(G,∗) é a

Professora: Elisandra Bär de Figueiredo
GRUPOS
DEFINIÇÃO 1 Sejam
G um conjunto não vazio e (x, y) 7→ x ∗ y uma lei de composição
interna em G. Dizemos que G é um grupo em relação a essa lei se
(a) a operação ∗ é associativa, isto é, a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c, para todo a, b, c ∈ G;
(b) existe elemento neutro em G para a operação ∗, isto é, existe e ∈ G tal que e ∗ x =
x = x ∗ e, para todo x ∈ G;
(c) todo elemento de G é simetrizável em relação a operação ∗, ou seja, para todo x ∈ G
existe x′ ∈ G tal que x ∗ x′ = e = x′ ∗ x.
NOTAÇÃO: 1 Se G é um grupo em relação a operação ∗ denotaremos este grupo por (G, ∗).
Para simplicar as vezes diremos apenas grupo G e pressupõe-se uma operação subentendida.
Quando a lei de composição interna for uma adição diremos que o grupo
em questão é um grupo aditivo e se a operação for uma multiplicação, então o grupo será
chamada multiplicativo.
OBSERVAÇÃO 1
DEFINIÇÃO 2 Dizemos que um grupo (G, ∗) é abeliano ou comutativo se a lei (x, y) 7→
x ∗ y é comutativa, isto é, x ∗ y = y ∗ x para todo x, y ∈ G.
Grupos nitos
Um grupo nito é um grupo (G, ∗) no qual o conjunto G é nito. O número de
elementos de G, é chamado ordem do grupo G. A tábua de um grupo nito (G, ∗) é a
tábua do grupo da lei de composição interna considerada em G. Denotaremos a ordem de
um grupo nito G por o(G).
ALGUNS GRUPOS IMPORTANTES
EXEMPLO 1
Verique que são grupos:
1. (Z, +) - grupo aditivo dos inteiros (abeliano)
2. (Q, +) - grupo aditivo dos racionais (abeliano)
3. (R, +) - grupo aditivo dos reais (abeliano)
4. (C, +) - grupo aditivo dos complexos (abeliano)
5. (Q∗ , ·) - grupo multiplicativo dos racionais (abeliano)
6. (R∗ , ·) - grupo multiplicativo dos reais (abeliano)
7. (C∗ , ·) - grupo multiplicativo dos complexos (abeliano)
8. (Mm×n (K), +), com K = Z, Q, R, C - grupo aditivo das matrizes m × n (abeliano)
1
9. (GLn (K), ·), com K = Q, R, C - grupo linear racional, real ou complexo de grau n
conforme K = Q, R, C (não comutativo se n > 1)
10. (Zm , +) - grupo aditivo de classes de restos. Este é um grupo abeliano nito com
o(Zm ) = m.
11. (Z∗m , ·) é um grupo nito se, e somente se, m for um número primo. Grupo multiplicativo de classes de restos (nito e abeliano). Prove!
12. Grupos de permutações: Seja E um conjunto não vazio. Indicaremos por S(E) o
conjunto de todas bijeções de E. Assim, a operação (f, g) 7→ f ◦g, para toda f, g ∈ S(E)
é uma lei de composição interna em S(E) associativa, com elemento neutro e em
relação a qual todo elemento de S(E) é simetrizável. O grupo (S(E), ◦) é chamado
grupo das permutações sobre E. Tal grupo só é comutativo quando E é formada por 1
ou 2 elementos apenas. Quando E = {1, 2, · · · , n}, n ≥ 1, temos um caso particular
importante de grupo nito denotado neste caso por (Sn , ◦) e chamado grupo simétrico
de grau n cuja ordem é o(Sn ) = n!. Notação usual de um elemento de Sn :
(
f=
1 2 ··· r ··· n
i1 i2 · · · ir · · · in
)
,
onde f (r) = ir , r ∈ {1, 2, · · · , n}.
13. Grupos diedrais Buscar denição no livro texto.
PROPRIEDADES IMEDIATAS DE GRUPOS
Seja (G, ∗) um grupo. Pelas propriedades demonstradas para uma operação sobre um conjunto, temos:
1. o elemento neutro de (G, ∗) é único.
2. para cada x ∈ G existe um único x′ ∈ G tal que x′ é simétrico de x.
3. se e é o elemento neutro, então ele é seu próprio simétrico, isto é, e′ = e.
4. (x′ )′ = x, para todo x ∈ G.
5. (a ∗ b)′ = b′ ∗ a′ e usando indução obtemos (a1 ∗ a2 ∗ · · · ∗ an )′ = a′n ∗ a′n−1 ∗ · · · ∗ a′2 ∗ a′1 .
6. todo elemento de G é regular em relação a operação ∗.
7. se a, b ∈ G, então a equação a ∗ x = b (analogamente, x ∗ a = b) onde x é uma variável
em G, admite uma única solução em G a saber a′ ∗ b (analogamente, b ∗ a′ ).
2
SUBGRUPOS
DEFINIÇÃO 3 Seja
um subgrupo de G se
(G, ∗) uma grupo. Dizemos que um subconjunto não vazio H ⊂ G é
(i) H é fechado para lei de composição interna de G, isto é, para todo a, b ∈ H a ∗ b ∈ H.
(ii) (H, ∗) também é grupo.
EXEMPLO 2
(a) (Z, +) é subgrupo de (R, +);
(b) (Q∗ , ·) é subgrupo de (R∗ , ·);
(c) {−1, 1, −i, i} é um subgrupo nito de (C∗ , ·);
(d) Seja (G, ∗) uma grupo qualquer com elemento neutro e. Então, H = {e} e o próprio
G são subgrupos de G, estes subgrupos são chamados subgrupos triviais.
PROPOSIÇÃO 1 Seja (G, ∗) um grupo e H ⊂ G, não vazio. Então, H é subgrupo de G se,
e somente se, para todo a, b ∈ H, a ∗ b′ ∈ H, onde b′ é o simétrico de b.
3
EXEMPLO 3
Prove que H = {x ∈ R/ x > 0} é subgrupo de (R∗ , ·).
{(
EXEMPLO 4
Considere o grupo (M2 (R), +) e o subconjunto H =
Verique que H é subgrupo de (M2 (R), +).
a b
c d
)
}
∈ M2 (R)/ a + d = 0 .
HOMOMORFISMO DE GRUPOS
DEFINIÇÃO 4 Dados dois grupos (G, ∗) e
(J, △), dizemos que uma aplicação f : G → J
é um homomorsmo de G em J se, para todo x, y ∈ G, f (x ∗ y) = f (x)△f (y).
Casos especiais. Sejam (G, ∗) e
(J, △) grupos.
ˆ Um homomorsmo do grupo G nele próprio, isto é, f : G → G é chamado
smo de G.
ˆ Um homomorsmo f : G → J injetor é chamado
monomorsmo de G em J.
ˆ Um homomorsmo f : G → J sobrejetor é chamado
ˆ Um homomorsmo f : G → J bijetor é chamado
Observação:
endomor-
epimorsmo de G em J.
isomorsmo de G em J.
f : (G, ∗) → (J, △) é um homomorsmo de grupos se preserva as operações
dos grupos. Conforme o diagrama:
(x, y)
f
∗
f
(f (x), f (y))
/x∗y
△
4
/ f (x)△f (y)
EXEMPLO 5 Prove que as aplicações denidas nos itens a seguir são homomorsmos e além
disso, verique se são algum caso especial.
(a) f : (Z, +) → (C∗ , ·) denida por f (m) = im .
(b) f : (C∗ , ·) → (R∗+ , ·) denida por f (z) = |z| = |a + bi| =
√
a2 + b2 .
(c) f : (R∗+ , ·) → (R, +) denida por f (x) = log x.
(d) pm : (Z, +) → (Zm , +) denida por pm (a) = a (m > 1 inteiro).
5
Seja a ∈ Z dado. Prove que, f : (Z, +) → (Z, +) dada por f (m) = am é um
homomorsmo. Para qual(is) valor(es) de a f é um monomorsmo e um epimorsmo?
EXEMPLO 6
PROPOSIÇÃO 2 Sejam (G, ∗) e
(J, △) grupos. Se e e u são os elementos neutros de G
e J, respectivamente, e f : G → J é um homomorsmo de grupos, então f (e) = u.
PROPOSIÇÃO 3 Sejam (G, ∗) e
(J, △) grupos. Se e e u são os elementos neutros de G
e J, respectivamente, e f : G → J é um homomorsmo de grupos, então para todo a ∈ G,
f (a′ ) = [f (a)]′ , sendo a′ o simétrico de a em G e [f (a)]′ o simétrico de f (a) em J.
PROPOSIÇÃO 4 Sejam (G, ∗) e (J, △) grupos, com e e u os elementos neutros de G e
J, respectivamente, e f : G → J é um homomorsmo de grupos. Se (H, ∗) é subgrupo de G,
então (f (H), △) é subgrupo de J.
6
Observação: Pela Proposição 4, temos que um homomorsmo de grupos preserva
subgrupos. Logo, Im(f ) = f (G) é um subgrupo de J.
PROPOSIÇÃO 5 Sejam (G, ∗), (J, △) e (L, ·) grupos quaisquer e f : G → J e g : J → L
homomorsmos de grupos. Então, g ◦ f : G → L também é homomorsmo de grupos.
COROLÁRIO 1 Se f e g são monomorsmos, então g ◦ f
COROLÁRIO 2 Se f e g são epimorsmos, então g ◦ f
: G → L também o é.
: G → L também o é.
DEFINIÇÃO 5 Sejam (G, ∗) e (J, △) grupos e f : G → J um homomorsmo de grupos. Chama-se núcleo do homomorsmo f e denota-se por N(f ) ou Ker(f ) ao seguinte
subconjunto de G :
N(f ) = {x ∈ G/ f (x) = u},
onde u é o elemento neutro de J.
EXEMPLO 7
Determine o núcleo dos homomorsmos abaixo:
(a) f : (Z, +) → (C∗ , ·) denida por f (m) = im .
(b) f : (C∗ , ·) → (R∗+ , ·) denida por f (z) = |z| = |a + bi| =
√
a2 + b2 .
(c) f : (R∗+ , ·) → (R, +) denida por f (x) = log x.
(d) pm : (Z, +) → (Zm , +) denida por pm (a) = a (m > 1 inteiro).
7
PROPOSIÇÃO 6 Seja f
: (G, ∗) → (J, △) um homomorsmo de grupos. Então,
(i) N(f ) é um subgrupo de G;
(ii) f é um monomorsmo se, e somente se, N(f )= {e}, sendo e o elemento neutro de G.
ISOMORFISMOS
Consideremos os grupos G{ = {−1,
usual
( 1} com
) a operação
(
)} de multiplicação e o grupo
1 2
1 2
das permutações J = S2 = u =
, v=
. Observe suas tábuas e que
conclusões podem ser tiradas.
1 2
2 1
DEFINIÇÃO 6 Sejam (G, ∗) e (J, △) grupos. Dizemos que uma aplicação f : G → J é
um isomorsmo do grupo G no grupo J, se f é bijetora e f é um homomorsmo de grupos.
Se G = J um isomorsmo f : G → G chama-se automorsmo de G.
PROPOSIÇÃO 7 Se f é um isomorsmo do grupo G no grupo J, então f −1 é um isomorsmo do grupo J no grupo G.
8
1- Quando existe um isomorsmo F : G → J também existe um isomorsmo de J em G que é a aplicação f −1 . Por isso dizemos, neste caso, que G e J são grupos
isomorfos. O isomorsmo f −1 é chamado isomorsmo inverso de f. Notação para grupos
isomorfos: G ≃ J.
OBSERVAÇÃO 2
2- Se x 7→ f (x) é um isomorsmo do grupo G no grupo J, muitas vezes não se faz distinção entre o grupo G e o grupo J, identicando cada x ∈ G com f (x) ∈ J.
GRUPO DAS TRANSLAÇÕES
DEFINIÇÃO 7 Seja (G, ∗) um grupo. Para cada a ∈ G a translação à esquerda denida por
a é a aplicação δa : G → G dada por δa (x) = a ∗ x, para todo x ∈ G. De modo análogo se
deniria a translação à direita.
Caso o grupo seja aditivo, a translação à esquerda denida por um elemento
a ∈ G é dada por δa (x) = a + x. Se for multiplicativo teríamos δa (x) = ax.
EXEMPLO 8
Nas considerações a seguir é indiferente usar translações à esquerda ou à direita, usaremos as primeiras.
PROPOSIÇÃO 8 Toda translação é uma bijeção.
Notação: Usamos a notação
T (G) para denotar o conjunto de todas translações em G
e lembrando que S(G) foi a notação usada para indicar o conjunto das permutações dos
elementos de G, então pela proposição anterior T (G) ⊂ S(G).
PROPOSIÇÃO 9
(i) a composição de translações é uma operação sobre T (G);
(ii) a inversa da translação δa é a translação δa′ ;
(iii) T (G) é um subgrupo do grupo (S(G), ◦).
9
T
EOREMA 1 (Cayley) Se G é um grupo, a aplicação f : G → T (G) que associa a cada
elemento a a translação δa (isto é, f (a) = δa ) é um isomorsmo de grupos.
Considere o grupo aditivo Z3 . Determine o grupo T (Z3 ) obtido usando o modelo
do Teorema de Cayley.
EXEMPLO 9
10