Álgebra Linear – Lista 7 – Transformações lineares I
1) Seja A : R 2 R 2 tal que A(1, 0) (5, 4) e A (0, 1) (2, 1) . Determine A( 2, 3)
e A( x, y ) .
2) Seja A : R 2 R 3 tal que A(2, 1) (3, 2, 1) e A(1, 3) (1, 0, 1) . Determine
A(9, 1) . Se você gosta de fazer contas, determine A( x, y ) .
3) Dados: u1 (2, 1), u 2 (1, 1) , u3 (1, 4), v1 (1, 3), v2 (2, 3), v3 (5, 6) ,
determine se existe um operador linear A : R 2 R 2 tal que Au1 v1 , Au2 v2 e
Au3 v3 .
4) Seja A : R 3 R 2 onde A( x, y, z ) ( x 2 y z, x 3z )
a) Determine a matriz da transformação.
b) Determine todos os vetores v tais que Av (1, 1) .
5) Seja A : R 2 R 3 onde A( x, y ) ( x y, 2 y, x 3 y )
a) Determine a matriz da transformação.
b) Determine o vetor v tal que Av (3, 2, 1) .
c) Determine o vetor w tal que Aw (5, 6, 4) .
6) Considere o operador A no R 4 onde A( x1 , x2 , x3 , x4 ) ( x2 , x3 , x4 , x1 ) .
Determine a matriz da transformação.
Determine para que valores de n tem-se A n A
7) Seja D : P3 P2 a transformação linear tal que D p( x) p( x) , ou seja, associa ao
polinômio p (x ) sua derivada p (x ) . Nas bases canônicas {x 3 , x 2 , x, 1} e {x 2 , x, 1} de
P3 e P2 , respectivamente, determine a matriz dessa transformação.
8) Seja T : R 2 R 2 tal que T (1, 2) (2, 3) e T (0, 1) (1, 4) .
a) Determine T ( x, y )
b) Determine a transformação linear inversa: T 1 ( x, y) .
9) Seja A : R 2 R 2 o operador linear definido por A( x, y ) (5 x 4 y, 3x 2 y ) .
a) Encontre um vetor u não nulo tal que Au u .
b) Encontre um vetor v não nulo tal que Av 2v .
c) Encontre um vetor w não nulo tal que Aw w , onde 1 e 2 .
10) Determine o funcional linear f : R 3 R de modo que se tenha f (1, 2, 3) 1 ,
f (1, 2, 3) 0 e f (1, 2, 3) 0 .
11) Determine as matrizes dos seguintes operadores no R 2
a) Simetria em relação ao eixo X.
b) Simetria em relação ao eixo Y.
c) Simetria em relação à reta y = x.
12) O operador P no R 2 é a projeção sobre o eixo X paralelamente à reta y 2 x .
a) Calcule P(5, 8) .
b) Encontre . P ( x, y ) .
c) Determine todos os vetores v tais que Pv 0 .
13) O triângulo OAB é eqüilátero e está contido no primeiro quadrante. Se A (4, 2) ,
determine o vértice B.
2 3
14) O operador A : R 2 R 2 é definido pela matriz
. Se r é a reta de equação
1 2
2 x y 5 , encontre a equação de A(r ) .
15) O vetor v (a, b) sofreu uma rotação de 90o e, em seguida, foi feita a simetria em
relação ao eixo X.
a) Qual foi o resultado?
b) Se as transformações forem feitas na ordem inversa, qual será o resultado?
16) Seja A : R 2 R 2 o operador definido por A( x, y ) (2 x 3 y, x 2 y ) . Determine
x
m para que as retas y mx e y sejam transformadas em retas perpendiculares
m
pelo operador A.
17) Determine a projeção de v (1, 8) sobre a reta y
x
2
18) Seja S : R 2 R 2 a reflexão em torno da reta y 3 x . Se (3, 11) , determine Sv .
19) Seja T : R 2 P2 uma transformação linear tal que T (1, 1) 1 2 x e
T (3, 1) x 2 x 2 .
a) Calcule T (7, 9)
b) Determine T ( a, b)
2 1
20) Considere o operador no R 2 definido pela matriz
.
1 1
a) Determine a equação da imagem da reta x y 1 .
b) Determine a equação da imagem da circunferência x 2 y 2 1 .
Respostas
7.1.a) (4, 5)
7.2.a) (11, 8, 5)
7.1.b) A( x, y ) (5 x 2 y, 4 x y )
8x 5 y 6 x 2 y 4 x y
,
,
7.2.b) A( x, y )
7
7
7
7.3) sim
1 2 1
7.4.a)
7.4.b) v (1 3t , 1 t , t ), t R
1 0 3
1 1
7.5.a) 0
7.5.b) v (1, 4)
7.5.c) Não existe w
2
1 3
0
0
7.6.a)
0
1
0
0
1
0
3 0 0 0
7.7) 0 2 0 0
0 0 1 0
1
0
0
0
0
1
0
0
7.6.b) n = múltiplo de 4
7.8.a) T ( x,y ) ( y, 5 x 4 y )
7.9.a) u (1, 1)
7.9.b) v (4, 3)
a b
7.10) f ( x, y, z )
2 4
1
0
1 0
7.11.a)
7.11.b)
0 1
0 1
4x y
7.8.b) T 1 ( x, y ) , x
5 5
7.9.c) não existe w
0 1
7.11.c)
1 0
y
7.12.a) (1, 0)
7.12.b) P ( x, y ) x , 0
7.12.c) v (t , 2t )
2
7.13) B (2 3, 2 3 1)
7.14) 3x 8 y 35
7.15.a) ( b, a )
7.15.b) (b, a)
7.16) m 1 2
7.17) (4, 2)
7.18) (9, 7)
7.19.a) 5 14 x 8 x 2
7.20.a) 2 x y 3
a 3b a 7b a b 2
x
x
4
4 2
7.20.b) 2 x 2 2 xy 5 y 2 9 0
7.19.b)
