Euclides e os Números Primos.

Euclides e os Números Primos.
Gelderson Bezerra Alves, Prof. Dr. Críston Pereira de Souza
Resumo
Este trabalho visa apresentar alguns fatos sobre o gênio matemático Euclides e suas
importantes descobertas feitas no século III a. C., dando foco aos números primos e aos
conceitos de teoria dos números. Também apresentamos uso prático e teórico,
mostrando as aplicações atuais, baseadas no trabalho de Euclides.
Demonstração da infinidade dos primos
Euclides em seus “Os Elementos” (Livro 9, preposição 20) fez uma importante
demonstração sobre os números primos, conhecida como o teorema de Euclides. Neste
teorema Euclides demonstra a infinidade dos números primos.
Assumindo que os primos são finitos, seja L, uma lista dos números primos. Assim:
L={2, 3, 5, ..., pn}
Seja P o produto de todos os elementos do conjunto de primos:
P=2 x 3 x 5 x ...x pn
E sendo Q=P+1
Como Q é composto, por definição, temos que Q pode escrito como o produto k x s ,
onde p é primo e s é um inteiro.
Se k é primo, então ele de estar em L.
Então, P/k é inteiro.
Como P+1= k x s, temos que 1=k(s – P/k).
Como s-P/k é inteiro, concluimos que k divide 1, o que é absurso pois o menor primo é
o 2.
MDC de Euclides
Outro interessante feito de Euclides foi a dedução de conjunto um de passos
(algoritmo) simples e eficiente para o cálculo do máximo divisor comum entre dois
números diferentes de zero. O algoritmo de Euclides se baseia no fato de que o MDC se
mantém se o número maior for subtraído pelo menor. Por exemplo, MDC(30,10) = 10 e
o MDC(30-10,10) = MDC(20,10) = 10.
Algoritmo Recursivo na linguagem C:
int MDC_Euclides(int a, int b){
if( b == 0){
return a;
}
else{
return MDC_Euclides(b,a%b);
}
}
Este algoritmo tem várias aplicações práticas e teóricas. Ele é o principal componente
dos algarismo de RSA, que consiste em um importante método de criptografia de chave
pública usado no comercio eletrônico. Também é amplamente usado para a construção
de frações contínuas e vários outros métodos de fatoração de inteiros. Este algoritmo
também foi usado como base na obtenção de algoritmos modernos como o teorema de
Fermat Lagrange e no teorama fundamental da aritmética.
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_Euclides, acessado em 30 de
setembro de 2013.
Assim, podemos concluir quão grande foram as contribuições de Euclides para a
matemática atual. Seus feitos atravessaram mais de 2000 anos, contribuindo
principalmente para métodos criptográficos e de segurança de grande porte.
Palavras-Chave: algarismo de RSA, paridade, algoritmo de Euclides, Os elementos.