Álgebra Linear – Lista 7 – Transformações lineares I 1) Seja tal que

Álgebra Linear – Lista 7 – Transformações lineares I
1) Seja A : R 2  R 2 tal que A(1, 0)  (5, 4) e A  (0, 1)  (2,  1) . Determine A( 2, 3)
e A( x, y ) .
2) Seja A : R 2  R 3 tal que A(2, 1)  (3, 2,  1) e A(1, 3)  (1, 0, 1) . Determine
A(9, 1) . Se você gosta de fazer contas, determine A( x, y ) .
3) Dados: u1  (2,  1), u 2  (1, 1) , u3  (1,  4), v1  (1, 3), v2  (2, 3), v3  (5,  6) ,
determine se existe um operador linear A : R 2  R 2 tal que Au1  v1 , Au2  v2 e
Au3  v3 .
4) Seja A : R 3  R 2 onde A( x, y, z )  ( x  2 y  z,  x  3z )
a) Determine a matriz da transformação.
b) Determine todos os vetores v tais que Av  (1, 1) .
5) Seja A : R 2  R 3 onde A( x, y )  ( x  y, 2 y,  x  3 y )
a) Determine a matriz da transformação.
b) Determine o vetor v tal que Av  (3, 2,  1) .
c) Determine o vetor w tal que Aw  (5, 6, 4) .
6) Considere o operador A no R 4 onde A( x1 , x2 , x3 , x4 )  ( x2 , x3 , x4 , x1 ) .
Determine a matriz da transformação.
Determine para que valores de n tem-se A n  A
7) Seja D : P3  P2 a transformação linear tal que D p( x)  p( x) , ou seja, associa ao
polinômio p (x ) sua derivada p (x ) . Nas bases canônicas {x 3 , x 2 , x, 1} e {x 2 , x, 1} de
P3 e P2 , respectivamente, determine a matriz dessa transformação.
8) Seja T : R 2  R 2 tal que T (1, 2)  (2, 3) e T (0, 1)  (1, 4) .
a) Determine T ( x, y )
b) Determine a transformação linear inversa: T 1 ( x, y) .
9) Seja A : R 2  R 2 o operador linear definido por A( x, y )  (5 x  4 y,  3x  2 y ) .
a) Encontre um vetor u não nulo tal que Au  u .
b) Encontre um vetor v não nulo tal que Av  2v .
c) Encontre um vetor w não nulo tal que Aw  w , onde   1 e   2 .
10) Determine o funcional linear f : R 3  R de modo que se tenha f (1, 2, 3)  1 ,
f (1, 2, 3)  0 e f (1,  2, 3)  0 .
11) Determine as matrizes dos seguintes operadores no R 2
a) Simetria em relação ao eixo X.
b) Simetria em relação ao eixo Y.
c) Simetria em relação à reta y = x.
12) O operador P no R 2 é a projeção sobre o eixo X paralelamente à reta y  2 x .
a) Calcule P(5, 8) .
b) Encontre . P ( x, y ) .
c) Determine todos os vetores v tais que Pv  0 .
13) O triângulo OAB é eqüilátero e está contido no primeiro quadrante. Se A  (4, 2) ,
determine o vértice B.
 2 3
14) O operador A : R 2  R 2 é definido pela matriz 
 . Se r é a reta de equação
 1 2
2 x  y  5 , encontre a equação de A(r ) .
15) O vetor v  (a, b) sofreu uma rotação de 90o e, em seguida, foi feita a simetria em
relação ao eixo X.
a) Qual foi o resultado?
b) Se as transformações forem feitas na ordem inversa, qual será o resultado?
16) Seja A : R 2  R 2 o operador definido por A( x, y )  (2 x  3 y, x  2 y ) . Determine
x
m para que as retas y  mx e y   sejam transformadas em retas perpendiculares
m
pelo operador A.
17) Determine a projeção de v  (1, 8) sobre a reta y 
x
2
18) Seja S : R 2  R 2 a reflexão em torno da reta y  3 x . Se (3, 11) , determine Sv .
19) Seja T : R 2  P2 uma transformação linear tal que T (1, 1)  1  2 x e
T (3,  1)  x  2 x 2 .
a) Calcule T (7, 9)
b) Determine T ( a, b)
 2 1
20) Considere o operador no R 2 definido pela matriz 
.
 1 1
a) Determine a equação da imagem da reta x  y  1 .
b) Determine a equação da imagem da circunferência x 2  y 2  1 .
Respostas
7.1.a) (4, 5)
7.2.a) (11, 8,  5)
7.1.b) A( x, y )  (5 x  2 y, 4 x  y )
 8x  5 y 6 x  2 y  4 x  y 
,
,
7.2.b) A( x, y )  

7
7
 7

7.3) sim
 1 2  1
7.4.a) 
 7.4.b) v  (1  3t , 1  t , t ), t  R
 1 0 3 
 1  1
7.5.a)  0
7.5.b) v  (1, 4)
7.5.c) Não existe w
2 

 1 3 
0
0
7.6.a) 
0

1
0
0
1

0
 3 0 0 0
7.7) 0 2 0 0


0 0 1 0
1
0
0
0
0
1
0
0
7.6.b) n = múltiplo de 4
7.8.a) T ( x,y )  ( y,  5 x  4 y )
7.9.a) u  (1,  1)
7.9.b) v  (4,  3)
a b
7.10) f ( x, y, z )  
2 4
1
0


 1 0
7.11.a) 
7.11.b)

 0 1
0 1


 4x y 
7.8.b) T 1 ( x, y )    , x 
 5 5 
7.9.c) não existe w
0 1 
7.11.c) 

1 0
y 

7.12.a) (1, 0)
7.12.b) P ( x, y )   x  , 0 
7.12.c) v  (t , 2t )
2 

7.13) B  (2  3, 2 3  1)
7.14) 3x  8 y  35
7.15.a) ( b,  a )
7.15.b) (b, a)
7.16) m  1 2
7.17) (4, 2)
7.18) (9, 7)
7.19.a) 5  14 x  8 x 2
7.20.a) 2 x  y  3
a  3b  a  7b   a  b  2

x  
x
4
 4   2 
7.20.b) 2 x 2  2 xy  5 y 2  9  0
7.19.b)