Ano Lectivo: 2010 / 2011 RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DO MÊS
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Ano Lectivo: 2010 / 2011 RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DO MÊS DE NOVEMBRO – 2010 Como deves calcular, não é nada prático (nem seguro) desenhar uma circunferência, traçar doze tangentes e contar as regiões fechadas. Por isso, o melhor é tentar descobrir a lei que relaciona o número de regiões com o número de tangentes. Vamos ver o que acontece até quatro tangentes, porque até aí é fácil de desenhar. E temos de ter um cuidado: para o número de regiões ser máxima, as tangentes não podem ser paralelas. Com zero tangentes, há uma região fechada, o círculo. Com um tangente, há uma região fechada, o círculo. Com duas tangentes, há duas regiões fechadas. Com três tangentes, há quatro regiões fechadas. Com quatro tangentes, há sete regiões fechadas. Grupo de Matemática 1 Vamos fazer uma tabela com os números observados, acrescentando uma linha para as diferenças entre os números de regiões fechadas Nº de tangentes 0 1 2 3 4 Nº de regiões 1 1 2 4 7 Diferenças 0 1 2 3 Parece haver aqui uma regularidade: as diferenças vão aumentando uma unidade. E cada diferença é igual ao número de tangentes anteriormente traçadas. Então, se desenharmos uma quinta tangente, é de prever que se criem quatro novas regiões fechadas, passando o total para onze. E realmente podes confirmar isto fazendo o desenho. Ou seja, de cada vez que traçamos uma nova tangente temos de acrescentar tantas regiões como o número de tangentes anteriores. Isto acontece porque a nova tangente forma uma nova região fechada cada vez que cruza uma das tangentes anteriores. Para sabermos o que acontece com as doze tangentes pedidas ou prolongamos a tabela anterior até doze ou então, mais simplesmente, somamos à zona do círculo inicial os números até onze: 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 67 Conclusão: com 12 tangentes há 67 regiões fechadas. Se quiseres podes até tentar encontrar uma fórmula que dê o número R de regiões fechadas em função do número T de tangentes. Essa fórmula é: R Grupo de Matemática T T 1 2 1 2
