Aprendizagem significativa matemática com estratégias

ISBN 978-85-8015-079-7
Cadernos PDE
II
Versão Online
OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
NA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Produções Didático-Pedagógicas
1
Secretaria de Estado da Educação
Superintendência da Educação
Departamento de Políticas e Programas Educacionais
Coordenação Estadual do PDE
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
A aprendizagem significativa matemática com estratégias
consolidadas nas tendências matemáticas
Prof.ª PDE: Leila Carla Machado da Silva
Orientador: João Cesar Guirado
MARINGÁ – PR
2014
2
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
UNIDADE DIDÁTICA
LEILA CARLA MACHADO DA SILVA
Produção Didática Pedagógica apresentada à
Secretaria de Estado da Educação – SEED, na
disciplina de Matemática, como parte dos
requisitos do Programa de Desenvolvimento
Educacional – PDE 2014/2015, em convênio
com a Universidade Estadual de Maringá.
Orientador: Prof. Ms. João Cesar Guirado.
MARINGÁ – PR
2014
3
1 FICHA DE IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA
TURMA - PDE/2014
Aprendizagem significativa matemática com estratégias consolidadas nas tendências matemáticas
Autor
Leila Carla Machado da Silva
Disciplina/Área (ingresso no PDE)
Matemática
Escola de Implementação
Projeto e sua localização
Colégio Estadual Duque de Caxias – EF/M
do
Rua: Marechal Mascarenhas de Moraes, 925.
Município da escola
Maringá
Núcleo Regional de Educação
Maringá
Professor Orientador
João Cesar Guirado
Instituição de Ensino Superior
Universidade Estadual de Maringá – UEM
Relação Interdisciplinar
Ciências e Geografia
Resumo
Esta Produção Didático-Pedagógica é requisito obrigatório do PDE,
tratando-se da consolidação do que foi definido no Projeto de
Intervenção Pedagógica. O objetivo é proporcionar reflexões para
construção de uma nova prática, analisando os erros apresentados
em avaliações, com uma metodologia diferenciada da que já foi
aplicada, visando alcançar a formação integral do educando. Este
projeto tem como justificativa as contribuições possíveis a serem
dadas pela Matemática na formação integral do cidadão com
reflexos de aplicações a este contexto, que necessitam ser
amplamente compreendidas por todos, a fim de refletir a sua prática
pedagógica. Aplicar uma matemática mais significativa, conforme a
Teoria de Ausubel, utilizar das Tendências Matemáticas, em foco, a
Etnomatemática e sua inserção em sala de aula, valorizando a
cultura e a vivência dos alunos, procurando associá-los aos
conteúdos programáticos, envolvendo temas políticos sociais e
culturais em sala de aula. O método será uma pesquisa no Colégio
Estadual Duque de Caxias, EF/EM de Maringá, em uma turma de
oitavo ano que analisará o nível de conhecimento cientifico da turma
para a aplicação de atividades individuais e/ou em grupos. Será
realizada uma gincana como recurso pedagógico em uma das
avaliações, com intuito de motivar os alunos a estudarem o
conteúdo matemático.
Palavras-chave
Educação, Matemática, Aprendizagem Significativa, Tendências
Matemáticas.
Formato do Material Didático
Produção Didática
Público Alvo
Alunos do 8º ano do Ensino Fundamental
4
2 APRESENTAÇÃO
Este trabalho tem a finalidade de chamar a atenção dos professores para a
necessidade de propiciar aos alunos uma aprendizagem significativa. Pretende-se
utilizar de estratégias consolidadas nas tendências matemáticas, a fim de espaçar
da nossa realidade a aprendizagem mecânica. Evidenciar a necessidade de novas
estratégias metodológicas para sanar as dificuldades enfrentadas no ensino e na
aprendizagem, e ao mesmo tempo, incentivar a utilização da Teoria da
Aprendizagem Significativa de Ausubel, instigando a preparação de atividades que
adaptem a realidade de nossos alunos apoiados nas tendências matemáticas.
O caos no ensino da Matemática é proveniente de uma Matemática que foi
ensinada de maneira tradicional e teórica, distante da realidade dos nossos alunos.
Por outro lado, a maioria dos alunos não gosta da Matemática ou tem alguma
dificuldade para aprendê-la. Muitos não gostam porque não aprendem e/ou não
aprendem porque não gostam.
Seja qual for o motivo, os alunos quase sempre atribuem suas dificuldades a
fatores externos e, muitas vezes, não têm consciência de que fazem parte desse
processo e cabe á eles, juntamente com professores buscarem soluções para tais
problemas.
Diante do exposto e à complexidade da situação, este trabalho tem como
objetivo ampliar e aprimorar o conhecimento matemático dos alunos e,
consequentemente, melhorar o rendimento escolar. A pesquisa tem por objetivo
conhecer as dificuldades dos estudantes acerca das características do professor de
Matemática que colaboram na aprendizagem desta disciplina. Percebe-se a
necessidade de adequar procedimentos metodológicos de maneira a estimular o
aprendizado matemático; estabelecer relações entre os conteúdos escolares e a
vivência do aluno, como maneira de aproveitamento nas avaliações internas e
externas com sucesso no aprendizado desta disciplina. Quanto á escolha
metodológica busca-se no método quantitativo os embasamentos necessários para
a realização desta pesquisa. As atividades a serem desenvolvidas, na forma de uma
Unidade Didática, serão primeiramente um questionário para analisar o grau das
dificuldades dos alunos em relação ao conteúdo do oitavo ano conforme o livro
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didático adotado pelo colégio. Será de cunho exploratório e investigativo para
relacionar com ideias e processos, constituintes do pensar e fazer matemáticos.
Após o analise das dificuldades encontradas pelos alunos, aplicarei o
conteúdo de maneira significativa com a realidade dos alunos. Conforme Gasparin
(2005), em todo o processo de trabalho docente, num primeiro momento, o professor
deve verificar o nível atual do conhecimento dos educandos sobre o tema a ser
estudado, ou seja, seus conceitos cotidianos, no momento seguinte, constituir o que
se espera que os alunos alcancem, isto é, quais conceitos científicos o aluno deverá
apropriar-se, para tanto são necessárias várias ações didáticas do professor,
situações desafiadoras e possíveis de serem realizadas pelos alunos; atividades
permanentes; atividades coletivas; utilização de materiais didáticos.
Ratifico esse pensamento do Gasparin em minha produção didática, as
atividades serão inseridas individuais ou/e em grupos, será proposto, que em uma
das avaliações do primeiro semestre seja uma Gincana de Matemática com o
conteúdo estabelecido em meu plano de ação para o oitavo ano como estratégia de
sucesso na avaliação.
A implementação do trabalho será feita com alunos do 8.º ano do Ensino
Fundamental, do Colégio Duque de Caxias, do município de Maringá- PR, durante
as aulas regulares da disciplina.
3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Atualmente o ensino de matemática tem sido considerado um fracasso em
nossa sociedade contemporânea. Na busca de melhorar o ensino de matemática e
demonstrar resultados satisfatórios, realizo esse trabalho embasado na Teoria da
Aprendizagem Significativa, de Ausubel, que em sua visão, a variável isolada mais
importante para a aprendizagem significativa de novos conhecimentos é a
predisposição do aluno em aprender, Isto é, se fosse possível isolar uma única
variável como sendo a que mais influencia novas aprendizagens, esta variável seria
o conhecimento prévio, que permite dar significados a estes conhecimentos, ao
mesmo tempo em que foi, fica mais estável, mais rico, mais elaborado. O que
Ausubel mais enfatiza em sua teoria é ensinar a partir do que o aluno já sabe; em
suas próprias palavras: “o mais importante fator isolado que influencia a
6
aprendizagem é o que o aprendiz já sabe. Determine isto e ensine-o de acordo”
(Ausubel, 1980, p. 6).
Ainda com o pensamento de Ausubel, dizer que o conhecimento prévio é a
variável que mais influencia a aprendizagem significativa de novos conhecimentos
não significa dizer que é sempre uma variável facilitadora. Normalmente sim, mas
pode, em alguns casos, ser bloqueadora.
É importante elucidar, que a aprendizagem significativa: não é sinônimo de
aprendizagem “correta”. É importante cautela, pois a aprendizagem significativa não
é basicamente, aquela que usualmente chamamos de “correta”. Quando o sujeito
confere significados a um dado conhecimento, ancorando-o interativamente em
conhecimentos prévios, a aprendizagem é significativa, independente de se estes
são os aceitos no contexto de alguma disciplina de ensino, de se os significados
atribuídos são também contextualmente aceitos, além de serem pessoalmente
aceitos. As condições para a aprendizagem significativa são duas:

O material de aprendizagem deve ser potencialmente significativo;

O aprendiz deve apresentar uma predisposição para aprender.
A primeira situação indica que o material de aprendizagem (livros, aulas,
conjecturas, jogos...) tenha significado lógico (isto é, seja relacionável de maneira
não arbitrária e não literal a uma estrutura cognitiva apropriada e relevante) e o
segundo, que o aprendiz tenha em sua estrutura cognitiva ideias âncora relevantes
com as quais esse material possa ser relacionado. Quer dizer, o material deve ser
relacionável à estrutura cognitiva e o aprendiz deve ter o conhecimento prévio
necessário para fazer esse relacionamento de forma não arbitrária e não literal.
É importante enfatizar aqui que o material só pode ser potencialmente
significativo, não significativo: não existe livro significativo, nem aula significativa,
nem problema significativo, pois o significado está nas pessoas, não nos materiais.
É o aluno que atribui significados aos materiais de aprendizagem e os
significados atribuídos podem não ser aqueles aceitos no contexto da matéria de
ensino. Naturalmente, no ensino o que se pretende é que o aluno atribua aos novos
conhecimentos, veiculados pelos materiais de aprendizagem, os significados aceitos
no contexto da matéria de ensino, mas isso normalmente depende de um
intercâmbio, de uma “negociação”, de significados, que pode ser bastante
demorada. A segunda condição é talvez mais difícil de ser satisfeita do que a
primeira: o aprendiz deve querer relacionar os novos conhecimentos, de forma não
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arbitrária e não literal, a seus conhecimentos prévios. É isso que significa
predisposição para aprender.
Não se trata exatamente de motivação, ou de gostar da matéria. Por alguma
razão, o sujeito que aprende deve se predispor a relacionar (diferenciando e
integrando) interativamente os novos conhecimentos a sua estrutura cognitiva
prévia, modificando-a, enriquecendo-a, elaborando-a e dando significados a esses
conhecimentos. Fonseca evidencia necessidade de uma nova postura na vivência
da Matemática na sala
[...] a busca do sentido de ensinar e aprender Matemática remete às
questões de significação da Matemática que é ensinada e aprendida.
Acreditamos que o sentido se constrói à medida que a rede de
significados ganha corpo, substância, profundidade. “A busca do
sentido do ensinar-e-aprender Matemática serão, pois, uma busca de
acessar, reconstituir, tornar robustos, mas também flexíveis, os
significados da Matemática que ensinada-e-aprendida” (FONSECA,
2007, p.75).
.
Esta produção didática prioriza a realização de atividades significativas para o
sucesso do processo de ensino e aprendizagem nesse contexto educativo, que deve
ter real compromisso com o fazer pedagógico como também prevalece às
tendências matemáticas como apoio didático e contribui para a intervenção social da
escola na sociedade e sua influencia no ambiente educacional.
Ressalta-se que, o aluno em seu cotidiano é instigado por uma inteligência
fundamentalmente prática e que os enfoques realizados pela escola poderão
interferir de forma significativa na aprendizagem do mesmo.
A escola não consegue relacionar a realidade dos alunos, com as praticas
avaliativas do processo entre ensino e aprendizagem. Situações expostas na mídia
afirmam frequentemente sobre a o desempenho dos alunos nas avaliações, a
progressão na serie acontece, mas a defasagem de conhecimento é acumulada, isto
é representado nas avaliações, porém não é culpa somente das avaliações e sim da
organização do sistema de ensino, que afasta a realidade dos nossos alunos. Os
Parâmetros Curriculares Nacionais (1997, p.28) ressalta que,
O conhecimento matemático é fruto de um processo de que fazem
parte a imaginação, os contra exemplos, as conjecturas, as críticas,
os erros e os acertos. Mas ele é apresentado de forma
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descontextualizada, atemporal e geral, porque é preocupação do
matemático comunicar resultados e não o processo pelo qual os
produziu. A Matemática desenvolve‐se, desse modo, mediante um
processo conflitivo entre muitos elementos contrastantes: o concreto
e o abstrato, o particular e o geral, o formal e o informal, o finito e o
infinito, o discreto e o contínuo. Curioso notar que tais conflitos
encontram‐se também no âmbito do ensino dessa disciplina.
A realidade de nossa escola revela-se preocupada em buscar estratégias de
ensino para obter resultados satisfatórios nas avaliações internas e externas. A essa
didática pretende utilizar de estratégias como recurso educacional nas aulas de
Matemática para os estudantes.
“Conceituo educação como uma estratégia da sociedade para
facilitar que cada indivíduo atinja o seu potencial e para estimular
cada indivíduo a colaborar com outros em ações comuns na busca
do bem comum” (D‟AMBROSIO, 1996, p.68).
A mencionada Produção Didática pretende oferecer exercícios de maneira
significativa e sugerir encaminhamentos que possam mudar ou pelos menos
minimizar os problemas encontrados por professores que ministram aulas de
Matemática, nas escolas estaduais.
Pretende-se, entretanto, promover atitudes que valorizem o estudo, a
pesquisa, principalmente em relação à resolução de exercícios matemáticos em sala
de aula, pois, acredita-se que, os alunos sentirão prazer em estudar e poderão
mudar a realidade de traumas e fracassos escolares das crianças e dos jovens,
quando em contato, com a matemática que, infelizmente, estão se ampliando e se
consolidando no chão das escolas estaduais, nosso local de trabalho, onde atuamos
como educadores.
Favorecer a participação efetiva dos alunos, e consequentemente a
apropriação dos conteúdos curriculares planejados, além de subsidiar a escola para
que esta assumisse a tarefa de inclusão destes alunos no processo ensinoaprendizagem, pois estes estavam à margem do processo, no contexto escolar,
possibilitar ainda o desenvolvimento do aluno de forma mais integral, dando lhe
condições de maior interação social, equidade social, inclusão social e maiores
possibilidades no exercício da cidadania.
As atividades foram todas contextualizadas e inseridas em situações do
cotidiano do aluno, a fim de desenvolver o interesse nas aulas de matemática. Os
9
conteúdos a serem trabalhados no primeiro semestre do ano de 2015 estão nesta
Produção Didática, em sequencia conforme planejamento do oitavo ano.
Fonte:http:www.educopedia.com.br/Cadastros/Aula/Visualizar.aspx?pgn_id=211://
Acesso em: 02 Out. 2014.
A ideia de ângulo é apresentada sob diferentes enfoques, como a figura
formada por duas semirretas de mesma origem, como a região do plano
compreendida entre duas semirretas de mesma origem, juntamente com essas
semirretas, como a figura formada pela rotação que leva uma semirreta sobre a
outra, com origem em comum. No entanto, para o ano escolar objeto desta
produção, adotaremos que ângulo é a região compreendida entre duas semirretas
de mesma origem.
As semirretas são os lados do ângulo e o ponto comum às duas semirretas é
o vértice, conforme figura a seguir:
10
Fonte
da
figura:
http://pt.slideshare.net/porqueira/ngul
os Acesso em: 20 Set. 2014.
Aqui é o momento de explorar situações do cotidiano em que aparecem os
ângulos, tais como:
1. As posições dos ponteiros do relógio analógico;
2. A inclinação de rampas ou escadas;
3. A inclinação de telhados;
4. Nos encostos de cabeça nos bancos dos automóveis;
5. Na abertura de leques;
6. Nos tampos de mesas;
7. Nos giros dos skates;
8. Na abertura de tesouras.
Na sequência, será abordada a nomenclatura que dos ângulos especiais e
sua representação geométrica. Para os conceitos de ângulo reto, ângulo agudo e
ângulo obtuso, sem mencionar a medida do ângulo, os alunos utilizarão folhas de
sulfite. Dobrando uma folha de sulfite e, em seguida, fazendo outra dobra sobre a
dobra anterior, obtém-se uma região angular que será chamada de “ângulo reto”.
Utilizando outra folha, farão uma dobra e, em seguida, outra dobra que não coincida
com a dobra anterior. Abrindo a folha, observarão quatro regiões. Utilizando a
ângulo reto como medida, constatarão que há duas regiões com abertura menor do
que o reto (ângulo agudo) e duas regiões com abertura maior do que o reto (ângulo
obtuso).
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Conforme vimos, classifique os ângulos abaixo em Reto, Obtuso e Agudo:
a) tesoura:
b) livro:
c) leque
d)compasso:
e) luminária:
f) telhado:
Os alunos poderão complementar os exemplos apresentados com outras
situações de sua vivência, o que enriquecerá o trabalho e a fixação do conceito.
a) Qual é o ângulo de visão
de uma pessoa? E de um cavalo?
b) Quanto mede o ângulo
de um controlo remoto?
c) Qual a inclinação ideal
da mesa de um desenhista?
d) Qual é o ângulo de
rotação de uma maçaneta de
porta?
Fonte:http://www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.119800&tipo=2&pgant=v. Acesso
em :11 Out. 2014.
A importância do conceito de ângulos em nosso cotidiano, esta associado a
uma diversidade de ideias distintas, porém solidárias, como exposto anteriormente.
Após tais colocações, o “grau” será apresentado como a unidade-padrão para
medir ângulos. Será comentado como esse grau não é o mesmo utilizado para a
medida de temperatura. O grau para a medida de ângulos surgiu pela necessidade
de o homem medir o tempo. Isso ocorreu por volta de 5 000 a.C., época em que os
babilônios acreditavam que o Sol girava em torna da Terra em órbita circular,
realizando uma volta completa em 360 dias.
Dessa forma, em cada dia, o Sol
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percorria um arco equivalente a 1/360 desta circunferência, determinando um ângulo
central (aquele que apresenta o vértice no centro de uma circunferência), o qual foi
denominado “um grau”, denotado por 1°.
Para a medição de ângulos, os alunos utilizarão o transferidor, mas será
comentado que há outros instrumentos que possibilitam a medição de ângulos como
o teodolito e os esquadros O instrumento mais comum que utilizamos para medir um
ângulo no âmbito escolar é o transferidor, vejamos alguns exemplos:
Observe que um dos lados do ângulo
aponta para a medida 0 e a outra para a
medida 50, portanto o ângulo é agudo e
mede 50º.
Nesse caso, um dos lados do
ângulo está voltado para 0 e outro
para 90, dessa forma, o ângulo mede
90º e é denominado reto.
Um dos lados aponta para a medida 0
e o outro para a medida 120, portanto, o
ângulo é obtuso, medindo 120º.
http://www.escolakids.com/angulo.htm. Acesso em: 08
Out. 2014.
Toda medição de ângulos deve ocorrer como foi demonstrado, um dos lados
fica apontado para o zero e outro lado apontará para a medida da abertura do
ângulo. O vértice dos ângulos, que é o local onde as semirretas se originam, deve
ficar no centro da base do transferidor.
Agora é o momento de os alunos realizarem várias medições de ângulos,
tomando como padrão o ângulo reto (90°) e seus múltiplos e seus divisores. Para
isso, poderão utilizar dobraduras em papel. Isso pode ser feito na exploração da
confecção de aviãozinho de papel, barquinhos de papel, chapéu etc.
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Após tais atividades, serão apresentados quando dois ângulos são chamados
suplementares (a soma de suas medidas resulta 180°) e quando são chamados
complementares (a soma de suas medidas resulta 90°).
Na continuidade do trabalho com ângulos, serão apresentadas situações de
medições nas quais o “grau” não cabe um número inteiro de vezes. Dessa forma, o
grau deverá ser subdivido em partes iguais, porém não mais em dez partes iguais
como no sistema de numeração decimal, mas sim em sessenta partes igual (sistema
sexagesimal) dada a sua origem associada ao tempo. Assim, surgem os
submúltiplos do grau: minuto („) e segundo („‟), os quais correspondem
respectivamente, a 1/60 do grau e 1/60 do minuto, ou seja, 1° = 60‟ e 1‟ = 60‟‟.
Os primeiros relógios do Sol foram utilizados na pré historia e eram simples,
apenas hastes fincadas no chão. Embora a origem dos relógios de Sol seja
desconhecida, seu funcionamento é fácil de explicar. Todos os relógios do Sol
devem ser alinhados com eixo de rotação da Terra, para que produzam uma
medição precisa da hora correta.
Na maioria dos estilos de relógio, ele
precisa ser apontado na direção do norte
verdadeiro (ao invés do magnético), ou seja, o
ângulo horizontal precisa ser igual à latitude
geográfica da posição em que está localizado o
relógio
do
Sol.
Um
mostrador
que
é
confeccionado em uma superfície plana na qual
são indicadas.
Fonte: http://www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx.
Acesso em: 02 Out. 2014.
14
Agora que você aprendeu alguns conceitos sobre ângulos, teste oque
você sabe:
1) Qual o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando marca
a)16 h?
b) 13 h?
2) Qual o maior ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando marca
a) 19 h?
b) 23 h?
3) Apesar do uso crescente de relógios digitais, o relógio de ponteiro ainda é
bastante utilizado. Em 1 hora o ponteiro das horas realiza um giro
de 30° e o ponteiro dos minutos, nesse mesmo período, realiza
um deslocamento de 360°. Considere um deslocamento de 60°
do ponteiro das horas. Qual será o ângulo de deslocamento do
ponteiro dos minutos, neste intervalo de tempo? Assinale a
alternativa correta:
a) 720 °
b) 360°
c) 180°
d) 5°
Resposta: Alternativa a
4) Qual o menor ângulo formado pelos relógios 01 e 02 abaixo?
Relógio 01
Relógio 02
Fonte:< www.doutormatematico.blogspotAtividades para produção didatica.com.br/2013/05/angulosreto-raso-agudo-e-obtuso.html. Acesso em: 10 Out. 2014.
15
Outra atividade interessante a ser explorada é o bumerangue, bastante
conhecido, mas dificilmente observado que apresenta, além de conceitos da Física,
muita matemática em sua constituição.
Fonte: <www.educopedia.com.br/Cadastros/Aula/Visualizar.aspx> Acesso em: 13 Out.2014
Sugestão de atividade:
Os bumerangues ao lado recurvados são geralmente menores e mais leves
que os retos. São feitos de modo que suas asas formem um ângulo
de________________ a no máximo________________________. A alternativa que
melhor completa a sentença é:
Ao observar as figuras dos quatro
a) 360°e 220°
b) 180° e 150°
bumerangues, podemos afirmar que a
c) 90° e 130°
d) 45° e 90°
abertura entre as duas pás de cada um
desse modelo está entre 90° e 130°.
Alternativa C.
Bissetriz de um ângulo é a semirreta com origem no
vértice desse ângulo e que o divide o ângulo em dois ângulos
iguais (congruentes). Os pontos da bissetriz são equidistantes
dos lados do ângulo.
Fonte: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/ Acesso em: 18 Out. 2014.
Fonte: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle. Acesso em: 18 Out. 2014.
Fonte: http://pt.slideshare.net/cristinajn/angulos-3 Acesso em:
20 Set. 2014.
Dois ângulos são
congruentes quando
têm a mesma medida.
16
Um exemplo simples de aplicação de bissetriz
de ângulos está na colocação correta do goleiro. O
posicionamento possibilitará a diminuição do ângulo
para o chute do atacante. A boa técnica recomenda
que o goleiro se encontre na bissetriz do angulo
formado pelos postes laterais da meta e a bola.
Fonte: http://matematicasolta.blogspot.com.br/2011/02/.
Acesso em: 21 Out. 2014.
Ângulos Opostos pelo vértice (OPV)
Fonte: http:www.educopedia.com.br/Cadastros/Aula/Visualizar.aspx? Acesso em: 26 Out.
2014.
Ângulos opostos pelo vértice (OPV) são
ângulos formados por duas retas que se cruzam como
mostra a figura. Os ângulos opostos pelo vértice são
iguais uma vez que podem coincidir por superposição.
Existem outras definições para ângulos opostos pelo
vértice, tais como:
Ângulos Opostos pelos Vértices (OPV) Duas
retas concorrentes formam dois pares de ângulos
chamados de ângulos opostos pelo vértice (OPV),
aqueles que possuem um lado como sendo semirretas
opostas aos lados dos outros.
Fonte:http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/
10396/geo0201.htm.Acesso em: 03 Out. 2014.
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Ângulos congruentes:
Dois ângulos são congruentes quando tem a
mesma medida.
Fonte: http://www.colegioweb.com.br/trabalhosescolares/matemática/introdução-a-geometria-ângulosparalelismo/congruencia-de-angulos.html. Acesso em: 1º
Out. 2014.
ÂNGULOS
CONSECUTIVOS:
Dois
ângulos
são
consecutivos se um dos lados de um deles coincide com
um dos lados do outro ângulo.
ÂNGULOS ADJACENTES: Dois ângulos consecutivos
são adjacentes se, não têm pontos internos comuns. Na
figura, AÔB e BÔC são ângulos adjacentes.
Fonte: http://marcomanetta.wordpress.com/geometria-2/
Acesso em: 02 Out. 2014.
Temos que tomar muito cuidado para não confundir um
ângulo consecutivo com um ângulo adjacente, ângulos
consecutivos são aqueles que possuem o mesmo vértice.
Ângulos adjacentes são aqueles que possuem um lado em
comum. Logo, todo ângulo adjacente é um ângulo
consecutivo; porém, nem todo ângulo consecutivo é
adjacente.
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Ângulos formados por um feixe de retas e uma transversal
Duas ou mais retas são paralelas quando elas nunca se cruzam,
permanecendo a uma mesma distancia da outra. Os ângulos de inclinação de duas
ou mais retas paralelas em relação a uma reta transversal são sempre iguais.
Indicamos as retas paralelas por r//s.
Desafio: (Nota extra: valor 0,5)
Conteúdo: Ângulos Adjacentes e bissetriz
As bissetrizes de dois ângulos adjacentes formam um ângulo de 50°. Um desses
ângulos mede 60°. Quanto mede o outro ângulo? Resp. 40°
Fonte: Coleção Aprendendo Matemática, José Ruy Giovanni, Eduardo Parente,
São Paulo 7° série, p. 72 1° Edição: FTD, 2002.
Na figura ao lado, os ângulos indicados por â e ê
são chamados de ângulos correspondentes Os
ângulos correspondentes congruentes são
formados a partir de duas retas paralelas e
distintas junto com uma transversal.
Fonte: http://www.colegioweb.com.br/trabalhos-escolares/matematica/introducao-a-geometriaangulos-paralelismo/angulos-correspondentes.html#ixzz3EQzsZ4a4. Acesso em: 02 Out. 2014.
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Ângulos alternos
Os ângulos alternos podem ser internos ou externos conforme sua posição
em relação às duas retas paralelas e distintas junto com uma transversal.
Vejamos:
Fonte:http://sempreamathematicarcommusica.blogspot.com.br/2010
/11/angulos-alternos-internos-e-externos.html
Acesso em: 07 Out. 2014.
Agora vamos analisar os ângulos alternos, os ângulos â e c serão
classificados em externos, conforme sua posição, ou seja, os dois ângulos estão de
lados opostos da transversal t, em posições diferentes, ou seja, lados diferentes,
porém, estão entre as retas paralelas r e s (r//s) na região externa.
Ângulos alterno-internos
Quando duas retas paralelas cortadas por uma terceira estão em lados opostos em
relação à reta t, chamam-se ângulos alternos internos, analisem os pares e, g e f,
h assinalados na figura.
Fonte:http://sempreamathematicarcommusica.blogspo
t.com.br/2010/11/. Acesso em: 16 Nov. 2014.
Os ângulos alterno-internos são geometricamente iguais, por isso têm a mesma
amplitude; a amplitude de e é igual à de g, o mesmo sucedendo entre f e h.
20
Por
isso,
geometricamente
concluímos
iguais e
que
os
os
Ângulos
Ângulos
alternos
alternos
Externos são
internos também
são
geometricamente iguais.
Colateral = mesmo lado
Ângulos colaterais internos ou externos
Dois ângulos são colaterais, quando um par de retas paralelas é cortado por
uma transversal, e estão do mesmo lado na transversal, sendo então
suplementares. A seguir verificamos a relação existente entre esses pares de
ângulos.
Ângulo Colateral Interno: percebam que o par de
ângulos 4 e 5 estão entre a reta m e n, na região interna,
portanto são denominados ângulos colaterais internos.
Ângulo Colateral Externo: verifiquem que o par de
ângulos 1 e 8 estão na reta m e n, na região externa, do
mesmo lado da transversal t.
Fonte:
http://ensinodematemtica.blogspot.com.br/2010/01/angulos-formado-por-retas-
paralelas.html. Acesso em: 18 Nov. 2014.
De maneira geral, quando um par de retas paralelas é cortado por uma
transversal, temos que os pares de ângulos são:
 Correspondentes: têm medidas iguais;
 Alternos: tem medidas iguais;
 Colaterais: são suplementares.
Para a aplicação das atividades, orientarei meus alunos a realizar as
atividades, de maneira a praticar as operações necessárias para o desenvolvimento,
se preciso retomar equação do primeiro grau. O tempo de duração das atividades
será a critério do professor, assim como as atividades poderão ser realizadas
individuais ou em duplas.
21
Sugestão de atividades:
1.
Dê a medida do ângulo que vale o dobro de seu complemento.
2.
Um ângulo excede o seu complemento em 48º. Determine o suplemento
desse ângulo.
3.
Determine dois ângulos suplementares, sabendo que um deles é o triplo do
outro.
4.
O suplemento de um ângulo aumentado em 120º é igual ao complemento
desse mesmo angulo. Determine esse ângulo.
5.
Determine dois ângulos complementares tal que um é o quíntuplo do outro.
6.
Determine dois ângulos complementares tal que um é o quíntuplo do outro.
7.
Considerando a figura, nomeie os pares de ângulos em: opostos pelo vértice;
correspondentes;
adjacentes
suplementares,
alternos
internos
ou
externos;
colaterais internos ou externos.
a) ângulos a e b:
b) ângulos c e a:
c) ângulos b e g:
d) ângulos d e f:
e) ângulos a e e:
f) ângulos d e e:
g) ângulos b e h:
h) ângulos f e g:
i) ângulos g e e :
j) ângulos d e h:
Potências e Raízes
Abordaremos o cálculo de números sob a forma de potencias. Com a
evolução tecnológica este tipo de cálculos está praticamente reservado ao uso de
calculadoras cientificas; mas não se deixe levar por esta tendência só vai limitar
seus conhecimentos.
Vamos supor que se esquece da calculadora ou que o calculo é tão grande
que precisa saber analisar os seus resultados continuamente ou ainda que o seu
exercício parte da analise de um gráfico de uma potencia e que precisa chegar à
função potencia. A operação utilizada para representar uma multiplicação de fatores
22
iguais é chamada de potenciação. Vamos entender melhor isso, bom, a calculadora
não ajuda muito!
Sabemos que a matemática utiliza símbolos para
simplificar a escrita de muitas sentenças. A potenciação é uma
forma simplificada de se escrever a multiplicação de um número
por ele mesmo repetidamente. As propriedades da potenciação
são recursos utilizados pela matemática para deixar mais simples algumas
operações entre potências. Vamos analisar algumas dessas propriedades e verificar
como elas facilitam nossas vidas.
A potenciação e a radiciação
de números inteiros são importantes
pelas suas múltiplas possibilidades de
aplicação nos contextos do dia a dia.
Vamos observar alguns exemplos.
Nas
comemorações
do
aniversário do colégio, um professor de
Educação
Física
organizou
uma
apresentação dos seus 250 alunos. Na
apresentação de uma coreografia, os
alunos se colocaram em fileiras, formando três quadrados: um de 25, outro de 81 e
o último de 144 alunos. Em cada quadrado, o número de fileiras era igual ao
número de alunos por fileira. Quantas fileiras tinha cada quadrado? De quantos
alunos?
Antes de continuarmos, veremos oque você sabe sobre o assunto.
O garçom é profissional responsável por atender aos clientes em um bar,
café ou restaurante, anotar seus pedidos, servi-los e logo após a saída do cliente,
retirar os restos da mesa e limpá-la de modo que outra pessoa possa ocupá-la.
No restaurante “Comer bem”, há 3 garçons com 3 bandejas cada um e, em
cada bandeja, há 3 pratos. Qual o número total de pratos?
a) 9
b) 16
c) 3
d) 27
23
Você sabia que também é possível fazer compras de supermercado pela
internet? É o supermercado online delivery. O serviço é fácil de ser acessado e os
produtos são entregues na porta de sua casa, sempre fresquinhos e gostosos! Para
quem não tem tempo nem para preparar a sua lista de compras, os sites têm listas
de compras prontas para cada ocasião.
Fonte: http://bit.ly/KLaSwB. Acesso em: 04 Nov. 2014.
Agora, observe a imagem acima e represente cada compra por uma
potência. Quantas latas de ervilha, quantas caixas de leite e quantos pacotes de
arroz têm, respectivamente?
a) 43 , 33 e 52
b) 33 , 43 e 52
c) 52 , 23 e 22
d) 52, 33 e 22
O Cubo é um sólido geométrico que possui todas as suas 6
faces em forma de quadrado.
Juca usou cubinhos iguais a este
para compor a
figura seguinte. Use a potenciação para descobrir quantos
cubinhos ele usou.
a) 43
b) 63
c) 83
d) 93
24
Momento de reflexão
A distância da Terra até a Lua é de
aproximadamente 400.000 km e pode ser
escrita 4 x
km.
Cometa são astros que giram em torno do
Sol. O Cometa Halley se aproxima da
Terra de 76 em 76 anos. Seu período de
rotação em torno do Sol tem velocidade
aproximada de 200.000 Km/h pode ser
representado 2 x
km/h.
Para escrever números muito grandes, como os dos exemplos acima,
utilizamos as chamadas potências de base 10.
A potência de base 10, com
expoente natural n ≠ 0, é uma maneira de escrever o número que, no sistema
decimal de numeração, é representado por 1 seguido de n zeros. Observe:
100.000 = 105. Logo, 400.000 km = 4 x 105 ou 200.000 km/h = 2 x 105. O Sol,
principal corpo do nosso sistema planetário, é uma estrela cujo raio tem cerca de
7 x 1010 cm. Todos os outros corpos do Sistema solar, como
planetas, planetas anões,
asteroides,
cometas e poeira,
bem como todos os satélites associados a estes corpos,
giram ao seu redor. A distância da Terra ao Sol é de,
aproximadamente, 150.000.000 km.
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Sol
Acesso em: 13 Out. 2014.
25
Sugestão de atividades:
Questão 1:
Você é o juiz de uma gincana na
sua
classe.
cartazes
valem
Em
com
10
uma
das
informações
pontos
e
provas,
corretas
cartazes
com
informações erradas perdem 5 pontos.
Com quantos pontos ficará o aluno que
apresenta os cartazes ao lado?
Questão 2:
Assinale a alternativa que expressa à distância da Terra ao Sol usando
potência de base 10. Apresente os cálculos.
a) 15 x 107 Km
b) 15 x 106 Km
c) 7 x 109 Km
d) 7 x 1010 Km
Resposta: Alternativa d
Fonte: www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática – Radiciação.
Acesso em: 11 Nov. 2014.
26
Fonte: <www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx?>. Acesso em: 11 Nov. 2014.
Fonte: http://www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx? . Acesso em: 12 Nov.
2014.
27
Fonte:<www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx?>. Acesso em: 12 Nov. 2014.
Ao estudarmos a raiz quadrada, é importante observarmos que a radiciação é
a operação inversa da potenciação. Para demonstrar, veja o quadro:
Fonte: <www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar>. Acesso em: 11 Nov. 2014.
28
Atenção: o símbolo
representa a raiz quadrada positiva de 25. Se quisermos
indicar a raiz negativa de 25 escrevemos -
·, que é igual a -5.
Fonte:<www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx>. Acesso em: 12 Nov.2014.
Fonte: <www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx?>. Acesso em: 14 Nov.2014.
A raiz quadrada dos números que não são quadrados perfeitos é obtida
utilizando resultados aproximados. Por exemplo, vamos verificar a raiz quadrada
aproximada do número 12. De acordo com a reta numérica, a
está localizada
entre a raiz quadrada dos seguintes números quadrados perfeitos: 9 e 16. Dessa
29
forma, temos que:
=3 e
= 4. Portanto, a
possui como resultado, um
número decimal entre 3 e 4.
Aproximação por falta utilizando duas casas decimais:
3,46 x 3,46 = 11,97.
Aproximação por excesso utilizando duas casas decimais:
3,47 x 3,47 = 12,04.
Temos que a
possui como resultado aproximado as seguintes opções:
3,46 ou 3,47. Nesse caso, a melhor opção é 3,46.
As raízes
exatas
em geral,
compreendidas.
As não
raízes
nãosão,
exatas
são,malem
geral, mal
Muitos, ao se depararem
com
número, podem
compreendidas.
Muitos, ao
seo depararem
com argumentar
o número,
que ele não existe simplesmente porque não representa
podem
argumentar
elejánão
porque
uma raiz
quadrada que
exata,
queexiste
é um simplesmente
número irracional
(ou
não
raiz com
quadrada
que é não
um
seja,representa
um númerouma
decimal
infinitasexata,
casasjádecimais
periódicas).
Mas (ou
essa
raiz
existe ecom
é possível
número
irracional
seja,
umquadrada
número decimal
infinitas
aproximá-la desde sua parte inteira até um certo número de
casas decimais não periódicas). Mas essa raiz quadrada
casas decimais.
existe e é possível aproximá-la desde sua parte inteira até
um certo número de casas decimais.
Fonte:<www.mundoeducacao.com/matematica/raiz-quadrada-aproximada.htm>. Acesso em: 12
Nov. 2014.
Podemos também obter a raiz quadrada aproximada de raízes não exatas,
usando a técnica da decomposição em fatores primos.
Ao decompor o radicando em fatores primos, forçamos o aparecimento de
potências de 2, 3, 5, 7,... , etc. As que apresentam expoente par, deixamos como
estão (pois “sairão” do radical) e as que apresentam expoente ímpar, "quebramos"
em duas, uma com expoente par (que “sairá” do radical) e outra sem expoente
(que permanecerá no radical).
Sempre, após efetuar a decomposição do radicando em fatores primos (no
caso de raízes não exatas), o fator que não conseguirmos “tirar” do radical será
um desses: 2, cuja raiz é 1,41...; 3, cuja raiz é 1,73...; 5, cuja raiz é 2,24...; 7, cuja
raiz é 2,65... ;11, cuja raiz é 3,32... e assim por diante!!!
30
Exemplo: obter uma aproximação da raiz quadrada de 12. Decompondo 12
em fatores primos encontramos: 12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3.Temos então:
=
Como
=2
é,
.
aproximadamente
igual
a
1,73
resulta
que
é,
aproximadamente, 2 x 1,73 = 3,46...
Outro exemplo: obter uma aproximação da raiz quadrada de 72.
Decompondo 72 em fatores primos, encontramos:
72 = 23 x 32 = 22 x 2 x 32.
Temos então:
Como
=
=2x3x
é igual a, aproximadamente, 1,41, resulta que
é,
aproximadamente, 6 x 1,41 = 8,46...
Fonte: <www.klickeducacao.com.br/bcoresp/bcorespmostra/0,5991,POR-8016-,00.html>.
Acesso
em: 12 Nov. 2014.
Para fixação do conteúdo trabalhado, vamos jogar dominó com potencias e
raízes. Os conceitos trabalhados serão: expressões numéricas com potência e raiz
quadrada. O número de participantes por partida será de 2 até 4. Para jogar o
dominó, a professora PDE, entregará as cartas de dominó, conforme modelo abaixo:
Modelo em branco:
31
Modelo Pronto:
42. 0
– 23
– 13
– 12
34 : 9 2
- 02
- 51
– 52
: 50
23
08 + 6
+22
102 : 52
142 : 72
- 42
34 : 92
: 32
23
: 41
- 22
- 02
33 .
23 – 22
63: 62
-
32 -
25 - 29
92 - 23 .101
102: 52
42 -
82-50+32
15 . 51
– 12
23 - 5
- 23
42 . 0
72 – 49
63: 62
42 . 0
52 - 20
63: 62
102 : 52
142 : 72
+22
– 13
– 52
: 32
- 22
25- 30
- 42
15 . 51
: 21
: 41
21 .
- 101
142 : 72
32
Regras:
1) As cartas são misturadas, com os registros não à vista, e cada jogador
pega 7 cartas, dispondo-as de modo que os oponentes não vejam os
registros nelas contido.
2) Inicia o jogo aquele que tiver a carta com o par (6,6). Caso o número de
jogadores seja menor do que 4 e nenhum deles tiver o par (6,6), inicia
aquele que apresentar o maior par possível, com repetição dos números,
ou, na impossibilidade de isso ocorrer, a carta que resulte a maior soma
dos números nela registrado.
3) O jogo prossegue no sentido anti-horário e o jogador deverá justapor à
carta da mesa uma que forme par com sua carta. Caso não tenha carta
que possa ser justaposta à sequência de cartas da mesa, o jogador
deverá comprar tantas cartas quanto necessário, até achar uma que
permita fazer o par corretamente. Não a encontrando, passa a vez.
4) Caso o jogo ficar fechado, ou seja, não é mais possível justapor peças à
sequência da mesa, pois as duas pontas da sequência apresentam o
mesmo número e não há mais peças com este número na mão dos
jogadores, o jogo é encerrado.
Vencedor: aquele que eliminar todas as suas cartas ou aquele que tiver menos
pontos em suas peças da mão, caso o jogo fique fechado.
Obs. Este jogo é de autoria da professora PDE, autora deste trabalho.
33
O professor PDE poderá avaliar como quiser o jogo, se quiser atribuir nota ou,
simplesmente, deixar os alunos jogarem com o intuito de melhor compreensão do
conteúdo, analisar as estratégias utilizadas de maneira atrativa, porém significativa,
levando os alunos a perceberem que a potenciação e a radiciação são “parceiras”
da mesma forma que são parceiras a multiplicação e a divisão, pois uma é a inversa
da outra.
CURIOSIDADES
O quadrado mágico é uma tabela de lado n, onde a soma dos números das
linhas, das colunas e das diagonais é constante. Durante muitos séculos,
muitas pessoas sentiram-se intrigadas pelos quadrados mágicos. Algumas
escavações arqueológicas revelaram a sua existência em antigas cidades da
Ásia, sendo o registro mais antigo referente a 220 a.C. numa cidade da
China. O quadrado mágico era designado lo-shu e a lenda conta que foi
visto pela primeira vez pelo imperador Yu na carapaça sagrada nas margens
do rio Amarelo.
Fonte: <www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx?>. Acesso em: 12 Nov.2014.
Atividade Interessante:
No quadrado mágico de multiplicação, o produto
dos três números de cada linha, coluna ou
diagonal é sempre o mesmo,
·. Assinale a
alternativa que apresenta os três elementos da
primeira linha.
a) 3, 37 e 34
b) 3, 33 e 36
c) 3, 35 e 32
d) 32, 37 e 36
34
Agora que você aprendeu sobre Operações em Z:
potenciação e radiciação crie um mapa de ideias com
até 10 conclusões sobre esses conceitos estudados.
Após as respostas dos alunos, o professor PDE
solicitará a cada aluno que verifique se citou, em seu
resumo, ao menos 5 das 10 conclusões apresentados a
seguir. Se existirem algumas conclusões diferentes das
citadas, discuta com os seus colegas e verifique
também as anotações deles. Cabe ao professor
acompanhar o desenvolvimento da atividade reforçando os conceitos abordados.
Se existirem algumas conclusões diferentes das citadas, discuta com os seus
colegas e verifique também as anotações deles. Cabe ao professor acompanhar o
desenvolvimento
da
atividade
reforçando
os
conceitos
abordados.
A seguir, você será desafiado a utilizar os seus conhecimentos sobre
Potenciação e Radiciação para resolver algumas situações-problema.
35
Está difícil solucionar este desafio? Não se preocupe, pois logo mais você
terá condições de resolvê-lo.
Fonte:<www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx?>. Acesso em: 13 Nov. 2014.
36
Antes de iniciar o conteúdo sobre conjuntos numéricos é importante que os
alunos compartilhem ou leiam a história da origem dos conjuntos numéricos,
disponível em:
http://www.conhecer.org.br/download/cp/HISTORIA%20DA%20MATEMATICA/Modul
o%202.doc.
Conversar
com
os
alunos
sobre:
O
que
são
e
quais
são
os conjuntos numéricos? Certamente a resposta a essa pergunta seria imediata,
pois os nomes dos conjuntos numéricos são facilmente interiorizados. Mas, se a
pergunta fosse: "Quais as aplicações dos conjuntos numéricos no dia a dia?”. Agora
nossa pergunta não seria respondida de uma forma tão direta, pois infelizmente
quando aprendemos e até quando ensinamos conjuntos numéricos, dificilmente
vemos a sua aplicação, a sua utilização, tornando muitos conteúdos extremamente
artificiais. Como professores de Matemática, nossa maior preocupação é mostrar
que Matemática não é só cálculo, mas também o desenvolvimento do raciocínio
através de situações cotidianas.
37
Fonte: <www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx>. Acesso em: 13 Nov. 2014.
Todos os números que conhecemos podem ser divididos em grupos segundo
características comuns entre eles, isto é, os números estão agrupados em
conjuntos: os conjuntos numéricos.
Conjunto dos números Naturais
O conjunto mais simples, e o primeiro com o qual temos contato, é o conjunto
dos números naturais. Ele é formado por números inteiros e positivos, mais o zero.
Assim, a partir do zero, e "andando" de uma em uma unidade, infinitamente, temos
os números naturais.
O conjunto mais simples, e o primeiro com o qual temos contato, é o conjunto
dos números naturais. Ele é formado por números inteiros e positivos, mais o zero.
Assim, a partir do zero, e "andando" de uma em uma unidade, infinitamente, temos
os números naturais.
Representação: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
38
Porém, esse conjunto é limitado para algumas coisas, isto é, existem alguns
problemas que ele não "consegue resolver". Tente, por exemplo, achar um sucessor
e um antecessor natural para cada um desses números. O zero não tem antecessor
natural! Outra coisa: é sempre possível subtrair dois números naturais e achar outro
número natural? A resposta é "não". Basta tentar fazer 3 – 4, assim, é necessário
utilizar outros números.
Conjunto dos números Inteiros
Fonte:<www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx>. Acesso em: 18 Nov. 2014.
Em nosso cotidiano, outras quantidades aparecem e precisam ser
representadas, como um saldo negativo no banco ou uma variação negativa de
temperatura, medida de altitude e profundidade, pagamento de contas, além de
muitas outras situações. O conjunto que soluciona esses problemas é o
dos números inteiros. Ele é formado pelos inteiros negativos, positivos e o zero.
Continua "andando" de uma em uma unidade, mas agora todos os seus
componentes têm sucessor e antecessor, e é possível fazer qualquer subtração
entre eles, pois o resultado será sempre inteiro.
Representação: Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} .
39
Vejamos apenas um dos muitos exemplos existentes em nosso cotidiano:
Fonte:<www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx?>. Acesso em: 13 Nov. 2014.
No entanto, como o conjunto dos números naturais, ele tem os seus
"probleminhas". Não é possível sempre dividir um número inteiro por outro e o
resultado ser inteiro. Se tentarmos dividir 3 por 2, por exemplo, o resultado não será
exato, não será inteiro. Logo, esse conjunto não serve ainda para representar todas
as quantidades existentes. Quando nos referimos à temperatura, por exemplo: Está
fazendo 5° positivos, ou ainda, está fazendo 5° negativos, estamos no referindo aos
números inteiros, porém, neste caso, os exemplos +5 e -5 são chamados de
simétricos ou opostos, pois estão à mesma distância da origem.
Para o enriquecimento da atividade, os alunos assistirão ao vídeo do link:
https://www.youtube.com/embed/_2TijlJgrNw.
Profundidade ou altura abaixo da superfície do mar também é altitude. Porém,
para indicar esse tipo de altitude, usamos números negativos. Você sabia que, na
exploração de sítios subaquáticos são utilizadas escalas para sua localização, assim
como a profundidade e temperatura da agua?
Em sua opinião, em que momento o uso de retas numéricas é importante na
Arqueologia Subaquática?
40
Fonte:<www.educopedia.com.br/Cadastros/Disciplina/Visualizar.aspx?>. Acesso em: 13 Out. 2014.
Conjunto dos números Racionais
Nosso sistema monetário, com centavos, não pode ser representado só com
números inteiros.
A simples quantia de R$ 1,50 não é um número inteiro. Agora
vejamos outro conjunto, o conjunto dos números racionais. No dia a dia, em
noticiários de tv, revistas ou jornais, encontramos números expressos de forma
variados. Esses números são os resultados de divisões exatas e inexatas, ou seja,
estão incluídos os números inteiros, os decimais, as frações, as dízimas periódicas e
pode ser definido como o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de
fração.
Representação: Q =
/ p  Z, q  Z*}
Vejam um exemplo muito importante para nós, no qual o resultado é um
número racional e faz parte do conjunto que relembraremos agora: o Ideb, que é o
Índice de Desenvolvimento da Educação Básica, criado em 2007, pelo Instituto
41
Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (Inep), formulado
para medir a qualidade do aprendizado nacional e estabelecer metas para o ensino.
O resultado do Ideb de Maringá, em 2013, foi expresso pelo número racional
4,8.
Fonte: www.educopedia.com.br/Cadastros/Disciplina/Visualizar.aspx?. Acesso em: 13 Out. 2014.
Conjunto dos números Irracionais
Os matemáticos de antigamente chegaram a aceitar que esses números
fossem perfeitos, que não houvesse nenhum problema sem solução para eles. Mas
foram surpreendidos com o seguinte questionamento: qual é a medida da diagonal
do quadrado de lado 1?
A diagonal e os lados do quadrado formam um triângulo retângulo, no qual é
possível aplicar o teorema de Pitágoras:
A pergunta aqui, na verdade é: qual é o número racional que, elevado ao
quadrado, resulta em 2? A resposta é: não existe número racional que, elevado ao
quadrado, resulte em 2, nem em 3, nem em 5 e muitos outros. O número que
soluciona esse problema é a raiz quadrada de dois. Esse número não é racional,
pois possui infinitas casas decimais, as quais não constituem uma dízima, logo não
42
pode ser escrito na forma de fração.Surge, então, um novo conjunto: o dos números
irracionais.
Esse conjunto é constituído, basicamente, pelas raízes não-exatas, mas seu
mais famoso integrante é o número
, seguido do número e (número de Napier ou
constante de Euler).
Assim, os números que fazem parte do conjunto dos números irracionais não
podem ser escritos na forma de fração, logo não são racionais, ao contrário dos
conjuntos anteriores, pois os naturais estão contidos nos inteiros e esses, por sua
vez, estão contidos nos racionais.
Todo número decimal é um número irracional? Para as pessoas que têm
dúvida quanto a isso, veremos, neste texto, como definir o conjunto dos números
irracionais e observaremos alguns exemplos de números importantes na
matemática, que são “constantes irracionais”.
Fonte:<www.brasilescola.com/matematica/numeros-irracionais.htm>. Acesso em: 14 Nov. 2014.
Fonte:<www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx?>. Acesso em: 16 out. 2014.
43
Os números irracionais são aqueles que não podem ser representados por
meio de uma fração. O surgimento desses números veio de um antigo problema que
Pitágoras se recusava a aceitar, que era o cálculo da diagonal de um quadrado, cujo
lado mede 1 unidade, diagonal esta que mede
. Este número deu início ao estudo
de um novo conjunto, representado pelos números irracionais.
Hoje em dia, pensamos: “Nossa, mas encontrar o
valor de
é tão fácil, basta usarmos a calculadora”.
Entretanto, na época em que começaram estes
estudos, o único mecanismo para encontrar os valores
das raízes quadradas envolvia os números quadrados
(
,…).
Com o estudo contínuo dos elementos da matemática, os matemáticos se
depararam com a necessidade de calcular o comprimento de uma circunferência; e
com cálculos contínuos, notaram que um número se repetia para qualquer que fosse
a circunferência, número este que outrora foi denominado de número π (Pi). O
conjunto dos números irracionais é representado pela letra I (i maiúscula).
Fonte:<www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx?>. Acesso em: 16 Out. 2014.
44
Esse número é encontrado através da razão do comprimento pelo diâmetro
da circunferência.
π=
, ou ainda, π =
.
Esse é um dos números que foi citado no início do texto: a constante π é de
fundamental importância para a área de geometria e trigonometria.
Veremos alguns exemplos de números irracionais e notaremos que a sua
parte decimal não possui nenhuma estrutura que possa ser fundamentada em forma
de fração, assim como ocorre em frações periódicas. Constantes irracionais ou
números transcendentais:
Fonte: <www.brasilescola.com/matematica/numeros-irracionais.htm>. Acesso em: 16 Out. 2014.
Fonte: <www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx?>. Acesso: 16 Out. 2014.
Os números irracionais são responsáveis pelo grande avanço na matemática
e são muito importantes no desenvolvimento de várias ciências, como a engenharia,
a arquitetura, e muitas outras, as quais exigem precisão nos cálculos.
Para entendermos melhor os conjuntos dos números irracionais, vamos
assistir ao vídeo disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=7lakph959gg&feature=youtube
45
Dando continuidade ao estudo dos números irracionais,
analise a seguinte situação e responda :
Fonte:<www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx?pgn_id=120938&tipo=2&pgant=
v>. Acesso em: 16 Out.2014.
Agora é sua vez!
Marta comprou um abajur e sua cúpula é cilíndrica com 12 cm de
diâmetro. Ela deseja encapar essa cúpula com outro tipo de
tecido. Qual o comprimento de tecido necessário?
O diâmetro do aro de uma cesta de basquete mede
45 cm. Qual o comprimento aproximado do aro?
Fonte:<www.educopedia.com.br/Ca
dastros/Atividade/Visualizar.aspx>.
.
Acesso em: 16 Out. 2014.
46
Curiosidades
Fonte:<www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx?>. Acesso em: 16 Out. 20104.
Conjunto dos números Reais
A união dos irracionais com os racionais forma o conjunto dos números reais
(R), os quais resolvem quase todo tipo de problema . O conjunto dos números reais
IR é formado pelos números naturais, inteiros, racionais e irracionais.
As propriedades operatórias dos números racionais também são válidas para
as operações com números irracionais.
Quando representamos os números reais em uma reta, a todos os pontos da
reta é possível associar um número real e a cada número real é possível associar
um ponto da reta. Observe a reta abaixo:
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Fonte:<www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx?>. Acesso em: 14 Nov. 2014.
Agora que você sabe um pouco da história dos conjuntos numéricos, resolva o
desafio a seguir:
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Fonte:<www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx?>. Acesso em: 12 Nov.2014.
Plano Cartesiano
Em diversas situações do nosso cotidiano é necessário a utilização de
códigos para facilitar as localizações. Porém, mesmo em outras épocas, essas
situações já estavam presentes, como na navegação e na Astronomia. O sistema de
coordenadas cartesianas possui inúmeras aplicações, desde a construção de um
simples gráfico até os trabalhos relacionados à cartografia, localizações geográficas,
pontos estratégicos de bases militares, localizações no espaço aéreo, terrestre e
marítimo. Criado por René Descartes, o plano cartesiano
consiste em dois eixos perpendiculares, sendo o horizontal
chamado de eixo das abscissas e o vertical de eixo das
ordenadas. O plano cartesiano foi desenvolvido por Descartes
no intuito de localizar pontos num determinado espaço.
O encontro dos eixos é chamado de origem. Cada ponto do plano cartesiano
é formado por um par ordenado (x, y), onde x: abscissa e y: ordenada. Dois pares
ordenados são iguais somente quando as abscissas e as ordenadas de ambos
forem iguais. Quando ambos os eixos são cruzados, o ponto de encontro é chamado
de origem do sistema de coordenadas e representado por O (0,0). As disposições
dos eixos no plano formam quatro quadrantes, mostrados na figura.
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O lado superior direito é o primeiro
quadrantes, o do superior esquerdo o segundo
quadrante, o terceiro quadrante está abaixo do
segundo, e o quarto está abaixo do primeiro.
Os quadrantes estão dispostos em sentido antihorário. Sinal da abscissa e da ordenada de um
ponto:

No
primeiro
quadrante,
os
pontos
possuem abscissa e ordenada positiva;

No segundo quadrante, todos os pontos
possuem abscissa negativa e ordenada
positiva;

No terceiro quadrante, os pontos possuem abscissa e ordenada negativa;

Já no quarto quadrante, os pontos possuem abscissa positiva e ordenada
negativa.
As aplicações do Plano Cartesiano
são inúmeras: em uma construção de um
simples
gráfico,
como
em
trabalhos
relacionados à cartografia. Em localizações
geográficas, pontos estratégicos de bases
militares, localizações no espaço aéreo,
terrestre e marítimo. Podemos associar o
Plano
Cartesiano
com a
latitude e a
longitude, temas relacionados aos estudos geográficos e à criação do atual sistema
de posicionamento, o GPS – Sistema de Posicionamento Global, o qual permite que
saibamos nossa localização exata na Terra, desde que tenhamos em mãos um
receptor de sinais GPS, informando a latitude, a longitude e a altitude com o auxílio
de satélites em órbita da Terra.
Um exemplo de utilização do GPS são os aviões, que para não se colidirem
são monitorados e informados em qual rota devem seguir viagem.
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Fontes:
<www.mundoeducacao.com/matematica/plano-cartesiano.htm>. Acesso: 17 Nov. de 2014.
<www.estudopratico.com.br/plano-cartesiano.htm>. Acesso: 17 Nov. de 2014
<www.brasilescola.com/matematica/plano-cartesiano.htm>. Acesso: 17 Nov. de 2014.
Coleção Vontade de Saber Matemática, Joamir Souza, Patrícia Moreno Patara, 8°ano, 2° Edição, p.
83. São Paulo: FTD 2012.
Curiosidade:
Agora para testar seu conhecimento, resolva as questões sobre o Plano
Cartesiano.
Questão 1
Observe a planta de um clube desenhada em uma malha quadriculada. Ana
fez o seguinte trajeto: saiu da quadra de tenis, passou pela piscina, pelo vestiário
masculino e entrou no ginásio de esportes. Assinale
a alternativa que apresenta, respectivamente, as
coordenadas usadas por
Ana quando estava
exatamente em cada ponto do trajeto.
a) (5;3),(3;5),(3;2) e (1;2).
b) (3;5),(5;3),(3;2) e (1;2).
c) (5;3),(3;5),(2;3) e (2;1).
Resposta: Alternativa c
d) (3;5),(5;3),(2;3) e (2;1)
Fonte:<www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.
aspx?>. Acesso em: 16 out. 2014.
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Fonte:<www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx?>. Acesso em: 16 out. 2014.
Questão 3:
Solange e João estavam caminhando no Parque Central de sua cidade,
conforme o mapa a seguir:
Fonte:<www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/cadernos_pedagogicos/ativ_mat2.pdf>.
Acesso em: 17 Nov. 2014.
Em relação ao Parque Central, João segue a Avenida Leste-Oeste por 1
quadra na direção Oeste e 3 quadras na direção Norte; já Solange segue 2 quadras
pela Avenida na direção Leste e 3 quadras na direção Sul. Em quais
estabelecimentos eles chegaram, respectivamente?
a) Supermercado e Hospital.
b) Escola e Centro Comercial.
c) Hospital e Banco.
d) Banco e Escola.
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Após realizarmos as atividades, teste seus conhecimentos e responda.
Fonte:< www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx?>. Acesso em: 17 Nov. 2014.
Questão 4
Construa um plano cartesiano e localize os pontos P1, P2, P3 e P, citados no
quadro acima.
Conjuntos Numéricos
Conjunto dos Números inteiros
Questão 01: Temperaturas
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Em uma cidade do Alasca, o termômetro marcou -15
°C pela manhã. Se a temperatura desce mais 13° C, o
termômetro marcará:
a) – 28°C
b) – 2° C
c)
2° C
d)
28° C
Resposta: Alternativa a.
Questão 2: Altitude o longitude
Um balão de ar quente flutua no céu, inicialmente a 700 metros de altitude. Desce
250 metros, depois sobe 120 metros e finalmente desce 80 metros. Qual a altitude
do balão após essas manobras?
a) 490 metros.
b) 310 metros.
Resposta: Alternativa a.
c) 570 metros.
d) 590 metros.
Questão 3: Frequência de rádio
A estação de rádio KXYZ encontra-se na frequência 93,7 MHz.
Qual dos pontos melhor representa a posição da rádio no mostrador?
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a) Ponto A
b) Ponto B
Resposta: Alternativa b.
c) Ponto C
d) Ponto D
Questão 4: Navegando com segurança
Autoridades portuárias servem-se do “calado”
para controlar a segurança dos navios e o
estado de carga. A diferença de cores, no casco,
assinala a sua principal linha de água a carga
plena. Observando a imagem do casco de um
navio, em qual ponto se encontra essa linha?
a) 6,1
Resposta: Alternativa c.
b) 6,3
c) 6,5
d) 6,7
Questão 5: Lucro e prejuízo
O gráfico mostra o lucro e o prejuízo da empresa de Afonso em cada setor.
Quais os setores que obtiveram prejuízo?
a) Alimentação e confecções.
b) Brinquedos e utilidades.
c) Confecções e brinquedos.
d) Confecções e eletrodomésticos.
Resposta: Alternativa d.
Fonte:<www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar>. Acesso em: 06 Nov. 2014.
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Agora que você já estudou alguns conceitos sobre os números
inteiros, racionais e reais, teste o que você aprendeu até aqui.
Assinale a alternativa que apresenta em quais quilômetros estão as outras marcas.
a) 2; 6; 8,5; 10,5
Resposta: Alternativa c.
b) 2; 4; 6 ; 8
c) 1,5; 4,5; 7,5; 10,5
d) 1; 4,5; 5; 10,5
alternativa c,
Questão 2: Esportes Radicais
Ao escalar uma montanha, uma alpinista percorreu 256 metros na primeira
hora, 128 metros na segunda, 64 metros na terceira hora e assim sucessivamente.
Quando ela tiver percorrido 496 metros, terão passado:
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a) 4 horas
Resposta: Alternativa c.
b) 4 horas e 30 minutos.
c) 5 horas
d) 5 horas e 30 minutos.
Fonte: <www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar>. Acesso em: 16 out. 2014.
Que temperatura ficou a sopa?
a) 23°C
b) 25°C
c) 29°C
d) 27°C
Resposta: Alternativa b
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Questão 4: Maratona
A posição dos dois corredores durante uma competição foi assinalada pelos
pontos A e B em um determinado instante.
Segundo a reta, os pontos A e B, representam o que os corredores já haviam
percorrido, respectivamente, em quilômetros. Assinale a alternativa que apresenta os
números associados a esses pontos.
a) 0,5 e 1¾
Resposta: Alternativa a.
b) 0,25 e 10/4
c) 1/4 e 2,75
d) 1/2 e 2,38
Questão 5: Cálculo da raiz aproximada
Quatro alunos apresentaram as alternativas abaixo como o valor mais próximo
de
. Qual delas é a alternativa correta?
a)1,4
b)1,41
c)1,41421
d)1,4242
Resposta: Alternativa c.
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Agora que você já estudou alguns conceitos sobre os números irracionais, teste o
que você aprendeu até aqui.
Fonte:<www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx?>.Acesso em: 16 Nov. 2014.
Questão 1:
Fonte:<www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx?>.Acesso em: 16 Nov. 2014.
Lucas estava mexendo no computador e de repente o sistema apresentou
erro e desligou a máquina. Ao religar o computador, Lucas viu na tela a numeração
dos erros: E1 = 0,777... e E2 = 3,444.... Você seria capaz de calcular a soma dos
erros? Qual é a fração que representa soma dos erros?
a) 23/18
b) 21/9
c) 31/9
d) 38/9
Resposta: Alternativa d.
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Questão 2:
Bia, a irmã de Paulinho, acabou de conhecer os números irracionais mais
famosos:
o número pi: π = 3,141592653589... ;
o número de ouro: Φ = 1,618033988749 ...;
o número de Euler : e = 2,7182818...
Se Bia somasse esses números, qual seria o número decimal aproximado que
representaria essa soma?
Fonte: <www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx?>. Acesso em: 16 Nov. 2014.
a) 6,78
b) 7,46
c) 7,48
d) 8,63
Resposta: Alternativa c.
Questão 3:
Veja que interessante, uma vez o programa “Show do milhão”, apresentado por
Silvio Santos, o participante teve
que responder uma pergunta sobre
OS
NÚMEROS
IRRACIONAIS.
Veja a pergunta abaixo e tenha a
sensação de ser o participante.
A resposta correta da pergunta:
“Dentre os números abaixo, qual
deles é irracional?”
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a) 0,1...
b) 0,333...
Resposta: Alternativa d.
.
c) 0,373737...
d) 0,3533533533335...
Fonte:<www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx>. Acesso em: 16 Nov. 2014.
Questão 4:
A localização dos números reais na reta numérica é chamada de representação
geométrica dos números, dando a ideia de tamanho (medida geométrica)
relacionada a um número em qualquer forma.
Fonte: <www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx?>. Acesso em: 16 Nov. 2014.
Questão 5:
Fonte:<www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx?>. Acesso em: 12 Nov. 2014.
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Desafio:
Num pátio fechado coloca-se um casal de coelhos. Supondo que em cada
mês, a partir do segundo mês de vida, cada casal dá origem a um novo casal de
coelhos, ao fim de um ano, quantos casais de coelhos estarão no pátio, se não
houver óbitos e nem fugas?
Para resolver este desafio é preciso prestar atenção ao processo de
procriação do casal inicial de coelhos. Suponhamos, para ter uma ideia, que o
primeiro casal de coelhos nasceu no dia 1º de Janeiro.
No dia 1º de Fevereiro, isto é, ao cabo de um mês, ainda não serão férteis.
Porém, no dia 1º de Março já terão descendentes, e neste mês teremos um total de
dois casais de coelhos.
No dia 1º de Abril, esse segundo casal de coelhos não será ainda fértil, mas o
casal inicial de coelhos voltará a ter coelhinhos, e no quarto mês teremos um total de
três casais de coelhos, dois dos quais serão férteis no dia 1º de Maio. Por
conseguinte, para o quinto mês existirá cinco casais. Se raciocinarmos de modo
semelhante, temos que no dia 1º de Junho ter-se-ão 8 casais de coelhos, em 1º de
Julho 13 casais, em 1º de Agosto 21 casais e assim sucessivamente. Ao terminar
um ano, isto é, no dia 1º de Janeiro do ano seguinte, prevê-se que 144 casais de
coelhos deem voltas pelo pátio.
Fonte:<www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm31/coelhos.htm>. Acesso em: 16 Out. 2014.
62
Agora, para o enriquecimento da atividade, você assistirá ao vídeo.
https://www.youtube.com/watch?v=mhqHeDuDUtg que apresenta a história de
Fibonacci.
Questão 07:
Fonte: <www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx?>. Acesso em: 08 Nov. 2014.
Qual é o número mais próximo do número de ouro? Quando dividimos a altura do
homem da figura ao lado pela distância de seu umbigo aos pés ou quando dividimos
a medida do segmento AC pela medida do segmento BC?
Agora, faça um resumo com os conceitos estudados com até 10 conclusões.
Fonte: <www.educopedia.com.br/Cadastros/Atividade/Visualizar.aspx>. Acesso em: 06 Nov. 2014.
63
Referências bibliográficas:
AUSUBEL, D.P.; NOVAK, J.D. y HANESIAN, H. Psicologia educativa: um punto de
vista cognoscitivo. Traducción al español, de Mario Sandoval P., 2ª ed. México:
Editorial Trillas,1983.
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Parâmetros Curriculares
Nacionais. Brasília, DF: MEC, 1997.
D‟AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação para uma sociedade em transição. Campinas:
Papirus, 1999.
FONSECA, M. C. F. R. Educação Matemática de Jovens e Adultos:
especificidades, desafios e contribuições. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.
GASPARIN, João Luiz. Uma Didática para a Pedagogia Histórico-Crítica. 3ª ed.
Campinas, SP: Autores Associados, 2005.
GIOVANNI, José Ruy; PARENTE, Eduardo. Coleção Aprendendo Matemática. 7ª
série, 1ª ed. São Paulo: FTD, 2002.
MOREIRA, M. A. Aprendizagem Significativa. Brasília: Editora da Unb, 1999.
MOREIRA, M.A.; BUCHWEITZ, B. Novas estratégias de ensino e aprendizagem:
os mapas conceituais e o Vê epistemológico. Lisboa: Plátano Edições Técnicas,
1993.
PARANÁ. Diretrizes curriculares da Rede Pública de Educação Básica do
Estado do Paraná. Matemática. Curitiba: SEED, 2008.
Sites Visitados:
BRASIL ESCOLA - Site Educacional da Rede Omnia. - Goiânia – Goiás, 2000.
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EDUCOPÉDIA - Plataforma Educativa on line Colaborativa - Rio de Janeiro, 2011.
Disponível: http://www.educopedia.com.br/Cadastro/Aula/Visualizar.asp? Acesso
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http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/ Acesso em: 3 Out. 2014.
PARANÁ – SEED; Secretaria de Estado da Educação. Programa de
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http://www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/pdf/pde_documento_sintes
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64
YOUTUBE - Youtube é um site que permite que seus usuários carreguem e
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