Aula 01

Resistência dos Materiais
Transformação de
Tensão
R.C.
Hibbeler
OBJETIVOS
TENSÕES EM UM SISTEMA DE
COORDENADAS PARTICULAR
TENSÕES EM UM SISTEMA DE
COORDENADAS COM ORIENTAÇÃO
DIFERENTE
1) Transformação no Estado Plano de Tensões
•Estado triplo de tensões – não é comum na engenharia;
•Simplificação – Estado Plano de Tensões
x y xy
ATENÇÃO!
X   X'
Y  Y'
Produzem a mesma
resultante
ANÁLISE: FORÇA x TENSÃO - DIFERENÇAS
•Componentes de força: intensidade e direção;
•Componentes de Tensão: intensidade e direção +
orientação (mais complicada)
PROCEDIMENTO DE ANÁLISE
•Diagrama de corpo livre;
ou
•Equações de transformação de tensões
ILUSTRAÇÃO
2) Equações Gerais de Transformação de
Tensões para o Estado Plano
Convenção de Sinal
Tensão normal
positiva atua para fora
de todas as faces e a
tensão de
cisalhamento positiva
atua para cima na face
direita do elemento.
Orientação do plano inclinado
•Eixo z: regra da mão
direita;
•Giro: sentido antihorário;
Componentes das Tensões Normal e de Cisalhamento
•A partir das equações de equilíbrio:
 x' 
 y' 
 x  y
2
 x  y
 x' y'  
2


 x  y
2
 x  y
2
 x  y
2
cos 2   xy sen2
cos 2   xy sen2
sen2   xy cos 2
EXEMPLO 01 – O estado plano de tensões é
representado pelo elemento mostrado na figura abaixo.
Determinar o estado plano de tensão no ponto em
outro elemento, orientado a 30 no sentido horário à
posição mostrada.
3) Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento
Máxima no Plano
Na prática da engenharia:
•Orientação dos planos onde a  é máxima e
mínima (Tensões principais - 1 e 2 );
•Orientação dos planos onde a  é máxima (máx) ;
Processo:
•Diferenciar a equação de x’ em relação a  e
igualar a zero.
 xy
tg 2 p 
 x   y / 2
 1, 2 
tg 2 c 
 x  y
2
2p1 e 2p2 , defasados de 180;
p1 e p2 , defasados de 90;
  x  y 
 

2
2
   xy2

  x   y  / 2 2c e 2p , defasados de 90;
 xy
c e p , defasados de 45;
Os planos para a tensão de cisalhamento máxima são
determinados orientando-se um elemento a 45 da
posição do elemento que define os planos da tensão
principal.
  x  y 
 máx  

 méd 
 x  y
2
2
2
   xy2

Tensão normal nos planos da
tensão de cisalhamento máxima.
ATENÇÃO!
•As tensões principais representam a tensão normal máxima e
a mínima no ponto;
•Quando o estado de tensão é representado pelas tensões
principais, nenhuma tensão de cisalhamento atua sobre o
elemento;
•O estado de tensão no ponto também é representado em
termos de tensão de cisalhamento máxima no plano. Nesse
caso, também atuará sobre o elemento uma tensão normal
média;
•O elemento que representa a tensão de cisalhamento máxima
no plano com as tensões normais médias associadas é
orientado a 45 do elemento que representa as tensões
principais.
EXEMPLOS 02, 03, 04 e 05
4) Círculo de Mohr – Estado Plano de Tensões
 x' 
 x  y
2
 x' y'  

 x  y
2
 x  y
2
cos 2   xy sen2
sen2   xy cos 2
• Eliminando  das equações;
• x; y e xy
constantes conhecidas.
 x '   méd 2   x2' y '  R 2
onde :
 méd 
 x  y
2
 x  y 
   xy2
R  
 2 
2
• Eixos:  positivo para a direita e  positivo para baixo;
• Círculo de raio R e centro C(méd,0) no eixo .
• Definir eixos  e ;
• Conhecidos x; y e xy, marcar o C;
• Obter o R:
eixo x’ coincide com x;
•
referência)
=0; x’=x; x’y’=xy (Ponto A –
• Conhecidos os pontos C e A, traçar o círculo.
• Uma rotação =90 do eixo x’ no elemento corresponde
a uma rotação 2 no círculo na mesma direção;
• Processo de construção – texto xerox.