Aula 7

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Obs: a2 + 2ab + b2 também é chamado de
trinômio quadrado perfeito, porque é igual
ao quadrado de a+b.
Exemplo: Calcule
Produtos Notáveis
Alguns produtos, resultados da multiplicação
de binômio por binômio, são chamados de
produtos notáveis, por suas frequentes
aplicações nos cálculos algébricos.
Vejamos alguns deles:
Quadrado da soma de dois termos
O quadrado da soma de dois termos é igual
ao quadrado do primeiro termo, mais duas
vezes o produto do primeiro termo pelo
segundo e mais o quadrado do segundo
termo.
As letras a e b representam termos que
podem ser usados para expressar as
medidas dos lados de um quadrado.
O polinômio que representa essa área pode
ser determinado usando-se áreas de
quadrados e retângulos. Veja a figura a
seguir:
OBSERVAÇÃO:
-Um trinômio de 2º grau é quadrado perfeito
quando dois dos seus termos são quadrados
perfeitos.
Por exemplo: O trinômio x2 + 5x + 6 não é um
trinômio quadrado perfeito porque não tem
dois termos que sejam quadrados perfeitos.
OBSERVAÇÃO:
- Para fatorar um trinômio qualquer ax2 + bx
+ c na forma (x + m).(x + n) basta existirem
dois números cuja soma é b e cujo produto é
c.
Exemplo: O trinômio x2 + 5x + 6 não é um
trinômio quadrado perfeito, entretanto
podemos fatorá-lo na forma (x + m)(x + n).
Para este exemplo, temos que:
3+2=5
3.2 = 6
Onde 5 = b e 6 = c.
Observe a figura geométrica:
Podemos também, desenvolver (a+b)2
efetuando o produto de (a+b).(a+b) usando a
propriedade distributiva da multiplicação em
relação à soma algébrica:
(a+b).(a+b)= a(a+b) + b(a+b) =
= a2 + ab + ba + b2 =
= a2 + 2ab + b2
Completando esta figura com retângulos
obtemos:
53
Logo, dentre os valores listados na tabela,
temos que m = -3 e n = -4 ou m = -4 e n = -3.
Portanto, x2
7x + 12 = (x - 3).(x - 4)
Quadrado da diferença de dois termos
O quadrado da diferença de dois termos é
igual ao quadrado do primeiro termo, menos
duas vezes o produto do primeiro termo pelo
segundo e mais o quadrado do segundo
termo.
Assim, a área do retângulo maior é dada por:
x2 + 3x + 2x + 3.2 = x2 + 5x + 6
Algebricamente:
Ou, podemos também escrever:
Exemplo:
(2x
5)2 = (2x)2
= 4x2
2.(2x).(5) + (5)2 =
20x + 25
Produto da soma pela diferença de dois
termos
Que é a forma fatorada do trinômio dado.
Assim, x2 + 5x + 6 = (x + 3).(x + 2)
O produto da soma de dois termos pela
diferença desses mesmos termos é igual ao
quadrado do primeiro termo menos o
quadrado do segundo.
Exemplo: Deterrmine a forma fatorada do
trinômio x2 7x + 12.
A forma fatorada deste trinômio é dada por
Assim,
(x + m).(x + n), onde:
m+n=-7
e m.n 12
Para encontrar os valores de m e n, vamos
elaborar uma tabela onde listamos dois
números cujo produto seja 12 e cuja soma
seja -7:
m
-1
1
-2
2
-3
3
n
-12
12
-6
6
-4
4
m.n
12
12
12
12
12
12
m+n
-13
13
-8
8
-7
7
Exemplo:
(x + 2).(x - 2) = x(x
2
=x
2) + 2(x - 2) =
2x + 2x
= (x)2 - (2)2 = x2
4=
4
Diferença de dois quadrados
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a2
b2 = (a + b).(a - b)
= a3
2a2b + ab2 - a2b + 2ab2
= a3
3a2b + 3ab2
b3 =
b3
Exemplo:
x2
Exemplo:
(3x 1)3 =
4 = (x + 2).(x - 2)
= (3x)3
Cubo da soma de dois termos
O cubo da soma de dois termos é igual ao
cubo do primeiro termo, mais três vezes o
produto do quadrado do primeiro termo pelo
segundo, mais três vezes o produto do
primeiro termo pelo quadrado do segundo e
mais o cubo do segundo termo.
3.(3x)2.(1) + 3.(3x).(1)2
(1)3
= 27x3 + 27x2 + 9x + 1.
Diferença de dois cubos
a3
b3 = (a - b).(a2 + ab + b2)
Exemplo:
x3 - 27 = (x
3).(x2 + x.3 + 32)
Soma de dois cubos
a3 + b3 = (a + b).(a2 - ab + b2)
Exemplo:
x3 + 8 = (x + 2).(x2 - x.2 + 22)
Exemplo:
(2x + 3)3 =
= (2x)3 + 3. (2x)2.(3) + 3.(2x).(3)2 + (3)3=
EXERCÍCIOS
= 8x3 + 36x2 + 54x + 27
Aula 7
Cubo da diferença de dois termos
O cubo da diferença de dois termos é igual
ao cubo do primeiro termo, menos três vezes
o produto do quadrado do primeiro termo
pelo segundo, mais três vezes o produto do
primeiro termo pelo quadrado do segundo e
menos o cubo do segundo termo.
(a
= (a
b)
c)
b)3 =
= (a
01) Analise cada uma das igualdades e
indique as que estão corretas.
Reescreva as incorretas, de modo eu
sejam verdadeiras:
a)
b)2 =
b).(a
b).(a
2
d)
2
2ab + b ) =
e)
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14) Que expressão se deve adicionar a
(a2 + b4) para se obter o quadrado de
(a b2) ?
f)
02) Que polinômio obtemos quando
efetuamos as potências e os produtos
e reduzimos os termos semelhantes
da expressão (2 + a)2 2a.(2 2a) ?
03) Represente o polinômio (x
2x) na forma reduzida.
3)2
3.(3
04) Desenvolva os produtos notáveis e
obtenha a forma reduzida de (2n + 9)2
(2n 1)2
05) Qual monômio deve ser adicionado
ao binômio 4a2 + 4ab2 para obter (2a
+ b2)2 ?
06) Que monômio deve ser adicionado ao
binômio (a4 a3) para obter (a2 - a)2 ?
07) Que monômio deve ser subtraído do
binômio x4 + 9y2 para obter (x2 3y)2
?
08) Que monômio deve ser subtraído do
trinômio x2 2xy + 4y2 para que ele
seja o quadrado de (x 2y)?
09) Se a.b = 96
responda:
e a2 + b2 = 208,
a) Quais são os valores de a e b?
b) Qual é o quadrado da soma
desses números?
10) Sabendo que m2 + n2 = 52 e m.n =
24, responda:
a) Que
expressão
algébrica
corresponde a (m n)2 ?
b) Qual é o valor dessa expressão?
11) Dados A = 3x
1 e B = 3x + 1,
calcule:
a) A2 B2
b) (A B)2
12) Calcule
o
produto
15) Se A = 2m2 m e B = m2 5m, qual
é o resultado da diferença A2 B2?
16) Qual o quociente de (2a + y2).(2ª
por 4a2 y4 , para 4a2 y4 ?
17) Calcule o valor de m2
n = 22 e m n = -2
y2)
n2, sendo: m +
18) A soma de dois números a e b é igual
a-9 e a diferença entre esses
números é 15. Qual o valor de a2 b2
?
19) Observe esta expressão: [3 + (x-y)] .
[3 (x-y)]. Desenvolvendo o produto,
que polinômio se obtém?
20) O produto de dois binômios é x2 6x
27, dos quais um é igual a x +3.
Determine o outro.
21) Efetue as operações indicadas na
expressão (a + c)3 a.(a + c)2 c.(a
c)2
representando-a
na
forma
reduzida.
22) Se P = x3 3x2 2 e Q = 3x + 1, a
expressão P + Q é igual a (x 2)3 ou
igual a (x 1)3 ?
23) Efetue as operações utilizando os
produtos notáveis:
a) [(a + b)+ c].[(a+ b) - c]
b) (x - y + z).(x y z)
24) Efetue os produtos notáveis e reduza
os termos semelhantes da expressão:
de
13) Represente esta expressão em uma
forma reduzida. (am2 m3)2 (a2m4 +
m6) + am2.(1 + m3)2
25) Qual é a forma reduzida da expressão
algébrica (x + 3y)2 + (3x y)2 ?
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26) Simplifique a expressão (x 2y)3 (x3
+ y3) e calcule seu valor numérico
para x = 1 e y = -1.
27) Observe este binômio: 54ma
2
9.
a) Quais são os fatores comuns a
esses termos?
b) Escreva uma forma fatorada
desse binômio.
28) Considere o polinômio 12x4y2 48x3y2
+ 60x2y5
a) Quais são os fatores comuns das
partes numéricas desses termos?
b) Quais são os fatores comuns das
partes literais desses termos?
c) Escreva uma forma fatorada
desse polinômio.
29) Qual é o produto que se obtém
fatorando a expressão
?
30) Fatorando o binômio 81
produto se obtém?
31) Observe o binômio: 16m4
y2 , que
a2
a) Escreva uma forma fatorada
desse binômio.
b) Qual é o valor numérico desse
binômio para 4m2 + a = 40 e 4m2
a=8?
32) Fatore os polinômios:
a) 25x2 a2
b) X2y4 64
c) -121a2 + b4
d)
36) Fatore os polinômios:
a) y2 8y + 16
b) x2y2 + 10xy + 25
37) Considere o trinômio: x2 + 13x + 42
a) Verifique se esse trinômio é
quadrado perfeito
b) Existem dois números cujo
produto é o termo independente
de x e cuja soma é o coeficiente
de x. Quais são esses números?
c) Indique uma forma fatorada desse
trinômio.
38) Determine
os
monômios
que
podemos acrescentar aos binômios
para obtermos trinômios quadrados
perfeitos:
a) 9x2 + 49
b) 81x2 + 16
c) 49y4 + 1
d) y4 + (2/3)y2
39) O produto de dois binômios é x2
24. Quais são esses binômios?
2x
40) Qual é a forma fatorada para o
polinômio (a + b)2 49 ?
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Não possui.
33) Observe o trinômio: 36m4n2 + 12m2n +
1.
a) Que termos desse trinômio são
quadrados perfeitos?
b) O polinômio 36m4n2 + 12m2n + 1 é
um trinômio quadrado perfeito?
c) Escreva uma forma fatorada
desse trinômio.
34) O polinômio 4a2 + 81 + 9a2 é um
trinômio quadrado perfeito?
35) Escreva a forma fatorada de 25m6 +
10m3 +1.
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