resolução da prova de matemática vestibular da unicamp 2016 fase

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA UNICAMP
2016 FASE 2.
POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA
7. O gráfico de barras abaixo exibe a distribuição da idade de um grupo de pessoas.
a) Mostre que, nesse grupo, a média de idade dos homens é igual à média de idade das
mulheres.
b) Escolhendo ao acaso um homem e uma mulher desse grupo, determine a probabilidade de
que a soma de suas idades seja igual a 49 anos.
RESOLUÇÃO:
a) Nesse grupo existem 16 homens e 14 mulheres.
21 4  22  5  23  4  24 1  25  2 360 : 8 45
A idade média dos homens é:


 22,5
16
16 : 8
2
21 5  22  2  23  3  24  3  25 1 315 : 7 45
A idade média das mulheres é:


 22,5
14
14 : 7
2
Assim mostramos que as médias das idades dos homens e das mulheres são iguais.
b)

A probabilidade de escolher-se uma mulher com 24 é
3
; a de escolher-se um homem
14
2 1
 . Logo a probabilidade de se escolher um casal constituído
16 8
3 1
3
desse modo é:
.
 
14 8 112
1
 A probabilidade de escolher-se uma mulher com 25 é
; a de escolher-se um homem
14
1
com 24 anos é
. Logo a probabilidade de se escolher um casal constituído desse
16
1 1
1
 
modo é:
.
14 16 224
Finalmente, escolhendo-se ao acaso um homem e uma mulher desse grupo, a probabilidade
3
1
6 1
7:7
1
de que a soma de suas idades seja igual a 49 anos é:




112 224 224 224 : 7 32
com 25 anos é
RESPOSTA: A probabilidade pedida é
8. Considere a função 𝑓(𝑥) = |2𝑥 − 4| + 𝑥 − 5, definida para todo número real 𝑥.
a) Esboce o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) no plano cartesiano para −4 ≤ 𝑥 ≤ 4.
b) Determine os valores dos números reais 𝑎 e 𝑏 para os quais a equação log𝑎(𝑥 + 𝑏) = 𝑓(𝑥)
admite como soluções 𝑥1 = −1 e 𝑥2 = 6.
RESOLUÇÃO:
a) Se 2x  4  0  f(x)  2x  4  x  5  f(x)  3x  9, para x  2.
Se 2x  4  0  f(x)  2x  4  x  5  f(x)  x  1, para x  2.
f(x)  x  1, para  4  x  2
Logo 
.
f(x)  3x  9, para 2  x  4.
f(x)  x  1, para  4  x  2
f( 4)  3, f(2)  3
. 

f(x)  3x  9, para 2  x  4.
f(2)  3, f(4)  3
b) log𝑎(𝑥 + 𝑏) = 𝑓(𝑥)  log𝑎(𝑥 + 𝑏) = |2𝑥 − 4| + 𝑥 – 5
Se 𝑥1 = −1 é raiz desta equação:
log a (b  1)   2  4  1  5  log a (b  1)  0  (b  1)  a 0  b  1  1  b  2
Se 𝑥2 = 6 é raiz dessa equação e b = 2
log a (2  6)  12  4  6  5  log a (8)  9  a 9  8  a  9 8  a  9 23  a  3 2 .
RESPOSTA:

e b = 2.
9. Considere o triângulo exibido na figura abaixo, com lados de comprimentos 𝑎, 𝑏 e 𝑐 e
ângulos 𝛼, 𝛽 e 𝛾.
a) Suponha que a sequência (𝛼, 𝛽, 𝛾) é uma progressão aritmética (PA). Determine a medida
do ângulo 𝛽.
b) Suponha que a sequência (𝑎, 𝑏, 𝑐) é uma progressão geométrica (PG) de razão 𝑞 =
Determine o valor de tg 𝛽.
2.
RESOLUÇÃO:
a) Sendo 𝛼, 𝛽, 𝛾 medidas dos ângulos do triângulo , 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 =180°.
Se os números 𝛼, 𝛽 e 𝛾 formam uma P.A., 𝛼 + 𝛽 =2 𝛾.
      180 2    180

   60 .

    2
3  180
RESPOSTA: O valor de  é 60°.
b) Se a sequência (𝑎, 𝑏, 𝑐) é uma progressão geométrica (PG) de razão 𝑞 =
b  a 2 e c  2a .

2,

Pode-se então representar a sequência (𝑎, 𝑏, 𝑐), como a, a 2, 2a .
Aplicando a lei dos cossenos em relação ao ângulo de medida ,
 
b 2  a 2  c 2  2.a.c. cos   a 2
2
 a 2  2a 2  2.a.2a. cos  
2a 2  5a 2  4a 2 . cos   2  5  4. cos   4 cos   3  cos  
Se cos  
3
4
3
9
9
7
7
7

 sen 2   1  sen 2   1   sen 2  
 sen 
, então tg 
.
4
16
16
16
4
3
RESPOSTA: tg 
7
3
10. A figura abaixo exibe o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 1/𝑥, definida para todo número real 𝑥 > 0.
Os pontos 𝑃 e 𝑄 têm abscissas 𝑥 = 1 e 𝑥 = 𝑎, respectivamente, onde 𝑎 é um número real e
𝑎 > 1.
a) Considere o quadrilátero 𝑇 com vértices em (0,0), 𝑃, 𝑄 e (𝑎, 0). Para 𝑎 = 2, verifique que a
área de 𝑇 é igual ao quadrado da distância de 𝑃 a 𝑄.
b) Seja 𝑟 a reta que passa pela origem e é ortogonal à reta que passa por 𝑃 e 𝑄. Determine o
valor de 𝑎 para o qual o ponto de intersecção da reta 𝑟 com o gráfico da função 𝑓 tem ordenada
𝑦 = 𝑎/2.
RESOLUÇÃO:
1
1
, f (1)  1 e f (2)  .
x
2
Assim as coordenadas dos pontos P e Q, para a = 2,
 1
são, respectivamente, (1, 1) e  2, .
 2
Os vértice do quadrilátero PQRS(figura ao lado) são:
 1
S(0,0), R (2,0) P(1, 1) e Q  2,  .
 2
a) Na função f ( x) 
2
S (T) = SQRS + SSQP =
PQ =
1
2
2
0
1
1
0
2
1
0 1 2
2
0 1
1
( xP  xQ ) 2  ( y P  yQ ) 2  PQ 
0 1
1
1
1
1 1 3 5
1  1  2    
2
2
2
2 2 4 4
1 1
2  12   1  1
2
2
 1
1
5


4
4

RESPOSTA: A área de 𝑇 é igual ao quadrado da distância de 𝑃 a 𝑄, como se queria
provar.
b) Seja s a reta que passa pelos pontos P(1, 1) e Q
 1
 a,  e y =mx+n, sua equação. O coeficiente angular
 a
dessa reta é: m =
1
1
1 a
1
1
a


  , com a  1 e a  0 .
a 1
a
a 1
a
Então a equação da reta r  s, é y  ax. Se o ponto R é
 1
a interseção de r com o gráfico de f(x), R  x,  .
 x
Sendo
1 a
2
 x
x 2
a
2
Substituindo este valor em y  ax  y  a  .  y  2 .
a
a
a
Então se a ordenada de R é y 
e y2 2a 4
2
2
RESPOSTA: O valor de 𝑎 para o qual o ponto de intersecção da reta 𝑟 com o gráfico da
função 𝑓 tem ordenada a/2 é 4.
11. Considere os três sólidos exibidos na figura abaixo, um cubo e dois paralelepípedos
retângulos, em que os comprimentos das arestas, 𝑎 e 𝑏, são tais que 𝑎 > 𝑏 > 0.
a) Determine a razão 𝑟 = 𝑎/𝑏 para a qual o volume de 𝑆1 é igual à soma dos volumes de 𝑆2 e 𝑆3.
b) Sabendo que a soma dos comprimentos de todas as arestas dos três sólidos é igual a
60 𝑐𝑚, determine a soma das áreas de superfície dos três sólidos.
RESOLUÇÃO:
a) VS1  a 3 ; VS2  VS3  a 2b  ab2
Considerando V1  VS2  VS3  a 3  a 2 b  ab 2  a 3  a 2 b  ab 2  0 
a 3 a 2 b ab 2


0
ab 2 ab 2 ab 2
2
1 1 4
a2 a
a
a
a
,
  1  0      1  0 . Fazendo  r  r 2  r  1  0  r 
2
2
b
b
b
b
b
Sendo a e b números positivos, r > 0  
RESPOSTA:



.
.
b) Soma das arestas: 12a + (8a + 4b) + (4a + 8b) = 24a + 12b = 60cm  2a + b =5cm
2
2
2
A área de S1 é 6a , a de S2 é 2a + 4ab e a de S3 é 4ab+2b .
2
2
2
2
2
2
2
S1 + S2 + S3 = 8a + 8ab + 2b = 2(4a + 4ab + b )= 2(2a + b) .
2
Sendo 2a + b =5, então, S1 + S2 + S3 = 2(2a + b) = 2× 25cm = 50cm .
2
RESPOSTA: A soma das áreas dos três sólidos é 50cm .
3
12. Considere o polinômio cúbico 𝑝(𝑥) = 𝑥 − 3𝑥 + 𝑎, onde 𝑎 é um número real.
a) No caso em que 𝑝(1) = 0, determine os valores de 𝑥 para os quais a matriz 𝐴 abaixo não é
invertível.
 x 1 0
A  0 x 1 
a 3 x 
2
b) Seja 𝑏 um número real não nulo e 𝑖 a unidade imaginária, isto é, i = −1. Se o número
complexo 𝑧 = 2 + 𝑏𝑖 é uma raiz de 𝑝(𝑥), determine o valor de |𝑧|.
RESOLUÇÃO:
 x 1 0
a) De A  0 x 1   det A  x3  a  3x  p( x)
a 3 x 
Os valores de x para os quais a matriz A não é invertível são tais que det A = 0.
Como 𝑝(1) = 0, 1 é raíz de 𝑝(x)
𝑝(𝑥) = 𝑥 − 3𝑥 + 𝑎  𝑝(1) = 1 − 3+ 𝑎  𝑝(1) = −2+ 𝑎  −2+ 𝑎 = 0  𝑎 = 2.
3
3
x 1 0
det A  0 x 1  x 3  2  3x  0 .
2 3 x
x 3  2  3x  0  x 3  3x  2  0 .
Considerando como raízes desta equação os números reais m, n e 1, pelas relações de Girard:

1  1  8
1  m  n  0 m  n  1 m  1  n 
n(1  n)  2 n 







 2

2

mn  2
mn  2
mn  2
n  2 ou n  1
n  n  2  0

Sendo mn  2, para n  2 , tem-se m  1  a equação x 3  3 x  2  0 tem duas raízes
iguais a 1 e outra igual a – 2.
RESPOSTA: Os valores de x para os quais a matriz A não é invertível são 1 e 2.
Poder-se-ia também considerar que, sendo 1 raiz da equação, o polinômio x 3  3 x  2 é
divisível por (x – 1).
Dividindo-se x 3  3 x  2 por x  1 encontrar-se-ia para quociente o trinômio x 2  x  2 .


Teríamos: x2  x  2 x  1  0  x  2x  1x  1  0 .
b) Se o número complexo 𝑧 = 2 + 𝑏𝑖 é uma raiz de 𝑝(𝑥), então 𝑧1 = 2  𝑏𝑖 também é.
Logo as raízes de x 3  3 x  a  0 são: , 2 + 𝑏𝑖 e 2  𝑏𝑖.
Novamente aplicando as Relações de Girard:
(2  bi)  (2  bi)    0  4    0   4 .
Sendo – 4 uma das raízes da equação x 3  3 x  a  0 , tem-se  43  3 4  a  0  valor de
64  12  a  0  a  52  x 3  3 x  52  0
(2  bi)(2  bi)(4)  52  4  b2  4  52  4  b2  13


Sendo |𝑧| = 2  bi  4  b 2  z  13 .
RESPOSTA:
