Variável Aleatória e Distribuiç ˜ao de Probabilidade Uma variável

Variável Aleatória e Distribuição de Probabilidade
Uma variável aleatória X é uma função real definida no espaço amostral S, isto é, para qualquer evento A, o número X(A), representa uma
caracterı́stica numérica de interesse.
Exemplo: Suponha que dois produtos A e B são julgados por 4 consumidores
que expressam sua preferência. Existem 24 = 16 resultados possı́veis, onde
cada resultado é uma seqüência de 4 sı́mbolos A ou B, a saber
AAAA AAAB AABB ABBB BBBB
AABA ABAB BABB
ABAA ABBA BBAB
BAAA BAAB BBBA
BBAA
BABA
Defina a seguinte v. a. X = número de pessoas que preferem A.
Distribuição de Probabilidade
Valores de X
0
1
2
3
4
Probabilidades 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16
1
A distribuição de probabilidade de uma v. a. discreta, é uma lista
dos distintos valores xi de X com suas probabilidades associadas, isto é,
{xi , P(X = xi ), i = 1, 2, . . .}, que pode ser representada por uma tabela ou
por uma fórmula.
Exemplo: A chance de um paciente responder positivamente a um estı́mulo
(sucesso) durante um experimento é 1/3. Experimentos são realizados até que
ocorra o primeiro sucesso. Seja X o número de experimentos realizados até
ocorrer o primeiro sucesso. Qual a distribuição de probabilidade de X?
O espaço amostral é S = { S, FS, FFS, FFFS, FFFFS, . . . },
onde S = sucesso e F = fracasso.
Distribuição de Probabilidade de X
Valores de X 1
P(X = x)
1
3
2
3
4
···
( 23 )( 13 ) ( 23 )2 ( 13 ) ( 23 )3 ( 13 ) · · ·
( )x−1
2
1
, x = 1, 2, 3, . . .
P(X = x) =
3
3
2
Exemplo (Amostragem para aceitação): Uma fabrica produz balas de cupuaçu
cobertas com chocolate e acondicionas em caixas com 15 balas. Cada caixa
centém 5 balas não conforme (abaixo do peso). A vigilância escolhe uma
caixa ao acaso e pesa 3 balas (amostra). Seja X o número de balas não conforme na amostra. Determine a distribuição de probabilidade de X.
Valores de X
P(X = x)
0
1
2
3
24/91 45/91 20/91 2/91
(10)
(10) (5)
·
120
45 × 5 45
24
3
P(X = 0) = (15
=
P(X = 1) = 2(15) 1 =
=
)=
455 91
455
91
3
3
(5)
(10) (5)
·
10
×
10
20
10
2
3
P(X = 2) = 1(15) 2 =
=
P(X = 3) = (15
=
)=
455
91
455 91
3
3
O valor esperado ou a média ou a esperança de uma variável aleatória
discreta X é dada por
µ = E(X) = ∑ xi P(X = xi )
i
Exemplo: Para o caso das balas
4
E(X) = ∑ xi P(X = xi ) = 0 ·
i=1
24
45
20
2
+1· +2· +3·
=1
91
91
91
91
3
A variância de uma variável aleatória X é dada por
{
}
2
σ = Var(X) = E (X − µ ) = E(X 2 ) − (E(X))2 , onde
2
E(X 2 ) = ∑ xi2 P(X = xi )
i
Exemplo: Para o caso das balas
4
E(X ) = ∑ xi P(X = xi ) = 02 ·
2
i=1
24
45
20
2
143
+ 12 · + 22 · + 32 ·
=
91
91
91
91
91
Portanto,
Var(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 =
143
4
− 12 =
91
7
O dsvio padrão de uma variável aleatória X é dada por
σ = d p(X) =
4
√
Var(X)
Distribuição Binomial
Considere n repetições independentes de um experimento com
P(sucesso) = p constante em cada repetição. Seja X o número de
sucessos nas n repetições.
Nesta situação, dizemos que X tem distribuição binomial com parâmetros
n e p. Notação X ∼ B(n, p). Os possı́veis valores de X são os inteiros
0, 1, 2, . . . , n.
( )
n x n−x
P(X = x) =
p q , x = 0, 1, 2, . . . , n e q = 1 − p
x
E(X) = np e Var(X) = np(1 − p)
Exemplo: No cruzamento de plantas com flores vermelhas e brancas, 25% resultam em plantas com flores vermelhas. Se cruzamos 5 pares destas plantas,
qual a probabilidade do resultado ser: (a) Nenhuma planta com flor vermelha;
(b) Quatro ou mais plantas com flores vermelhas.
sucesso = planta com flor vermelha P(sucesso) = 0, 25 n = 5,
P(X = x) =
(5)
x
(5)
0
5
0 × (0, 25) × (0, 75) = 0, 237
()
()
≥ 4) = 54 × (0, 25)4 × (0, 75)1 + 55 × (0, 25)5 × (0, 75)0
(a) P(X = 0) =
(b)P(X
× (0, 25)x × (0, 75)5−x , x = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
5
= 0, 016
Distribuição Normal
A função densidade de probabilidade f (x) descreve a distribuição de
probabilidade de uma variável aleatória contı́nua e satisfaz:
(a) A área total sob a curva da densidade é 1;
(b) P(a ≤ X ≤ b) = área sob a curva da densidade entre a e b;
(c) f (x) é positiva ou nula.
Uma v. a. contı́nua X tem distribuição normal com média µ e variância σ 2 ,
notação X ∼ N(µ , σ 2 ) se sua densidade é dada por
{
}
1
(x − µ )2
−∞ < x < ∞
f (x) = √
exp −
2σ 2
2πσ
Distribuição Normal Padrão
Uma v. a. contı́nua X tem distribuição normal padrão, isto é, com média 0 e
variância 1, notação X ∼ N(0, 1) se sua densidade é dada por
{ 2}
1
x
f (x) = √ exp −
−∞ < x < ∞
2
2π
Se X ∼ N(µ , σ 2 ), então Z =
X−µ
σ
Aproximação da binomial pela normal
B(n, p) ≈ N(np, npq)
quando n é grande e p não está proximo de 0 ou 1.
6
∼ N(0, 1)
Conceitos Básicos de Testes de Hipóteses
Um teste estatı́stico é uma afirmação sobre a população, que é avaliada com base em informações obtidas de uma amostra da população.
Como a afirmação pode ser falsa ou verdadeira temos duas hipóteses complementares.
hipótese 1: a afirmação é vedadeira
hipótese 2: a afirmação é falsa.
Usando informações de uma amostra, devemos tomar uma das decisões:
rejeito H0 e concluo que H1 é fortemente sustentada pelos dados
não rejeito H0 e concluo que não há evidência nos dados para sustentar H1 .
O processo pelo qual é feita a escolha entre estas duas ações é chamado teste estatı́stico de hipóteses
Proposição matemática: A função h(x) = 3x2 − 2x + 1 tem mı́nimo em x = 2.
Resultado da investigação: Em x = 2 temos que h(x) = 9, mas quando x = 0,
h(x) = 1.
Conclusão: A proposição matemática é falsa.
7
Hipótese estatı́stica: A proporção de consumidores que preferem o produto da
marca A é p = 0, 4 (ou seja, 40% dos consumidores de um produto preferem
a marca A).
Resultado da investigação: Em uma amostra aleatória de 15 consumidores,
12 revelaram que preferem a marca A.
Conclusão: É altamente improvável que a hipótese estatı́stica seja verdadeira.
Usando X ∼ B(15; 0, 4) temos que P(X ≥ 12) = 0, 002. Como é possı́vel
acontecer esta observaçã quando p = 0, 4, não podemos garantir absolutamente que a hipótese é falsa.
Problema: Experiência mostra que a razão de cura para uma dada doença
usando um medicamento padrão é 60%. A razão de cura de uma nova droga
é anunciada como melhor que o medicamento padrão. Suponha qua a nova
droga é testada em uma amostra de 20 pacientes e o número de pacientes
curados X é registrado. Como os dados experimentais podem ser usados para
responder a questão: Existe uma forte evidência de que a nova droga tem
maior poder de cura que o medicamento padrão?
X ∼ B(20, p),
p um parâmetro desconhecido.
Temos duas hipóteses relevantes:
A nova droga é melhor que o medicamento padrão p > 0, 6
8
A nova droga não é melhor que o medicamento padrão p ≤ 0, 6
Escolha de H0 e H1
Quando queremos estabelecer uma afirmação com garantias obtidas
em uma amostra, a negação da afirmação deve ser tomada como a
hipótese nula H0 e a própria afirmação é tomada como hipótese altenativa H1 .
Um réu é inocente até que as provas do crime sejam evidentes.
Ao testar uma hipótese nula H0 contra uma hipótese alternativa H1 ,
nossa atitude é admitir H0 como verdade até que os dados deponham
fortemente contra ela, neste caso, H0 será rejeitada em favor de H1 .
Neste sentido, a especificação das hipóteses nula e alternativa no nosso problema é
H0 : p ≤ 0, 6 (a nova droga não é mehor)
H1 : p > 0, 6 (a nova droga é melhor)
Os dados experimentais sobre a nova droga é X, o número de pacientes curados entre os 20 pacientes que usaram a nova droga.
9
Os valores de X ({0,1, . . . , 20}) podem ocorrer sob H0 e sob H1 , de modo que
nenhum dos resultados pode provar absolutamente que H0 é verdade ou que
H1 é verdade.
Um procedimento objetivo: rejeitar H0 (em favor de H1 ) se X ≥ 15 e não rejeito H0 se X ≤ 14. Uma tal regra é chamada teste da hipótese nula e X é
chamada a estatı́stica de teste. Claro que outras regras podem ser consideradas.
Um teste da hipótese nula é uma ação especificando o conjunto de
valores de uma v. a. X para os quais H0 é rejeitada. A v. a. cujos
valores servem para determinar a ação é chamada a estatı́stica de teste
e o conjunto de seus possı́veis valores para os quais H0 é rejeitada é
chamado de região de rejeição do teste. Um teste é completamente
especificado pela estatı́stica de teste e a região de rejeição.
No nosso exemplo temos:
Estatı́stica de teste 7−→ X número de pacientes curados na amostra;
Região de rejeição 7−→ R = {15, 16, 17, 18, 19, 20}
Qualquer que seja a decisão, rejeitar H0 ou não rejeitar H0 , está associada a
um erro que pode ser medido (risco calculado).
10
Os dois tipos de erro
Verdadeiro estado da natureza
H0 verdadeira
H0 falsa
Decisão
(p ≤ 0, 6)
(p > 0, 6)
Não rejeitar H0
Correto
Errado
(Erro Tipo II)
Rejeitar H0
Errado
Correto
(Erro Tipo I)
Erro Tipo I: rejeitar H0 quando H0 é verdadeira
Erro Tipo II: não rejeitar H0 quando H1 é verdadeira
As probabilidades dos dois tipos de erro
α = P(Erro Tipo I) = P(rejeitar H0 | H0 é verdadeira)
β = P(Erro Tipo II) = P(não rejeitar H0 | H1 é verdadeira)
A probabilidade α depende de um particular valor em H0 , enquanto β
depende de um valor particula em H1 .
Exemplo: Continuando a solução do nosso problema, X ∼ B(20, p) e o teste
11
á rejeitar H0 se X ≥ 15. A função de probabilidade do teste é:
γ (p) = P(rejeitar H0 | o valor do parâmetro é p) = P(X ≥ 15|p)
Probabilidades de rejeitar H0 para o teste X ≥ 15.
p
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
γ (p) = P(X ≥ 15|p) 0,002 0,021 0,126 0,416 0,804 0,989
P(Erro Tipo I) = α (p) = γ (p) para p ≤ 0, 6
P(Erro Tipo II) = β (p) = 1 − γ (p) para p > 0, 6
12
Os principais passos para testar hipóteses são:
1. Identificar o modelo de probabilidade apropriado e o parâmetro sobre o
qual são feitas as hipóteses;
2. Formular a hipótese nula H0 e a hipótese alternativa H1 ;
3. Escolher a estatı́stica de teste e determinar a estrutura da região de rejeição;
4. Especificar a distribuição amostral da estatı́stica de teste sob H0 e determinar a região de rejeição para o α especificado e;
5. Implementar o teste e tirar conclusões.
A conclusão de um teste estatı́stico é a afirmação
rejeitar H0 ou a afirmação não rejeitar H0
ao nı́vel de significância α
A probabilidade de significância (P-valor ou nı́vel descritivo) do teste, é o
menor valor de α para o qual rejeita-se H0 .
Além de realizar um teste de hipótese com um valor de α prédeterminado, uma boa prática é apresentar a probabilidade de significância
13
Testando hipóteses sobre a média
Inicialmente, vamos considerar pequenas amostras.
Suposição: X
∼ N(µ , σ 2 ) =⇒ X
Queremos testar H0 : µ = µ0
∼N
(
2
µ , σn
)
contra H1 : µ > µ0 .
Naturalmente a es-
tatı́stica de teste será a média amostral X.
Se σ é conhecido, sob H0 ,
Z=
(
)
X − µ0
σ
√
n
∼ N(0, 1).
Neste caso a regra é
rejeitar H0 se X > c ⇒
X−√
µ0
σ/ n
>
c−√
µ0
σ/ n
(
(
)
e P X >c =P Z>
c−√
µ0
σ/ n
)
Como P(Z > zα ) = α , a probabilidade do Erro Tipo I é satisfeita escolhendose c tal que
√
c − µ0
√ = zα =⇒ c = µ0 + zα (σ / n)
σ/ n
Portanto, a região de rejeição é X > µ0 + zα √σn ou Z > zα
Se σ é desconhecido, usamos o desvio padrão amostral s e sob H0 ,
)
(
X − µ0
T=
∼ t − Student, com n − 1 graus de liberdade.
s
√
n
14
Portanto, a região de rejeição é X > µ0 + tn−1,α √sn ou T > tn−1,α
Resumo: Teste de hipótese para uma média em pequenas amostras
Hipótese
nula (H0 ) alternativa (H1 )
µ = µ0
µ = µ0
µ = µ0
µ > µ0
µ < µ0
µ ̸= µ0
Estatı́stica de teste
σ conhecido
σ desconhecido
X > µ0 + zα √σn
X > µ0 + tn−1,α √sn
Z > zα
T > tn−1,α
X < µ0 − zα √σn
X < µ0 − tn−1,α √sn
Z < −zα
T < −tn−1,α
X > µ0 + zα /2 √σn X > µ0 + tn−1,α /2 √sn
ou
ou
X < µ0 − zα /2 √σn X < µ0 − tn−1,α /2 √sn
|Z| > zα /2
|T | > tn−1,α /2
Teste de hipótese para uma média em grandes amostras (n ≥ 30)
Quando n é grande e σ é desconhecido, o teste da hipótese nula H0 :
µ = µ0 é realizado usando-se a estatı́stica de teste normal
Z=
X − µ0
√s
n
Não requer nenhuma suposição quanto a forma da distribuição da
população.
15
Testando hipóteses sobre a proporção
Denotando a proporçaõ populacional por p, queremos testar
H0 : p = p0 contra H1 : p ̸= p0 .
A proporção populacional é bem estimada por
p̂ =
X
,
n
onde X é o número de sucessos na amostra de tamanho n.
Em grandes amostas, a distribuiçao de probabilidade de p̂ pode ser aproximada por uma normal con média p e variância pq/n. Sob H0 , a distribuição
(
)
0
de p̂ é aproximadamente N p0 , p0 ×q
. Portanto
n
p̂ − p0
Z=√
∼ N(0, 1)
p0 ×q0
n
Neste caso a região de rejeição do teste de nı́vel α é
{
}
√
√
po ×qo
po ×qo
|Z| > zα /2 ou p̂; p̂ < p0 − zα /2
n ou p̂ > p0 + zα /2
n
Para a hipótese alternativa unilateral, procedemos como no caso da média.
Como p̂ = X/n, temos que
Z=
X
n − p0
√
p0 ×q0
n
X − np0
=√
n × p0 × q0
16
Comparando duas população - Amostras independentes
Os dados são medidas de respostas associadas ao seguinte plano experimental:
Uma coleção de n1 + n2 indivı́duos são aleatoriamente divididos em 2 grupos
de tamanhos n1 e n2 . Cada membro do grupo 1 recebe o tratamento 1 e cada
membro do grupo 2 recebe o tratamento 2.
Amostra
População 1
Estatı́sticas
média µ1
X1 , X2 , . . . , Xn1 X =
População 2
Y1 ,Y2 , . . . ,Yn2
1
n1
n1
∑ Xi
i=1
média µ2
Y=
1
n2
n2
∑ Yi
i=1
variância σ12
n1 (
)2
S12 = n11−1 ∑ Xi − X
i=1
variância σ22
n2 (
)2
S22 = n21−1 ∑ Yi −Y
i=1
Queremos comparar
(media da população 1) - (media da população 2) = µ1 − µ2
17
Suposições para pequenas amostras
1. X1 , X2 , . . . , Xn1 é uma a. a. de uma distribuição N(µ1 , σ 2 );
2. Y1 ,Y2 , . . . ,Yn2 é uma a. a. de uma distribuição N(µ2 , σ 2 );
3. As variãncias populacionais σ12 e σ22 são iguais;
4. As amostras X1 , X2 , . . . , Xn1 e Y1 ,Y2 , . . . ,Yn2 são independentes.
Qual estatı́stica usar para fazer inferência sobre µ1 − µ2 ?
E(X −Y ) = E(X) − E(Y ) = µ1 − µ2
Var(X) + Var(Y ) =
Supondo que σ12 = σ22 = σ 2 , então
(
Var(X −Y ) = σ
2
σ12 σ22
+
n1 n2
1
1
+
n1 n2
)
Estimador combinado da variância comum
n1 (
)2 n2 (
)2
∑ Xi − X + ∑ Yi −Y
(n1 − 1)S12 + (n2 − 1)S22
i=1
i=1
2
Sp =
=
n1 + n2 − 2
n1 + n2 − 2
Assumindo populações normais temos que
(X −Y ) − (µ1 − µ2 )
(X −Y ) − (µ1 − µ2 )
√
√
∼ N(0, 1) e
∼ tn1 +n2 −2
1
1
1
1
σ n1 + n2
s p n1 + n2
18
Testando H0 : µ1 − µ2 = δ − variâncias iguais − σ12 = σ22
Estatı́stica de teste
T=
X −Y − δ
√
∼ tn1 +n2 −2
1
1
s p n1 + n2
Hipótese alternatina Região de rejeição de nı́vel α
H1 : µ1 − µ2 ̸= δ
|T | > tn1 +n2 −2,α /2
H1 : µ1 − µ2 > δ
T > tn1 +n2 −2,α
H1 : µ1 − µ2 < δ
T < −tn1 +n2 −2,α
Testando H0 : µ1 − µ2 = δ − variâncias diferentes − σ12 ̸= σ22
Estatı́stica de teste
(
X −Y − δ
∼ tn , onde n =
T= √ 2
S1
S22
n1 + n2
)
S12
S22 2
n1 + n2
( 2 )2
( 2 )2
S1
n1
n1 +1
+
S2
n2
n2 +1
Hipótese alternatina Região de rejeição de nı́vel α
H1 : µ1 − µ2 ̸= δ
|T | > tn,α /2
H1 : µ1 − µ2 > δ
T > tn,α
H1 : µ1 − µ2 < δ
T < −tn,α
19
−2
Exemplo: Um experimento foi conduzido com 25 vacas para comparar duas
dietas, uma com alfafa tipo A e outra com alfafa tipo B. A alfafa tipo B representa uma vantagem econômica. Uma amostra de 12 vacas foi selecionada
aleatoriamente e tratadas com alfafa B; as 13 vacas restantes foram tratadas
com alfafa A. Os animais foram observados por um perı́odo de 3 semanas e a
média diária da produção de leite foi registrada.
alfafa A 44, 44, 56, 46, 47, 38, 58, 53, 49, 35, 46, 30,41
alfafa B 35, 47, 55, 29, 40, 39, 32, 41, 42, 57, 51, 39
Os dados indicam que a produção de leite com a alfafa tipo B é menor que a
produção de leite com a alfafa tipo A? (Usar α = 5% - t23,5% = 1, 714).
H0 : µA = µB contra H1 : µA > µB
13
alfafa A n1 = 13 x = 45, 15
∑ (xi − x)2 = 767, 69 S12 = 64, 0
i=1
12
alfafa B n2 = 12 y = 42, 25
∑ (yi − y)2 = 840, 25 S22 = 76, 4
i=1
S2p =
13
12
i=1
i=1
∑ (xi − x)2 + ∑ (yi − y)2
T=
=
n1 + n2 − 2
767, 69 + 840, 25
= 69, 9
23
x−y
45, 15 − 42, 25 2, 90
√
√
=
=
= 0, 84
3,
45
1
1
1
1
S p n1 + n2
8, 63 13 + 12
Rejeito H0 se T > 1, 714
Resolver usando o Minitab
20
Comparando duas população - Amostras pareadas
Par ou Bloco Unidades experimentais
1
2
1
2
1
2
3
..
.
1
..
.
2
..
.
n
2 1
As unidades em cada par são similares, enquanto as diferentes unidades podem não ser. Em cada par, uma unidade é escolhida aleatoriamente para receber o tratamento 1 e a outra unidade recebe o
tratamento 2.
Estrutura dos dados para comparação pareada
Par ou Bloco Tratamento 1 Tratamento 2
Diferença
1
X1
Y1
D1 = X1 −Y1
2
..
.
X2
..
.
Y2
..
.
D2 = X2 −Y2
..
.
n
Xn
Yn
Dn = Xn −Yn
Os pares (X1 ,Y1 ), (X2 ,Y2 ), . . . , (Xn ,Yn ) são independentes
Estatı́sticas:
1 n
D = ∑ Di
n i=1
2
SD
1 n
(Di − D)2
=
∑
n − 1 i=1
21
Os pares (Xi ,Yi ) são independentes mas, Xi e Yi em cada par são
dependentes
E(Di ) = E(Xi −Yi ) = δ
Var(Di ) = Var(Xi −Yi ) = σD2 , i = 1, 2, . . . , n
Inferência em pequenas amostras para diferença média δ
Assumindo que as diferenças Di = Xi − Yi são independentes com
distribuição N(δ , σD2 ),
√
n
1
D = ∑ Di e SD =
n i=1
1 n
(Di − D)2
∑
n − 1 i=1
então, um teste para H0 : δ = δ0 é baseado na estatı́stica
T=
D − δ0
SD
√
n
∼ tn−1
Exemplo: Um pesquisador quer saber se uma determinada substância, tem o efeito indesejado de reduzir a pressão sanguı́nea do usuário. Em um estudo com 15 mulheres em idade
escolar, a pressão sanguı́nea foi medida no inı́cio do estudo e após o uso regular por seis
meses. O que o pesquisador pode concluir (α = 5%) sobre o efeito da substância na pressão
sanguı́nea?
Sujeito
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Antes (X) 70 80
72
76
76
76
72
78
82
64
74
92
74
68
84
Depois (Y ) 68 72
62
70
58
66
68
52
64
72
74
60
74
72
74
10
6
18
10
4
26
18
-8
0
32
0
-4
10
D = (X −Y )
1
2
8
22
Cada sujeito representa um bloco gerando um par de medidas; uma antes e
outra depois de usar a substância. As diferenças são calculadas.
1 15
D=
∑ Di = 8, 80
15 i=1
Para testar H0 : δ = 0
T=
contra
e
v
u 15
u1
SD = t ∑ (Di − D)2 = 10, 98
14 i=1
H1 : δ > 0
D
8, 80
8, 80
√ =
√ =
= 3, 10
SD / n 10, 98/ 15 2, 84
tn−1,α = t14,5% = 1, 761
Consequentemente devemos rejeitar H0 em favor de H1
Resultados usando o Minitab
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