Probabilidade e Estatística – 2016/1 Exercícios Resolvidos de
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Probabilidade e Estatística – 2016/1 Exercícios Resolvidos de Probabilidade 1♠Um grupo é constituído de 10 pessoas, entre elas Jonas e César. O grupo é disposto ao acaso em uma fila. Qual a probabilidade de que haja exatamente 4 pessoas entre Jonas e César? Solução: O número de maneiras possíveis de dispor 10 pessoas em fila é 10!. Vamos determinar agora, o número de resultados favoráveis. Há C84 modos de escolher as 4 pessoas que ficarão entre Jonas e César e 4! modos de organizá-las entre si. Há 2 modos de dispor Jonas e César (um à direita e outro à esquerda do grupo das 4 pessoas). Depois disso, há5! modos de organizar as 4 pessoas restantes com o bloco formado por Jonas, César e as 4 pessoas que estão entre eles. Logo, o número de maneiras de dispor as 10 pessoas em fila de modo que haja exatamente 4 pessoas entre Jonas e Cásar é C84 ¨ 4! ¨ 2 ¨ 5!. C84 ¨ 4! ¨ 2 ¨ 5! 1 Assim, a probabilidade pedida é “ . 10! 9 2♠Uma bolsa contém 2n moedas de prata e 2n ` 1 moedas de cobre. Extraem-se ao acaso duas moedas sem reposição da primeira. Calcule a probabilidade de: aq a segunda moeda extraída ser de prata, sabendo que a primeira foi de cobre. bq a segunda moeda extraída ser de prata. cq pelo menos uma das moedas ser de cobre. Solução: a) Considere os eventos A “ ta 1a moeda extraída é de cobreu B “ ta 2a moeda extraía é de pratau Sabendo que a 1a moeda é de cobre, restam na bolsa 4n moedas, onde 2n delas são de prata. Assim, 2n 1 “ . P pB|Aq “ 4n 2 b) Considere os eventos M1 “ ta 1a moeda extraída é de cobreu M2 “ ta 1a moeda extraída é de pratau A “ ta 2a moeda extraída é de pratau Observe que A “ pA X M1 q Y pA X M2 q, onde os eventos A X M1 e A X M2 são mutuamente exclusivos. Assim, P pAq “ P pA X M1 q ` P pA X M2 q “ P pM1 qP pA|M1 q ` P pM2 qP pA|M2 q “ 2n ` 1 2n 2n 2n ´ 1 2np2n ` 1q ` 2np2n ´ 1q “ ¨ ` ¨ “ “ 4n ` 1 4n 4n ` 1 4n 4np4n ` 1q 4n 2n 2n ` 1 ` 2n ´ 1 “ “ “ 2p4n ` 1q 2p4n ` 1q 4n ` 1 c) Considere os eventos M1 “ ta 1a moeda extraída é de pratau M2 “ ta 2a moeda extraída é de pratau A “ tpelo menos uma moeda é de cobreu Então P pAq “ P pM1 X M2 q “ P pM1 qP pM2 |M1 q “ 2n 2n ´ 1 2n ´ 1 ¨ “ . 4n ` 1 4n 8n ` 2 2n ´ 1 6n ` 3 “ . 8n ` 2 8n ` 2 3♠Marina quer enviar uma carta a Verônica. A probabilidade de que Marina escreva 9 8 . A probabilidade de que o correio não a perca é de . A a carta é de 10 10 9 probabilidade de que o carteiro a entregue é de . 10 aq Qual é a probabilidade de Marina não receber a carta? Assim, P pAq “ 1 ´ P pAq “ 1 ´ bq Dado que Verônica não recebeu a carta, qual é a probabilidade de que Marina não a tenha escrito? Solução: Considere os eventos E “ tMarina escreve a cartau C “ to correio não perde a cartau D “ to carteiro entrega a cartau R “ tVerônica não recebe a cartau a) Observe que R “ E Y pE X Cq Y pE X C X Dq, onde os eventos do lado direito da igualdade são mutuamente excludentes dois a dois. Assim 2 P pRq “ P pEq ` P pE X Cq ` P pE X C X Dq “ “ P pEq ` P pEqP pC|Eq ` P pE X CqP pD|E X Cq “ “ P pEq ` P pEqP pC|Eq ` P pEqP pC|EqP pD|E X Cq “ 8 1 8 9 1 1 2 9 44 2 ` ¨ ` ¨ ¨ “ ` ` “ “ 10 10 10 10 10 10 5 25 125 125 2 P pE X Rq P pEqP pR|Eq 2 125 25 b) P pE|Rq “ “ “ 10 “ ¨ “ 44 P pRq P pRq 10 44 44 125 4♠Durante o mês de agosto, a probabilidade de chuva em um dia determinado é 6 4 . O Fluminense ganha um jogo em um dia com chuva com probabilidade 10 10 4 e em um dia sem chuva com probabilidade de . Sabendo-se que o Fluminense 10 ganhou um jogo naquele dia de agosto, qual a probabilidade de que choveu nesse dia? Solução: Considere os eventos C “ tchoveuu e G “ to Fluminense ganhou um jogou. Observe que G “ pC X Gq Y pC X Gq, onde os eventos C X G e C X G são mutamente excludentes. Assim, P pC X Gq P pCqP pG|Cq “ “ P pGq P pC X Gq ` P pC X Gq P pCqP pG|Cq “ “ P pCqP pG|Cq ` P pCqP pG|Cq 4 6 6 ¨ 6 25 1 10 10 25 ¨ “ “ “ “ 6 4 6 4 6 6 25 12 2 ¨ ` ¨ ` 10 10 10 10 25 25 P pC|Gq “ 5♠Três urnas I, II e III contém respectivamente, 1 bola branca e 2 pretas, 2 brancas e 1 preta e 3 brancas e 2 pretas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela é reirada uma bola, que é branca. Qual é a probabilidade condicional de que a urna escolhida foi a II? Solução: Considere os eventos U1 “ ta urna escolhida é a Iu U2 “ ta urna escolhida é a IIu 3 U3 “ ta urna escolhida é a IIIu B “ ta bola retirada é brancau Observe que B “ pB X U1 q Y pB X U2 q Y pB X U3 q, onde os eventos no lado direito da igualdade são mutuamente excludentes dois a dois. Assim, P pU2 X Bq P pU2 qP pB|U2 q “ P pBq P pU1 qP pB|U1 q ` P pU2 qP pB|U2 q ` P pU3 qP pB|U3 q 1 2 2 ¨ 5 2 8 3 3 “ “ “ 9 “ ¨ 1 1 1 2 1 3 1 1 9 15 12 ¨ ` ¨ ` ¨ ` 3 3 3 3 3 5 3 5 P pU2 |Bq “ 6♠Uma urna contém p bolas pretas e v bolas vermelhas. Uma das bolas é retirada ao acaso e reposta na urna com c bolas de mesma cor. Retiramos uma outra bola. Dado que a segunda bola retirada foi vermelha, mostrar que a probabilidade de p que a primeira bola foi preta é . p`v`c Solução: Considere os eventos P1 “ ta primeira bola retirada é pretau V1 “ ta primeira bola retirada é vermelhau V2 “ ta segunda bola retirada é vermelhau Observe que V2 “ pP1 X V2 q Y pV1 X V2 q, onde os eventos P1 X V2 e V1 X V2 são mutuamente excludentes. Assim, P pP1 X V2 q P pP1 qP pV2 |P1 q “ “ P pV2 q P pP1 X V2 q ` P pV1 X V2 q P pP1 qP pV2 |P1 q “ “ P pP1 qP pV2 |P1 q ` P pV1 qP pV2 |V1 q p v ¨ p`v p`v`c “ v v v`c “ p ¨ ` ¨ p`v p`v`c p`v p`v`c p v ¨ pv p p`v p`v`c “ “ “ pv ` v 2 ` vc p ` v ` c pv ` v 2 ` vc pp ` vqpp ` v ` cq P pP1 |V2 q “ 4 7♠Uma urna contém 3 moedas. Uma tem duas caras, outra é uma moeda justa, e a terceira é uma moeda viciada com probabilidade de cara igual 0,75. Uma moeda é selecionada aleatoriamente da urna, lançada com resultado cara. Qual é a probabilidade da moeda escolhida ter duas caras? Solução: Considere os eventos M1 “ ta moeda tem duas carasu M2 “ ta moeda é justau M3 “ ta moeda é viciadau C “ to resultado é carau Observe que C “ pC X M1 q Y pC X M2 q Y pC X M3 q, onde os eventos do lado direito da igualdade são mutuamente excludentes dois a dois. Assim, P pC X M1 P pM1 qP pC|M1 q “ “ P pCq P pCq P pM1 qP pC|M1 q “ “ P pM1 qP pC|M1 q ` P pM2 qP pC|M2 q ` P pM3 qP pC|M3 q 1 1 ¨1 1 4 4 3 3 “ “ ¨ “ “ 1 1 1 3 1 1 1 1 3 3 9 ¨1` ¨ ` ¨ ` ` 3 3 2 3 4 3 6 4 P pM1 |Cq “ 8♠Um médico desconfia que um paciente tem tumor no abdômen, pois isto ocorreu em 70% dos casos similares que tratou. Se o paciente de fato tiver o tumor, o exame ultra-som o detectará com probabilidade 0,9. Entretanto, se ele não tiver o tumor, o exame pode, erroneamente, indicar que tem probabilidade de 0,1. Se o exame detectou um tumor, qual é a probabilidade do paciente tê-lo de fato? Solução: Considere os eventos T “ to paciente tem tumoru D “ to ultra-som detecta o tumoru Observe que D “ pD XT qYpD XT q, onde D XT e D XT são eventos mutuamente excludentes. Assim, 5 P pD X T q P pT qP pD|T q “ “ P pDq P pD X T q ` P pD X T q P pT qP pD|T q “ “ P pT qP pD|T q ` P pT qP pD|T q 0, 63 0, 7 ¨ 0, 9 “ « 0, 9545 “ 0, 7 ¨ 0, 9 ` 0, 3 ¨ 0, 1 0, 66 P pT |Dq “ 2 1 1 que P pAq “ , P pBq “ e P pA X Bq “ , determine: 3 2 3 c c c a) P pA q c) P pA Y B q e) P pA Y B c q 9♠Sabendo b) P pA Y Bq d) P pAc X Bq f) P pAc X B c q Solução: a) P pAc q “ 1 ´ P pAq “ 1 ´ 2 1 “ 3 3 2 1 1 5 ` ´ “ 3 2 3 6 1 2 c) P pAc Y B c q “ P rpA X Bqc s “ 1 ´ P pA X Bq “ 1 ´ “ 3 3 1 1 3´2 1 “ d) P pAc X Bq “ P pBq ´ P pA X Bq “ ´ “ 2 3 6 6 1 5 pdq e) P pA Y B c q “ P rpAc X Bqc s “ 1 ´ P pAc X Bq “ 1 ´ “ 6 6 5 1 pbq f) P pAc X B c q “ P rpA Y Bqc s “ 1 ´ P pA Y Bq “ 1 ´ “ 6 6 10♠Uma montagem eletrônica é formada de dois subsistemas S1 e S2 . De procedimentos anteriores, as seguintes probabilidades se admitem conhecidas: b) P pA Y Bq “ P pAq ` P pBq ´ P pA X Bq “ 3 3 1 e P pS2 falhe sozinhoq “ P pS1 falheq “ , P pS2 e S2 falhemq “ 5 20 20 Calcule as seguintes probabilidades: aq P pS1 falhe|S2 tenha falhadoq bq P pS1 falhe sozinhoq Solução: Considere os eventos A “ tS1 falheu e B “ tS2 falheu. Então 6 a) P pS1 falhe|S2 tenha falhadoq “ P pA|Bq “ “ P pA X Bq “ P pBq 3 20 P pAc 1 P pA X Bq “ “ 3 3 X Bq ` P pA X Bq 2 ` 20 20 b) P pS1 falhe sozinhoq “ P pA X B c q “ P pA X B c q “ 1 3 1 “ P pAq ´ P pA X Bq “ ´ “ 5 20 20 11♠Mostre que se A e B são independentes, então Ac e B também são independentes. Solução: Como A e B são independentes, então P pA X Bq “ P pAq ¨ P pBq. Assim, P pAc X Bq “ P pBq ´ P pA X Bq “ P pBq ´ P pAq ¨ P pBq “ “ r1 ´ P pAqs ¨ P pBq “ P pAc q ¨ P pBq Portanto, Ac e B são independentes. 12♠Mostre que se P pBq ‰ 0, então P pAc |Bq “ 1 ´ P pA|Bq. Solução: Como P pBq ‰ 0, temos P pA X Bq P pAc X Bq P pBq ´ P pA X Bq “ “1´ “ 1 ´ P pA|Bq P pA |Bq “ P pBq P pBq P pBq c que se P pA|Bq “ 1, então P pB c |Ac q “ 1. Sugestão: Use o Exercício 12♠. Solução: Pelo Exercício 12♠temos que: 13♠Mostre „ c P pBq ´ P pA X Bq P pA X Bq “ “1´ P pB c |Ac q “ 1 ´ P pB|Ac q “ 1 ´ P pAc q P pAc q „ P pBq ´ P pBq ¨ P pA|Bq “ 1´ P pAc q Como P pA|Bq “ 1, segue que „ P pBq ´ P pBq ¨ 1 0 P pB c |Ac q “ 1 ´ “ 1. “ 1 ´ P pAc q P pAc q 7 14♠Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 25, 35 e 40 por cento do total produzido, respectivamente. Da produção de cada máquina, 5, 4 e 2 por cento, respectivamente, são parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso. aq Qual a probabilidade de que o parafuso seja defeituoso? bq Sabendo que o parafuso e defeituoso, qual a probabilidade que tenha sido produzido pela máquina A? Solução: Considere os eventos: A “ to parafuso foi produzido pela máquina Au B “ to parafuso foi produzido pela máquina Bu C “ to parafuso foi produzido pela máquina Cu D “ to parafuso é defeituosou Então: a) P pDq “ P pD X Aq ` P pD X Bq ` P pD X Cq “ “ P pAqP pD|Aq ` P pBqP pD|Bq ` P pCqP pD|Cq “ 25 5 35 4 40 2 “ ¨ ` ¨ ` ¨ “ 100 100 100 100 100 100 125 140 80 345 69 “ ` ` “ “ 1002 1002 1002 1002 2000 b) 25 5 ¨ 125 25 P pA X Dq P pAqP pD|Aq “ “ 100 100 “ “ P pA|Dq “ 69 P pDq P pDq 345 69 2000 1 15♠Em uma cidade, as pessoas falam a verdade com probabilidade . Suponha que 3 A faz uma armação e queD diz que C diz que B diz que A falou a verdade. Qual a probabilidade de A ter falado a verdade? Solução: Sejam os eventos A “ tA disse a verdadeu B “ tB disse que A disse a verdadeu C “ tC disse que B disse que A disse a verdadeu 8 D “ tD disse que C disse que B disse que A disse a verdadeu P pA X Dq . P pDq Considere o diagrama de árvore abaixo Queremos calcular P pA|Dq “ 2 Observação: Só pra entender a construção do diagrama, por exemplo, P pAq “ 3 2 e daí a P pB|Aq “ , pois neste caso B está mentindo. 3 Analisando o diagrama acima temos P pA X Dq “ P pA X B X C X Dq ` P pA X B X C X Dq ` ` P pA X B X C X Dq ` P pA X B X C X Dq 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 13 “ ¨ ¨ ¨ ` ¨ ¨ ¨ ` ¨ ¨ ¨ ` ¨ ¨ ¨ “ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 81 9 P pA X Dq “ P pA X B X C X Dq ` P pA X B X C X Dq ` ` pA X B X C X Dq ` P pA X B X C X Dq 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 28 ¨ ¨ ¨ ` ¨ ¨ ¨ ` ¨ ¨ ¨ ` ¨ ¨ ¨ “ “ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 81 P pDq “ P pA X Dq ` P pA X Dq “ 13 28 41 ` “ 81 81 81 13 P pA X D 13 Portanto, P pA|Dq “ “ 81 “ . 41 P pDq 81 81 ♠ 16 São escolhidas aleatoriamente três das células brancas do tabuleiro representado na figura a seguir. Qual a probabilidade de as três células escolhidas não estarem alinhadas? Solução: As três células brancas estarão alinhadas se, e somente se, elas estiverem na diagonal principal ou em duas das diagonais secundárias, como mostrado na figura abaixo. O número de modos de escolher três células brancas nessas condições é 2`C43 “ 6. Por outro lado, o número total de modos de escolher três células brancas do tabuleiro é C83 “ 56. Portanto, a probabilidade de as três células escolhidas não estarem alinhadas é 3 25 6 “1´ “ 1´ 56 28 28 10 17♠Uma urna tem nove bolas, numeradas de 1 a 9. José e Maria retiram, cada um, simultaneamente, uma bola da urna. Com as bolas retiradas eles formam um número de dois algarismos, sendo que o número que está escrito na bola de José é o algarismo das dezenas e o número que está escrito na bola de Maria é o algarismo das unidades. Qual é a probabilidade desse número ser par? Solução: Sejam a e b os números escritos nas bolas retiradas por José e Maria, respectivamente. Existem, então, nove possibilidades para a e oito possibilidades para b. Desse modo, existem 9 ˆ 8 “ 72 possibilidades para o número a ¨ b. Para contar quantos desses números a ¨ b são pares, precisamos analisar separadamente dois casos, como segue. • Ambos números a e b são pares. • O número a é ímpar e o número b é par. No primeiro caso, em que a e b são pares, existem quatro possibilidades para a e três possibilidades para b. Desse modo, existem 4 ˆ 3 “ 12 possibilidades ao todo. No segundo caso, em que a é ímpar e b é par, existem cinco possibilidades para a e quatro possibilidades para b. Desse modo, existem 5 ˆ 4 “ 20 possibilidades. 12 ` 20 32 4 Portanto, a probabilidade de o número a ¨ b ser par é “ “ . 72 72 9 18♠Tio Mané tem duas caixas, uma com sete bolas distintas numeradas de 1 a 7 e outra com oito bolas distintas numeradas com todos os números primos menores que 20. Ele sorteia uma bola de cada caixa. Qual é a probabilidade de que o produto dos números das bolas sorteadas seja par? Solução: O produto dos números sorteados é ímpar se, e somente se, as duas bolas sorteadas têm números ímpares. A probabilidade de sortearmos da primeira 4 caixa uma bola com número ímpar é e a probabilidade de sortearmos uma 7 7 bola ímpar da segunda caixa é , porque esta contém bolas com os números 8 t2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19u. 4 7 1 Assim, a probabilidade do produto dos números das caixas ser ímpar é ¨ “ . 7 8 2 1 1 Portanto, a probabilidade do produto ser par é 1 ´ “ 1 ´ . 2 2 19♠Tiago escreve todos os números de quatro algarismos não nulos distintos que possuem a mesma paridade. Qual a probabilidade de que, ao escolhermos um desses números, ele seja par? Solução: Os quatro algarismos escolhidos fazem parte dos conjuntos A “ t1, 3, 5, 7, 9u ou B “ t2, 4, 6, 8u. Com os elementos do conjunto A temos 5 possibilidades para 11 o primeiro algarismo, 4 para o segundo, 3 para o terceiro e 2 para o quarto, totalizando 5 ¨ 4 ¨ 3 ¨ 2 “ 120 números com 4 algarismos distintos. Já com os elementos do conjunto B temos 4 possibilidades para o primeiro algarismo, 3 para o segundo, 2 para o terceiro e 1 para o quarto, totalizando 4 ¨ 3 ¨ 2 ¨ 1 “ 24 números com quatro algarismos distintos. Assim, é possível formar 120`24 “ 144 números. De todas as possibilidades calculadas, apenas as geradas pelo conjunto 24 1 B são números pares. Portanto, a probabilidade pedida é “ . 144 6 20♠Considere uma urna que contém uma bola preta, quatro bolas brancas e algumas bolas azuis. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, sua cor é observada e a bola é devolvida à urna. Em seguida, retira-se novamente, ao acaso, outra bola dessa urna. Para quais quantidades de bolas azuis, a probabilidade das duas bolas 1 retiradas terem mesma cor vale ? 2 Sugestão: Considere n o número de bolas azuis da urna e determine as probabilidades de as duas bolas retiradas serem ambas pretas, ambas brancas e ambas azuis. Solução: Seja n o número de bolas azuis na urna. Quando retiramos as duas bolas, elas podem ser: • Duas bolas pretas. A probabilidade é 1 1 ¨ “ n`5 n`5 ˆ 1 n`5 ˙2 ˆ 4 n`5 ˙2 ˆ n n`5 ˙2 • Duas bolas brancas. A probabilidade é 4 4 ¨ “ n`5 n`5 • Duas bolas azuis. A probabilidade é n n ¨ “ n`5 n`5 Logo, a probabilidade das duas bolas serem da mesma cor é a soma das probabilidades individuais: ˆ ˙2 ˆ ˙2 ˆ ˙2 1 1 4 n 1 ` 16 ` n2 “ . ` ` “ n`5 n`5 n`5 pn ` 5q2 2 Simplificando a igualdade obtemos que n2 ´ 10n ` 9 “ 0, donde n é igual a 1 ou 9. 12 21♠Existem bolas azuis e bolas vermelhas em uma caixa. A probabilidade de sortear 1 duas bolas de cores diferentes, ao retirar duas bolas ao acaso, é . Prove que o 2 número de bolas na caixa é um quadrado perfeito. Solução: Suponha que existam A bolas azuis e V bolas vermelhas na caixa. (1) O número de modos de escolher duas bolas de cores diferentes é A ¨ V . 2 (2) O número de modos de escolher duas bolas quaisquer é CA`V . (3) De (1) e (2), a probabilidade de sortear duas bolas de cores diferentes é AV 2 CA`V Logo, 1 pA ` V qpA ` V ´ 1q AV “ ô 2AV “ ô 2 CA`V 2 2 4AV “ pA ` V q2 ´ pA ` V q ô A ` V “ pA ´ V q2 . Logo, a quantidade de bolas é um quadrado perfeito. 22♠Dez pontos são dados no plano e não existem três colineares. Quatro segmentos distintos ligando pares destes pontos são escolhidos ao acaso, mas todos com a mesma probabilidade. Qual é a probabilidade de três dos segmentos escolhidos 16 formarem um triângulo? R: . 473 Solução: 2 O número de possíveis segmentos entre os 10 pontos é C10 “ 45 e o número de 4 formas de escolher 4 desses segmentos é C45 . Já o número de formas de escolher 4 segmentos de tal modo que três deles formem um triângulo é igual ao número de maneiras de escolher três vértices, que determinam os três segmentos do triângulo, 3 multiplicado pelo número de formas de escolher o outro segmento, isto é C10 ¨ p45 ´ 3q. Portanto, a probabilidade de que três dos quatro segmentos formem um triângulo é 3 10 ¨ 9 ¨ 8 ¨ 42 ¨ 4! 16 C10 ¨ 42 “ “ . 4 C45 3! ¨ 45 ¨ 44 ¨ 43 ¨ 42 473 13
