Ano Lectivo: 2010 / 2011 RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DO MÊS

Ano Lectivo: 2010 / 2011
RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DO MÊS DE NOVEMBRO – 2010
Como deves calcular, não é nada prático (nem seguro) desenhar uma circunferência, traçar
doze tangentes e contar as regiões fechadas. Por isso, o melhor é tentar descobrir a lei que
relaciona o número de regiões com o número de tangentes.
Vamos ver o que acontece até quatro tangentes, porque até aí é fácil de desenhar.
E temos de ter um cuidado: para o número de regiões ser máxima, as tangentes não podem
ser paralelas.
Com zero tangentes, há uma região fechada, o círculo.
Com um tangente, há uma região fechada, o círculo.
Com duas tangentes, há duas regiões fechadas.
Com três tangentes, há quatro regiões fechadas.
Com quatro tangentes, há sete regiões fechadas.
Grupo de Matemática
1
Vamos fazer uma tabela com os números observados, acrescentando uma linha para as
diferenças entre os números de regiões fechadas
Nº de tangentes
0
1
2
3
4
Nº de regiões
1
1
2
4
7
Diferenças
0
1
2
3
Parece haver aqui uma regularidade: as diferenças vão aumentando uma unidade. E cada
diferença é igual ao número de tangentes anteriormente traçadas.
Então, se desenharmos uma quinta tangente, é de prever que se criem quatro novas regiões
fechadas, passando o total para onze. E realmente podes confirmar isto fazendo o desenho.
Ou seja, de cada vez que traçamos uma nova tangente temos de acrescentar tantas regiões
como o número de tangentes anteriores. Isto acontece porque a nova tangente forma uma
nova região fechada cada vez que cruza uma das tangentes anteriores.
Para sabermos o que acontece com as doze tangentes pedidas ou prolongamos a tabela
anterior até doze ou então, mais simplesmente, somamos à zona do círculo inicial os números
até onze:
1  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  67
Conclusão: com 12 tangentes há 67 regiões fechadas.
Se quiseres podes até tentar encontrar uma fórmula que dê o número R de regiões fechadas
em função do número T de tangentes.
Essa fórmula é: R 
Grupo de Matemática
T  T 1 
2
1
2