I = ∙

Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson
Capítulo 10 – Torque e Momento angular
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
QUESTÕES PARA DISCUSSÃO
Q10.1 Ao apertar os parafusos da cabeça do motor de
um automóvel, a grandeza critica é o torque aplicado aos
parafusos. Por que o torque é mais importante que a força
efetiva aplicada sobre o punho da chave de boca?
Q10.2 Pode uma única força aplicada a um corpo
alterar simultaneamente seu movimento de translação e de
rotação? Explique.
que faz a velocidade angular de um corpo mudar. Como,
então, explicar que a velocidade angular do martelo dessa
Figura permanece constante ?
Figura 1
Q10.12 Suponha que você puxe o Fio da figura 2
para cima. A energia mecânica seria conservada nesse
caso ? Explique por quê.
Q10.3 Suponha que você possa escolher qualquer tipo
de roda para o projeto de um carro de competição soapbox (um
veículo de quatro rodas sem motor que desce uma encosta a
partir do repouso). Seguindo as regras do limite máximo para o
peso do carro somado com o peso do competidor, você usaria
rodas grandes e pesadas ou rodas pequenas e leves? Você
usaria rodas maciças ou rodas ocas com a massa concentrada
em um aro na periferia da roda? Explique.


Q10.4 A menos que r e F sejam ortogonais,
existem sempre dois ângulos entre estas forças que fornecem o

mesmo torque para valores fixos dos módulos de r e
Explique por que. Ilustre sua resposta com um desenho.

F.
Q10.5 O eixo da manivela do motor de um automóvel
possui uma roda para aumentar o momento de inércia em torno
do eixo de rotação. Por que isso e desejável?
Q10.6 Quanto mais fortemente você pisar no freio
enquanto o carro se desloca para a frente, mais para baixo a
parte dianteira do carro se move (e a parle traseira se move
mais para cima). Por que? O que ocorre durante a aceleração?
Por que os carros de corrida do tipo dragster não usam apenas
direção nas rodas dianteiras?
Q10.7 Quando unia acrobata anda sobre uma corda
esticada, ela abre e estende seus braços lateralmente. Ela faz
isso para que seja mais fácil se equilibrar caso tombe para um
lado ou para o outro. Explique como isso funciona. {Sugestão:
Raciocine usando a Equação:
N

i 1
i
 I 
Q10.8 Quando um motor eletrico é acionado, ele leva
mais tempo para atingir sua velocidade final quando existe um
esmeril ligado ao eixo do motor. Por quê?
Q10.9 Sem quebrar a casca do ovo, um cozinheiro
experiente pode distinguir um ovo natural de outro que já tenha
sido cozdo na água fazendo os dois rolarem sobre um plano
inclinado (se você Fizer a experiência tome cuidado para
segurar os ovos na base do plano). Como isso ê possível ? O
que se espera concluir ?
Q10.10 Quando um esmeril elétrico e desligado, a
roda do esmeril leva cerca de um minuto ale parar. Quando
uma furadeira elêtrica ê desligada, a broca leva apenas alguns
segundos ate parar. Explique a razão dessa diferença.
Q10.11 Sobre o martelo indicado na Figura l atua a
força da gravidade, e sabemos que uma torça produz um torque
Figura 2
Q10.13 Uma roda eslá rolando sem deslizamento
sobre uma superfície horizontal. Em um sistema de
referência inercial no qual a superfície está cm repouso,
existe algum ponto sobre a roda que possua uma
velocidade puramente vertical ? Existe algum ponto sobre
a roda que possua velocidade com um componente
horizontal com sentido oposto ao da velocidade do centro
de massa? Explique. Caso a roda deslize durante o giro,
suas respostas semodificam ? Explique.
Q10.14 Parte da energia cinética da rotação de
um automóvel em movimento esta em suas rodas. Quando
você aplica fortemente os freios em uma rua com gelo, as
rodas ficam "bloqueadas", e o carro começa a deslizar. O
que ocorre com a energia cinética da rotação ?
Q10.15 Você está em pé no centro de um
carrossel horizonlal que gira em um parque de diversões.
O carrossel gira sobre apoios sem atrito, e sua rotação é
livre (ou seja, não existe nenhum motor fazendo o
carrossel girar). Quando você caminha até a periferia do
carrossel, diga o que ocorre com o momento angular total
do sistema constituído por você junto com o carrossel. O
que ocorre com a velocidade angular do carrossel ?
Explique suas respostas.
Q10.16 Uma partícula descreve um movimento
circular uniforme. Em relação a uma origem no centro do
círculo, existe um torque resultante atuando sobre a
partícula ? Uma força resultante ? O que ocorreria se a
velocidade da partícula estivesse variando ? Explique sua
resposta em cada caso.
Q10.17 Uma partícula se move em linha reta
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com velocidade constante e a distância entre a reta e a origem é
igual a l. Em relação à origem, o momento linear da partícula é
igual a zero ou diferente de zero ? A medida que a partícula se
desloca ao longo da rela seu momento angular em relação à
origem varia ?
precessão como indicado na Figura 3. O que ocorrerá se
você colocar suavemente algum peso em um ponto o mais
afastado possível do pivô. ou seja. na extremidade do eixo
do volante?
Q10.18 No Exemplo 10.13 (Seção 10.7) a velocidade
angular  varia e isto deve significar que existe uma aceleração
angular diferente de zero. Porém não existe nenhum torque em
torno do eixo de rotação quando as forças que o professor
aplica sobre os pesos estão orientadas radialmente para dentro.
Então pela Equação:
N

i 1
i
 I 
 deve ser igual a zero. Explique o que existe de errado nesse
raciocínio que conduziu a uma contradição aparente.
Q10.19 No exemplo 10.13 (Seção 10.7) a energia
cinética do professor junto com os halteres aumenta. Contudo,
como não existem torques externos, não existe nenhum
trabalho capaz de alterar a energia cinética da rotação. Então,
pela Equação (10.25) a energia cinética deve permanecer
constante! Explique o que existe de errado nesse raciocínio que
conduziu a uma contradição aparente. De onde vem a energia
cinética extra?
Q10.20 Conforme discutimos na Seção 10.7, o
momento angular de uma acrobata no circo se conserva à
medida que ela se move através do ar. Seu momento linear se
conserva? Explique sua resposta.
Q10.21 Quando você segura durante um intervalo
mínimo de tempo um ovo fresco que está girando e a seguir o
liberta, o ovo começa a girar novamente. Quando você repete a
experiência com um ovo cozido, ele permanece parado.
Experimente fazer isso. Explique.
Q10.22 Um helicóptero possui um rolor grande
principal que gira em um plano horizonlal e ocasiona a força de
sustentação. Existe também um rotor pequeno na traseira do
helicóptero que gira em um plano vertical. Qual é a finalidade
do rotor traseiro ? (Sugestão: Caso não existisse o rotor
traseiro, o que ocorreria quando o piloto fizesse variar a
velocidade angular do rotor principal ?) Alguns helicópteros
não possuem rotor traseiro, mas possuem dois rotores
principais grandes que giram em um plano horizontal. Por que
é importante que esses rotores girem em sentidos contrários ?
Q10.23 Em um projcto comum de giroscópio, o
volante que gira e o eixo do volante permanecem no interior de
uma estrutura leve e esférica, com o volante no centro da
estrutura. O giroscópio é a seguir equilibrado no topo de um
pivô de modo que o volante fique direlamcntc acima do pivô. O
giroscópio realiza precessão quando ele é libertado enquanto o
volante está girando ? Explique.
Q10.24 Um giroscópio leva 3.8 s para fazer uma
precessão de l.0 revolução em torno de um eixo vertical. Dois
minutos depois ele leva 1.0 s para fazer uma precessão de 1.0
revolução. Ninguém tocou no giroscópio. Explique o que
ocorreu.
Q10.25 Um giroscópio realiza um movimento de
Figura 3
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aplicadas tangencialmente a uma roda com raio igual a
0.330 m, conforme mostra a figura 7. Qual é o torque
resultante da roda produzido por estas duas forças em
relação a um eixo perpendicular à roda passando através
de seu centro? Resolva o caso (b).
Exercícios
Seção 10.2 – Torque
Figura 7 (a)
10.1 Calcule o torque (módulo, direção e sentido) em

torno de um ponto O de uma força F em cada uma das
situações esquematizadas na Figura 4. Em cada caso, a força

F e a barra estão no plano da página, o comprimento da barra
é igual a 4.00 m e a força possui módulo de valor F = 10.0 N.
Figura 4
(b)
10.5 Uma força atuando sobre uma parte de uma
máquina é dada pela expressão:

F   5.00 N   iˆ   4.00 N   ˆj
O vetor da origem ao ponto onde a força é
aplicada e dado por:

r   0.45m   iˆ   0.15m   ˆj
10.2 Calcule o torque resultante em torno de um ponto
O para as duas forças aplicadas mostradas na Figura 5.
Figura 5
(a) Faça um diagrama mostrando
 
r Fe a
origem.
(b) Use a regra da mão direita para determinar a
direção e o sentido do torque.
(c) Determine algebricamente o vetor torque
produzido por essa torça. Verifique se a direção e o
sentido do torque são iguais aos obtidos no item (b).
Figura 8 - Regra da mão direita.
10.3 Uma placa metálica quadrda de lado igual a
0.180 m possui o eixo pivotado perpendicularmente ao plano
da página passando pelo seu centro O (Figura 6). Calcule o
torque resultante em torno desse eixo produzido pelas três
forças mostradas na figura, sabendo que F1 = 18.0 N, F2 = 26.0
N e F3 = 14.0 N. O plano da placa e de todas as forças é o
plano da página.
Figura 6
SEÇÃO 10.3
TORQUE
E
ACELERAÇÃO
ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO
10.6 O volante de uma certa máquina possui momento de
inércia igual a 2.50 kg.m2 em tomo do seu eixo de
rotação,
(a) Qual é o torque constante necessário para
que, partindo do repouso, sua velocidade angular atinja o
valor de 400 rev/min em 8.00 s ?
(b) Qual é sua energia cinética final ?
10.4 As forças F1 = 7.50 N e F2 = 5.30 N são
10.7 Usando o valor de a calculado no Exemplo
10.2 (Seção 10.3), qual é o valor da velocidade do cabo
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depois que ele foi puxado 2,0 m? Compare seu resultado com o
obtido no Exemplo 9.8 (Seção 9.5).
10.8 Uma corda é enrolada em torno da periferia de
uma roda de raio igual a 0.250 m, e a corda é puxada por uma
força constante de 40.0 N. A corda é montada cm apoios sem
atrito sobre um eixo horizontal que passa em seu centro. O
momento de inércia da roda em torno do eixo é igual a 5.00
kg.m2. Calcule a aceleração angular da roda.
10.9 (a) Calcule o modulo η da força normal para as
situações descritas no Exemplo 10.3 (Seção 10.3).
(b) Sua resposta do item (a) é menor do que, igual a,
ou maior do que o peso total do cilindro junto com a massa (M
+ m).g. Explique como isso ocorre.
(c) Suponha que o cilindro esteja inicialmente girando
no mesmo sentido dos ponteiros do relógio de modo que a
massa suspensa m suspensa esteja inicialmente se movendo
para cima com velocidade escalar v0 (o cabo permanece
esticado). Qual e o efeito que isso produz sobre a tensão T e
sobre a força normal η. Explique.
10.10 (a) Na situação descrita no Exemplo 10.2 da
Seção 10.3 (Figura 9), a torça normal η exercida sobre o
cilindro pelo mancal está orientada para cima e para a
esquerda. Explique a razão da força normal possuir essa
direção.
(b) Determine o modulo, a direção e o sentido de η.
Figura 9
passando em seu centro. O balde é libertado a partir do
repouso no topo de um poço e cai 10.0 m até atingir a
água. Despreze o peso da corda,
(a) Qual e a tensão na corda enquanto o balde
está caindo ?
(b) Com que velocidade o balde atinge a água ?
(c) Qual é o tempo de queda ?
(d) Enquanto o balde está caindo, qual e a força
exercida pelo eixo sobre o cilindro ?
10.13 Um livro de 2.00 kg está em repouso sobre
uma superfície horizontal sem atrito. Uma corda
amarrada ao livro passa sobre uma polia com diâmetro
igual a 0.150 m e sua outra extremidade está presa a
outro livro suspenso com massa de 3.00 kg. O sistema e
solto a partir do repouso e os livros se deslocam 1.20m
em 0.800 s.
(a) Qual é a tensão em cada parte da corda ?
(b) Qual e o momento de inércia da polia em
torno do seu eixo de rotação?
10.14 Uma barra horizontal fina de comprimento
L e massa M é articulada em torno de um eixo vertical
passando em sua extremidade. Uma força com módulo
constante F é aplicada à outra extremidade, fazendo a
barra girar em um plano horizontal. A força é mantida
perpendicularmente á barra e ao eixo da rotação. Calcule
o módulo da aceleração angular da barra.
SECAO 10.4 ROTAÇÃO DE UM CORPO
RÍGIDO EM TORNO DE UM EIXO
MÓVEL
10.11 Um esmeril em forma de disco sólido com
diâmetro de 0.520 m e massa de 50.0 kg gira a 850 rev/min.
Você pressiona um machado contra sua periferia com uma
torça normal de 160 N (Figura 10) e o esmeril atinge o repouso
em 7.50 s. Ache o coeficiente de atrito entre o machado e o
esmeril. Despreze o atrito nos mancais.
10.15 Um fio é enrolado diversas vêzes em torno da
periferia de um pequeno aro de raio 0.0800 m e massa
0.180 kg. Se a extremidade livre do rio e mantida Fixa e o
aro é libertado a partir do repouso (Figura 11), calcule:
(a) a tensão no fio enquanto o aro desce à medida
que o fio se desenrola;
(b) o tempo que o aro leva para descer 0.750;
(c) a velocidade angular do aro no momento em que
ele desceu 0.750 m.
Figura 11.
10.16 Repita a parte (c) do Exercício 10.15
usando desta vez considerações de energia.
Figura 10.
10.12 Um balde com água de 15.0 kg é suspenso por
uma corda enrolada em torno de um sarilho, constituído por
um cilindro sólido com diâmetro de 0.300 m e massa igual a
12.0 kg. O cilindro e pivotado sobre um eixo sem atrito
10.17 No Exemplo 10.5 (Seção 10.4)
verificamos que para uma casca cilíndrica oca rolando
sem deslizar sobre uma superfície horizontal, metade da
energia cinética total e translacional e a outra metade e
relacional. Determine que tração da energia cinética total
e dada pela parte relacional no case do rolamento sem
desilizamento dos seguintes objetos:
(a) um cilindro maciço homogêneo;
(b) uma esfera maciça homogênea;
(c) uma casca esférica,
(d) um cilindre eco cem raio externo K e raio
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interno R/2.
10.18 Uma casca esférica de massa igual a 2.00 kg
rola sem deslizar ao longo de um plano inclinado de 38°.
(a) Ache a aceleração, a força de atrito e e
coeficiente de atrito mínimo necessário para impedir o
deslizamenlo.
(b) Como suas respostas do item (a) seriam
alteradas caso a massa fosse dobrada para 4.00 kg ?
10.19 Uma roda de 392 N sai do eixo de um caminhão
em movimento e rola sem deslizar ao longo de uma estrada
inclinada. Na base de um morro ela está girando a 25.0 rad/s. O
raio da roda é igual a 0.600 m e seu momento de inércia em
tomo do eixo de rotação é igual a 0.800MR2 . O atrito realiza
trabalho sobre a roda a medida que ela sobe o morro até parar,
a uma altura h acima da base do morro: esse trabalho possui
módulo igual a 3500 J. Calcule h.
10.20 Uma bola subindo uma inclinação. Uma bola
de boliche rola sem deslizar para cima de uma rampa inclinada
de um angulo  com a horizontal. (Veja o Exemplo 10.9 na
Seçao 10.4.) Considere a bola uma esfera homogênea e ignore
os seus orifícios.
(a) Faça um diagrama do corpo livre para a bola.
Explique por que a torça de atrito deve possuir sentido para
cima.
(b) Qual e a aceleração do centro de massa da bola?
(c) Qual deve ser o coeficiente de atrito estático
mínimo para impedir o deslizamenlo ?
SECAO 10.5 TRABALHO E POTÊNCIA NO
MOVIMENTO DE ROTAÇÃO
10.21 Um carrossel de um parque de diversões possui raio
de 2.40 m e momento de inércia igual a 2100 kg.m2 em torno
de um eixo vertical passando em seu centro e gira com atrito
desprezível.
(a) Uma criança aplica uma força de 18.0 N tangencialmente a
periferia do carrossel durante 15.0 s. Se o carrossel está
inicialmente em repouso, qual é sua velocidade angular depois
deste instante de tempo de 15.0 s?
(b) Qual é o trabalho realizado pela criança sobre o
carrossel?
(c) Qual é a potência média fornecida pela criança.?
10.22 O Exemplo 9.5 (Seção 9.4) descreve o projeto
da hélice propulsora de um avião. O motor fornece l.305.105 W
para a hélice a uma rotação de 2400 rev/min.
(a) Qual é o torque fornecido pelo motor do avião?
(b) Qual é o trabalho realizado pelo motor em uma
revolução da hélice?
10.23 A roda de um esmeril de 1.50 kg possui forma
cilíndrica com raio igual a 0.100 m.
(a) Qual deve ser o Iorque constante capaz de levá-lo
do repouso a uma revolução angular de 1200 rev/min em 2.5 s?
(b) Que ângulo ele girou durante esse intervalo de
tempo?
(c) Use a Equação ( 10.24) para calcular o trabalho
realizado pelo torque,
(d) Qual é a energia cinética do esmeril quando ele
está girando a 1200 rev/min? Compare sua resposta com o
resultado do item (c).
10.24 Qual e a potência em watts de um motor
elétrico que gira a 4800 rev/min e desenvolve um torque
de 4.30 N.m?
10.25 As extremidades dos dentes de carboneto
de uma serra circular estão situadas a uma distância de 8.6
cm do eixo de rotação,
(a) Quando a serra não está cortando nenhum
objeto, sua velocidade angular é de 4800 rev/min. Por que
sua potência é desprezível quando ela não está cortando
nenhum objelo?
(b) Quando ela está cortando tábuas, sua
velocidade angular se reduz para 2400 rev/min e a
potência de saída é igual a 1.417 kW. Qual e a força
tangencial que a madeira exerce sobre as extremidades
dos dentes de carboneto?
10.26 A hélice propulsora de um avião possui
comprimento de 2.08 m (de uma extremidade a outra) e
sua massa é de 117 kg. Logo no início do funcionamento
do motor, ele aplica um torque de 1950 N.m na hélice,
que começa a se mover a partir do repouso,
(a) Qual é a aceleração angular da hélice?
Considere a hélice como uma barra fina. {Sugestão: Veja
a Tabela 9.2.}
(b) Qual e a velocidade angular da hélice
propulsora quando ela atinge 5.00 rev ?
(c) Qual e o trabalho realizado pelo motor
durante
as 5,00 rev iniciais ?
(d) Qual é a potência média fornecida pela
máquina durante as 5.00 rev iniciais ?
(e) Qual é a potência instantânea do motor no
instante em que a hélice propulsora completa essas 5.00
rev ?
10.27 (a) Calcule o torque desenvolvido por um
motor industrial com potência de 150 kW para uma
velocidade angular de 4000 rev/min.
(b) Um tambor de massa desprezível com
diâmetro igual a 0.400 m é ligado ao eixo do motor e a
potência disponível do motor e usada para elevar um peso
pendurado em uma corda enrolada em torno do tambor.
Qual é o peso máximo que pode ser elevado com
velocidade constante ?
(c) Com que velocidade constante o peso sobe?
SEÇÃO 10.6 MOMENTO ANGULAR
10.28 Uma mulher com massa de 50 kg está em pé
sobre a periferia de um grande disco que gira com 0.50
rev/s em torno de um eixo que passa através do seu
centro.
possui massa de l IO kg e i aio igual a 4,0 m. Calcule o
modulo do momento angular total do sistema mulherdisco. (Suponha que a mulher possa ser tratada como um
ponto.)
10.29 Uma pedra de 2.00 kg possui uma
velocidade horizontal com modulo de 12.0 m/s quando
esta no ponto P na Figura 10.40.
(a) Nesse instante, qual é o modulo, a direção e o
sentido do seu momento angular em relação ao ponto O ?
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(b) Caso a única força que atue sobre a pedra seja seu
peso, qual é a taxa de variação (módulo, direção e sentido) do
momento angular nesse instante ?
10.30 (a) Calcule o modulo do momento angular da
Terra considerando-a uma partícula que descreve urna órbita
em volta do Sol. A massa da Terra é igual a 5.97.1024 kg.
Suponha que ela descreva um movimento circular uniforme
com raio de 1.50.1011 m e que sua velocidade escalar orbital
seja de 2.9.104 m/s².
(b) Calcule o modulo do momento angular da Terra
devido a sua rotação em torno do eixo que liga o Pólo Norte
com o Pólo Sul. Considere a Terra uma esfera maciça e
homogénea de raio 6.38.106 m que completa uma revolução em
24.0 horas.
Figura 12.
10.31 Ache o módulo do momento angular do
ponteiro dos segundos de um relógio em torno do eixo que
passa pelo centro de massa da lace frontal do relógio. Esse
ponteiro do relógio possui comprimento de 15.0 cm e massa de
6.00 g. Considere-o uma barra delgada girando com velocidade
angular constante em torno de uma de suas extremidades.
SECAO 10.7 CONSERVAÇÃO 00 MOMENTO
ANGULAR
10.32 Sob determinadas circunstâncias, uma estrela
pode sofrer um colapso e se transformar em um objeto
extremamente denso, constituído principalmente por nêutrons e
chamado estrela de nêutrons. A densidade de uma estrela de
nêutrons é aproximadamente 1014 vêzes maior do que a da
matéria comum. Suponha que a estrela seja uma esfera maciça
e homogênea antes e depois do colapso. O raio inicial da estrela
era de 7.0.105 km (comparável com o raio do Sol): seu raio
final e igual a 16 km. Supondo que a estrela original
completava um giro em 30 dias, ache a velocidade angular da
estrela de nêutrons.
10.33 Um pequeno bloco apoiado sobre uma mesa
horizonlal sem atrito possui massa de 0.0250 kg. Ele está preso
a uma corda sem massa que passa através de um buraco na
superfície (Figura 13). No início o bloco está girando a uma
distância de 0.300 m do buraco com uma velocidade angular de
1.75 rad/s. A seguir a corda e puxada por baixo, fazendo com
que o raio do círculo se encurte para 0.150 m. O bloco pode ser
considerado uma partícula,
(a) O momento angular é conservado ?
(b) Qual é a nova velocidade angular ?
(c) Calcule a variação da energia cinética do bloco,
(d) Qual foi o trabalho realizado ao puxar a corda ?
Figura 13.
10.34 Um patinador girando. Podemos
considerar as mãos e os braços esticados para fora de um
patinador que se prepara para girar como uma barra
delgada cujo eixo de giro passa pelo seu centro de
gravidade (Figura 14). Quando suas mãos e braços se
aproximam do corpo e se cruzam em torno do corpo para
executar o giro, as mãos e os braços podem ser
considerados um cilindro oco com parede fina. A massa
total das mãos e dos braços e igual a 8.0 kg. Quando
esticadas para tora, a envergadura é de 1.8 m; quando
torcidas, elas formam um cilindro de raio igual a 25 cm.
O momento de inércia das parles restantes do corpo em
relação ao eixo de rotação é constante e igual a 0,40 kg
m². Se sua velocidade angular inicial é de 0,40 rev/s, qual
é sua velocidade angular final ?
Figura 14.
10.35 Uma mergulhadora pula de um trampolim
com braços estendidos verticalmente para cima e pernas
esticadas para baixo, fornecendo-lhe um momento de
inércia em torno do eixo de rotação igual a 18 kg.m². Ela
então se agacha formando uma pequena bola, fazendo seu
momento de inércia diminuir para 3.6 kg.m². Quando está
agachada ela realiza uma revolução completa em 1.0 s.
Caso ela não se agachasse, quantas revoluções faria no
intervalo de tempo de 1.5 s desde o trampolim até atingir
a água ?
10.36 Uma mesa giratória grande gira em tomo
de um eixo vertical fixo, fazendo uma revolução em 6.00
s. O momento de inércia da mesa giratória em torno desse
eixo é igual a l 200 kg.m² . Uma criança com massa de
40.0 kg, que estava inicialmente em repouso no centro da
mesa. começa a correr ao longo de um raio. Qual é a
velocidade angular da mesa giratória quando a criança
está a uma distância de 2.00 m do centro ? (Suponha que
a criança possa ser considerada uma partícula.)
10.37 Uma mesa giratória grande possui forma
de disco com raio de 2.00 m e massa igual a 120 kg. A
mesa giratória esta inicialmente a 3.00 rad/s em torno de
um eixo vertical que passa em seu centro.
Repentinamente, um pára-quedista pousa suavemente em
um ponto próximo da periferia da mesa.
(a) Ache a velocidade angular da mesa giratória
depois do pouso do pára-quedista. (Suponha que o para-
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qucdista possa ser considerado uma partícula.)
(b) Calcule a energia cinética do sistema antes e
depois do pouso do pára-quedista. Por que essas energias
cinéticas são diferentes ?
10.38 Uma porta sólida de madeira com largura de
1.00 m e altura de 2.00 m é articulada em um de seus lados e
possui massa total de 40.0 kg. Inicialmente ela está aberta e em
repouso, a seguir, uma porção de lama pegajosa de massa igual
a 0,500 kg, se deslocando perpendicularmente à porta com
velocidade de 12,0 m/s, colide no centro da porta. Calcule a
velocidade angular final da porta. A lama contribui
significativamente para o momento de inércia?
SEÇÃO 108 GIROSCÓPIOS E PRECESSÃO
10.39 (a) Desenhe uma vista de topo do giroscópio da
Figura 10.29 indicando letras para
produzido por

.

  
, Le  .


Desenhe dL
Desenhe L  dL . Determine o sentido da



precessão examinando as direções e sentidos de L e L  dL .
(b) Inverta o sentido da velocidade angular do rotor e
repita todas as etapas do item (a).
(c) Mova o pivô para a outra extremidade do eixo.
considerando a mesma direção e mesmo sentido da velocidade
angular de spin como na parte (b) e repita todas as etapas,
(d) Mantendo o pivô como na parte (c), inverta a
velocidade angular de spin do rotor e repita iodas as etapas.
10.40 O rotor (volante) de um giroscópio de brinquedo
possui massa de 0.140 kg. Seu momento de inércia em relação
ao seu eixo é igual a 1.20.104 kg.m². A massa do suporte é de
0.0250 kg. O giroscópio é suportado em um único pivô (Figura
15) e seu centro de massa está situado a uma distância de 4.00
cm do pivô. O giroscópio possui movimento de precessão cm
um plano horizontal completando uma revolução em 2.20 s.
(a) Ache a força de baixo para cima exercida pelo
pivô.
(b) Ache a velocidade angular com a qual o rolor gira
em torno de seu eixo, expressa em rev/min.
(c) Faça um diagrama, desenhando vetores para
mostrar o momento angular do rotor e o torque que atua sobre
ele.
Figura 15.
10.41 Um giroscópio estabilizador, ü giroscópio
esiaimi£íiuui
de um navio é um disco sólido de massa igual a 60.000 kg; seu
raio é igual a 2,00 m, e ele gira em tomo de um eixo vertical
com velocidade angular de 500 rev/min.
(a) Qual é o tempo necessário para ele atingir
essa velocidade, partindo do repouso, com uma potência
de entrada de 7.46 x 10 W?
(b) Ache o Iorque necessário para fazer o eixo
sofrer uma precessão em um plano vertical oscilando com
uma taxa de inclinação de 1.00°/s.
10.42 Um giroscópio possui movimento de
precessão em tomo de um eixo vertical. Descreva o que
ocorre com a velocidade angular de precessão quando são
feitas as seguintes mudanças nas variáveis, mantendo-se
as outras grandezas constantes:
(a) a velocidade angular de spin do volante
dobra;
(b) o peso total dobra.
(c) o momento de inércia em torno do eixo do
volante dobra;
(d) a distância entre o pivô e o centro de
gravidade dobra.
(e) O que ocorreria se todas as quatro variáveis
indicadas nos itens de (a) até (d) dobrassem de valor?
10.43 O período do movimento de precessão da
Terra é de 26.000 anos e o período de sua velocidade
angular de spin é de um dia. Estime o módulo do torque
que produz a precessão da Terra. Você pode usar dados
do Apêndice F. Faça a estimativa supondo
(i) que a Terra seja uma esfera maciça e
homogênea e
(ii) que a precessão da Terra seja semelhante ao
movimento de precessão do giroscópio indicado na Figura
15. Nesse modelo, o eixo de precessão e o eixo de rotação
de spin são perpendiculares. Na verdade, no caso da
Terra, o ângulo entre esses dois eixos é de 23.5°; isso
altera a estimativa do torque de um fator
aproximadamente igual a 2.
PROBLEMAS
10.44 Um esmeril de 55.0 kg é um disco sólido
de diâmetro igual a 0.520 m. Você comprime um
machado sobre a periferia com uma força normal de 160
N (Figura 10). O coeficiente de atrito cinético entre a
lâmina e a pedra do esmeril é igual a 0.60 e existe um
torque do atrito constante igual a 6.50 N.m entre o eixo do
esmeril e seus mancais,
(a) Ache a força que deve ser aplicada
tangencialmente à extremidade do eixo da manivela de
0.500 m de comprimento para acelerar a roda do esmeril
desde zero até 120 rev/min em 9.00 s.
(b) Depois que o esmeril atinge a velocidade de
120 rev/min, qual é a força tangencial que deve ser
aplicada à extremidade da manivela para manter a
velocidade angular constante de 120 rev/min ?
(c) Quanto tempo o esmeril levaria para reduzir
sua velocidade angular de 120 rev/min até zero quando a
única força atuante for apenas a força de atrito nos
mancais ?
10.45 Uma roda de bicicleta experimental está
sob teste, montada em um eixo de modo que ela possa
girar livremente em torno desse seu eixo. Se um torque de
5.00 N.m for aplicado ao pneu durante 2.00 s, a
velocidade angular cresce de zero a 100 rev/min. A seguir
o torque externo é removido, e a roda atinge o repouso em
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Capítulo 10 – Torque e Momento angular
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125 s pela ação do atrito em seus mancais. Calcule
(a) o momento de inércia da roda em torno do eixo de
rotação;
(b) o torque do atrito;
(c) o número total de revoluções realizadas pela roda
durante o intervalo de tempo de l 25 s.
10.46 Um volante com diâmetro de 0.600 m é
pivotado sobre um eixo horizontal. Uma corda é enrolada na
periferia do volante e puxada com uma força estacionária de
40.0 N. O volante começa a girar a partir do repouso, e um
comprimento da corda igual a 5.00 m é desenrolado em 2.00 s.
(a) Qual é a aceleração angular do volante ?
(b) Qual é a sua velocidade angular final ?
(c) Qual é a sua energia cinética final?
(d) Qual é seu momento de inércia em relação ao
eixo de rotação ?
10.47 Uma roda parte do repouso e gira com
velocidade angular constante em torno de um eixo fixo.
(a) Prove que a potência em qualquer instante é
proporcional ao quadrado do torque resultante em torno do
eixo.
(b) Se a potência para t = 3.00 s é 500 W com um
torque resultante constante de 20.0 N.m, qual seria a potência
para t = 3.00 s se o torque resultante constante fosse igual a
60.0 N.m ?
(c) Prove que a potência para qualquer deslocamento
angular é proporcional ao torque total elevado a 3/2 para esse
deslocamento angular,
(d) Sabendo que a potência depois de uma rotação de
37.5 rad com o torque de 20.0 N.m é igual a 500 W, qual seria
a potência depois de um deslocamento angular de 37.5 rad com
um torque de 60.0 N.m?
(e) As respostas dos itens (a) e (b) contradizem as
respostas dos itens (c) e (d) ? Tanto na resposta afirmativa
quanto para a resposta negativa explique por quê.
10.48 Uma viga de comprimento l está sobre o eixo
+0x com sua extremidade esquerda situada na origem. Um

cabo puxa a viga na direção do eixo +0y com uma força F
cujo módulo depende do ponto de aplicação na viga
F  F0  1  x l  onde F0 é o módulo da força aplicada à
extremidade esquerda da viga.
(a) Qual é a direção e o sentido do torque da força

F
?
(b) Faça um gráfico de F contra x desde x = 0 até x = l.
Expresse F em termos de F0 e x em termos de l.
(c) Faça um gráfico do torque contra x desde x = 0 até
x = l. Expresse o torque em termos de F0, x e l em termos de l.
(d) Determine o ponto ao longo da viga no qual a
força aplicada produz o torque máximo e qual é o valor desse
torque máximo.
10.49 Quando explora um castelo, Exena, a
Exterminadora, é surpreendida por um dragão que a persegue
pelo corredor. Exena corre para dentro de um quarto e tenta
fechar uma porta pesada antes que o dragão entre. A porta está
inicialmente perpendicular a parede, de modo que ela deve
girar a 90° para fechar. A porta possui alutura de 3.00 m e
largura de 1.25 m, e pesa 750 N. O atrito das dobradiças pode
ser desprezado. Se Exena aplica uma força de 220 N a
extremidade da porta e ortogonal a ela, quanto tempo leva
para fechar a porta ?
10.50 Urna barra fina de comprimento l repousa
sobre o eixo +Ox com sua extremidade direita na origem.

Um fio puxa a barra com uma força F dirigida a um
ponto P situado a uma distancia h acima da barra.
Determine o ponto ao longo da barra onde você deve
amarrar o fio para obter o torque máximo em torno da
origem se o ponto P estiver situado
(a) acima da extremidade direita da barra:
(b) acima da extremidade esquerda da barra;
(c) acima do centro da barra.
10.51 Ato de equilibrar. Uma pequena esfera de
massa M é ligada a extremidade de uma barra longa, fina
e uniforme de comprimento L, e massa M.
(a) Localize a posição do centro de massa do
sistema barra e esfera. Anote essa posição em um desenho
da barra,
(b) Você equilibra cuidadosamente a barra no
topo de uma mesa sem atrito, de modo que a extremidade
sem a esfera fique apoiada verticalmente sobre a mesa. A
seguir a barra e inclinada de um angulo pequeno ;
calcule sua aceleração angular nesse instante. Suponha
que a extremidade sem a esfera permaneça em contato
com o topo da mesa. {Sugestão: Consulte a Tabela 9.2.)
(c) Você novamente equilibra a barra no topo da
mesa, porem agora com a extremidade contendo a estera
tocando a mesa. A seguir a barra e novamente inclinada
de um pequeno ângulo ; determine sua aceleração
angular nesse instante. Suponha que a extremidade com a
esfera permaneça em contato com o topo da mesa. Como
esse resultado se compara com o obtido no nem (b) ?
(d) Um taco de bilhar e uma barra de madeira
cónica grossa em uma extremidade e fina na outra. Você
pode equilibrar facilmente o taco na vertical sobre um
dedo quando a extremidade fina fica em contato com esse
dedo; esse equilíbrio e muito mais difícil quando a
extremidade grossa fica em contato com seu dedo.
Explique por quê.
10.52 Você amarra um fio a um ponto na
periferia de um disco uniforme vertical de raio R e massa
M. O disco pode girar livremente sem atrito em um eixo
horiznontal fixo passando em seu centro de massa.
Inicialmente o disco está em repouso com a conexão do
fio no ponto mais elevado do disco. Você puxa o fio com

uma força horizontal F até que a roda lenha feito
exatamente um quarto de rotação em torno do eixo
horizontal que passa em seu centro, e a seguir o sistema é
libertado,
(a) Achar o trabalho realizado pelo fio.
WTot 
1
1
I  22  I  12
2
2
(b) Achar o trabalho realizado pelo fio pela
equação. Você obtém o mesmo resultado obtido no item
(a) ?
2
WTot    d
1
(c) Ache a velocidade angular final do disco,
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(d) Calcule a aceleração radial (centrípeta) máxima de
um ponto sobre o disco.
10.53 O mecanismo indicado na Figura 16 e usado
para elevar um engradado de suprimentos do depósito de um
navio. O engradado possui massa total de 50 kg. Uma corda e
enrolada em um cilindro de madeira que gira em torno de um
eixo de metal. O cilindro possui raio igual a 0.25 m e momento
de inércia I = 2,9 kg.m² em torno do eixo. O engradado é
suspenso pela extremidade livre da corda. Uma extremidade do
eixo está pivotada em mancais sem atrito; uma manivela está
presa á outra extremidade. Quando a manivela gira. sua
extremidade gira cm torno de um circulo vertical de raio igual a
0.12 m. o cilindro gira e o engradado sobe. Calcule o módulo
da força F aplicada tangencialmente ã extremidade da manivela
para elevar o engradado com uma aceleração de 0.80 m/s² . (A
massa da corda c o momento de inércia do eixo e da manivela
podem ser desprezados.)
Figura 16
10.54 Um grande rolo de papel de 16 kg com raio R =
18.0 cm esta em repouso contra unia parede e e mantido no
lugar por um suporte ligado a uma barra que passa em seu
centro (Figura 17). A barra pode girar sem atrito no suporte, e o
momento de inércia do papel e da barra em torno do disco e
igual a 0.260 kgm² . A outra extremidade da barra está presa à
parede por uma articulação sem atrito de modo que a barra faz
um ângulo de 30.0° com a parede. O peso da barra e
desprezível. O coeficiente de atrito cinético entre o papel e a
parede é k = 0.25. Uma força constante vertical F = 40.0 N é
aplicada ao papel, e o papel desenrola,
(a) Qual é o modulo da força que a barra exerce sobre
o papel enquanto ele desenrola ?
(b) Qual e a aceleração angular do rolo ?
Figura 17
10.55 Um bloco de massa m= 5.00 kg desliza
para baixo de uma superfície honzontal inclinada a 36.9°
com a horizonlal (Figura 18). O coeficiente de atrito
cinético é 0.25. Um fio amarrado ao bloco é enrolado em
torno de um volante que pode girar em torno de um eixo
passando em O. O volante possui massa de 25.0 kg e
momento de inércia de 0.500 kg.m² em relação ao eixo de
rotação. O fio puxa a roda sem deslizar a uma distância
perpendicular ao eixo igual a 0.200 m.
(a) Qual é a aceleração do bloco para baixo do
plano?
(b) Qual é a tensão no fio ?
Figura 18
10.56 Dois discos metálicos, um com raio R1 =
2.50 cm e massa m1 = 0.80 kg e outro com raio R2 = 5.00
cm e massa m2 = 1.60 kg. são unidos por uma solda e
montados sobre um eixo sem atrito passando no centro
comum dos discos.
(a) Um fio leve é enrolado em torno da periferia
do disco menor, e um bloco de 1.50 kg é suspenso na
extremidade livre do fio. Qual é o módulo da aceleração
de cima para baixo do bloco depois que ele é libertado?
(b) Repita os cálculos da parte (a), agora
supondo que o fio seja enrolado na periferia do disco
maior. Em qual dos dois casos a aceleração é maior ? Sua
resposta faz sentido ?
10.57 Um rolo de cortar grama com forma de
uma casca cilíndrica de massa M é puxado
horizontalmente com uma força constante horizontal F
aplicada por um cabo ligado ao eixo. Sabendo que ele rola
sem deslizar, calcule a aceleração e a força de atrito.
10.58 Máquina de Atwood. A Figura 19 mostra
uma máquina de Alwood. Ache a aceleração linear dos
blocos A e B, a aceleração angular da roda  e a tensão
em cada lado da corda supondo que não exista
deslizamento entre a corda e a periferia da roda. Os
pesoss dos blocos A e B são, respectivamente, 75.0 N e
125.0 N e o momento de inércia da roda em torno do eixo
é I e o raio do semicírculo no qual a roda se move e igual
a R.
Figura 19
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Capítulo 10 – Torque e Momento angular
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10.59 Um disco sólido rola sem deslizar sobre uma
superfície horizontal com velocidade constante de 2.50 m/s.
(a) Se o disco rola para cima de uma rampa inclinada
a 30.0° qual é a distância máxima que ele atinge ao longo da
rampa antes de parar ?
(b) Explique por que sua resposta do item (a) não
depende nem da massa nem do raio do disco.
10.60 O loiô. Um ioió é feito usando-se dois discos
uniformes. cada um com massa m e raio R, ligados por um eixo
leve de raio b. Um fio leve e fino e enrolado diversas vêzes em
torno do eixo e a seguir mantido fixo enquanto o ioiô e
libertado do repouso, caindo verticalmente à medida que o ioiô
desenrola. Calcule a aceleração linear e a aceleração angular do
ioiô e a tensão no fio.
10.61 Uma bola de gude homogênea de raio R parte
do repouso com seu centro de massa a uma altura h acima do
ponto inferior de uma volta completa de um trilho de raio K.
Um trilho que possui forma semelhante ao da Figura 7.26. A
bola de gude rola sem deslizar. O atrito de rolamento e a
resistência do ar são desprezíveis. (a) Qual é o valor mínimo
de h para que a bola de gude não abandone o trilho no topo da
circunferência?
{Sugestão: O raio R não é desprezível em comparação
com o raio R.}
(b) Qual seria a resposta do item (a) se o trilho fosse
bem lubrificado, de modo que o atrito se tornasse desprezível?
10.62 A Figura 20 mostra três ioiôs idênticos que
estão inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal.
Para cada ioiô o fio é puxado conforme indicado. Em cada caso
existe atrito suficiente para cada ioiô rolar sem deslizar.
Desenhe um diagrama do corpo livre para cada ioiô. Qual é o
sentido da rotação de cada ioiô? (Tente fazer essa experiência!)
Explique suas respostas.
Figura 20
10.63 Como indicado na Figura 11 um fio é enrolado
diversas vêzes cm torno da periferia de um pequeno aro de raio
0.0800 m e massa igual a 0.180 kg. A extremidade livre do fio
e puxada de baixo para cima de um modo exato tal que o aro
não se move verticalmente quando o fio é desenrolado,
(a) Ache essa tensão exata no fio.
(b) Calcule a aceleração angular do aro enquanto o fio
se desenrola,
(c) Ache a aceleração de baixo para cima ila mão que
puxa o fio.
(b) Quais as modificações das suas respostas se o aro
fosse substituído por um disco maciço com o mesmo raio e a
mesma massa ?
10.64 Em uma experiência de laboratório você faz
uma bola homogênea rolar para baixo de um trilho curvo.
A bola parte do repouso e rola sem deslizar. Enquanto
esta sobre o trilho, a bola desce uma distância h. A
extremidade inferior do trilho ê horizontal e se estende
para fora da extremidade da mesa do laboratório; a bola
abandona o trilho se deslocando horizontalmenie. Durante
a queda livre depois de abandonar o trilho, a bola se move
até uma distância horizontal x e uma distância vertical y.
(a) Determine y em lermos de h e de x,
desprezando o trabalho realizado pelo atrito,
(b) A resposta do item (a) seria diferente se a
experiência tosse feita na Lua ?
(c) Ao fazer a experiência com muito cuidado, o
valor de v medido é menor do que o calculado no item
(a). Por quê?
(d) Qual seria o valor de y para o mesmo h e y do
item (a) se você fízesse uma moeda de um real rolar para
baixo do trilho ? Despreze o trabalho realizado pelo trilho.
10.65 Em uma catapulta de mola, a constante da
mola é igual a 400 N/m c a mola sofre uma compressão
de 0.15 m. Quando ela e disparada, 80% da energia
potencial elástica armazenada na mola é convertida em
energia cinética para uma bola uniforme de 0.0590 kg que
estava rolando sem deslizar na base de uma rampa. A bola
continua a rolar sem deslizar subindo a rampa com 90%
da energia cinética que ela possuía na base convertida em
energia potencial gravitacional no momento em que ela
pára.
(a) Determine a velocidade do centro de massa
da bola na base da rampa,
(b) Nessa posição, qual é a velocidade de um
ponto no topo da bola ?
(c) Nessa posição, qual ê a velocidade de um
ponto na base da bola ?
(d) Qual é a altura vertical máxima acima da
base da rampa atingida pela bola ?
10.66 Quando uma roda rola ao longo de uma
superfície horizontal com velocidade constante, as
coordenadas de um ponto na periferia da roda são:
x  t   R  1  sen  2  t T 
e y  t   R  1  cos  2  t T  onde R e T são
constantes,
(a) Faça um desenho da trajetória do ponto desde
t = 0 até t = 2T.
A curva obtida denomina-se ciclóide.
(b) Qual é o significado das constantes R e T?
(c) Determine os componentes x e y da
velocidade e da aceleração do ponto em função de t.
(d) Ache os instantes para os quais o ponto
permanece momentaneamente em repouso. Quais são os
componentes x e y nesse instante ?
(e) Ache o módulo da aceleração do ponto. Ele
depende do tempo?
Compare o resultado com o módulo da
aceleração de uma partícula com movimento circular
uniforme, a  4 R T . Explique seu resultado para o
modulo da aceleração de um ponto sobre a roda que rola
lembrando-se de que o rolamento sem deslizamento é
uma combinação de um movimento de rotação e de
2
2
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translação.
10.67 Urna criança faz uma bola de basquete de 0.600
kg rolar para cima de uma rampa longa. A bola de basquete
pode ser considerada uma casca esférica. Quando a criança
larga a bola na base da rampa, ela possui velocidade igual a 8.0
m/s. Quando a bola retorna para a base ela possui velocidade
igual a 4.0 m/s. Suponha que o trabalho realizado pelo atrito na
subida seja igual ao trabalho realizado pelo atnto na descida da
bola e que a bola rola sem deslizar. Ache a altura máxima
atingida pela bola quando ela sobe a rampa.
10.68 Uma roda partindo do repouso gira em torno de
um eixo fixo que passa em seu centro de massa de tal modo
que  = bt3, onde b é uma constante positiva com unidades
rad/s .
(a) Use a equação: W 
2
  d para mostrar que o
1
trabalho realizado pelo torque resultante sobre a roda quando
ela girou de um ângulo  é dado por:
2
4
9
I cmb 3  3
2

d
(b) Use a equação:   lim
 
t 0 t
dt
W
para calcular a velocidade angular da roda quando ela girou de
um ângulo .
(c) Use o resultado da parte (b) para calcular a energia
cinética da roda depois que ela girou de um ângulo . O
teorema do trahalho-energia. A equação é obedecida ?
Explique.
10.69 Um cilindro homogêneo de massa M e raio 2R
esta em repouso sobre o topo de uma mesa. Um fio é ligado por
meio de um suporte duplo preso às extremidades de um eixo
sem atrito passando através do centro do cilindro de modo que
o cilindro pode girar em torno do eixo. O fio passa sobre uma
polia em forma de disco de massa M e raio R montada em um
eixo sem atrito que passa em seu centro. Um bloco de massa M
é suspenso na extremidade livre do fio (Figura 20). O fio não
desliza sobre a superfície da polia, e o cilindro rola sem
deslizar sobre o topo da mesa. Calcule o módulo da aceleração
do bloco quando o sistema é libertado a partir do repouso.
Figura 20 -
10.70 Uma barra uniforme de 0.0300 kg e
comprimento de 0.400 m gira em um plano horizontal em torno
de um eixo lixo passando em seu centro e perpendicular ã
barra. Dois pequenos anéis, cada um com massa de 0.0200 kg,
são montados de forma que eles possam deslizar ao longo da
barra. Eles inicialmente estão presos por pregadores em
distâncias afastadas de 0.0500 m do centro da barra, e o
sistema começa a girar com 30.0 rev/min. Sem alterar
nada no sistema, os pregadores são libertados e os anéis
deslizam ao longo da barra e saem pelas suas
extremidades.
(a) Qual é a velocidade angular da barra no
instante em que os anéis atingem as extremidades dela ?
(b) Qual é a velocidade angular da barra depois
que os anéis saem pelas suas extremidades ?
10.71 Uma barra uniforme de comprimento L
repousa sobre uma superfície horizontal sem atrito. A
barra possui um pivô, de modo que ela pode girar sem
atrito em torno de um eixo passando por uma das suas
extremidades. A barra está inicialmente em repouso. Uma
bala se deslocando com velocidade v ortogonal à barra e
paralela à superfície atinge o centro da barra e permanece
retida em seu interior. A massa da bala é um quarto da
massa da barra.
(a) Qual é a velocidade angular final da barra ?
(b) Determine a razão entre a energia cinética do
sistema depois da colisão e a energia cinética da bala
antes da colisão.
10.72 A porta sólida de madeira de um ginásio
tem largura de 1.00 m e altura de 2.00 m, sua massa total
é igual a 35.0 kg e ela possui uma articulação em um dos
seus lados. A porta esta aberta e em repouso quando uma
bola de basquete colide Irontalmente no centro da porta,
aplicando sobre ela uma força média igual a 1500 N
durante 8.00 ms. Calcule a velocidade angular da porta
depois da colisão. (Sugestão: Integrando a Equação

dL
i  i  dt , obtemos:

t2
L    dt    
méd
 t
t1
t2
A integral
   dt
denomina-se impulso
t1
angular.
10.73 Um alvo é constituído por uma placa
quadrada de madeira vertical com lado igual a 0.250 m e
massa de 0.750 kg, pivotada em um eixo horizontal
situado em seu topo. A placa á atingida frontal mente em
seu centro por uma bala de massa igual a 1.90 g que se
desloca a 360 m/s e que fica relida no interior da placa.
(a) Qual é a velocidade angular da placa logo
após o impacto da bala ?
(b) Qual é a altura máxima atingida pelo centro
de massa da placa antes que ela comece a oscilar para
baixo novamente ?
(c) Qual deveria ser a velocidade mínima da bala
para que a placa completasse a rotação passando a girar
em torno do eixo depois do impacto ?
10.74 Aceleração repentina de uma estrela de
nêutrons. Ocasionalmente uma estrela de nêutrons
(Exercício 10.32) sofre uma aceleração repentina e
inesperada conhecida como glitch. Uma explicação é que
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o glitch ocorre quando a crosta da estrela de nêutrons sofre uma
pequena sedimentação, fazendo diminuir o momento de inércia
em torno do eixo de rotação. Uma estrela de nêutrons com
velocidade angular 0 = 70.4 rad/s sofreu um glitch em outubro
de 1975 que fez sua velocidade angular aumentar para  = 0 +
, onde  / 0 = 2.01.10-6. Se o raio da estrela de nêutrons
era de 11 km, qual foi sua diminuição na sedimentação dessa
estrela ? Suponha que a estrela de nêutrons seja uma esfera
maciça e homogênea.
10.75 Dois discos A e B são montados em um disco SS
e podem ser conectados ou desligados por meio de uma
embreagem C (Figura 21). O disco A é feito de um material
mais leve que o de B, de modo que o momento de inércia de A
em torno do eixo é um terço do momento de inércia de B. O
momento de inércia do eixo e da embreagem são desprezíveis.
Quando a embreagem está conectada, o disco A é levado a uma
velocidade angular 0. O torque acelerador é então removido
de A, e a seguir o disco A é acoplado ao disco B pela
embreagem. (Despreze o atrito nos mancais.) Nota-se que são
produzidos 2400 J de energia térmica na embreagem quando a
conexão é feita. Qual é a energia cinética inicial do disco A ?
S
S
A
C
B
FIGURA 21.
10.76 Um pequeno bloco de massa 0.250 kg está
amarrado por um fio que passa por um orifício em uma
superfície horizontal. O bloco está inicialmente em um círculo
com raio igual a 0.800 m em torno do orifício com velocidade
tangencial igual a 4.00 m/s. O fio a seguir é puxado por baixo
lentamente, fazendo o raio do círculo se reduzir. A tensão de
ruptura do fio é igual a 30.0 N. Qual é o raio do círculo quando
o fio se rompe ?
10.77 Um disco horizontal de madeira compensada de
massa igual a 7.00 kg e diâmetro de 1.00 m e pivotado em
mancais sem atrito em tomo de um eixo vertical passando em
seu centro. Você monta sobre o disco um modelo circular de
trilhos com massa desprezível e diâmetro igual a 0.95 m. Um
trem de brinquedo com 1.20 kg movido por uma bateria está
em repouso sobre os trilhos. Para demonstrar a conservação do
momento angular, você liga o motor do trem. O trem se move
no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, atingindo logo
uma velocidade constante de 0.600 m/s em relação aos trilhos.
Ache o módulo, a direçao e o sentido da velocidade angular do
disco em relação a Terra.
10.78 Uma partícula de massa m se move com
velocidade constante v em um círculo de raio R que está a uma
distancia R acima do plano xz. Outra partícula de massa m se
move do mesmo modo e com a mesma velocidade em outro
círculo de raio R situado a uma distancia R abaixo do plano xz.
As duas partículas giram com uma defasagem de meia
revolução, de modo que quando uma está no ponto (x, R, R) a
outra está no ponto (-x, -R,-z). Assim, o centro de massa das
partículas coincide com a origem O, porem o eixo de rotação (o
eixo O não e um eixo de simetria.
(a) Faça um esboço dessas partículas no instante
em que elas eslão no ponto (R, R, 0) e (-R, -R, 0) e mostre
os seguintes vetores em relação à origem: posição,
velocidade e momento angular.
(b) Mostre que em qualquer instante as duas
partículas possuem o mesmo momento angular,

(c) Qual e o angulo entre  (o vetor velocidade
angular do sistema das duas partículas) e o vetor
momento angular total do sistema ?
(d) Mostre que o componente v do momento
angular total do sistema e constante e igual a Ly = 2mvR.
(e) Qual e o componente v do torque resultante
que atua sobre o sistema ?
(f) Ache o módulo da força resultante que atua
sobre cada partícula e o módulo do Iorque total que atua
no sistema.
(g) Mostre, usando seu esboço do item
(a), a direção e o sentido do torque resultante sobre o
sistema e verifique se esse torque é paralelo ao plano xz.
10.79 Rm um laboratório de Física, você realiza
a seguinte experiência de pêndulo balístico. Usando uma
espingarda de mola, você dispara uma bala com massa m
e velocidade v na direçao da horizontal. A bala fica
imediatamente presa a uma distancia r abaixo de um eixo
sem atrito por um dispositivo de massa M que a retêm e
que pode girar sem atrito em torno do pivô. O momento
de inércia desse dispositivo em torno do pivô ê igual a I.
A distância r é muito maior do que o raio da bala.
(a) Use a lei da conservação do momento
angular para mostrar que a velocidade angular do sistema
logo após o momento em que a bala é retida e dada por:

mvr
m  r2  I
(b) Depois que a bala fica retida, o centro de
massa do sistema bala+dispositivo retentor oscila para
cima e atinge uma altura máxima h. Use a lei da
conservação da energia para mostrar que:

2  M  m  g  h
m  r2  I
(c) Sua amiga de laboratório diz que o momento
linear é conservado na colisão e deduza relação mv=
(m+M)V, onde V é a velocidade da bala depois da colisão.
Ela a seguir usa a lei da conservação da energia para
mostrar que:
V  2g  h
, logo: m  v   m  M   2 g  h
Use os resultados dos itens (a) e (b) para mostrar que esse
resultado é satisfeito somente no caso particular quando r
for obtido da relação I = M r2.
10.80 Um corredor de 55 kg corre na periferia de
uma mesa giratória montada em um eixo vertical sem
atrito passando cm seu centro. A velocidade do corredor
em relação à Terra possui módulo de 2.8 m/s. A mesa
giratória gira em sentido contrário com velocidade
angular de módulo igual a 0.20 rad/s em relação ã Terra.
O raio da mesa ê de 3.0 m e seu momento de inércia em
torno do eixo de rotação ê igual a 80 kg.m2. Calcule a
velocidade angular do sistema quando o velocista fica em
repouso em relação à mesa giratória. (O velocista pode ser
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Capítulo 10 – Torque e Momento angular
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considerado uma partícula.)
(a) Faça um desenho e mostre que em qualquer
10.81 Uma bicicleta caindo. O momento de inércia
da roda dianteira de uma bicicleta em torno de seu eixo ê igual
a 0.085 kg.m², seu raio ê de 0.33 m, e a velocidade da bicicleta
para a frente é igual a 6,00 m/s. Calcule a velocidade angular
da roda dianteira cm torno de um eixo vertical para
contrabalançar o torque que tende a fa/er a bicicleta virar
produzido por uma massa de 50.0 kg situado a uma distância
horizontal de 0.040 m da linha que liga os pontos de conlato
das rodas com o solo. (Ciclista: Compare sua resposta com sua
própria experiência e verifique se sua resposta é ra/oável.)
10.82 Centro de percussão. Um bastão de bola de
beisebol está em repouso sobre uma superfície hori/onlal sem
atrito. O bastão possui comprimento de 0,900 m. massa de
0,800 kg e seu centro de massa está situado a 0.600 m da
extremidade do punho do bastão (Figura 22). O momento de
inércia do bastão em relação ao centro de massa ê igual a
0.0530 kg.m² . O bastão é golpeado por uma bola de beisebol
que se desloca ortogonalmente a ele. O impacto fornece um
impulso J 
t2
 Fdt
em um ponto situado a uma distância x do
t1
punho do bastão. Qual deve ser o valor de x para que a
extremidade do punho do bastão permaneça em repouso á
medida que o bastão se move? (Sugestão: Considere o
movimento do centro de massa e a rotação em (orno do centro
de massa. Ache v de modo que a combinação dos dois
movimentos forneça v = 0 para a extremidade do bastão logo
após a colisão. Note também que a integração da Equação

dL
i  i  dt

t2
fornece
L    dt    
méd
 t
t1
(Problema 10.72).) O ponto que você localizou denomina-se
centro de percurssão. Quando uma bola de beisebol colide no
centro de percussão, ocorre uma diminuição da força de
"picada" que o batedor sente nas mãos.
Figura 22
10.83 Considere um giroscópio com um eixo que não
esta na direção horizontal, mas possui uma inclinação  em
relação á horizontal. Mostre que a velocidade angular da
precessão não depende do valor de  porém é dada pela
equação (10.36).
PROBLEMAS DESAFIADORES
10.84 Uma bola uniforme de raio R rola sem deslizar
entre dois trilhos de tal modo que a distância horizontal entre
os dois pontos de eontato entre a bola e os trilhos seja igual a d.
instante
vcm    R 2  d 2 4 . Discuta essa expressão
nos limites d = 0 e d = 2R.
(b) Para uma bola uniforme partindo do repouso
e descendo uma distância vertical h enquanto rola sem
deslizar para baixo de uma rampa, temos,
vcm 
10 g  h
. Trocando a rampa pêlos dois trilhos,
7
mostre que:
vcm 
10 g  h
2
5
d2
1 2
4R
Em cada um desses casos, o trabalho realizado pelo atrito
foi desprezado.
(c) Qual das duas velocidades indicadas na parte
(b) e a menor ? Por quê? Raciocine em termos de como a
energia potencial e dividida entre o ganho da energia
cinética da translação e da energia cinética da rotação,
(d) Para qual valor da razão d/R as expressões
das duas velocidades da parle (b) diferem de 5.0% e
quando diferem de 0.50% ?
10.85 Quando um objeto rola sem deslizar, a
força de atrito de rolamento é muito menor do que a força
de atrito quando o ohjelo desliza sem rolar; uma moeda de
um real rola sobre sua periferia mais rapidamente do que
quando ela desliza com sua face voltada para baixo. (Veja
a Seção 5.4.) Quando um objeto rola sem deslizar ao
longo de uma superfície horizontal, podemos desprezar a
força de atrito, de modo que a e  são nulos e v e  são
constantes. Rolar sem deslizar implica v = R e a = r.
Quando um objeto se desloca sobre uma superfície sem
obedecer a essas igualdades, o atrito (cinético) de
deslizamento está aluando sobre o objeto ã medida que
ele desliza até que o rolamento sem deslizamento começa
a ocorrer. Um cilindro homogêneo de massa M e raio K.
girando com velocidade angular 0 em torno de um eixo
passando em seu centro, é lançado sobre uma superfície
horizontal sobre a qual o coeficiente de atrito cinético é
C.
(a) Faça um diagrama do corpo livre para o
cilindro sobre a superfície. Pense com cuidado sobre o
sentido da força de atrito sobre o cilindro. Calcule a
aceleração a do centro de massa do cilindro e a aceleração
angular  em torno do centro de massa do cilindro,
(b) No início o cilindro desliza sem rolar, então
 = 0 mas v = 0. O rolamento sem deslizamento começa
quando v = R. Calcule a distância que o cilindro
percorre no momento em que termina o deslizamento,
(c) Calcule o trabalho realizado pela força de
atrito sobre o cilindro desde o momento em que ele toca a
superfície até o momento em que começa o rolamento
sem deslizamento.
10.86 Um giroscópio de demonstração pode ser
construído retirando-se o pneu de uma roda de bicicleta
com diâmetro de 0.650 m, enrolando-se um fio de
chumbo no aro e fixando-o nele. O eixo se projeta 0.200
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m para cada lado da roda, e uma garota apoia as extremidades
do eixo em suas mãos. A massa do sistema é igual a 8.00 kg;
toda a sua massa pode ser considerada concentrada em sua
periferia. O eixo é horizontal, e a roda gira em torno do eixo
com 5.00 rev/s. Ache o módulo, a direção e o sentido da força
que cada mão exerce sobre o eixo
(a) quando o eixo está em repouso;
(b) quando o eixo está girando em um plano horizontal
em torno do seu centro com 0.050 rev/s;
(c) quando o eixo está girando em um plano horizontal
em torno do seu centro com 0.300 rev/s.
(d) Com que taxa o eixo deve girar de modo que ele
possa ser suportado apenas em uma das suas extremidades ?
10.87 Um bloco de massa m está girando com
velocidade linear v, em um círculo de raio r1, sobre uma
superfície horizontal sem atrito. O fio é puxado por baixo até
que o raio do círculo no qual o bloco se move é reduzido a um
valor r2.
(a) Calcule a tensão T no fio em função de r, a
distância entre o bloco e o orifício. Dê sua resposta em função
da velocidade inicial v e do raio r1.
r2
 

(b) Use a relação W  T  r   dr para calcular o

r
 1
trabalho realizado pela tensão T quando r varia desde r1 até r2.
(c) Compare o resultado do item (b) com a variação da
energia cinética do bloco.
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Capítulo 10 – Exercícios resolvidos pares
 Editora Pearson
10-2:
10-20: (a)
 1  (8.00 N )(5.00 m)   40.0 N  m,
 2  (12.0 N )( 2.00 m) sin 30o  12.0 N  m,
onde o torque positivo está no sentido anti-horário, de modo que o
torque resultante é –28.0 Nm, onde o sinal negativo indica um torque sentido
horário, ou um torque para dentro da página .
10-4:
 1   2   F1 R  F2 R  ( F2  F1 ) R
 (5.30 N  7.50 N )( 0.330 m)   0.726 N  m.
(a)
10-6:
  I  I
(b)
A velocidade angular da bola deve diminui, e portanto o
torque é determinado pela força de atrito que para cima .
(b) A força de atrito resulta em uma aceleração angular,
relacionada por : I = fR.
A equação do movimento é mg sin  - f = mcm, enquanto
que a aceleração angular é relacionada por: cm = R (observe que a
aceleração positiva é considerada ser para baixo, e que a relação entre
cm e  está correta para uma força de atrito direcionada para cima ).
Combinando as equações acima, temos:
I 

mg sin   ma 1 
 ma (7 / 5),
2 
 mR 
2 rad / s 

 400 rev / min x


60 rev / min 
 ( 2.50 kg  m 2 ) 
 13.1 N  m.
t
(8.00 s )
1 2 1
2 rad / s 

3
I  (2.50 kg  m 2 )  400 rev / min x
  2.19 x 10 J .
2
2
60 rev / min 

do qual obtemos: cm = (5/7)g sin .
(b) Das relações entre f e cm, , dadas acima, temos:
2
10-8:
 FR (40.0 N )( 0.250 m)
 

 2.00 rad / s 2 .
2
I
(5.0 kg  m )
I
2
2
f  macm  mg sin    s    s mg cos  ,
5
7
da qual obtemos: s  (2/7) tan .
10-22: (a)
10-10:
(a) O cilindro não se move, então a força resultante deve
ser nula. O cabo exerce uma força horizontal para a direita, e a gravidade uma
força para baixo, então a força normal deve ser para cima e para a esquerda
conforme mostrado na figura Fig. (10-8).
(b)N = (9.0 N ) 2  ((50 kg)( 9.80 m / s 2 )) 2  490 N ,
Em um ângulo de arctan  9.0 

  1.1
 490 
o

P


(175 hp )( 746 W / hp )
  rad / s
( 2400 rev / min) 
 30 rev / min
(b)
10-24:
a partir da vertical (o peso é
P =  = (4.30 Nm)
2 rad / s 

 4800 rev / min x
  2161W ,
60 rev / min 

10-12:
Esta é a mesma situação apresentada no Exemplo 10-3.
(a) T = mg/(1 + 2m/M) = 42.0 N.
(b) v  2 gh /(1  M / 2m)  11.8 m / s.
ou 2.9 hp.
10-26:
Existem muitas formas de se encontrar o tempo de queda . Ao invés
de se realizar os cálculos intermediários da aceleração, o tempo é a distância
dividida pela velocidade média, ou seja h/(v/2) = 1.69 s.
A força normal na Fig. (10-1-9(b)) é a soma da tensão encontrada na
parte (a) e o peso do molinete, um total de 159.6 N (mantido os algarismos
significativos da parte (a)).
I
1
1
mL2  (117 kg)( 2.08 m) 2  42.2 kg  m 2
12
12
(a)
 1950 N  m
 
 46.2 rad / s 2 .
2
I
10-14:

Fl
3F
 

.
1 2
Ml
3
(b)
2
K2  Mvcm
 vcm  gh,   vcm / R  33.9 rad / s
10-18: (a) A aceleração ladeira abaixo é:
f
m
sendo que o torque relativo ao centro da concha é dado por:
a 2
a 2
 M R 2  MRa ,
R 3
R 3
então f 2 Resolvendo simultaneamente relações para
 a.
M 3
a e f encontramos: 5
3
  2
(c) Tanto de
10-16: Veja o Exemplo 10-6 e o Exercício 10-17. Para este caso
temos:
  Rf  I  I
42.2 kg  m
  2(46.2 rad s2 )(5.0 rev x 2 rad rev)  53.9 rads
Ml
a  g  sen 
 519 N  m.
W = Δ = (519 Nm)(2) = 3261 J.
Da Eq. (10-26), a potência de saída é:
muito maior que a força F aplicada).
I



a  g sen  
3
3
a  g sen   (9.80 m / s 2 )sen 38.0o  3.62 m / s 2
5
5
2
2
f  Ma  (2.00 kg )(3.62 m / s 2 ) 4.83 N
3
3
A força normal é: Mg cos , e desde que f sN, então finalmente temos:
2
3
Ma
g sen 
f
2 a
25
2
3
s  


 tan   0.313.
N Mg cos  3 g cos  3 g cos  5
(b) a = 3.62 m/s2 , visto que ela não depende da massa . Contudo, a
força de atrito é duas vezes maior, 9.65 N, visto que ela também não depende
da massa . O valor mínimo de  s também não varia.
W  
1
como da Eq. (10-24),
W  K  I 2
2
= (1950 Nm)(5.00 rev x 2 rad/rev) = 6.13 x 104 J.
(d) O tempo pode ser encontrado da aceleração angular e do
ângulo total, enquanto que a potência instantânea é encontrada de
P =  = 105 kW(141 hp).
A potência é metade desse valor, isto é: 52.6 kW.
10-28: Apenas como interesse, o momento de inércia da
mulher com relação ao eixo do disco é mR2, e portanto o momento
angular total é:
1

L  Ldisk  Lwoman  ( I disk  I woman )   M  m  R 2
2

1

  110 kg  50.0 kg  ( 4.00 m) 2 (0.500 rev / s x 2 rad / rev )
2

 5.28 x 10 3 kg  m 2 / s.
10-30: Para ambas as partes, L = I. Também ,  = v/r,
e portanto: L = I(v/r).
(a) L = (mr2)(v/r) = mvr
L = (5.97 x 1024 kg)(2.98 x 104 m/s)(1.50 x 1011 m) = 2.67 x 1040 kgm2/s
(b) L = (2/5 mr2)()
L = (2/5)(5.97 x 1024 kg)(6.38 x 106 m)2 (2 rad/(24.0 hr x 3600 s/hr))
= 7.07 x 1033 kgm2/s
Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson
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10-32:
O momento de inércia é proporcional ao quadrado do raio, e
portanto a velocidade angular será proporcional ao inverso do
quadrado do raio, e dessa forma a velocidade angular final é:
(b) Para se manter uma velocidade angular constante, o
torque  resultante é nulo e, a força é:
F =
 R1  
  7.0 x 105 km 
2 rad
3
 
  4.6 x 10 rad / s.
  
 R2   (30 d )(86,400 s / d )   16 km 
2
2
 2  1 
10-34:
1
I 1  (0.400 kg  m 2 )  (8.00 kg)(1.80 m) 2  2.56 kg  m 2 ,
12
2 rad / s 

2
120 rev / min x
 (1.86 kg  m )
60 rev / min 
 3.6 s.
(6.50 N  m)
I 
t 

f f
e o seu momento de inércia final é:
L
I 2  (0.400 kg  m 2 )  (8.00 kg)( 25 x 102 m) 2  0.9 kg  m 2 ,
portanto da EQ. (10-33), temos:
I1
2.56 kg  m 2
 (0.40 rev / s )
 1.14 rev / s.
I2
0.9 kg  m 2
Observe que este tempo pode também se encontrado como:
10-46: (a)
O momento de inércia não é dado, então a aceleração
angular deve ser encontrada através das equações da cinemática, isto é:
I 1  I 0  1200 kg  m 2 ,
2 2s
2(5.00 m)


 8.33 rad / s 2 .
t 2 rt 2 (0.30 m)( 2.00 s ) 2
(b) t = (8.33 rad/s2)(2.00 s) = 16.67 rad/s.

I 2  I 0  mR 2  1200 kg  m 2  (40.0 kg)( 2.00 m) 2  1360 kg  m 2 .
Então da Eq. (10-33),
I  2 rad  1200 kg  m 2
 2  1 1  
 0.924 rad / s.

I 2  6.00 s  1360 kg  m 2
10-38:
(c) O trabalho realizado pela corda sobre o volante será a
energia cinética final, isto é:
K = W = Fs = (40.0 N)(5.0 m) = 200 J.
Faça a largura da porta ser l;
L
mv(l / 2)
I (1 / 3) Ml 2  m(l / 2) 2
 

(d)
(0.500 kg)(12.00 m / s )( 0.500 m)
 0.223 rad / s.
(1 / 3)( 40.0 kg)(1.00 m) 2  (0.500 kg)( 0.500 ) 2
I
Ignorando a massa do barro no denominador da expressão acima,
resulta em  = 0.225 rad/s, portanto a massa de barro afeta o momento de
inércia em seu terceiro algarismo significativo .
10-48: (a)
iˆ x ˆj  kˆ,
10-40: (a) Como o giroscópio esta trabalhando no plano horizontal, lá não pode
ter uma força vertical sobre ele, então a força que o eixo exerce deve ser igual
em módulo ao peso do giroscópio, isto é:
F =  = mg = (0.1540 kg)(9.80 m/s2) = 1.372 N, ou 1.37 N para três
algarismos significativos.
(b) Resolvendo a Eq. (10-36) para , temos:

2.60 N  m
.
6.50 N  m
t  (9.00 s )
Observe que a conversão de rev/s para rad/s não é necessária.
Faça
10-36:
(6.50 Nm + 24.96 Nm) = 62.9 N.
(c) O tempo t necessário para recuperar a parada é
encontrado do módulo da (10-27), com  = f constante, ou seja:
O momento de inércia inicial do patinador é:
 2  1
1
0.500 m
2K
2

2(200 J )
 1.44 kg  m 2 .
(16.67 rad / s ) 2
Da regra da mão direita, a direção do torque é:
ou seja a direção
+z .
(b)
(c)
wR
(1.372 N )( 4.00 x 10 2 m)

 160 rad / s,
I (1.20 x 10 4 kg  m 2 )( 2 rad / 2.20 s )
a qual é 1.53 x 103 rev/min. Observe que nesta ou em outra situação
similar, desde que  apareça no denominador da expressão para , a conversão
entre rev/s e rev/min deve ser feita.
(c)
(d) O módulo do torque é F0(x- x2/L), o qual possui seu
valor máximo em L/2.
(e) O valor do torque em x =L/2 é F0L/4.
10-50: (a)
De considerações geométricas, o braço da alavanca e o
seno do ângulo entre
10-42:
Utilizando a Eq. (10-36) para todas as partes, temos:
(a) Compartilhado igualmente
(b) Dobrado (supondo que o peso adicionado seja distribuído de tal
modo que tanto r como I não se modifiquem)
(c) Compartilhado igualmente (supondo que tanto  como r não
variam)
(d) Dobrado
(e) Inalterado .
10-44: (a) O torque resultante deve ser:
2 rad / s 

 120 rev / min x


2
60 rev / min   2.60 N  m.
  I  I
 (1.86 kg  m )
t
(9.00 s )




Este torque deve ser a soma da força aplicada FR e os torques
opostos
f
de
atrito
no eixo , e também fr = kr devido a faca . Combinando essas,
temos:
1
(   f   k r )
R
1

(( 2.60 N  m)  (6.50 N  m)  (0.60)(160 N )( 0.260 m))
0.500 m
 68.1 N .
F
 
F er
são ambos máximo se a corda estiver
presa no final da haste
(b)Em termos da distancia x onde a corda está presa, o módulo
da força é: Fxh / x 2  h 2 .
Esta função satisfaz seu máximo no limite quando x = h,
então a corda deveria estar presa no lado direito da haste.
(c) Em função de x, l e h, o módulo do torque é:
xh
 F
.
( x  l / 2) 2  h 2
Esta fórmula mostra que existem dois aspectos ao se aumentar o
torque: maximizando o braço l da alavanca e maximizando sin .
Diferenciando  com relação a x e fazendo-se igual a zero temos:
xmax = (l/2)(1+ (2h/l)2). Este será o ponto no qual deve-se
prender a corda, a não ser que 2h > l, no qual a corda deveria ser presa
em um ponto adicional, a direita, em x = l.
10-52:
Na figura (10-19) e Eq. (10-22), com o ângulo  medido a
partir da vertical , sen  na Eq. (10-2). O torque é então:
 = FR cos .
(a) W   / 2 FR cos  d  Fr.

0
(b) Na Eq. (6-14), dl é a dist6ancia horizontal que os
pontos se movem, e portanto temos: W = F ∫ dl = FR, que é o mesmo
resultado encontrado em (a).
(c) De K  W  ( MR 2 / r ) 2 ,   4 F / MR .
2
Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson
Capítulo 10 – Torque e Momento angular
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
(d) O torque, e por conseqüência a aceleração angular, é maior
quando  = 0, e no ponto  = (/I) = 2F/MR, e portanto a aceleração tangencial
máxima é: 2F/M.
(e) Utilizando o valor para  encontrado na parte (c), temos:
arad = 2R = 4F/M.
10-54: No ponto de contato as paredes exercem uma força de atrito f
direcionada para baixo e uma força norma direcionada para a direita. Esta é
uma situação onde a força resultante sobre o cilindro é nula, então torques de
equilíbrio não seriam correto. Forças verticais de equilíbrio, Frod cos  = f + 
+ F, e forças horizontais de equilíbrio , Frod sin  = N. Com f = kN, essas
equações se tornam: Frod cos  = kN + F + ,
Frod sin  = N.
(a) Eliminando N e resolvendo para Frod temos:
F
(16.0 kg)( 9.80 m / s 2 )  (40.0 N )
Frod 

 266 N .
cos    k sin 
cos 30o  (0.25) sin 30o
(b) Com respeito ao centro do cilindro, a corda e a força normal
exercem torque nulo . O módulo do torque resultante é (F – f)R, e f = kN pode
se encontrada por inserção do
valor encontrado para Frod dentro de ambas as
relações acima , isto é: f = kFrod sen  = 33.2 N. Portanto,
 (40.0 N  31.54 N )(18.0 x 10 m)
 
 4.71 rad / s .
10-64: (a) A energia cinética da bola quando ela deixa a
trilha (quando ela ainda está rolando sem deslizar) é :
(7/10)mv2, e este deve também ser o trabalho
realizado pela gravidade, isto é:
W = mgh, então v  10gh / 7. A bola fica no ar por um
tempo igual a: t  2 y / g , então x  vt  20hy / 7.
(b) A resposta não depende de g, então o resultado deveria
ser o mesmo sobre a lua .
(c) A presença de atrito de enrolamento diminuiria a
distancia .
(d) Para moeda em dólar, modelada como um disco
uniforme, temos:
K  (3 / 4)mv 2 , e portanto x  8hy / 3.
2
2
(0.260 kg  m 2 )
I
10-66:
(a)
10-56:
Para uma tensão T na corda, temos:
mg – T = ma e TR = I = a Eliminando T e resolvendo para
I
a , temos:
ag
R
.
m
g

,
m  I / R 2 1  I / mR 2
onde m é a massa do peso dependurado, I é o momento de inércia da
combinação do disco ( I = 2.25 x 10-3 kgm2 de acordo com o problema 9-75) e,
R é o raio do disco onde a corda está presa .
(b)R é o raio da roda (y varia de 0 a R) e T é o período de
rotação da roda.
(c) Diferenciando, temos:
(a) Com m = 1.50 kg, R = 2.50 x 10-2 m, a = 2.88 m/s2.
(b) Com m = 1.50 kg, R = 5.00 x 10-2 m, a = 6.13 m/s2.
A aceleração é maior no caso (b); com a corda presa ao disco
maior, a tensão na corda é capaz de aplicar um torque maior .
10-58: As aceleração dos blocos A e B terão o mesmo módulo a. Como a corda
não escorrega, a aceleração angular sobre a polia será:
a
R
  . Denotando as
tensões na corda como: TA e TB, as equações do movimento são:
vx 
2R 
 2t 
1  cos 

T 
 T 
 2 
 2t 
a x    R sin 

T 
 T 
vy 
2R
 2t 
sin 

T
 T 
 2 
 2t 
a y    R cos 
.
T 
 T 
 2t 
v x  v y  0 quando 
  2
a x  0, a y 
TB  mB g  m B a
(e)
ag
Então, a aceleração angular é:

m A  mB
m A  mB  I / R 2
a
m A  mB
g
R
m A R  mB R  I / R
E as tensões podem ser encontradas de:
2m A  mB  m A I / R 2
TA mA ( g  a )  g
m A  mB  I / R 2
2m  m A  m B I / R 2
TB mB ( g  a )  g B
.
m A  mB  I / R 2
Como verificação, pode ser demonstrado que :(TA – TB) R = I.
4 2 R
.
T2
4 R
 2 
 2t 
2  2t 
a x2  a y2    R cos 2 
  sin 
 2 .
T
T
T
 



 T
2
2
independente do tempo. Este é o módulo da aceleração radial para um
ponto se movimentando sobre um circulo de raio R com velocidade
angular constante igual a:
2
.
T
Para movimentos que consiste deste
movimento circular sobreposto com um movimento de velocidade

constante (a  0), a aceleração devido ao movimento circular será a
aceleração total .
10-68:
Diferenciando e obtendo a resposta para a parte (b), temos:

d
 
 3bt 2  3b   3b1 / 3 2 / 3 ,
dt
b

d
 
 6bt  6b   6b 2 / 3 1 / 3 .
dt
b
2/3
1/ 3

10-62: Na primeira situação a forca F e a força de atrito estão em direção
opostas, e a força de atrito gera um torque maior o qual tende a gerar um
movimento de rotação, para a direita, no iô-iô. A força resultante para a direita
é a diferença F – f, então a força resultante é para a direita enquanto o torque
resultante provoca uma rotação no sentido horário.
Na segunda situação, tanto o torque como a força de atrito tenta
girar o iô-iô no sentido horário e, o iô-iô se movimenta para a direita.
Na terceira situação, a força de atrito tenta movimentar o iô-iô
para a direita e, como a força aplicada é vertical, o iô-iô se movimenta para a
direita .
2
 T 
(d)
ou qualquer múltiplo de 2, então os tempos são múltiplos inteiros do
período T. As componentes das acelerações para estes tempos são:
m A g  TA  m A a
I
TA  TB  2 a,
R
onde a última equação é obtida pela divisão de  = I por R e substituindo por
 em termos de a. Somando-se as três equações, eliminamos ambas as tensões,
resultando em:
2
(a)
W   I cmd  6b2 / 3 I cm   1/ 3d  9 I cm b2 / 3 4 / 3 .
2
(b) A energia cinética é:
1
9
K  I cm 2  I cm b 2 / 3 4 / 3 ,
2
2
o que está de acordo com a Eq. (10-25); o trabalho total realizado é a
variação na energia cinética .
10-70:
(a)
Os anéis e as hastes exercem forças um sobre o
outro, mas não existe força resultante ou torque sobre o sistema, e
portanto o
momento angular será constante . Enquanto os anéis
deslizam na direção final, o momento de inércia varia e, a velocidade
angular final é dada pela Eq. (10-33), isto é:
Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson
Capítulo 10 – Torque e Momento angular
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
1
2
2 
 ML  2mr1 
I
5.00 x 10 4 kg  m 2 1
 2  1 1  1  12
  1 2.00 x 10 3 kg  m 2  4 ,
1
I2
2
2
 ML  2mr2 
 12

e portanto, 2 = 7.5 rev/min. Observe que a conversão de rev/min para rad/s
não é necessária.
(b) As forças e torques que os anéis e a haste exercem
mutuamente irão desaparecer, mas a velocidade angular comum será a mesma,
isto é: 7.5 rev/min.
10-72: Admitindo que o sopro esteja concentrado em um ponto (ou utilizando
um ponto médio escolhido favoravelmente), a uma distância r da dobradiça,
então:
  rF , e L  rF t  rJ .
ave
ave
ave
A velocidade angular é então:

L rFave t (l / 2) Fave t 3 Fave t



,
1 2
I
I
2 ml
ml
3
onde l é a largura da porta. Substituindo os valores numéricos dados,
encontramos:  = 0.514 rad/s.
10-74: Momento angular é conservado, então I   I  , ou , usando o
0
0
2
2
m 2 R 2
1

 , e .
(2mR 2 )( ) 2
6

Isto também é verdade para L , então o momento angular total faz um
2
e então cos
ângulo de  com o eixo +y.
6
(c) Dos cálculos intermediários da parte (c),
Ly1  mR 2  mvR,
então a componente y total do momento angular é:
Ly  2mvR.
(d) Ly é constante, então a componente resultante na
direção y do toque é nula.
(e) Cada partícula se movimenta em um circulo de raio R
com velocidade v, e portanto está sujeita a uma força para dentro cujo
2
módulo é mv /R. O braço de alavanca dessa força é R, então o torque
sobre cada tem módulo mv2. Estas forças estão direcionadas em direção
opostas para duas partículas, e os vetores de posição são opostos uns ao
outros, portanto os torques possuem o mesmos módulos e direção, e o
torque resultante tem módulo igual a 2mv2.
O momento angular inicial é I1 – mRv1, com o sinal
menos indicando que o movimento do corredor é oposto
ao movimento da plataforma giratória sobre seus pés. O
momento angular final é 2(I + mR2), então:
I  mRv1
2  1
I  mR 2
10-80:
fato de que para massas comuns o momento de inércia é proporcional ao
quadrado do raio, temos:
R 2  R 2 , ou
0
0
2
2
R020  ( R0  R) 2 (0   ) ~ R020  2R0 R0  R02  ,
onde os termos em
R0  0
2
R e  2
foram omitidos. Cancelando os termos
, temos:
R  
R0 
  1.1 cm.
2 0
10-76: A tensão está relacionada com a massa do bloco, a velocidade e o raio
do circulo através de:
T m
1 m 2 v 2 r 2 (mvr) 2 L2
T  mv 2 

 3.
r
m r3
mr 3
mr
velocidade angular irá variar de
 
velocidade será
O raio no qual a corda rompe pode ser relacionada ao momento
angular inicial através de:
L2
(mv1 r1 ) 2 (( 0.250 kg)( 4.00 m / s )( 0.800 m)) 2


,
mTmax
mTmax
(0.250 kg)( 30.0 N )
para o qual r = 0.440 m.
10-78:
(80 kg  m 2 )( 0.200 rad / s )  (55.0 kg)( 3.00 m)( 2.8 m / s )
2
(80 kg  m 2 )  (55.0 kg)3.00 m 
  0.776 rad / s,
onde o sinal negativo indica que a plataforma giratória
reverteu a sua direção de movimento (isto é, o homem tinha inicialmente
o maior módulo de momento angular) .

10-82:A velocidade do centro de massa irá variar de
v2
.
r
O momento angular do bloco com relação ao buraco é L = mvr,
então em termos de momento angular, temos:
r3 

vend  vcm  xcm 
Fazendo
I  ( x  xcm ) xcm m,
J
,
m
ea
J ( x  xcm ) A variação da
.
I
J J ( x  xcm ) xcm

.
m
I
permite o cancelamento de J, resultando em
o qual quando resolvido para x é:
(5.30 x 102 kg  m2 )
 (0.600 m)  0.710 m.
xcm m
(0.600 m)(0.800 kg)
10-84: (a) A distância do centro da bola ao centro da linha que une os
pontos onde a bola esta em contato com o trilho é:
x
(a), g)
vend  0
vcm 
I
 xcm 
R2  (d / 2)2 , então vcm   R2  d 2 / 4.
Quando d = 0, isto fica reduzido para
vcm  R,
que é o mesmo de estar rolando
sobre uma superfície plana . Quando d = 2R, o
raio de rolamento se aproxima de zero, e
vcm  0
para qualquer .
(b)
1
1
K  mv 2  I 2
2
2
2



1
vcm

 mvcm2  ( 2 / 5)mR 2 
2
2

2
 R  ( d / 4)  

(b) Utilizando a forma do produto vetorial para o momento
angular, temos: v1   v2 e r1   r2 , então
 
 
mr2 x v2  mr1 x v1 , então o momento angular é o mesmo .
 
(c) Seja   j . Então:
  
v1   x r1   ( ziˆ  xkˆ), e

 
L1  mr1 x v1  m (  xR)iˆ  ( x 2  y 2 ) ˆj  ( xR)kˆ .
Com x2 + y2 = R2, o módulo de


 
L1 é 2mR 2 , e L1    m 2 R 2 ,


mvcm2 
2
5
.
10  (1  d 2 / 4 R 2 ) 
Igualando isto a mgh e resolvendo para vcm dá o resultado desejado .
(c) O denominador na raiz quadrada da expressão para vcm é maior do
que para a situação quando d = 0, então vcm é menor . Para uma dada
velocidade,  é maior do que quando d = 0, portanto uma grande parte
da energia cinética é rotacional, daí a energia cinética de translação e por
conseqüência vcm, são menores.
(d) Tornando a expressão da parte (b) igual a 0.95 e resolvendo para a
razão d/R obtemos d/R = 1.05. Colocando igual a 0.995 obtemos d/R =
0.37.
10-86: Denotando por FL e FR as forças para cima exercida pelas mãos,

Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson
Capítulo 10 – Torque e Momento angular
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
as
condições que estas forças devem satisfazer são:
FL  FR  
FL  FR  
onde a segunda equação é
  L,
I
,
r
Gabarito –Gabarito – Exercícios Ímpares
Gabarito
Exercício
10.1
(a) para fora da página 40N  m (b) 34.6
N.m para fora da página (c) 20 N.m para
fora da página. (d) 17.3 N.m para dentro
da página (e) 0 (f) 0
10.3
2.50 N.m sentido anti-horário
dividido por r. Estas duas equações
podem ser resolvidas para as forças, através de, primeiro somando e então
subtraindo, o que conduz a:
1
I 
FL     

2
r 
1
I 
FR      
.
2
r 
Utilizando os valores de  = mg = (8.00 kg)(9.80 m/s2) = 78.4 N e
I (8.00 kg)( 0.325 m) (5.00 rev / s x 2 rad / rev )

 132.7 kg  m / s
r
(0.200 m)
10.5
(c)
 1.05N  m   kˆ
1.2 m/s
10.7
10.9
(a)
g  M  3m  1  2m M  (b)
2
obtemos:
10.11
FL  39.2 N  (66.4 N  s), FR  39.2 N  (66.4 N  s).
10.13
(a)  = 0, FL = FR = 39.2 N.
(b)  = 0.05 rev/s = 0.314 rad/s, FL = 160.0 N, FR = 18.4 N.
(c)  = 0.3 rev/s = 1.89 rad/s, FL = 165 N, FR = -86.2 N, como sinal negativo
indicando uma força para baixo .
FR = 0 obtemos  =
rev/s.
39.2 N
 0.575
66.4 N  s
rad/s, que é o mesmo que 0.0916
menor (c) nenhum efeito.
0.482
(a) 7.7 N na parte horizontal, 18.2 N na
parte suspensa.
(b)
0.0160kg  m2
10.17
(a) 0.882N (b) 0.533s (c) 33.9 rad/s
(a) 1/3 (b) 2/7 (c) 2/5 (d) 5/13
10.19
11.7m
10.15
10.21
10.23
0.309 rad s (b) 100J (c) 6.67W
(a) 0.38N  m (b) 160rad (c) 59J
(d) 59J
(a)
(b)65.6N
10.25
10.27
(a)
358N  m (b) 1.79 103 N (c)
83.8m/s
(a) para dentro da página 115kg  m
10.29
(b)para fora da página
s2
125kg  m2 s 2
4.71106 kg  m2 s
10.31
7rad / s
2
(c) 1.03 10 J
2
(d) 1.03 10 J
0.6rev
(a) 1.4 rad s (b) 1080 J antes ;
500 J depois
(b)
10.33
10.35
10.37
10.39
10.41
10.43
10.45
10.47
36.8min (b) 1.10 105 N  m
5.4 1022 N  m
(a) 0.955kg  m² (b) 0.0800N  m (c)
(a)
104 rev
(b) 4500W (d)
2600W
Exercícios – Sears & Zemanski, Young & Freedman – Física – 10ª Edição – Editora Pearson
Capítulo 10 – Torque e Momento angular
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Exercício
10.49
10.51
10.53
10.55
10.57
10.59
10.61
10.63
Gabarito
0.675s
(a) L/4 a partir da extremidade com a esfera
(b) (9g/8L)sen (c) (3g/2L)sen
1200 N
(a) 1.12 m/s² (b) 14.0 N
a = F/2m; f = F/2
(a) 0.957 m
(a) (27R – 17r)/10 (b) (5R – 3r)/2
(a)
1.76N (b) 123rad s 2 (c)
9.80 m s ²
(d)T possui o mesmo valor, os valores de  e
a dobrariam
10.65
10.67
10.69
10.71
10.73
10.75
10.77
10.81
10.85
(a)
9.34 m s (b) 18.7 m s
(c) 0 (d) 5.6m
3.4m
g/3
(a) 6v/19L (b) 3/19
(a) 5.60 rad/s (b) 3.17 cm (c) 1.01.103 m/s
3200 J
0.3 rad/s no sentido horário
12.7 rad/s
(a)
a   C  g;  2 C  g R
(b)
02  R2 18C g
(c) M  02  R2 6
10.87
(a)
(b)
m1  v12  r12 r 3
 m  v 2  r r 
1
2
1
1
2
2
(c)resultados iguais.
 1
