Listas 0, 1 e 2

Lista 0: revisão de tópicos do ensino médio
1. Por denição temos que se b é um número real e n um inteiro positivo, então
bn = b| · b{z· · · }b .
n vezes
Prove, usando apenas esta denição, que se m e n são inteiros positivos, então
bn · bm = bn+m .
2. Determine quais das seguintes armações são falsas e quais são verdadeiras.
Demonstre aquelas que são verdadeiras e dê um contra-exemplo para as que
são falsas.
(a) Se a é um inteiro cujo quadrado é par, então a é par.
(b) Se a é um inteiro cujo quadrado é divisível por 3, então a é divisível por
3.
(c) Se a é um inteiro cujo quadrado é divisível por 27, então a é divisível por
27.
3. Calcule
(a) (x − y)(x + y);
(b) (x − y)(x2 + xy + y 2 );
(c) (x − y)(x3 + x2 y + xy 2 + y 3 ).
4. Considere a progressão geométrica de razão q e primeiro termo a e seja S a
soma dos seus n primeiros termos. Isto é:
S = a + aq + aq 2 + · · · + aq n−1 .
Faça o que se pede:
(a) Calcule (q − 1)S = qS − S em termos de a e q .
(b) Use o item anterior para determinar a fórmula da soma S .
Aparte: por que n − 1 e não n na última parcela da soma denida acima?
5. Ao longo do curso usaremos como símbolos várias letras do alfabeto grego.
Para o caso de você não conhecê-las, aqui vão as mais frequentemente usadas
com seus respectivos nomes. Para aprender a desenhá-las corretamente visite
a página http://www.foundalis.com/lan/hw/grkhandw.htm.
1
2
α
β
γ
δ
θ
λ
µ
alfa
beta
gama
delta
teta
lambda
mi
π
ρ
σ
τ
φ
ψ
ω
pi
rô
sigma
tau
psi
omega
Lista 1: algoritmos básicos
1. Resolva os exercícios 1, 2, 3, 4 e 5 da página 32 do livro-texto.
2. A sequência de Fibonacci Fn é denida por
F0 = F1 = 1 e Fn = Fn−1 + Fn−2 .
Calcule o quociente e o resto da divisão de Fm por Fm−2 , quando m for um
inteiro maior do que 23452552! .
3. Determine o máximo divisor comum entre p2 − p + 1 e (p2 )! + 1, sabendo-se
que p é um primo positivo. De que modo a resposta depende de p ?
4. Seja n > 2100! um número inteiro. Determine mdc(6n+1, 6n!+(n−1)!+6n−3).
5. Ache innitas soluções inteiras da equação 23303x + 2359y = 21.
6. Determine múltiplos de 330 e de 240 cuja soma seja 210.
7. Determine números inteiros x e y que sejam soluções da equação 7001x +
503y = 2 e prove que esta equação tem innitas soluções inteiras.
8. Seja n > 2100! um número inteiro. Use o algoritmo euclidiano estendido
para calcular d = mdc(5n + 3, 3n + 2) e dois inteiros α e β tais que d =
(5n + 3)α + (3n + 2)β .
9. Determine mdc(a, c) sabendo-se que a, b e c são inteiros maiores que 2200! e
que c divide a + b e mdc(a, b) = 1;
10. Use o algoritmo euclidiano estendido para determinar um inteiro a de modo
que 6765 · a − 1 seja divisível por 10946.
3
Lista 2: primos e fatoração
1. Resolva as seguintes questões do livro-texto:
(a) 1, 2, 3, 5, 6 e 7 da página 48-49;
(b) 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 da página 66.
2. Determine o maior número possível de fatores primos de um inteiro n que não
tem nenhum fator ≤ n1/3 .
3. Determine dois fatores próprios de 6883901 e de 999367 pelo algoritmo de
Fermat.
4. Sejam 2 < p < q dois primos ímpares e seja n = pq . Determine o número de
tentativas para achar x que o algoritmo de Fermat terá que fazer até obter
um fator próprio de n.
5. Considere os números primos p1 < · · · < pr . Seja N = p1 · p2 · · · pr o produto
destes primos e
N
N
N
+
+ ··· + .
p1 p2
pr
(a) Mostre, por contradição, que S é um número inteiro que não é divisível
por nenhum dos primos p1 , p2 , · · · , pr .
S=
(b) Use (a) para dar uma demonstração (por contradição) de que existem
innitos números primos.
6. O objetivo desta questão é dar uma outra demonstração de que existem innitos números primos. Para isso, suponha que exista um número nito de
primos, que são todos menores que um número inteiro positivo n ≥ 3.
(a) Mostre que, sob a hipótese acima, teríamos que ter que mdc(n! − 1, n!) é
diferente de 1.
(b) Mostre que (a) leva a uma contradição, e use isto para provar que existem
innitos números primos.