Epistemologia e Didática

Aquele algo, por vezes claro...
e por vezes vago...
que é a Matemática.
(Lakatos, 1922-74)
Wanderley Moura Rezende
(IM-UFF)
1
Matemática: o que é?

Tanto para eruditos quanto para leigos não é a
Filosofia, mas a experiência ativa na própria
Matemática que unicamente pode responder à
questão: o que é a Matemática?
R. Courant & H. Robbins (1941)
Matemática - objeto de pesquisa da Filosofia




Lógica
Teoria do conhecimento
Metafísica
Filosofia da Matemática
2
Algumas definições de dicionários
– Ciência que investiga relações entre entidades
definidas abstrata e logicamente (Aurélio)
– Ciência que lida com relações e simbolismos de
número e grandezas e que inclui operações
quantitativas e soluções de problemas
quantitativos (Enc. Britânica)
– Ciência que estuda objetos abstratos (números,
figuras e funções) e as relações entre eles,
procedendo por método dedutivo (Houaiss)
3
Etimologia
– Mathema (greg. maqhma)
 tudo o que é objeto de aprendizagem
 a coisa apreendida, quem a aprende e o modo de
aprender - Sexto Empírico (150-220)
– Escola Pitagórica
 mathematikoi – círculo interno de seguidores
 escutar – fazer perguntas – expor idéias
– Matematica (séc. XVI) - greg. Mathematike
– a ciência matemática
4
Algumas definições especiais

(...) a investigação matemática, por si própria, devido a seu
caráter especial, sua certeza e severidade, leva a mente
humana a uma proximidade maior com o divino do que
pode ser atingido por meio de qualquer outro recurso. A
matemática é a ciência do infinito, seu objetivo a
compreensão simbólica do infinito com meios humanos,
portanto finitos. (Hermann Weyl, 1885-1955)

A Matemática é a Rainha das Ciências e a Aritmética a
Rainha da Matemática (Gauss, 1777-1855)

A Matemática é a honra do espírito humano
(Leibniz, 1646-1716)
5
Problema interessante
1
1
2
2, 2, 2, 2,
...
2
6
Matemática e Filosofia
 Quatro
grupos de definições

M. como ciência da quantidade
 M. como ciência das relações
 M. como ciência do possível
 M. como ciência das construções possíveis
7
M. como ciência da quantidade

A primeira definição
– Aristóteles(384-322a.C.) & Platão (427-347a.C.) (implícita)
– Pitagóricos – a Matemática é A ciência
 (ciência dos números e das figuras geométricas)

Mundo antigo e Renascimento
– Séc. XIX - torna-se insuficiente
– Comte (1798-1857)
8
Definição de Aristóteles

O matemático constrói sua teoria por meio da abstração;
prescinde de todas as qualidades sensíveis, como peso e
leveza, dureza e seu contrário, calor e frio, e das outras
qualidades opostas, limitando-se a considerar apenas a
quantidade e a continuidade, ora em uma só dimensão,
ora em duas, ora em três, bem como os caracteres dessas
entidades, na medida em que são quantitativas e
continuativas, deixando de lado qualquer outro aspecto
delas. Consequentemente, estuda as posições relativas e
o que é inerente a elas: comensurabilidade ou
incomensurabilidade e proporções.
9
Definição de Comte (1798-1857)

Matemática é a ciência que tem por objeto
a medida das grandezas (...) A arte
elementar do raciocínio decisivo (...) só a
Matemática pode convenientemente
desenvolver.
10
M. como ciência das relações

Estreitamente ligada à Lógica ou parte desta

Logicismo

Leibniz (1646-1716)
– Mathesis Universalis - sistema geral; uma
linguagem para fundamentação do raciocínio
em todas as ciências
11

Frege (1848-1925) x Psicologismo
– O conceito de razão pertence (...) ao campo da
lógica pura. Aqui não interessa o conteúdo
especial da relação, mas exclusivamente a sua
forma lógica. Se algo pode ser afirmado sobre
ela, a verdade desse algo é analítica e
reconhecida a priori.

B. Russel (1872-1970)
- Matemática coincide com a Lógica
12

Wittgenstein (1889-1951)
– A Matemática é um método lógico. As proposições
da Matemática são equações, portanto
pseudoproposições. A proposição matemática não
exprime pensamento algum. De fato, nunca
precisamos de proposições matemáticas na vida,
mas as empregamos apenas com o fim de, a partir
de proposições que não pertencem à Matemática,
tirar conclusões que se expressam em proposições
que tampouco lhe pertencem.
– (...) As equações da Matemática correspondem às
tautologias da Lógica e, como estas, nada dizem.
13

Carnap (1891-1970)
– Os cálculos constituem um gênero particular de cálculos lógicos,
distinguindo-se deles pela maior complexidade. Os cálculos
geométricos são um gênero particular de cálculos físicos.

Tese Logicista
– Construir uma Lógica exata
– Definir todos os conceitos da M. em termos dos conceitos da
Lógica
– Deduzir todos teoremas da M. a partir dessas definições e por
meio dos princípios da Lógica

C. S. Peirce (1839-1914)
– Matemática ~ Lógica . Mas ...
– (...) enquanto a Matemática é a ciência que infere conclusões
necessárias, a lógica é a ciência do modo de inferir conclusões
necessárias.
14
M. como ciência do possível
Possível ~ aquilo que não implica contradição

Hilbert (1862-1943)
– A Matemática pode ser construída como simples cálculo sem
exigir interpretação alguma.
– Sistema axiomático
 Enumerar conceitos básicos e relações básicas;
 Enumerar os axiomas e destes deduzir todos os outros
enunciados a partir das relações básicas.

Formalismo
15

Bourbaki (1939 /1816-97)
– Matemática é simplesmente o estudo de estruturas
abstratas ou padrões formais de associação

T. de Gödel (1906-78)
– exclui a possibilidade da Matemática como sistema
único e total

De fato, pode-se construir uma máquina que seja
capaz de resolver determinado problema, mas não
uma máquina que seja capaz de resolver todos os
problemas (E. Nagel – G.R. Newmann)
16
M. como ciência das construções
possíveis

Kant (1724-1804) – Matemática como construção de
conceitos

Poincaré (1854-1912) – polêmicas antiformalistas

Intuicionismo
– A construção de que o intuicionismo fala é conceitual e não se
refere a fatos empíricos
17

Brouwer (1839-1914)
– A Matemática identifica-se com a parte exata do pensamento
humano e por isso não pressupõe ciência alguma, nem a
lógica, mas exige uma intuição que permita apreender a
evidência dos conceitos e das conclusões.

Ponto de vista de Brouwer
– A Matemática Pura é uma criação livre do espírito e não tem
relação alguma com os fatos de experiência.
– A simples constatação de um fato de experiência sempre
contém a identificação de um sistema matemático.
– O método das ciências da natureza consiste em reunir os
sistemas matemáticos contidos nas experiências isoladas em
um sistema puramente matemático construído com este fim.
18
...e agora José?

J. Ferrater Mora (1912-91)
– Para o Logicismo, (...), a M. se reduz à Lógica. Para o
formalismo, (...), a M. pode ser formalizada por
completo; (...). Para o intuicionismo, (...), pode-se falar
de entes matemáticos tão somente se podemos construílos mentalmente. Cada uma destas posições enfrenta
dificuldades peculiares (...). Cada uma destas posições,
por outro lado, alcançou grandes triunfos e impulsionou
sobremaneira o progresso na matemática. Não se pode
prever que teoria triunfará definitivamente; o mais
provável é que seja preciso manter as partes mais
fecundas de cada uma delas.
19

Nicola Abbagnano (1971)
– E já que é difícil ignorar a importância do
aspecto linguístico da Matemática, que serviu
de base para o logicismo, o pensamento
matemático conteponrâneo é dominado por
certo ecletismo.
20
Relação entre a Matemática e
outras Ciências

Matemática: Ciência ou Linguagem?

Para alguns... Linguagem Universal

Leibniz (1646-1716) - Mathesis Universalis
– sistema geral; uma linguagem para
fundamentação do raciocínio em todas as ciências
21
A matemática é
a linguagem com a qual Deus
escreveu o Universo
Galileu (1564-1643)
22
O Positivismo – Comte (1798-1857)

Sistema comteano (1844):

Matemática – Astronomia – Física – Química –
Biologia – Sociologia
“[...] a primeira necessariamente o ponto de partida
exclusivo e a última o fim único e essencial [...] o
conjunto desta fórmula enciclopédica, exatamente
conforme as verdadeiras afinidades dos estudos
correspondentes [...] permite enfim a cada inteligência
renovar à sua vontade a história geral do espírito
positivo, ao passar, de modo quase insensível, das
mais insignificantes idéias matemáticas aos mais altos
pensamentos sociais.”
23
O Construtivismo

Piaget (1896-1980) - O Círculo Piagetiano
– Pretende fundar uma teoria do conhecimento científico
que conduza “das mais elementares atividades
psicofisiológicas do sujeito aos mais altos pensamentos
científicos”.
– Ponto de partida: a Matemática e a Lógica. Seguem-se:
a Física, a Biologia e por, último, a Psicologia
Experimental e a Sociologia (unificadas com o nome de
Psico-Sociologia)

Vygotsky (1896-1934)

“A correção absoluta só se consegue para lá da linguagem
natural, na Matemática”
24
Enciclopédia Francesa

D’Alembert (1717-83) e Diderot (1713-84)

“Discurso Preliminar”

O conhecimento é constituído por três raízes

Memória,
Razão e Imaginação
(História) (Filosofia)
(Poesia)

A Lógica - lugar de destaque – engloba as funções da
Língua.

A Matemática - terreno das ciências naturais.
25
Ciência ou Linguagem?

Dicionário de Filosofia (Nicola Abbagnano, 1971)

Ciência
– Conhecimento que inclua, em qualquer forma ou
medida, uma garantia da própria validade.

Linguagem
– Em geral, o uso de signos intersubjetivos, que são os
que possibilitam a comunicação.
26
A árvore cartesiana
Astronomia, Medicina, etc.
Física (Filosofia Natural)
Metafísica (incluindo a religião)

a condição de possibilidade do conhecimento (a seiva)
Descartes (1596-1650, Discurso sobre o método)
27
N.J.Machado (1995)

(...) a Língua e a Matemática constituem os dois
sistemas básicos de representação da realidade. (...)
São instrumentos de expressão e de comunicação e,
conjuntamente, são uma uma condição de
possibilidade do conhecimento em qualquer área. O
par Língua/Matemática compõem uma linguagem
mista, imprescindível para o ensino e com as
características de um degrau necessário para alcançar-se
as linguagens específicas das disciplinas particulares.
28
Algumas referências curiosas...

Ah, prometo àqueles meus professores desiludidos que na próxima
vida eu vou ser um grande matemático. Porque a Matemática é o
único pensamento sem dor (M. Quintana, 1906-94)

Tenho capacidades e talentos muito restritos. Nenhum para as
Ciências Naturais, nenhum para a Matemática, nada para as coisas
quantitativas (S. Freud, 1856-1939)

Está praticamente fora de questão que eu escreva artigos. A única
ocupação que me permite conservar a necessária paz de espírito é a
Matemática (K. Marx, 1818-83)

O princípio criador reside na Matemática; sua certeza é absoluta,
enquanto se trata da Matemática abstrata, mas diminui na razão
direta de sua concretização (Einstein, 1879-1955)
29
Na Matemática, para saborear com
prazer o fruto é preciso conhecer
bem as suas raízes.

Malba Tahan (1895 a 1974 )
Júlio César de Mello e Souza
30
Ecletismo
Reunião de elementos doutrinários de origens
diversas que não chegam a se articular em
uma unidade sistemática consistente.
31