Lei dos Senos e Cossenos - Resolvendo

Lei dos Senos e Cossenos - Resolvendo triângulos quaisquer
LEI DOS COSSENOS
a2 = b2 + c2 - 2bc . cos A
b = a + c - 2ac . cos B
c2 = a2 + b2 - 2ab . cos C
2
2
2
Num triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das
medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas desses dois lados
pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado.
Exemplo: Quanto vale a?
Resolução:
a2 = 52 + 82 ? 2 . 5 . 8 . cos 60º
a2 = 25 + 64 ? 80 . ½
a2 = 89 ? 40 = 49
a=7
Resposta: a = 7
LEI DOS SENOS
a/senA = b/senB = c/senC
Em todo triângulo, as medidas dos seus lados são
proporcionais aos senos dos lados opostos.
Exemplo: No triângulo da figura, calcular a e b :
Resolução:
A = 180º - 30º - 45º = 105º
Pelo arco soma: sen 105º = (Ö6 + Ö2)/4
Assim:
6/sen 30º = a/sen 45º = b/ sen 105º
Daí:
a = 6Ö2 e b = 3 (Ö6 + Ö2)
Resposta: a = 6Ö2 e b = 3 (Ö6 + Ö2)
Teorema do seno:
a/ sen  = b / sen B
raiz(6) / sen(120) = (raiz(3)-1)/ sen B
raiz(6) / (raiz(3)/2) = (raiz(3)-1)/ sen B
sen(B) = (raiz(3)/2) • (raiz(3)-1) / raiz(6) =1/4(raiz(6)-raiz(2)) =(com calculadora) = 15º
Logo o terceiro é 180-(120+15)= 45º
E o lado terceiro c verifica que
a/sen A = c/ sen C
raiz(6) / sen(120) = c / sen 45
raiz(6) / (raiz(3)/2) = c / (raiz(2)/2)
c = raiz(6) • (raiz(2)/2) / raiz(3)/2 = raiz (3) • 2 / raiz(3) = 2
Resolver triângulos é estabelecer um conjunto de cálculos que nos permitam
determinar os lados, ângulos e outros segmentos do triângulo. A lei dos senos e dos
cossenos, são utilizadas para a resolução de triângulos quaisquer.
Lei dos Cossenos
Considere um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c:
Para esses triângulos podemos escrever:
a² = b² + c² - 2 . b.c . cos Â
Em qualquer triângulo quando um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois,
menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por
eles.
Lei dos Senos
A lei dos senos estabelece a relação entra a mediada de um lado e o seno do ângulo
oposto a esse lado. Para um triângulo ABC de lados a, b, c, podemos escrever.
A lei dos senos determina que a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo
oposto é constante em um mesmo triângulo.
Tangente
Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida
do cateto adjacente a esse ângulo.
Assim:
Exemplo:
Observações:
1. A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a razão entre seno
deste ângulo e o seu cosseno.
Assim:
2. A tangente de um ângulo agudo é um número real positivo.
3. O seno e o cosseno de um ângulo agudo são sempre números reais
positivos menores que 1, pois qualquer cateto é sempre menor que a hipotenusa.