novembro REFERÊNCIAS IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar, 6: complexos, polinômios, equações. 7. ed. São Paulo: Atual Editora, 2005. Disponível em: http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2010/10/nielshenrik-abel.html. Acesso em: 09 de set de 2014. A INTERFASCINAÇÃO ENTRE FILOSOFIA E A MATEMÁTICA: PIERRE DE FERMAT E SUAS CONTRIBUIÇÔES PARA MATEMÁTICA COSTA, Jussara Michelly da Silva. SILVA, Lenina Lopes Soares ARAÚJO, Alexandre Medeiros de Autora/Expositora Orientadora Orientador INTRODUÇÃO A educação vem evoluindo ao longo dos séculos, tendo em vista a globalização e os avanços tecnológicos. O educando diante de tantas tecnologias e informações não se contenta mais em apenas ver o conteúdo por si só, passando assim a questionar a aplicabilidade do mesmo. Sendo a matemática considerada uma das disciplinas mais abstratas do currículo, se não a mais abstrata, pensa-se e discute-se sobre uma maneira de torná-la mais interativa melhorando a relação entre o ensino e a aprendizagem. Nesse contexto, busca-se relacionar filosofia e matemática, reconhecendo a importância de Pierre de Fermat para o desenvolvimento da matemática, ele que era um verdadeiro amador e não um matemático profissional. O pai, Dominique Fermat, era um rico mercador, o que lhe permitiu proporcionar ao filho uma educação esmerada. [email protected] [email protected] [email protected] Apesar de ser um amador Pierre de Fermat era um gênio de sua época. Ele descobriu ”o princípio fundamental da geometria analítica” e desenvolveu o cálculo infinitesimal. Fermat conheceu as propriedades e as relações entre os números, desenvolvendo o que hoje chamamos de Teoria dos números. A única ocasião em que Fermat discutiu ideias com outra pessoa, exceto Mersenne, foi por volta de 1655, na troca de cartas com Pascal. Desta correspondência vai nascer um ramo inteiramente novo da matemática - a teoria da probabilidade. Pascal também insistiu com Fermat para que publicasse o seu trabalho, ao que este lhe respondeu: “Mesmo que o meu trabalho seja julgado merecedor de publicação, não quero que o meu nome apareça nele.”(Singh, 1998) A nota mais célebre que Fermat deixou foi a que escreveu na margem do livro Arithmetica, onde enunciava a proposição: "Não é possível determinar x, y, z e n números inteiros positivos, com n>2 tal que xn+yn=zn", que ficou conhecida como “O último Teorema de Fermat”. CONSIDERAÇÕES FINAIS Figura 1: Pierre Fermat sobre ilustração de seu teorema Fonte: Google,2014. MATERIAIS E MÉTODOS O presente trabalho foi desenvolvido por meio de um estudo bibliográfico, exploratório e descritivo que busca oferecer informações sobre a vida de Pierre de Fermat, as suas contribuições para a matemática e a inter/fascinação entre a matemática e a filosofia através da exposição do estudo. O mundo que nos cerca é a combinação perfeita da filosofia com a matemática. Portanto, conclui-se que é preciso compreender que o conhecimento matemático, agregado a uma base filosófica, resulta em sabedoria e conhecimento e que Fermat entendia essa combinação, e por isso, se dedicava ao estudo da matemática por amor, contribuindo de forma significativa para o seu desenvolvimento, deixando um legado de dedicação e sabedoria para os estudiosos da matemática. REFERÊNCIAS RESULTADOS Pierre de Fermat nasceu na cidade de Beaumont-deLomagne, na França, e morreu em Janeiro de 1665, em Castres (também na França). Primeiro, estudou no Mosteiro Franciscano de Grandselve, frequentou em seguida a Universidade de Toulouse e, mais tarde, licenciou-se em Direito na Universidade de Orléans. EXPOTEC - Exposição de Ciência, Tecnologia e Cultura | 2014 – Santa Cruz 4ª Edição | 25 a 27 de novembro Disponíveis em: http://www2.ufpel.edu.br/cic/2008/cd/pages/pdf/CE/CE_0170 2.pdf. Acesso em: 26 de agosto de 2014. http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2011/10/pierre-defermat.html. Acesso em: 26 de agosto de 2014. http://fatosmatemáticos.blogspot.com\. Acesso em: 31 de agosto de 2014. O FILOSÓFO PITÁGORAS E SUAS CONTRIBUIÇÕES PARA A MATEMÁTICA SALES, Victor Fabrício Alexandre SILVA, Lenina Lopes Soares ARAÚJO, Alexandre Medeiros Autor/Expositor Orientadora Orientador [email protected] [email protected] [email protected] INTRODUÇÃO A busca pela relevância da Filosofia para o ensino e a aprendizagem da Matemática é uma constante no processo de formação de professores. Sendo assim, por meio de um microprojeto de pesquisa e extensão desenvolvido nas disciplinas: Fundamentos Históricos e Filosóficos da Educação e Epistemologia, constantes do primeiro período (2014.1), do Curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte – Campus Santa Cruz, do qual participam todos os alunos, foi feita a escolha de um clássico da filosofia que contribuiu com seus conhecimentos para o desenvolvimento da matemática. Tem por objetivo mostrar as inter-relações entre filosofia e matemática a partir do estudo dos fragmentos de Pitágoras. Visamos, assim, relatar esta experiência de ensino, pesquisa e extensão por meio da sistematização de informações acerca de Pitágoras, para por meio de suas contribuições, mostrar a relevância desse filósofo para a matemática. MATERIAIS E MÉTODOS Após as leituras sobre o filósofo escolhido foi elaborado um resumo expandido que mostrava a vida e a obra, bem como as contribuições para a matemática do filósofo. Em seguida as ideias principais do resumo foram transpostas para esse banner. Foi desenvolvida uma pesquisa bibliográfica em livros como: Convite à Filosofia de Marilena Chauí (2002), Filosofias da Matemática de Jairo José da Silva (2009) e em sites de domínio público que tem referências confirmadas sobre o filósofo selecionado. Assim, chamamos a atenção entre a relação dos procedimentos racionais (filosóficos) e a compreensão do teorema que leva seu nome, como também para o desenvolvimento da matemática e da Filosofia ocidental. Figura 1: Imagem de Pitágoras Figura 2: Representação do Teorema de Pitágoras Os pitagóricos estudaram e demonstraram várias propriedades dos números figurados. O primeiro número irracional a ser descoberto foi a raiz quadrada do número 2, que surgiu exatamente da aplicação do Teorema de Pitágoras em um triângulo de catetos valendo 1. Seu pensamento contribuiu muito para o desenvolvimento da matemática e da Filosofia ocidental. Aliás, curiosamente, foi ele quem elaborou o termo ‘filósofo’. CONSIDERAÇÕES FINAIS Consideramos, por fim, que Pitágoras foi um dos filósofo/matemático que mais contribuiu para o desenvolvimento da filosofia e da matemática como ciência exemplar e universal, e ainda para a compreensão da educação com sentido ético para a formação humana. Isso porque, sua influência nos estudos futuros da matemática foram enormes, pois foi um dos grandes construtores da base de conhecimentos matemáticos, geométricos e filosóficos os quais utilizamos até o momento atual, ou seja, nos anos iniciais do século XXI. Observamos, ainda, que o contexto de formação e vivência de Pitágoras foi favorável a seu desenvolvimento como filósofo e matemático, permitindo-lhe construir um vasto conhecimento para essas duas disciplinas e as demais que compõem a ciência em todos os ramos do conhecimento. RESULTADOS REFERÊNCIAS Dos livros e sites consultados e referenciados podemos perceber que Pitágoras foi um importante matemático e filósofo grego. Nasceu no ano de 570 a.C na ilha de Samos, na região da Ásia Menor (Magna Grécia). Provavelmente, morreu em 497 ou 496 a.C em Metaponto (região sul da Itália). Pitágoras desenvolveu o famoso Teorema que foi denominado com seu nome onde c² = a² + b², onde c representa o comprimento da hipotenusa, e a e b representam os comprimentos dos outros dois lados, conforme Figura 2 apresentada a seguir. EXPOTEC - Exposição de Ciência, Tecnologia e Cultura | 2014 – Santa Cruz 4º Edição | 25 à 27 de novembro CHAUÍ, Marilena. Convite à Filosofia. São Paulo: Ática, 2002. SILVA, Jairo José da. Filosofias da matemática. São Paulo: Editora UNESP, 2007. SITES CONSULTADOS: Disponíveis em: <http://estudosediscussoes.blogspot.com.br/2012/08/acontri buicaodepitagoras_7649.html>. Acesso em: 24 Jun. 2014. <http://www.pitagoras.com.br/>. Acesso em: 25 Jun. 2014. RENÉ DESCARTES: DO COMPEENSÍVEL AO MAIS COMPLETO FAUSTINO, Gilvania da Silva SILVA, Lenina Lopes Soares ARAÚJO, Alexandre Medeiros Licenciatura em Matemática Orientadora Orientador INTRODUÇÃO René Descartes nasceu no dia 31 de março de 1596 na cidade de La Haye (França) e faleceu no dia 11 de fevereiro de 1650 em Estocolmo (Suécia). Foi filósofo, físico e matemático, e é considerado “pai da filosofia moderna”, tornou-se peça fundamental na revolução científica. Muitos especialistas afirmam que Descartes inaugurou às críticas ao pensamento Medieval. MATERIAIS E MÉTODOS Pesquisa bibliográfica com intuito de sistematizar informações sobre as obras e descobertas de René Descartes, por meio do processo de leitura para entender seu método para compreender a realidade através da autoridade da razão, e por meio do raciocínio lógico. [email protected] [email protected] [email protected] RESULTADOS “Penso, logo existo”, o pensamento de Descartes revela o exercício da dúvida como uma crítica radical a todo saber humano: Determinou que a ciência deveria ser prática e não especulativa, em sua principal obra “O Discurso Sobre o Método”(1637). Neste estruturou a teoria do conhecimento em quatro regras: nada é verdadeiro até ser reconhecido como tal; os problemas precisam ser analisados e resolvidos sistematicamente; as considerações devem partir do mais simples para o mais complexo; o processo deve ser revisto do começo ao fim para que nada importante seja omitido; Identificou no intelecto, duas faculdades essenciais: a intuição, pela qual podemos ter presentes no espírito ideias claras, e distintas, simples e irredutíveis e a dedução, pela qual podemos descobrir conjuntos de verdades ordenadas racionalmente; Desenvolveu o método cartesiano no qual defende que só se deve considerar algo como verdadeiramente existente, caso possa ser comprovada sua existência. Este método se baseia na realização de quatro tarefas: clareza e distinção, análise, ordem e enumeração; Sugeriu a união entre os estudos da álgebra e da geometria, criando a geometria analítica. O resultado desse estudo foi a criação do sistema de coordenadas, conhecido como Plano cartesiano. CONSIDERAÇÕES FINAIS Foto: René Descartes e o Plano Cartesiano Fonte: revistafilosofia.com.br/portal-ciencia-e-vida. As ideais encadeadas de René Descartes são uma explicação racional da síntese filosófica, pois ele analisou o conhecimento para que fosse possível fundamentar o seu trabalho, e agir da melhor maneira possível, de acordo com a razão. Dessa forma, a problemática e a hipótese são relevantes e verdadeiras, pois seu método é inspirado no rigor matemático. Disso decorre seu caráter analítico. Seu trabalho influenciou várias gerações de filósofos e matemáticos posteriores. Assim, boa parte da filosofia e da matemática escrita a partir dele foi uma espécie de reação às suas obras ou a autores supostamente influenciados por ele, fazendo, jus ao título de “pai da filosofia moderna”. REFERÊNCIAS KOYRÉ, Alexandre. Do mundo fechado ao universo infinito. Tradução de Donaldson M. Garschagem; apresentação e revisão técnica Manoel Barros da Motta. 4.ed. Rio de Janeiro: forense universitária, 2010. REVISTA DE FILOSOFIA. Disponível em: www.revistafilosofia.com.br/portal-ciencia-e-vida// (acesso em: 16-08-14 às 14h30min) EXPOTEC - Exposição de Ciência, Tecnologia e Cultura | 2014 – Santa Cruz 4º Edição | 25 à 27 de novembro AS CONTRIBUIÇÕES DE RICHARD DEDEKIND PARA A MATEMÁTICA: UM NOVO ESTILO DE MATEMÁTICA – CLARO E SIMPLES SILVA, Raquel Pereira SILVA, Lenina Lopes Soares ARAÚJO, Alexandre Medeiros [email protected] [email protected] [email protected] Autora Orientadora Orientadora INTRODUÇÃO Este micro-projeto na área de filosofia e matemática irá apresentar ideias argumentativas e conhecimento histórico, referente ao estudo da obra do filósofo/matemático Richard Dedekind, relacionando pontos de seus trabalhos que contribuíram para a matemática de seu tempo até os dias atuais. Richard nasceu dia 6 de outubro de 1831 em Braunschweig, Alemanha atual. Seu pai era professor e sua mãe filha de professor. MATERIAIS E MÉTODOS Apresentar as contribuições de Richard Dedekind para a matemática inseridas em sua vida e obra visando mostrar que ele foi um dos filósofos/matemáticos que inseriu de forma sistematizada na cultura ocidental os estudos sobre a natureza dos números infinitos e finito A busca por dados sobre as contribuições de Richard Dedekind para a matemática foi realizada com base em pesquisas feitas na internet em sites que tratam de grandes filósofos, conforme serão referenciados ao final. Foram encontrados dados que comprovam a grandeza dos estudos de Richard Dedekind. Sendo assim, todos os resultados foram estabelecidos a partir de fundamentação teórica, seguidos com dados de sua biografia. RESULTADOS Dedekind representava cada número real como uma divisão, um “corte” nos números racionais. Para tal representação é utilizada a seguinte definição. Aos sete anos Dedekind entrou para o Colégio Martino-Catharineum onde estudou ciências, física e química. Considerou a física uma ciência de estrutura lógica imprecisa, e foi a partir desse momento que começou a desenvolver o interesse pela matemática. Em 1854 começou a lecionar probabilidade e geometria na faculdade de Gottingen. Um ano depois, em 1855, com a morte de Gauss, Dirichlet ocupou o seu posto em Gottingen. Esse evento possibilitou a Dedekind, sob a orientação de Dirichet, aprofundar seus conhecimentos em teoria dos números, teoria potencial, integral definida e equações diferenciais parciais. Em 1858 foi trabalhar na Polytechnikum em Zurique, e em 1862, retornou à cidade onde nasceu para trabalhar na Brunswick Polytechnikum. A idéia de Dedekind consistia em representar cada número real como uma divisão, um “corte” nos números racionais. O brilhantismo de Dedekind consistia não apenas na criação de teoremas e conceitos, mas, na sua habilidade ímpar em formular e expressar idéias de modo muito claro o que até hoje não é comum na matemática. Assim, uma das suas maiores contribuições foi talvez a de possibilitar o nascimento de um novo estilo de ensinar matemática CONSIDERAÇÕES FINAIS As contribuições de Richard Dedekind possibilitaram o nascimento de um novo estilo de expressão para a matemática, ocasionado por seu brilhantismo e modéstia em relação às habilidades de expressão das ideais matemáticas de forma clara e simples. Contudo, sua grande reputação científica pelas contribuições que deu à matemática só foi reconhecida depois de sua morte. REFERÊNCIAS ROSANA.Disponível em< http://www.rosana.unesp.br/Home/cbtr/resumoexpandido. pdf>em 06 setembro.2014 DIDÁTICA. Disponível em:< http://didaticavirginia.blogspot.com.br/p/resumo-expandido>.acess em:06 setembro .2014 EXPOTEC - Exposição de Ciência, Tecnologia e Cultura | 2014 – Santa Cruz 4ª Edição | 25 a 27 de novembro TALES DE MILETO E A MATEMÁTICA DA PREVISÃO MEDEIROS, George Homer B. de SILVA, Lenina Lopes Soares ARAÚJO, Alexandre Medeiros Autor/Expositor Orientadora Orientador INTRODUÇÃO Este trabalho apresenta informações para divulgação acadêmica e científica sobre Tales de Mileto, filósofo e matemático grego nascido em Tebas, no ano 625 a.C. e que morreu em Atenas em 547 a.C., aos 78 anos. O estudo vem sendo desenvolvido com o objetivo de sistematizar reflexões acerca desse filósofo clássico que deu contribuições substanciais para o desenvolvimento da matemática como ciência e linguagem universal exemplar, e que contribuiu para a compreensão da matemática pura e aplicada. [email protected] [email protected] [email protected] Tales de Mileto também realizou uma façanha incrível: seu talento matemático era tão incomum, que conseguiu estabelecer com precisão a altura das pirâmides do Egito, apenas medindo a sombra que essas projetavam. Atribui-se, ainda, a Tales de Mileto as primeiras demonstrações de teoremas geométricos, mediante o raciocínio lógico. Com certeza, foi por estes trabalhos que ele é considerado o pai da Geometria. MATERIAIS E MÉTODOS A pesquisa é de natureza bibliográfica e ao mesmo tempo há comparações com textos e imagens coletados na internet, com o objetivo de esclarecer ao máximo possível dúvidas ou, ainda, acrescentar informações a estudantes e professores de matemática sobre Tales de Mileto e suas contribuições para a Matemática. Figura 2: Gráfico de exemplo Fonte: http://matematicaferafacitec.blogspot.com.br RESULTADOS CONSIDERAÇÕES FINAIS Durante a pesquisa pode-se observar que Tales de Mileto não se limitou apenas ao espaço social grego, fez viagem ao Egito, onde realizou estudos e entrou em contato com os mistérios da religião egípcia. É a ele atribuído, a previsão de um eclipse Solar, no ano de 585 a.C. Foi o astrônomo a primeiro sustentar que a Lua brilhava pelo reflexo do Sol, e por conseguinte, determinou o número exato de dias, que contém um ano. Para provar que seu conhecimento teria utilidade prática, portanto, aplicabilidade - afirmou que em um determinado ano, a colheita de azeitonas seria excepcional. Então, arrendou a maioria das refinarias de azeite de Mileto e com esta manobra ganhou um bom dinheiro, somente com o propósito de fazer calar os que diziam que a filosofia, e a matemática dela emanada, era um capricho dos ociosos. Os principais resultados dão conta de que as descobertas matemáticas deste filósofo envolvem diversos ramos da ciência. Os resultados apontam que este filósofo/matemático e astrônomo tornou-se um grande pensador e que até os dias atuais é referência em quase todas as universidades do mundo. EXPOTEC - Exposição de Ciência, Tecnologia e Cultura | 2014 – Santa Cruz 4º Edição | 25 à 27 de novembro REFERÊNCIAS CHAUÍ, Marilena. Convite à Filosofia. São Paulo: Ática, 2002. BICUDO, M. A. V. Filosofia da Educação Matemática: um enfoque fenomenológico. In: BICUDO, M. A. V. (org.) Pesquisa em educação matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora UNESP, 1999.
