Matemática Parte I: Álgebra Linear Luı́sa Morgado Lic. em Enologia 2009/2010 Luı́sa Morgado Álgebra Linear Na Fı́sica aparecem frequentemente grandezas, tais como a temperatura e a pressão, que possuem apenas magnitude. Estas podem ser representadas por números reais e são chamadas grandezas escalares. Mas outro tipo de grandezas, tais como a força e a velocidade, além da magnitude têm também uma direcção a elas associada. Estas podem ser representadas por vectores (tendo direcção e comprimentos apropriados, partindo de um ponto de referência O) e são as chamadas grandezas vectoriais. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Adição de vectores: A soma de dois vectores u e v é obtida pela lei do paralelogramo, i.e. u + v é a diagonal do paralelogramo formado por u e v v u u v O Multiplicação de um vector por um escalar: O produto de um real k por um vector u é obtido multiplicando a magnitude de u por k, mantendo o mesmo sentido se k ≥ 0 ou o sentido oposto se k < 0 Luı́sa Morgado 2u Álgebra Linear O u 3u Se a origem dos eixos é escolhida no ponto de referência O, então cada vector é univocamente determinado pelas coordenadas da sua extremidade. Assim, se (a, b) e (c, d) são as extremidades dos vectores u e v , respectivamente, e k é um escalar, então (a + c, b + d) será a extremidade de u + v ; (ka, kb) será a extremidade do vector ku. Matematicamente, identificamos um vector com a sua extremidade, i.e, chamamos ao par ordenado de números reais (a, b) um vector. Mais ainda, generalizamos esta noção e chamaremos à n-upla de números reais (a1 , a2 , . . . , an ) um vector de Rn . Luı́sa Morgado Álgebra Linear Seja u = (u1 , u2 , . . . , un ) um ponto ou um vector de Rn . Aos números reais ui , i = 1, . . . , n chamamos componentes ou coordenadas do vector u. Exemplo Consideremos os seguintes vectores (−1, 1), √ (4, 2, 0) 1 (0, π, , 0, 5). 2 O número de componentes de cada um destes vectores é 2, 3 e 5, respectivamente, pelo que o primeiro é um elemento de R2 , o segundo de R3 e o último de R5 Luı́sa Morgado Álgebra Linear Dois vectores são iguais se têm o mesmo número de componentes e se as correspondentes componentes são iguais. Os vectores u = (0, 1, 2) e v = (0, 2, 1) não são iguais pois u2 = 1 6= v2 = 2. Exemplo Sendo u = (x − y , x + y, z − 1) e v = (4, 2, 3) dois vectores de R3 , determinemos x, y e z de modo a que u = v . Por definição de igualdade de vectores, x −y = 4 x +y = 2 z −1 = 3 Resolvendo o sistema acima, obtemos x = 3, y = −1 e z = 4. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Adição de vectores e multiplicação por um escalar em Rn Sejam u = (u1 , u2 , . . . , un ) e v = (v1 , v2 , . . . , vn ) dois vectores de Rn e k um número real. A soma de u e v , u + v , é o vector de Rn obtido pela adição das componentes respectivas: u + v = (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn ) A multiplicação de k por u , ku, é o vector de Rn obtido multiplicando cada componente de u por k: ku = (ku1 , ku2 , . . . , kun ) Luı́sa Morgado Álgebra Linear Exemplo Sejam u = (2, −1, 0), v = (3, 5, −2) dois vectores de R3 . 2u − 3v = 2u + (−3)v = 2(2, −1, 0) + (−3)(3, 5, −2) = (2 × 2, 2 × (−1), 2 × 0) + (−3 × 3, −3 × 5, −3 × (−2)) = (4, −2, 0) + (−9, −15, 6) = (−5, −17, 6) Luı́sa Morgado Álgebra Linear Sejam u, v e w quaisquer três vectores de Rn e k1 , k2 dois números reais. Então (i) (u + v ) + w = u + (v + w) (ii) u + 0 = u (iii) u + (−u) = 0 (iv) u + v = v + u (v) k1 (u + v ) = k1 u + k2 v (vi) (k1 + k2 )u = k1 u + k2 u (vii) (k1 k2 )u = k1 (k2 u) (viii) 1u = u onde 0 = (0, 0, . . . , 0) é o vector nulo (ou zero) e 1 = | {z } n× (1, 1, . . . , 1). | {z } n× Luı́sa Morgado Álgebra Linear Produto interno Sejam u = (u1 , u2 , . . . , un ) e v = (v1 , v2 , . . . , vn ) dois vectores de Rn . O produto interno (ou produto escalar) de u e v , u ·v , é o escalar obtido multiplicando as componentes correspondentes e somando os resultados obtidos: u · v = u1 v1 + u2 v2 + . . . + un vn ku = (ku1 , ku2 , . . . , kun ) Dois vectores u e v dizem-se ortogonais (ou perpendiculares), u⊥v , se o seu produto interno é zero. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Exemplo Sejam u = (1, 2), v = (−3, 0) e w = (−2, 1). u · v = 1 × (−3) + 2 × 0 = −3 u · w = 1 × (−2) + 2 × 1 = 0 e assim os vectores u e w são ortogonais. u w v Luı́sa Morgado Álgebra Linear Para quaisquer vectores u, v , w ∈ Rn e qualquer escalar k ∈ R: (i) (u + v ) · w = u · w + v · w; (ii) (ku) · v = k (u · v ); (iii) u · v = v · u; (iv) u · u ≥ 0 e u · u = 0 se e só se u = 0. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Norma e distância em Rn Dados dois vectores de Rn , u = (u1 , u2 , . . . , un ) e v = (v1 , v2 , . . . , vn ): A distância entre os pontos u e v , representa-se por d(u, v ), e é definida por q d(u, v ) = (u1 − v1 )2 + (u2 − v2 )2 + . . . (un − vn )2 A norma (ou o comprimento) do vector u denota-se por kuk, e é definida por q √ kuk = u · u = u12 + u22 + . . . un2 Note que d(u, v ) = ku − v k. Luı́sa Morgado Álgebra Linear 2 2 , 2 2 , , Exemplo Sejam u = (2, 3) e v = (1, 0). p √ d(u, v ) = (2 − 1)2 + (3 − 0)2 = 10; √ √ kuk = 22 + 32 = 13; √ kv k = 12 + 02 = 1. Sempre que tal acontece, i.e., sempre que um vector tem norma 1, chamamos a esse vector, vector unitário. u Note que dado um vector não nulo de Rn , o vector kuk é um vector unitário com a mesma direcção e sentido de u. Luı́sa Morgado Álgebra Linear (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Para quaisquer vectores u, v ∈ Rn |u · v | ≤ kukkv k. (Desigualdade triangular) Para quaisquer vectores u, v ∈ Rn ku + v k ≤ kuk + kv k. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Ângulo entre dois vectores Dados dois vectores não nulos u = (u1 , u2 , . . . , un ) e v = (v1 , v2 , . . . , vn ), o ângulo θ entre u e v é definido pela igualdade u·v cos θ = . kukkv k Note que, se u · v = 0, então θ = π2 , o que está de acordo com a definição prévia de ortogonalidade. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Em R a equação x 2 + 1 = 0 é impossı́vel. a √ Introduzindo 2 unidade imaginária i, que é tal que i = −1 ou i = −1, aquela equação passa a ter solução pois √ x 2 + 1 = 0 ⇔ x = ± −1 ⇔ x = ±i Ao conjunto C = {z : a + bi, a, b ∈ R ∧ i 2 = −1} chama-se conjunto dos números complexos. a a chama-se parte real do número complexo, a = Re(z); a b chama-se parte imaginária do número complexo, b = Im(z). Luı́sa Morgado Álgebra Linear Imaginários puros: z = bi, onde b ∈ R \ {0} Reais puros: z = a, a ∈ R. Note que o conjunto dos reais puros é da forma {z ∈ C : z = a, a ∈ R} = {z ∈ C : z = a + 0i} e portanto identifica-se com R; por tal, dizemos que R ⊂ C. Adição em C: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Multiplicação em C: (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i Igualdade em C: (a + bi) = (c + di) ⇔ a = c ∧ b = d Conjugado de z = a + bi, z: z = a − bi z a −b Inverso de z = a + bi 6= 0, z −1 : z −1 = zz = a2 +b 2 + a2 +b 2 i Divisão em C: wz = wz −1 , z 6= 0 √ Valor absoluto de z = a + bi, |z|: |z| = a2 + b2 Luı́sa Morgado Álgebra Linear Assim, como os números reais podem ser representados por pontos numa recta, os números complexos podem ser representados por pontos do plano. Mais precisamente, o ponto (a, b) do plano representa o número complexo z = a + bi. O valor absoluto de z é definido como sendo a distância de z à origem. Note que |z| é igual à norma do vector (a, b). Luı́sa Morgado Álgebra Linear Adição de vectores e multiplicação por um escalar em Cn Definimos o conjunto Cn = {(z1 , z2 , . . . , zn ) : zi ∈ C, i = 1, 2, . . . , n} Tal como no caso real, aos elementos de Cn chamamos pontos (ou vectores) e aos elementos de C chamamos escalares. A soma de z = (z1 , z2 , . . . , zn ) e w = (w1 , w2 , . . . , wn ), u + w, é o vector de Cn obtido pela adição das componentes respectivas: z + w = (z1 + w1 , z2 + w2 , . . . , zn + wn ) A multiplicação do escalar λ por z , λz, é o vector de Cn obtido multiplicando cada componente de z por λ: λz = (λz1 , λz2 , . . . , λzn ) Luı́sa Morgado Álgebra Linear Produto interno e norma em Cn Sendo z = (z1 , z2 , . . . , zn ) e w = (w1 , w2 , . . . , wn ) dois vectores de Cn . O produto interno (ou produto escalar) de z e w, u · v , é definido por: z · w = z1 w1 + z2 w2 + . . . + zn wn . A norma de z é definida por: kzk = √ zz = q p z1 z1 + z2 z2 + . . . + zn zn = |z12 | + |z22 | . . . |zn2 | Luı́sa Morgado Álgebra Linear Exemplo Sejam z = (2 + 3i, 4 − i, 2i) e w = (3 − 2i, 5, 4 − 6i) dois vectores de R3 . z ·w = (2 + 3i)(3 − 2i) + (4 − i)(5) + (2i)(4 − 6i) = (2 + 3i)(3 + 2i) + (4 − i)(5) + (2i)(4 + 6i) = 13i + 20 − 5i − 12 + 8i = 8 + 16i z · z = (2 + 3i)(2 + 3i) + (4 − i)(4 − i) + (2i)(2i) = (2 + 3i)(2 − 3i) + (4 − i)(4 + i) + (2i)(−2i) = 13 + 17 + 4 = 34 √ √ kzk = zz = 34 Luı́sa Morgado Álgebra Linear Definição de corpo Seja K um conjunto munido de duas operações: de adição (+) e de multiplicação (×). O terno (K, +, ×) diz-se um corpo sse ∀x, y ∈ K ∃1 z ∈ K: z = x + y; ∀x, y, z ∈ K: (x + y ) + z = x + (y + z); ∀x, y ∈ K: x + y = y + x; ∃0 ∈ K ∀x ∈ K: x + 0 = 0 + x = x; ∀x ∈ K ∃x 0 ∈ K: x + x 0 = x 0 + x = 0; ∀x, y ∈ K ∃1 z ∈ K: z = x × y; ∀x, y, z ∈ K: (x × y ) × z = x × (y × z); ∀x, y ∈ K: x × y = y × x; ∃1 ∈ K\{0} ∀x ∈ K: 1 × x = x × 1 = x; ∀x ∈ K\{0} ∃x −1 ∈ K: x × x −1 = x −1 × x = 1; ∀x, y, z ∈ K: x × (y + z) = x × y + x × z. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Exemplo (i) (R, +, ×) e (C, +, ×), onde + e × são as operações de adição e multiplicação usuais em R e C, respectivamente, são corpos. (ii) (Z2 , +, ×) onde Z2 = {0, 1} e as operações de adição e multiplicação são definidas por 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 0 + 0 = 1 + 1 = 0, 0 × 0 = 0 × 1 = 1 × 0 = 0, 1 × 1 = 1. é um corpo. Daqui em diante, sempre que falarmos de um corpo K estaremos a referir-nos a um dos corpos do exemplo (i). Luı́sa Morgado Álgebra Linear Definição de espaço vectorial sobre um corpo Seja E um conjunto não vazio e (K, +, ×) um corpo. Defina-se em E uma operação binária (fechada), ⊕, e uma operação de multiplicação de elementos do corpo K por elementos de E, ⊗, e cujo resultado está em E. Dizemos que (E, ⊕, ⊗) é um espaço vectorial (ou linear) sobre o corpo K sse ∀x, y ∈ E ∃1 z ∈ E: z = x ⊕ y ; ∀x, y, z ∈ E: (x ⊕ y ) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z); ∀x, y ∈ E: x ⊕ y = y ⊕ x; ∃0E ∈ E ∀x ∈ E: x ⊕ 0E = 0E ⊕ x = x; ∀x ∈ E ∃x 0 ∈ E: x ⊕ x 0 = x 0 ⊕ x = 0E ; ∀λ ∈ K ∀x ∈ E ∃1 y ∈ E: y = λ ⊗ x; ∀λ ∈ K ∀x, y ∈ E: λ ⊗ (x ⊕ y) = (λ ⊗ x) ⊕ (λ ⊗ y ); ∀λ, µ ∈ K ∀x ∈ E: (λ + µ) ⊗ x = (λ ⊗ x) ⊕ (µ ⊗ x); ∀λ, µ ∈ K ∀x ∈ E: (λ × µ) ⊗ x = λ ⊗ (µ ⊗ x); ∀x ∈ E: 1K ⊗ x = x. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Quando K = R → espaço vectorial real Quando K = C → espaço vectorial complexo Exemplo 1 2 Rn com as operações de adição e multiplicação por um real usuais (definidas atrás) é um espaço vectorial real Cn com as operações de adição e multiplicação por um real usuais (definidas atrás) é um espaço vectorial complexo. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Subespaços vectoriais Seja (E, ⊕, ⊗) um espaço vectorial sobre um corpo (K, +, ×). Diz-se que (S, ⊕, ⊗) é um subespaço vectorial de (E, ⊕, ⊗) sse S ⊆ E e (S, ⊕, ⊗) é um espaço vectorial sobre (K, +, ×). Exemplo O conjunto A = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0} munido das operações de adição e multiplicação por um escalar usuais, é um subespaço vectorial de R3 ; Dado um espaço vectorial E sobre um corpo K, o conjunto {0E } é um subespaço vectorial de E. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Um subconjunto S de um espaço vectorial E sobre um corpo K é um subespaço vectorial de E sse (i) S 6= ∅; (ii) ∀x, y ∈ S: x + y ∈ S; (iii) ∀λ ∈ K, ∀x ∈ S: λx ∈ S. As propriedades (ii) e (iii) poderiam agrupar-se em apenas uma: ∀λ, µ ∈ K, ∀x, y ∈ S : λx + µy ∈ S Luı́sa Morgado Álgebra Linear Exemplo Mostremos que o conjunto A = {(x, y , z) ∈ R3 : z = 0} munido das operações de adição e multiplicação por um escalar usuais, é um subespaço vectorial real de R3 . (i) A 6= ∅ uma vez que (0, 0, 0) ∈ A; (ii) Sejam x = (x1 , x2 , 0) e y = (y1 , y2 , 0) dois quaisquer elementos de A. Então x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , 0) e portanto x + y ∈ A; (iii) Para qualquer λ ∈ R e qualquer x = (x1 , x2 , 0) ∈ A, λx = (λx1 , λx2 , 0) donde λx ∈ A. Luı́sa Morgado Álgebra Linear De acordo com o teorema anterior, podemos concluir que S é subespaço vectorial de E ⇒ 0E ∈ S donde 0E ∈ /S⇒S não é subespaço vectorial de E Exemplo O conjunto S = {(x, y) ∈ R2 : x + y = 2} não é um subespaço vectorial de R2 uma vez que 0R2 = (0, 0) ∈ / S. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Combinações lineares Seja E um espaço vectorial sobre um corpo K e sejam u1 , u2 , . . . , un ∈ E. Qualquer vector u ∈ E da forma u = α1 u1 + α2 u2 + . . . + αn un , onde αi ∈ K, i = 1, 2, . . . , n é chamado combinação linear de u1 , u2 , . . . , un . Exemplo O vector (2, 4) ∈ R2 pode ser escrito como combinação linear dos vectores (1, 0) e (0, 1), uma vez que (2, 4) = 2(1, 0) + 4(0, 1) Luı́sa Morgado Álgebra Linear Dependência e independência linear Seja E um espaço vectorial sobre um corpo K. Diz-se que os vectores u1 , u2 , . . . , un ∈ E são linearmente dependentes se existem escalares α1 , α2 , . . . , αn ∈ K não todos nulos tais que α1 u1 + α2 u2 + . . . + αn un = 0. Caso contrário, dizem-se linearmente independentes. Se α1 u1 + α2 u2 + . . . + αn un = 0 ⇒ α1 = α2 = . . . = αn = 0, os vectores u1 , u2 , . . . , un são linearmente independentes; Se um dos vectores uj é zero, então os vectores ui , i = 1, . . . , n são linearmente dependentes, pois 0u1 + . . . + 1uj + . . . + 0un = 0 e αj = 1 6= 0; Qualquer vector não nulo u é por si só linearmente independente pois αu = 0 ⇒ α = 0. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Exemplo 1 (1, 2) e (0, 3) são linearmente independentes α(1, 2) + β(0, 3) = (0, 0) ⇔ (α, 2α + 3β) = (0, 0) α=0 α=0 ⇒ ⇔ 2α + 3β = 0 β=0 2 u = (1, −1, 0) e v = (1, 3, −1) e w = (5, 3, −2) são linearmente dependentes α(1, −1, 0) + β(1, 3, −1) + γ(5, 3, −2) = (0, 0, 0) α + β + 5γ = 0 α = −3γ −α + 3β + 3γ = 0 ⇔ β = −2γ ⇒ −β − 2γ = 0 γ qualquer Com, p.e., γ = 1, β = −3 e α = −2, temos −3u − 2v + w = 0. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Sistemas de geradores de um espaço vectorial Seja S = {v1 , v2 , . . . , vn } um conjunto de vectores de um espaço vectorial E sobre um corpo K. O conjunto de todas as combinações lineares de elementos de S designa-se por subespaço gerado por S e representa-se por hSi ou por hv1 , v2 , . . . , vn i. hSi é um subespaço vectorial de E; hSi é o menor subespaço que contém S; Por convenção, se S = ∅ então hSi = {0}. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Exemplo Sejam S1 = {(1, 1, 3), (0, 1, 1), (1, 2, 4)} e S2 = {(1, 0, 2), (0, 1, 1)}. Determinemos o subespaço gerado por S1 e S2 . O subespaço gerado por S1 é formado por vectores da forma (x, y, z) = α(1, 1, 3) + β(0, 1, 1) + γ(1, 2, 4) = (α + γ, α + β + 2γ, 3α + β + 4γ ) {z } | 2(α+γ)+(α+β+2γ) e portanto hS1 i = {(x, y , z) ∈ R3 : z = 2x + y}. Luı́sa Morgado Álgebra Linear O subespaço gerado por S2 é constituı́do por vectores da forma (x, y, z) = α(1, 0, 2) + β(0, 1, 1) = (α, β, 2α + β) e portanto hS2 i = {(x, y , z) ∈ R3 : z = 2x + y} = hS1 i. Tal como este exemplo mostra, geralmente um espaço tem mais do que um sistema de geradores. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Base e dimensão de um espaço vectorial Base de um espaço vectorial é qualquer sistema de geradores do espaço, cujos elementos sejam linearmente independentes. Exemplo {(1, 0), (1, −1)} é uma base de R2 ; O conjunto Bc = {(1, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 0, 1)} é uma base do espaço vectorial Rn e chama-se base canónica. Dimensão de um espaço vectorial E é o número de elementos de uma base de E e denota-se por dimE. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Seja E um espaço vectorial Todas as bases de E têm o mesmo número de elementos; Mais, se dimE = n, então Qualquer conjunto de n vectores linearmente independentes de E constitui uma base de E; Qualquer conjunto de n vectores que gera E é uma base de E; Qualquer conjunto de n + 1 vectores é linearmente dependente; Sendo B = {b1 , b2 , . . . , bn } uma base, então qualquer elemento de E se escreve de modo único como combinação linear dos elementos de B. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Seja B = {b1 , b2 , . . . , bn } uma base de um espaço vectorial E, v = α1 b1 + α2 b2 + . . . + αn bn um elemento de E. Aos αi , i = 1, 2, . . . , n, chamam-se coordenadas de v na base B e escreve-se (α1 , α2 , . . . , αn )B . Exemplo Determinemos as coordenadas do ponto (8, 5) na base canónica. A base canónica de R2 é Bc = {(1, 0), (0, 1)}. Como (8, 5) = 8(1, 0) + 5(0, 1), podemos então escrever (8, 5) = (8, 5)Bc Luı́sa Morgado Álgebra Linear Definição de matriz A uma entidade do tipo A= ··· ··· .. . a1n a2n .. . am1 am2 · · · amn a11 a21 .. . a12 a22 .. . onde cada aij ∈ K, i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n, dá-se o nome de matriz de m linhas e n colunas (ou matriz m × n) com elementos em K. É comum representar-se a matriz A por aij i=1,2,...,m;j=1,2,...,n , onde aij é o elemento do corpo K que na matriz A ocupa a posição na linha i e na coluna j. O conjunto de todas as matrizes de m linhas e n colunas com elementos (ou entradas) em K denota-se por Mm,n (K). Luı́sa Morgado Álgebra Linear Exemplo A matriz A= 1 0 2 −1 4 3 é uma matriz de M2,3 (R), onde a11 = 1, a12 = 0, a13 = 2, a21 = −1, a22 = 4, a23 = 3. No caso em que K = R a matriz diz-se real (que é o caso da matriz acima) e no caso K = C a matriz diz-se complexa. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Quando: m = 1, à matriz dá-se o nome de matriz (ou vector) linha; n = 1, à matriz dá-se o nome de matriz (ou vector) coluna; m = n, a matriz diz-se quadrada. Representa-se por Mn (K) o conjunto de todas as matrizes quadradas n × n (ou de ordem n), com entradas no corpo K. Exemplo −1 2 3 1 0 1 2 −2 −1 =⇒ matriz linha =⇒ matriz coluna =⇒ matriz quadrada de ordem 2 Luı́sa Morgado Álgebra Linear Seja A ∈ Mn (K). A diz-se uma matriz: 2 −2 3 3 4 triangular superior se aij = 0 para i > j; e.g.: 0 0 0 −2 2 0 triangular inferior se aij = 0 para i < j; e.g.: −1 3 1 0 0 0 3 0 diagonal se aij = 0 para i 6= j; e.g.: 0 0 −2 3 0 escalar se for diagonal e aii = α, α ∈ K; e.g.: 0 3 1 0 0 0 1 0 identidade se aii = 1 e aij = 0 para i 6= j; e.g.: 0 0 1 0 0 nula se aij = 0, ∀i, j ∈ {1, 2, . . . , n}; e.g.: 0 0 É costume representar-se a matriz identidade de ordem n por In ou simplesmente, I. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Sendo A uma matriz quadrada de ordem n. Os elementos aii constituem a diagonal principal e os elementos an1 , a(n−1) 1 , . . . , a1n constituem a diagonal secundária. Exemplo 1 A= 4 6 1 A= 4 6 3 0 2 3 0 2 −1 0 5 −1 0 5 A vermelho está representada a diagonal principal A amarelo está representada a diagonal secundária Luı́sa Morgado Álgebra Linear Igualdade em Mm,n (K) Diz-se que duas matrizes A = aij e B = bij são iguais sse forem da mesma ordem e aij = bij . Exemplo As matrizes A = 2 0 0 2 e B = bij : bij = 2, i = j , 0, i = 6 j são iguais; 1 0 0 1 0 As matrizes I2 = e I3 = 0 1 0 não são 0 1 0 0 1 iguais pois não são o mesmo tipo, uma vez que I2 é uma matriz 2 × 2 e I3 é uma matriz 3 × 3. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Adição em Mm,n (K) Dadas duas matrizes de Mm,n (K): A = aij e B = bij a sua soma é definida por A + B = aij + bij = aij + bij . Exemplo 2 1 3 3 A = 0 −2 2 , B = 6 0 10 4 −1 2+3 1+4 3+0 A + B = 0 + 6 −2 − 9 2 + 1 = 0 − 1 10 + 3 4 + 0 Luı́sa Morgado Álgebra Linear 4 0 −9 1 , 3 0 5 5 3 6 −11 3 . −1 13 4 Multiplicação de um escalar por uma matriz Seja A = aij ∈ Mm,n (K) uma matriz e λ ∈ K um escalar. Define-se a multiplicação de λ por A por λA = λ aij = λaij . Exemplo −1 0 2 × (−1) 2 × (0) −2 0 6 2 0 3 = 2 × (0) 2 × (3) = 0 4 5 2 × (4) 2 × (5) 8 10 Luı́sa Morgado Álgebra Linear Com as operações de soma, (+), de matrizes e de multiplicação de uma matriz por um escalar, (·) assim definidas, o terno (Mm,n (K), +, ·) é um espaço vectorial sobre K de dimensão m × n. Exemplo O conjunto B= 1 0 0 , 0 0 0 1 0 0 , 1 0 0 0 , 0 0 1 constitui uma base de M2,2 (R), pois α 1 0 0 0 +β 0 0 1 0 0 0 0 0 0 +γ +δ = 0 1 0 0 1 0 0 α β 0 0 ⇔ = ⇔ α = β = γ = δ = 0, γ δ 0 0 ou seja, os elementos de B são linearmente independentes; Luı́sa Morgado Álgebra Linear a b c d combinação linear de elementos de B: de M2,2 (R) pode ser escrita como Por outro lado, qualquer matriz a c b d =a 1 0 0 0 +b 0 0 1 0 +c 0 1 0 0 +d 0 0 0 1 , i.e., B é um conjunto gerador de M2,2 (R). Mostre que o conjunto das matrizes diagonais de ordem n é um subespaço vectorial de Mn (R) de dimensão n. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Multiplicação de matrizes Sejam A = aij ∈ Mm,n (K) e B = bij ∈ Mn,p (K). Definese o produto de A por B com sendo a matriz: AB = cij ∈ Mm,p (K), onde cij = ai1 b1j +ai2 b2j +. . .+ain bnj , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , p. Exemplo = 1 × 1 + 0 × 0 + 3 × (−1) 2 × 1 − 1 × 0 + 1 × (−1) 1 2 0 −1 1×0+0×1+3×2 2×0−1×1+1×2 Luı́sa Morgado Álgebra Linear 1 0 = 0 1×1+0×0+3×0 = 2×1−1×0+1×0 −2 6 1 = 1 1 2 3 1 1 · 0 −1 0 1 2 Note que nem sempre é possı́vel o produto de duas matrizes e portanto podemos concluir que, geralmente, o produto de matrizes não é comutativo. Duas matrizes A e B dizem-se permutáveis sse AB = BA. Sejam A, A0 ∈ Mm,n (K), B, B 0 ∈ Mn,p (K) e C, C 0 ∈ Mp,q (K). Então: (i) (AB)C = A(BC); (ii) (A + A0 )B = AB + A0 B; (iii) A(B + B 0 ) = AB + AB 0 ; (iv) Im A = A = AIn ; (v) ∀λ ∈ K, λ(AB) = (λA)B = A(λB). Luı́sa Morgado Álgebra Linear Transposta de uma matriz Seja A ∈ Mm,n (K). A matriz transposta de A é a matriz B ∈ Mn,m (K) cuja coluna i é a linha j da matriz A, i.e., se A = aij , então B = aji . Normalmente utiliza-se AT para denotar a transposta de A. Exemplo Sendo A = 1 4 1 2 3 , AT = 2 5 . 4 5 6 3 6 Luı́sa Morgado Álgebra Linear Matrizes simétricas e hemi-simétricas T Uma matriz A ∈ Mn (K) diz-se simétrica sse A = A ⇔ aij = aji , i.e., os elementos colocados em posição simétrica face à diagonal principalsão iguais. No caso em que AT = −A ⇔ aij = − aji , a matriz diz-se hemi-simétrica. Exemplo 1 −1 4 A = −1 2 5 é uma matriz simétrica. 4 5 3 0 −1 4 0 5 é uma matriz hemi-simétrica. B= 1 −4 −5 0 Luı́sa Morgado Álgebra Linear Sejam A e B duas matrizes para as quais estão definidas as suas somas e produtos. Então (A + B)T = AT + B T ; (AB)T = B T AT ; T AT = A; (λA)T = λAT , λ ∈ K. Sejam A e B duas matrizes simétricas. Mostre que AB é simétrica ⇔ AB = BA. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Matriz conjugada Seja A ∈ Mm,n (C). Define-se matriz conjugada de A, e denota-se por Ā, como sendo a matriz cujas entradas são os conjugados das entradas da matriz A, i.e., se A = aij , então ¯ Ā = aij . Exemplo 1 −i 2 + i Sendo A = , então 4−i 2 0 1 −i 2 + i 1 i 2−i Ā = = . 4+i 2 0 4−i 2 0 Luı́sa Morgado Álgebra Linear Sejam A e B duas matrizes para as quais estão definidas as suas operações de soma e produto. Então: A + B = A + B; AB = ĀB̄; A = A; λA = λ̄Ā, λ ∈ K. Sendo A ∈ Mm,n (C), prove que A é uma matriz real sse Ā = A. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Matriz transconjugada Seja A ∈ Mm,n (C). Define-se matriz transconjugada de A, e denota-se por A∗ , como sendo a matriz cuja entrada (ij) é o conjugado da entrada (ji) de A, i.e., se A = a ij , então ∗ T ¯ A = Ā = aji . Exemplo 1 −i 2 + i Sendo A = 4−i 2 0 1 i 2−i Ā = e 4+i 2 0 1 4+i 2 . A∗ = ĀT = i 2−i 0 Luı́sa Morgado , então Álgebra Linear Sejam A e B duas matrizes para as quais estão definidas as suas operações de soma e produto. (A∗ )∗ = A; (A + B)∗ = A∗ + B ∗ ; (AB)∗ = B ∗ A∗ ; (λA)∗ = λA∗ , λ ∈ K. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Matrizes hermı́ticas e semi-hermı́ticas Uma matriz A ∈ Mn (K) diz-se hermı́tica sse A∗ = A. No caso em que A∗ = −A, a matriz diz-se hemi-hermı́tica. Exemplo 1 2−i i 0 0 é uma matriz hermı́tica pois A= 2+i −i 0 3 T 1 2 + i −i 1 2−i i T 0 0 = 2+i 0 0 =A A∗ = A 2 − i i 0 3 −i 0 3 Luı́sa Morgado Álgebra Linear Seja B = {v1 , v2 , . . . , vn } um conjunto de vectores de um espaço vectorial E, de dimensão finita, sobtre um corpo K. Define-se a caracteristica de B e denota-se por r (B) como sendo o número máximo de vectores linearmente independentes. Exemplo Sendo B = {( 1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)}, temos r (B) = 2 uma vez que (1, 1, 0) = (1, 0, 0) + (0, 1, 0), e os dois primeiros vectores de B são linearmente independentes (fazem parte da base canónica de R3 ). Luı́sa Morgado Álgebra Linear Seja A ∈ Mm,n (K). Caracterı́stica-linha da matriz A, rL (A), é a caracterı́stica do conjunto das suas linhas {L1 , L2 , . . . , Lm } encaradas como vectores de Kn ; Caracterı́stica-coluna da matriz A, rC (A), é a caracterı́stica do conjunto das suas colunas {C1 , C2 , . . . , Cn } encaradas como vectores de Km . Exemplo Seja In a matriz identidade de ordem n de Mn (K). O conjunto das suas linhas é igual ao conjunto das suas colunas, que por sua vez é igual à base canónica de Rn . Então rL (In ) = rC (In ) = n. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Veremos adiante que: Toda a matriz não nula de Mm,n (K) pode ser transformada numa outra matriz da forma Ir 0 0 A = , 0 0 de tal modo que a caracterı́stica linha (ou coluna) da matriz não se altera. Assim rL (A) = rC (A) = r e podemos então definir A caracterı́stica de uma matriz é a caracterı́stica do conjunto das suas filas (linhas ou colunas). Luı́sa Morgado Álgebra Linear Operações elementares sobre as linhas (ou colunas) de uma matriz Há três tipos de operações que permitem transformar a matriz numa da forma descrita no slide anterior (condensação da matriz): Troca de filas paralelas (fi ↔ fj ); Multiplicação de uma fila por um escalar não nulo (fi ← λfj ); Adição a uma fila de uma outra paralela multiplicada por um escalar (fi ← fi + λfj ). Mostre que as operações elementares não alteram a caracterı́stica da matriz. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Exemplo 1 1 0 2 −→ 1 1 0 2 −→ 1 0 1 1 L2 ← L2 − L1 0 −1 1 −1 A= L3 ← L3 − L2 2 1 1 3 L3 ← L3 − 2L1 0 −1 1 −1 1 1 0 2 1 0 1 1 −→ −→ 0 −1 1 −1 0 −1 1 −1 L1 ← L1 + L2 L2 ← −L2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 −→ 1 0 0 0 0 1 −1 1 C3 ← C3 − C1 0 1 −1 1 0 0 0 0 C4 ← C4 − C1 0 0 0 0 1 0 −→ 0 C3 ← C3 + C2 0 1 = A0 C4 ← C4 − C2 0 0 Logo r (A) = 2. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Método de Gauss Dada uma matriz A = aij ∈ Mm,n (K), cuja entrada a11 6= 0 (caso contrário as operações elementares permitiriam fazer troca de filas de tal forma a que tal aconteça) ”Transformar”todas as entradas a21 , a31 , . . . , am1 em zero através das operações elementares: a11 a21 .. . am1 a11 a22 .. . am2 ··· ··· .. . ··· a1n a2n .. . amn −→ L2 ← L2 − aa21 L1 11 a L3 ← L3 − a31 L1 11 .. . Lm ← Lm − aam1 L1 a11 0 .. . 0 a11 0 a22 .. . 0 am2 ··· ··· .. . ··· a1n 0 a2n .. . 0 amn 11 onde aij0 = aij − a21 a ; ai1 1j 0 0 0 a22 a23 ··· a2n 0 0 0 a32 a33 ··· a3n Repetir o processo na submatriz . até obtermos . . . .. .. .. .. 0 0 0 am2 am3 · · · amn B C uma matriz da forma A0 = , onde B é uma matriz triangular D E superior cujos elementos da diagonal principal são diferentes de zero e D e E (caso existam) são nulas. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Sabendo que Toda a matriz triangular com todos os elementos da diagonal principal diferentes de zero, tem caracterı́stica igual à sua ordem o método de Gauss permite-nos facilmente determinar a caracterı́stica de uma matriz. Exemplo A = 2 2 2 2 0 0 2 4 6 5 −2 −4 2 2 0 3 −7 5 2 0 −→ 2 L2 ← L2 − L1 0 3 L3 ← L3 − L1 0 0 2 , 0 2 2 4 donde r (A) = 3. Luı́sa Morgado Álgebra Linear 3 −7 −9 0 −→ 2 L3 ← L3 − 2L2 3 Matrizes invertı́veis Diz-se que A ∈ Mn (K) é invertı́vel sse existir B ∈ Mn (K) tal que AB = BA = In . B diz-se então a inversa de A (e também que A é a inversa de B) e denota-se a inversa de A por A−1 . Sempre que A admita inversa, dizemos que A é regular, caso contrário, dizemos que é singular. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Se A, B ∈ Mn (K) são regulares, então o seu produto é uma matriz regular e (AB)−1 = B −1 A−1 . De facto (AB)(B −1 A−1 ) = A(BB −1 )A−1 = AIn A−1 = AA−1 = In (B −1 A−1 )(AB) = B −1 (A−1 A)B = B −1 In B = B −1 B = In , ou seja, B −1 A−1 é a inversa de AB. Sendo A ∈ Mn (K) uma matriz invertı́vel, então −1 T AT = A−1 , pois sendo A uma matriz invertı́vel, existe A−1 tal que AA−1 = In = A−1 A. Transpondo: T T T T AA−1 = (In )T = A−1 A ⇔ A−1 AT = In = AT A−1 , ou seja, AT −1 é a inversa de A−1 Luı́sa Morgado T . Álgebra Linear Cálculo da inversa pelo método de Gauss-Jordan O método de Gauss-Jordan é o algoritmo que através de operações elementares sobre linhas e/ou troca de colunas permite transformar uma dada matriz numa outra do tipo: Ir C 0 0 Seja A ∈ Mn (K) uma matriz invertı́vel. A matriz (In |B) obtida a partir da matriz (A|In ) por aplicação do método de GaussJordan, usando apenas operações elementares sobre linhas, é tal que AB = BA = In , Luı́sa Morgado i.e., B = A−1 . Álgebra Linear Exemplo Determinemos, pelo m étodo de Gauss-Jordan, a inversa da matriz 1 0 2 A = 2 −1 3 4 1 8 0 −→ 1 0 2 1 0 0 0 L2 ← L2 − 2L1 0 −1 −1 −2 1 0 0 1 0 1 L3 ← L3 − 4L1 −4 0 1 1 0 2 1 0 0 −→ −→ 0 −1 −1 −2 1 0 L2 ← (−L2 ) L3 ← L3 + L2 0 0 −1 −6 1 1 L3 ← (−L3 ) 1 0 0 −11 1 0 2 1 0 0 −→ 2 2 0 1 1 2 −1 L2 ← L2 − L3 0 0 1 0 −4 0 1 , 0 0 1 6 −1 −1 L1 ← L1 − 2L3 0 0 1 6 −1 −1 1 2 4 0 −1 1 logo A−1 2 3 8 −11 = −4 6 1 0 0 2 0 −1 0 1 0 2 1 . −1 Luı́sa Morgado Álgebra Linear Definição de determinante Chama-se determinante de ordem n a uma função que a cada n-upla de vectores (v1 , v2 , . . . , vn ) de Kn faz corresponder um escalar. Denota-se por det(v1 , v2 , . . . , vn ) = 0 e satisfaz: Multilinearidade: (i) ∀1 ≤ k ≤ n, det(v1 , . . . , vk + wk , . . . , vn ) = det(v1 , . . . , vk , . . . , vn ) + det(v1 , . . . , wk , . . . , vn ); (ii) ∀1 ≤ k ≤ n, ∀α ∈ K, det(v1 , . . . , αvk , . . . , vn ) = αdet(v1 , . . . , vk , . . . , vn ); Se vi = vj , i 6= j então det(v1 , v2 , . . . , vn ) = 0; Se (e1 , e2 , . . . , en ) é a base canónica de Kn , então det(e1 , e2 , . . . , en ) = 1. Luı́sa Morgado Álgebra Linear A determinante de (v1 , v2 , . . . , vn ) também se chama de determinante da matriz A = Mn (K) cujas filas são os vectores v1 , v2 , . . . , vn e escreve-se detA = |A| = det(v1 , v2 , . . . , vn ). Sejam v1 , v2 , . . . , vn n vectores de Kn . Então det(v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vn ) = −det(v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vn ); se vk = 0 para algum k ∈ {1, 2, . . . , n} então det(v1 , . . . , vk , . . . , vn ) = 0; det(v1 , . . . , vi + αvj , . . . , vj , . . . , vn ) = det(v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vn ); se os vectores v1 , v2 , . . . , vn são linearmente dependentes então det(v1 , v2 , . . . , vn ) = 0. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Determinantes de ordem 1 Seja v1 = (a11 ), i.e., v1 = a11 e1 onde {e1 } é a base canónica de K. Então det(v1 ) = det(a11 e1 ) = a11 det(e1 ) = a11 , | {z } 1 portanto |a11 | = a11 . Luı́sa Morgado Álgebra Linear Determinantes de ordem 2 Sejam v1 = (a11 , a12 ) e v2 = (a21 , a22 ), i.e., v1 = a11 e1 + a12 e2 e v2 = a21 e1 + a22 e2 , onde {e1 , e2 } é a base canónica de Kn . Então det (v1 , v2 ) = det (a11 e1 + a12 e2 , a21 e1 + a22 e2 ) = det (a11 e1 , a21 e1 + a22 e2 ) + det (a12 e2 , a21 e1 + a22 e2 ) = a11 det (e1 , a21 e1 + a22 e2 ) + a12 det (e2 , a21 e1 + a22 e2 ) = a11 [det (e1 , a21 e1 ) + det (e1 , a22 e2 )] + a12 [det (e2 , a21 e1 ) + det (e2 , a22 e2 )] = a11 a21 det (e1 , e1 ) +a22 det (e1 , e2 ) + a12 a21 det (e2 , e1 ) +a22 det (e2 , e2 ) {z } | {z } | {z } | {z } | = a11 a22 − a12 a21 . 0 −1 1 Luı́sa Morgado Álgebra Linear 0 a a12 Assim, det(v1 , v2 ) = 11 a21 a22 = a11 a22 − a12 a21 . Exemplo 1 2 3 4 = 1 × 4 − 2 × 3 = −2. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Determinantes de ordem 3 Sejam v1 = (a11 , a12 , a13 ), v2 = (a21 , a22 , a23 ) e v2 = (a31 , a32 , a33 ) três vectores de Kn . Procedendo como anteriormente, obtemos a regra de Sarrus: a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31 − a13 a22 a31 − a23 a32 a11 − a12 a21 a33 . Exemplo 1 −1 0 2 −2 4 3 3 5 = 1 × (−2) × 5 + (−1) × 4 × 3 + 2 × 3 × 0 − 3 × (−2) × 0 − 3 × 4 × 1 − 2 × (−1) × 5 = −24. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Fórmula de Laplace Seja A ∈ Mn (K). Representemos por Aij a matriz de ordem n − 1 que se obtém de A retirando a linha i e a coluna j. Chama-se cofactor ij, e representa-se por cij a cij = (−1)i+j Aij . A fórmula de Laplace permite exprimir determinantes de ordem n à custa de determinantes de ordem n − 1. Seja A = (aij ) uma matriz de ordem n. Então P |A| = nj=1 aij cij ←− Expansão de |A| relativamente à linha i; P |A| = ni=1 aij cij ←− Expansão de |A| relativamente à coluna j Luı́sa Morgado Álgebra Linear Exemplo 1 2 3 4 0 5 −1 0 . Seja A = 0 0 −3 1 2 0 1 −1 Façamos a expansão de |A| relativamente (por exemplo) à linha 3: |A| = 4 X j=1 aij cij = a31 c31 + a32 c32 + a33 c33 + a34 c34 |{z} |{z} 0 0 1 + 1 × (−1)3+4 0 2 = 1 3+3 (−3) × (−1) 0 2 = −3(−5 − 40) − (5 − 4 − 30) = 164. 2 5 0 4 0 −1 2 5 0 3 −1 1 3 −3 1 4 1 −1 à coluna 2: |A| = 0 2 × (−1)1+2 0 2 = −2(−2) + 5(3 + 6 + 24 − 1) = 164. −1 −3 1 Luı́sa Morgado 0 1 −1 1 + 5 × (−1)2+2 0 2 Álgebra Linear Suponhamos que A é uma matriz triangular superior de ordem n: a11 a12 · · · · · · a1n 0 a22 · · · · · · a2n 0 a33 · · · a3n A= 0 .. .. .. . . . 0 ··· ··· 0 ann Usando a fórmula de Laplace vem |A| = a11 c11 + 0c21 + 0c31 + . . . + 0cn1 = a11 (a22 c22 + 0c32 + . . . + 0cn2 ) = a11 a22 c22 = a11 a22 (a33 c33 + 0c43 + . . . + 0cn3 ) = a11 a22 a22 c33 = ··· = a11 a22 a33 · · · ann Luı́sa Morgado Álgebra Linear Mostre que o mesmo acontece se, em vez de uma matriz triangular superior, suposer que |A| é uma triangular inferior. Podemos então concluir o seguinte resultado: Se |A| é uma matriz triangular, então o seu determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Mostre ainda que, sendo A, B ∈ M (K): n det(AB) = (detA)(detB); det(AT ) = detA; det(A) = detA. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Exemplo 1 1 2 1 1 − 0 0 3 1 1 1 0 0 0 0 1 1 4 0 3 0 1 3 1 0 1 1 5 1 2 1 2 2 −1 0 = L4 ←− L4 − 43 L3 1 0 1 1 1 1 1 3 0 0 1 1 1 1 0 = 0 0 −1 0 0 = L2 ←− L2 − L1 2 3 −1 0 3 L3 ←− L3 − 2L1 L2 ←→ L5 0 0 1 −1 0 L4 ←− L4 − L1 0 1 2 1 0 1 1 1 1 1 0 0 = 2 1 0 0 1 −1 L3 ←− L3 − 3L2 − 0 0 −4 0 −1 0 L4 ←− L4 − L2 0 0 0 −3 −1 −1 0 0 0 0 −1 1 0 1 1 1 0 1 2 1 0 0 −1 = −1 × 1 × (−4) × (−1) × (−1) = 4 − 0 0 −4 3 0 0 0 −1 4 0 0 0 0 −1 Luı́sa Morgado Álgebra Linear Cálculo da inversa de uma matriz Dada uma matriz A = aij ∈ Mm,n (K), podemos construir a matriz dos cofactores, cofA = cij , onde cij é o cofactor-ij. À transposta da matriz dos cofactores de A chamamos adjunta de A e representa-se por adjA: adjA = (cofA)T . Seja A ∈ Mm,n (K). Tem-se A adjA = |A|In . Luı́sa Morgado Álgebra Linear : Mostre que Uma matriz A é invertı́vel sse |A| = 6 0; Se A é invertı́vel então 1 |A−1 | = |A| ; Luı́sa Morgado Álgebra Linear Exemplo 1 −2 4 5 2 . Calculemos a inversa da matriz A = 0 3 −1 0 Comecemos por calcular o seu determinante (p.e., pela regra de Sarrus): |A| = −12 − 60 + 2 = −70 6= 0, logo A é invertı́vel. Calculemos agora a matriz dos cofactores: 5 2 1+2 0 c11 = (−1)1+1 = 2 c = (−1) 12 −1 0 3 −2 0 5 2+1 1+3 c21 = (−1) c13 = (−1) −1 3 −1 = −15 1 1 4 2+2 2+3 c22 = (−1) c23 = (−1) 3 3 0 = −12 1 −2 4 = −24 c32 = (−1)3+2 c31 = (−1)3+1 2 0 5 1 −2 =5 c33 = (−1)3+3 0 5 Luı́sa Morgado Álgebra Linear 2 =6 0 4 = −4 0 −2 = −5 −1 4 = −2 2 2 cofA = −4 −24 6 −12 −2 −15 −5 , 5 2 adjA = (cofA) = 6 −15 T −4 −12 −5 logo −1 A 2 1 1 6 = adjA = − |A| 70 −15 Luı́sa Morgado −4 −12 −5 Álgebra Linear −24 −2 . 5 −24 −2 , 5 Equação linear Uma equação linear sobre o corpo R é uma expressão da forma a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b, onde ai , i = 1, . . . , n, e b são números reais e os xi , i = 1, . . . , n, são as chamadas incógnitas (ou variáveis). Os escalares ai são chamados coeficientes de xi , respectivamente, e ao escalar b é dado o nome de termo independente. Dizemos que u = (k1 , k2 , . . . , kn ) é solução da equação linear se a igualdade obtida substituindo xi por ki : a1 k1 + a2 k2 + . . . + an kn = b for verdadeira. Diz-se então que esse conjunto de valores satisfaz a equação. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Exemplo x + 2y − 4z + w = 3 é uma equação linear nas incógnitas x, y , z e w. A 4-upla u = (3, 2, 1, 0) é solução da equação pois 3 + 2(2) − 4(1) + 0 = 3. A 4-upla u = (1, 2, 1, 0) não é solução da equação pois 1 + 2(2) − 4(1) + 0 = 1 6= 3. Luı́sa Morgado Álgebra Linear As soluções de uma equação linear podem ser facilmente descritas e obtidas. Há três casos: Um dos coeficientes, digamos a1 é não nulo e então podemos reescrever a equação na forma b a2 an x1 = − x2 − . . . − xn . a1 a1 a1 Atribuindo valores às incógnitas x2 , x3 , . . . , xn , determinamos um valor para x1 , obtendo desta forma uma solução para a equação; Todos os coeficientes são zero, mas o termo independente não, i.e., temos uma equação da forma 0x1 + 0x2 + . . . + 0xn = b, b 6= 0, e neste caso a equação não tem solução; Todos os coeficientes são zero, e o termo independente também. Neste caso a equação escreve-se 0x1 + 0x2 + . . . + 0xn = 0, e portanto toda a n-upla de escalares em R é solução da equação. Luı́sa Morgado Álgebra Linear A uma conjunção de um número finito de equações lineares sobre um corpo K damos o nome de sistema de equações lineares sobre K. Um sistema linear de m equações a n incógnitas representa-se, usualmente, na forma a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 .. . am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm Luı́sa Morgado Álgebra Linear Diz-se que o sistema é homogéneo se b1 = b2 = . . . = bn = 0. Uma n-upla de escalares k1 , k2 , . . . , kn diz-se uma solução (ou solução particular) se satisfaz cada uma das equações. O conjunto de todas as soluções particulares é chamado de conjunto solução ou solução geral. Note que um sistema linear homogéneo tem sempre a solução 0 = (0, 0, . . . , 0), a chamada solução nula ou trivial. Qualquer outra solução, se existir, é chamada de solução não nula ou não trivial. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Solução de um sistema de equações lineares pelo método de eliminação de Gauss Um sistema de m equações lineares em n incógnitas pode ser reduzido a um sistema mais simples, usando as seguintes operações elementares, que o transformam num sistema equivalente (i.e., um sistema com o mesmo conjunto solução): Troca de duas equações Li ↔ Lj , i = 1, . . . , m, em particular, para que a primeira equação tenha o primeiro coeficiente não nulo; Multiplicação de uma equação por um escalar não nulo, Li ← αLi , i = 1, . . . , m, α 6= 0; Para cada i > 1, Li ← −ai1 L1 + a11 Li . Luı́sa Morgado Álgebra Linear Eliminamos assim a primeira incógnita nas equações 2, 3, . . . , m. Supondo que inicialmente a11 6= 0 obtemos o sistema a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a0 x2 + . . . + a0 xn = b0 22 2n 2 .. . 0 0 x = b0 am2 x2 + . . . + amn n m Note que 1 Se ocorre uma equação 0x1 + 0x2 + . . . + 0xn = b, b 6= 0, então o sistema é impossı́vel, i.e., não tem solução; 2 Se surge uma equação 0x1 + 0x2 + . . . + 0xn = 0, então ela pode ser suprimida sem que isso afecte a solução do sistema. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Repetimos o processo no sub-sistema a vermelho e assim sucessivamente até chegarmos à conclusão que o sistema ou é impossı́vel ou redutı́vel a um sistema da forma a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 0 0 x = b0 a22 x2 + . . . + a2n n 2 .. . 0 0 x = b0 arr xr + . . . + arn n r 0 , . . . a0 nao são onde 2 < r e os coeficientes iniciais a22 rr nulos. Diz-se que o sistema está na forma escalonada. As incógnitas xi que não aparecem no inı́cio de nenhuma equação são chamadas variáveis livres. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Solução de um sistema na forma escalonada Quando um sistema possı́vel (i.e., que admite solução) está na forma escalonada, duas situações podem ocorrer 1 r = n, i.e., há tantas equações quanto incógnitas. Neste caso o sistema tem solução única e diz-se possı́vel e determinado; 2 r < n, i.e., há menos equações do que incógnitas. Neste caso, podemos atribuir valores arbitrários às incógnitas livres e desta forma obter várias soluções do sistema. Quando tal acontece (i.e., o sistema tem mais do que uma solução), ele diz-se possı́vel e indeterminado. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Um sistema impossı́vel Exemplo 2x+y-2z+3w=1 3x+2y-z+2w=4 3x+3y+3z-3w=5 ⇐⇒ 2x+y-2z+3w=1 y+4z-5w=5 L2 ← 2L2 − 3L1 3y+12z-15w=7 L3 ← 2L3 − 3L1 2x+y-2z+3w=1 ⇐⇒ y+4z-5w=5 L3 ← L3 − 3L2 0=-8 A última equação mostra que o sistema é impossı́vel. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Um sistema possı́vel e determinado Exemplo x+2y-3z=4 ⇐⇒ x+2y-3z=4 x+3y+z=11 L2 ← L2 − L1 y+4z=7 y+2z=5 2x+5y-4z=13 L3 ← L3 − 2L1 2x+6y+2z=22 L4 ← L4 − 2L1 2y+8z=14 x+2y-3z=4 ⇐⇒ x+2y-3z=4 y+4z=7 L3 ← −L3 + L2 y+4z=7 ⇐⇒ 2z=2 L4 ← L4 − 2L2 2z=2 0=0 Note, em primeiro lugar, que o sistema é possı́vel pois não ocorre nenhuma equação do tipo 0 = b, com b 6= 0. Além disso, como na forma escalonada há três equações a três incógnitas, o sistema é determinado. Pela terceira equação z = 1 que substituı́do na segunda equação resulta em y = 3. Finalmente, substituindo estes valores de z e y na primeira equação obtemos x = 1. Assim, x = z = 1 y = 3 ou, por outras palavras, a 3-upla (1, 3, 1) é a única solução do sistema. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Um sistema possı́vel e indeterminado Exemplo ⇐⇒ x+2y-2z+3w=2 x+2y-2z+3w=2 2x+4y-3z+4w=5 L2 ← L2 − 2L1 z-2w=1 5x+10y-8z+11w=12 L3 ← L3 − 5L1 2z-4w=2 x+2y-2z+3w=2 ⇐⇒ x+2y-2z+3w=2 z-2w=1 ⇐⇒ L3 ← L3 − 2L2 z-2w=1 0=0 O sistema é possı́vel e como na forma escalonada há mais incógnitas do que equações, o sistema tem uma infinidade de soluções. De facto, há duas variáveis livres, y e w, e portanto uma solução do sistema pode ser obtida atribuindo a estas variáveis quaisquer valores. Substituindo y = a e w = b na segunda equação obtém-se z = 1 + 2b; Substituindo estes valores de y , w e z na primeira equação, obtemos x = 4 − 2a + b. Assim, a solução geral do sistema é x = 4 − 2a + b, y = a, z = 1 + 2b Luı́sa Morgado e w = b, a, b Álgebra Linear são números arbitrários. Representação na forma matricial Vimos que ao trabalhar com um sistema de equações lineares, apenas os coeficientes e as respectivas posições são importantes. Assim sendo, esses coeficientes podem ser devidamente ”arrumados”numa matriz. Um sistema de m equações a n incógnitas, na sua forma geral pode ser escrito a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 .. . am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm = b1 b2 .. . bm , ou seja | a11 a21 .. . am1 ··· ··· .. . ··· a12 a22 .. . am2 a1n a2n .. . am2 {z }| A O sistema escreve-se então Ax = b, x1 x2 .. . xn {z x = } | b1 b2 .. . bm {z b . } A → matriz dos coeficientes x → matriz das incógnitas . b → matriz dos termos independentes Luı́sa Morgado Álgebra Linear Define-se a matriz ampliada do sistema Ax = b como sendo a matriz de n + 1 colunas, onde as primeiras n constituem a matriz dos coeficientes e a última é a matriz dos termos independentes. A matriz ampliada do sistema Ax = b representa-se por [A|b]: a11 a12 · · · a1n | b1 a21 a22 · · · a2n | b2 [A|b] = . . .. .. .. .. .. . . . | . am1 am2 · · · amn | bm Exemplo 2x − y + z = 0 x + y − 3z = 1 , escreve-se na forma matricial: O sistema y + 4z = −2 2 1 0 −1 1 1 1 x 0 −3 y = 1 . 4 z −2 2 A sua matriz ampliada é: [A|b] = 1 0 −1 1 1 Luı́sa Morgado 1 −3 4 | | | 0 1 . −2 Álgebra Linear Recordemos que se num sistema de equações lineares, trocarmos duas equações, multiplicarmos uma equação por um escalar não nulo, ou se uma equação for substituı́da pela sua soma com uma outra multiplicada por um escalar, então obtemos um sistema equivalente ao inicial. Em termos matriciais, isto significa que se na matriz ampliada de um sistema efectuarmos qualquer uma das três operações elementares sobre linhas, então obteremos a matriz ampliada de um sistema equivalente ao inicial. O método de eliminação de Gauss para a resolução de um sistema Ax = b consiste na utilização das operações elementares sobre as linhas da matriz ampliada [A|b] de forma a tranformá-lo num outro A0 = B 0 C 0 , onde B é uma matriz triangular com elementos diagonais não nulos. Nota: Em certos casos, para se atingir este objectivo pode ser necessário efectuar troca de colunas na matriz dos coeficientes. Se for esse o caso, não nos devemos esquecer que isso equivale a trocar a ordem das incógnitas. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Exemplo 2x + z = 0 3x + y + 2z = 1 Consideremos o seguinte sistema x + 2y + z = 0 2z = 6 escreve 2 0 1 x 3 1 2 y = 1 2 1 z 0 0 2 , que na forma matricial se 1 2 . 0 6 A sua matriz ampliada é 2 3 1 0 0 1 2 0 | | | | 1 2 1 2 2 0 0 0 1 2 0 1 −→ 0 2 1 2 L ← 2L2 − 3L1 0 2 0 4 1 L3 ← 2L3 − L1 6 0 0 2 0 1 | 1 2 1 | 1 −→ 0 −1 | −3 L4 ← L4 + 2L3 0 2 | 6 Luı́sa Morgado Álgebra Linear 1 1 −→ −1 L3 ← L3 − 2L1 6 2 0 1 | 1 0 2 1 | 1 0 0 −1 | −3 , 0 0 0 | 0 | | | | que é a matriz ampliada de um sistema equivalente ao inicial e que se escreve 2x + z = 0 2y + z = 1 −z = −3 x = −1 y = −1 ⇔ z=3 Relembrando o que foi dito acerca da existência e unicidade de solução de um sistema de equações lineares, podemos concluir que em termos das caracterı́sticas da matriz dos coeficientes do sistema e da matriz ampliada: Dado um sistema de m equações lineares a n incógnitas, Ax = b: se r (A) < r ([A|B]) o sistema é impossı́vel; se r (A) = r ([A|B]) = n o sistema é possı́vel e determinado; se r (A) = r ([A|B]) < n o sistema é posssı́vel e indeterminado. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Exemplo x − ay + z = −b x − y + (b + 1)z = 1 , determinemos os valores dos escalares a Dado o sistema x −y +z =3 e b de forma a que o sistema seja impossı́vel, possı́vel determinado e possı́vel indeterminado. Consideremos a matriz ampliada do sistema: 1 1 1 −a −1 −1 1 b+1 1 | | | 1 −a 1 −b −→ 1 L2 ← L2 − L1 1 −1 + a b 0 −1 + a 0 3 L3 ← L3 − L1 1 −a 1 −→ 1 −1 + a b L3 ← L3 − L2 0 0 −b Luı́sa Morgado Álgebra Linear | | | | | | −b 1+b 3+b −b 1+b 2 1 Se b = 0, então a matriz ampliada reduz-se a 1 0 logo o sistema é impossı́vel; −a −1 + a 0 | | | 1 b 0 0 1 , 2 Se b 6= 0 e a 6= 1, r (A) = r ([A|b]) = 3 e portanto o sistema é possı́vel e determinado; Se b 6= 0 e a = 1, a matriz ampliada reduz-se a 1 1 0 −1 0 0 1 b −b | | | −b 1 −→ 1 1+b L3 ← L3 + L2 2 0 −1 0 0 1 b 0 | | | −b 1 + b , b+3 e portanto (i) se b 6= −3, o sistema é impossı́vel; (ii) se b = −3, r (A) = r ([A|b]) = 2 < 3 e portanto o sistema é possı́vel e determinado. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Um sistema Ax = b diz-se de Cramer sse A é uma matriz invertı́vel. Todo o sistema de Cramer tem solução única. Dem.: Se Ax = b é um sistema de Cramer, então A é invertı́vel, logo a solução do sistema pode ser dada por A−1 Ax = A−1 b ⇔ Ix = A−1 b ⇔ x = A−1 b, pelo que o sistema é sempre possı́vel. Analisemos agora a questão da unicidade. Para tal, suponhamos que existem duas soluções do sistema: x e y, i.e., Ax = b e Ay = b. Então A(x − y) = 0 ⇔ x − y = A−1 0 ⇔ x − y = 0 ⇔ x = y. Luı́sa Morgado Álgebra Linear Regra de Cramer Seja Ax = b um sistema de Cramer de n equações a n incógnitas xi . Tem-se AC ←b i xi = |A| Dem.: Sendo Ax = b um sistema de Cramer, então 1 1 x = A−1 b = adj(A) b = (adj(A)b) . |A| |A| Para cada i = 1, . . . , n, b1 b2 (−1)1+i |A1i | (−1)2+i |A2i | · · · (−1)n+i |Ani | . .. bn h i 1+i 2+i n+i (−1) |A1i | b1 + (−1) |A2i | b2 + · · · + (−1) |Ani | bn . | {z } AC ←b , (Fórmula de Laplace) i xi = 1 |A| = 1 |A| Luı́sa Morgado Álgebra Linear Exemplo x +y +z =1 x + 4y + 4z = 1 , escreve-se na forma matricial: O seguinte sistema x + y + 2z = 1 1 1 1 | 1 4 1 {z A 1 x 4 y = 2 z } | 1 1 . 1 {z } b É um sistema de Cramer pois |A| = 3 6= 0. Pela regra de Cramer a sua solução é determinada por x= 1 1 1 1 4 1 3 1 4 2 = 3 = 1; 3 y= 1 1 1 Luı́sa Morgado 1 1 1 3 1 4 2 = 0 = 0; 3 Álgebra Linear z= 1 1 1 1 4 1 3 1 1 1 = 0 = 0. 3