Master-FGV-2 fase-11-11-01-Matematica-in

FGV
Raciocínio Matemático
11 de Novembro / 2001
01. a) Uma urna contém 5 bolinhas numeradas de 1 a 5. Uma bolinha
é sorteada, tem observado seu número, e é recolocada na
urna. Em seguida, uma segunda bolinha é sorteada e tem
observado seu número. Qual a probabilidade de que a soma
dos números sorteados seja superior a 7 ?
b) Uma urna contém n bolinhas numeradas de 1 a n. Sorteandose duas bolinhas sucessivamente com reposição, e observandose os números do 1o e do 2o sorteios, quantos resultados são
possíveis? Qual seria a resposta se não houvesse reposição ?
Resolução:
a) Os casos em que a soma é superior a 7 são:
1a bola
2a bola
Probabilidade
1 1
1
. =
3
5
5 5 25
1 2
2
. =
4
4 ou 5
5 5 25
1 3
3
. =
5
3 ou 4 ou 5
5 5 25
1
2
3
6
+
+
=
Assim, temos:
25 25 25 25
6
A probabilidade pedida é
.
25
b) 1o) Com reposição:
2o) Sem reposição:
Freqüência
30
60
10
σ2 =
⇒
σ2
=
i =1
(
)
0
b) Qual o domínio da função f(x) =
i
0,2
iV
2
2x – 3x + 1
.
Resolução:
a) Temos que se x ≥ 0 então f(x) = x2 – 3x + 2 e
se x < 0 então f(x) = x2 + 3x + 2
x
–2 –1
2
100
x –1
b) f (x) =
2
2x – 3x + 1
2
= 900
x
N
D
F
0++
1
2
2
e
CE:
1
2
1
–––
1
x –1
2x 2 – 3x + 1
≥ 0
D = 2x2 – 3x + 1
N = x – 1
n
Desvio padrão = σ2 = σ ⇒ σ = 30
A variância é 900 e o desvio padrão é R$ 30,00
FGV2aFASE2001
V
2
30 (50 – 90 ) + 60 (100 – 90 ) + 10 (150 – 90 )
2
L
y
a) Qual a média dos salários das 100 pessoas ?
b) Qual a variância dos salários? Qual o desvio padrão dos salários?
Resolução:
30 . 50 + 60 . 100 + 10 . 150
⇒ x = 90,00
a) Média =
30 + 60 + 10
n
2
A média é de R$ 90,00.
∑ xi – x
σ2
b) iV = 0,1 (por simetria) ou
L máximo
b
xV = –
= 0,1
2a
Lucro máximo
para i = 10% a.a.
x –1
02. Numa pequena ilha, há 100 pessoas que trabalham na única empresa
ali existente. Seus salários (em moeda local) têm a seguinte
distribuição de freqüências:
b) Variância =
a) Se i = 5% a.a. ⇒ Lucro = 1000 . 0,05 – 5000 . (0,05)2
Lucro = 50 – 12,5 = 37,5 unidades monetárias
04. a) Esboce o gráfico da função f(x) = x2 – 3 | x | + 2.
n . n = n2
n . (n – 1) = n2 – n
Salários
R$ 50,00
R$ 100,00
R$ 150,00
03. Um banco capta dinheiro de aplicadores, pagando a eles uma taxa
anual de juros igual a i. O prazo das aplicações é de 1 ano.
O dinheiro captado é emprestado a empresas, por 1 ano, à taxa de
20% ao ano. Sabe-se que o dinheiro captado é dado por
C = 5 000 . i unidades monetárias. Desprezando-se outros custos:
a) qual o lucro do banco, se a taxa i for igual a 5% ao ano ?
b) qual a taxa i que dá ao banco o máximo lucro ?
Resolução: Após um ano.
Montante captado: C = 5000 i (1 + i)
Montante emprestado: V = 5000 i . 1,2 = 6000 i
Lucro = V – C
Lucro = 6000 i – 5000 i (1 + i) = 1000 i – 5000 i2
x
1
++0 – – – 0++
x
1
–––––0++
++0––0++
– ∃/ + ∃/ +
D = {x ∈ IR | x > 1/2 e x ≠ 1}
1
2
FGV NOVEMBRO / 2001 – 2a FASE
08. Um investidor aplicou R$ 5 000,00 a juros simples, à taxa de 40% a.a.
a) Qual o montante, se o prazo da aplicação for de 5 meses?
b) Qual o gráfico do montante em função do prazo n da aplicação, expresso em trimestres ?
Resolução:
C = 5000; t = 5 meses
a) M = C + j e j = C . i . t ⇒ 
40
i = 40% a.a. = 12 % a.m.
40
j = 5000 .
. 5 = 833,33
12 . 100
05. a) Represente os pontos (x,y) do plano cartesiano que satisfazem a relação | 3x – 2y | = 6
b) Qual a área da figura determinada pelos pontos (x, y) do
plano cartesiano que satisfazem simultaneamente as relações:
y
s
 x 2 + y 2 ≤ 9

r
 x + y ≥ 3
3
Resolução:
–2
2
a) | 3x – 2y | = 6 ⇒
x
⇒
3x – 2y = 6 (r) ou

3x – 2y = – 6 (s)
M = 5000 + 833,33
–3
S =
40
% = 10% ao trimestre
4
M = C + j = 5000 + 5000 . 0,1 . n ⇒ M = 5000 + 500 n
y
9 ( ð – 2)
π .32
3.3
–
=
4
4
2
b) i = 40% a.a. =
3
2
 2
b)  x + y ≤ 9 ⇒ S = Ssetor – S∆
 x + y ≥ 3
–3
3
M
x
10 000
–3
5 000
06. a) Resolva a equação log (x – 2) + log (x + 2) = 2
b) Quais as raízes da equação xlog x = 100 x ?
Resolução:
x > 2
a) log (x – 2) + log (x + 2) = 2
CE 
⇒ x>2
x > – 2
log [ (x – 2) . (x + 2) ] = 2 ⇒ (x – 2) (x + 2) = 100 ⇒
10
09. No conjunto dos números complexos:
a) Resolva a equação z4 = 1
b) Obtenha o número z, tal que z . (1+ i) = 3 – i, onde i é a
unidade imaginária.
Resolução:
a) z4 = 1 ⇔ z4 – 1 = 0 ⇔ (z2 + 1) (z2 – 1) = 0 ⇔
S = { 2 26 }
b) xlog x = 100 x
CE: x > 0
log xlog x = log 100 x ⇒ log x . log x = log 100 + log x
log x = – 1 ou
(log x)2 – log x – 2 = 0 ⇒ 
log x = 2
Então, x = 1/10 ou x = 100 ∴ S = { 1/10; 100 }
z 2 = 1 ⇒ z = 1 ou z = – 1

∴ 
∴ S = { 1, –1, i, –i }
2
z = – 1 ⇒ z = i ou z = – i
07. a) No plano cartesiano, qual o gráfico dos pontos (x, y) que
satisfazem a relação x2 – y2 = 0 ?
b) No plano cartesiano, qual a equação da circunferência de raio
3, com centro pertencente à reta x – y = 0 e tangente à reta
y
3x + 4y = 0 ?
Resolução:
a) x2 – y2 = 0 ⇒
 y = x (biss. quadr. ímpares) ou

 y = – x (biss. quadr. pares)
O gráfico é a união
das bissetrizes dos
quadrantes pares e ímpares.
45º

 x –

S: 

 x +

2
2
3 +4
2
= 3 ⇒ | 7α | = 15 ⇒ α = ±
2
15 
15 

+ y –
=9
7 
7 

2
2
15 
15 

+ y +
=9
7 
7 

3x
+
4y
=
0
15
7
(r)
3
b) z . (1 + i) = 3 – i
)
0 (s
y=
x–
α, α)
C (α
⇒
3–i
z = 1+ i ⇒
2 – 4i
(3 – i) (1 – i)
⇒ z = (1 + i) (1 – i) ⇒ z =
⇒ z = 1 – 2i
2
x
b) Como o centro pertence à reta x – y = 0 então C (α, α).
| 3(α) + 4(α) |
n (trimestre)
Supondo que a variação do montante é uma função contínua na
variável n, então o gráfico é a semi-reta indicada. Caso o montante
somente se realize ao final de cada trimestre, o gráfico será constituído por pontos isolados.
 x = + 2 26
⇒ x2 – 4 = 100 ⇒ x2 = 104 ⇒ 
 x = – 2 26 (não convém)
Temos: dCr = 3 ⇒
⇒ M = 5 833,33 ⇒ R$ 5 833,33
10. a) Para que valores de m, a equação na incógnita x,
2 sen x – 1 = 3m admite solução ?
b) Dois lados de um triângulo medem 10 cm cada um. Qual a
medida do ângulo formado por esses lados, de modo que
resulte em um triângulo de área máxima ?
Resolução:
3m + 1
a) De
2 sen x – 1 = 3m, obtemos:
sen x =
2
3m + 1
Como –1 ≤ sen x ≤ 1, devemos ter: –1 ≤
≤1
2
Daí: –2 ≤ 3m + 1 ≤ 2 ⇒ –3 ≤ 3m ≤ 1 ⇒ –1 ≤ m ≤ 1/3
S = {m ∈ IR | –1 ≤ m ≤ 1/3 }
b) A área do triângulo é dada por:
1
S=
. 10 . 10 . sen α = 50 sen α
2
10
α
Temos Smáx para sen α = 1 ∴ α = 90º
FGV2aFASE2001
10