As leis de Kepler
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D I S C I P L I N A Astronomia Leis de Kepler e a gravitação universal Autores Joel Câmara de Carvalho Filho Auta Stella Medeiros Germano aula 10 Governo Federal Revisora das Normas da ABNT Verônica Pinheiro da Silva Presidente da República Luiz Inácio Lula da Silva Revisoras de Língua Portuguesa Janaina Tomaz Capistrano Sandra Cristinne Xavier da Câmara Ministro da Educação Fernando Haddad Secretário de Educação a Distância – SEED Ronaldo Motta Revisor Técnico Leonardo Chagas da Silva Universidade Federal do Rio Grande do Norte Revisora Tipográfica Nouraide Queiroz Reitor José Ivonildo do Rêgo Ilustradora Carolina Costa Vice-Reitor Nilsen Carvalho Fernandes de Oliveira Filho Editoração de Imagens Adauto Harley Carolina Costa Secretária de Educação a Distância Vera Lúcia do Amaral Diagramadores Bruno de Souza Melo Dimetrius de Carvalho Ferreira Ivana Lima Johann Jean Evangelista de Melo Secretaria de Educação a Distância- SEDIS Coordenadora da Produção dos Materiais Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco Coordenador de Edição Ary Sergio Braga Olinisky Adaptação para Módulo Matemático André Quintiliano Bezerra da Silva Kalinne Rayana Cavalcanti Pereira Projeto Gráfico Ivana Lima Imagens Utilizadas Banco de Imagens Sedis (Secretaria de Educação a Distância) - UFRN Fotografias - Adauto Harley Stock.XCHG - www.sxc.hu Revisores de Estrutura e Linguagem Jânio Gustavo Barbosa Eugenio Tavares Borges Thalyta Mabel Nobre Barbosa Divisão de Serviços Técnicos Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede” Carvalho Filho, Joel Câmara de. Astronomia: Interdisciplinar / Joel Câmara de Carvalho Filho, Auta Stella de Medeiros Germano. – Natal, RN: EDUFRN, 2007. 300 p. : il. 1. Astronomia. 2. Sistema Solar. 3. Fenômenos astronômicos. 4. Astrofísica. 5. Cosmologia. I. Germano, Auta Stella de Medeiros. ISBN RN/UF/BCZM 2007/54 CDD 520 CDU 52 Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização expressa da UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Apresentação N esta aula, veremos como as observações cuidadosas do movimento dos planetas levaram, através de uma análise rigorosa, à formulação correta das leis que regem o movimento dos mesmos em torno do Sol: as chamadas Leis de Kepler. Estudaremos também como Isaac Newton, posteriormente, criou uma teoria para explicar esse movimento baseando-se na força de atração entre os corpos, ou seja, a gravitação universal. Objetivos 1 Entender como as observações do movimento dos planetas em torno do Sol permitiram a concepção das leis que regem tal movimento. 2 Perceber as principais diferenças entre as órbitas circulares do sistema heliocêntrico de Copérnico e as órbitas elípticas introduzidas por Kepler. 3 Conhecer a lei da gravitação universal concebida por Newton e conhecer como ela pode explicar tanto o movimento dos corpos celestes como, por exemplo, a queda livre de um corpo na superfície da Terra. Aula 10 Astronomia As observações de Tycho Brahe A FONTE: <http://www.nada.kth.se/~fred/tycho/index.html>. Acesso em: 04 set. 2007. descoberta das leis do movimento dos planetas e o posterior desenvolvimento da lei da gravitação universal que estudaremos nesta aula só se tornaram possíveis devido às observações sistemáticas do céu. Tais observações foram levadas a cabo desde a Antiguidade até o início da Era Moderna por grandes astrônomos, que dedicaram suas vidas a esse extenuante trabalho. Entre estes, destaca-se Tycho Brahe (Figura 1). Figura 1 - O grande astrônomo dinamarquês Tycho Brahe Antes da invenção do telescópio, as observações astronômicas eram feitas a olho nu. Diversos instrumentos foram desenvolvidos para tal fim. Apesar de, quando comparados com os instrumentos modernos, parecerem rudimentares, eles ofereciam uma precisão na medida da posição dos astros razoavelmente boa para que fosse possível determinar e realizar previsões sobre o movimento dos corpos celestes. Já na Grécia Antiga, o astrônomo Hiparcus, que viveu no segundo século a.C., realizou um trabalho sistemático de observação do céu. A maior parte do sistema geocêntrico de Ptolomeu, por exemplo, discutido na aula 8 (Sistemas cosmológicos), foi baseado nas suas conclusões. Hiparcus determinou os comprimentos das estações, mediu o ano com precisão, descobriu a precessão dos equinócios e calculou o diâmetro do Sol e da Lua usando os eclipses. Mais importante ainda, Hiparcus elaborou a primeira carta celeste detalhada dando as posições de mais de 850 estrelas. Contudo, o maior astrônomo do início da Era Moderna é, sem dúvida alguma, Tycho Brahe (1546-1601). Brahe nasceu na Dinamarca sendo descendente de uma família de nobres. Seu interesse pela Astronomia começou aos 14 anos quando assistiu maravilhado a um eclipse solar. Aula 10 Astronomia Aos 16 anos, foi enviado a Leipzig, na Alemanha, para estudar Direito, mas seu maior interesse era a Astronomia. Começou a observar os astros e, em 1563, observando a passagem de Júpiter perto de Saturno, verificou que a previsão do fenômeno pelas tabelas existentes produziu erros de vários dias. Então, Brahe concluiu: somente tabelas calculadas através de observações precisas e sistemáticas das posições dos planetas levadas a cabo por um longo período de tempo solucionariam esse tipo de problema. Por outro lado, estudando as observações existentes na sua época, descobriu erros aos quais atribuiu o fato dos instrumentos utilizados até então serem pequenos e mal calibrados. Teve início, assim, um trabalho que o acompanharia até o fim de sua vida. Financiado pelo Rei Frederico II, da Dinamarca, Tycho construiu seu próprio observatório, chamado Uraniborg, numa ilha doada a ele pelo rei e onde realizou suas observações; contratou artesãos com grande habilidade e supervisionou a construção de instrumentos de grande porte e alta precisão. FONTE: <http://www.soteorias.info/cosmologia/tycho.htm>. Acesso em: 05 set. 2007. Alguns exemplos dos seus instrumentos são mostrados na Figura 2: o quadrante de azimute, o sextante e a grande armilar equatorial cujo círculo de declinação media 2,9 metros de diâmetro. Esses instrumentos foram instalados no seu observatório de Uraniborg e, mais tarde, no outro observatório por ele construído, o Stjerneborg, que significa “castelo das estrelas”. Figura 2 - Instrumentos usados por Tycho Brahe. À esquerda, o quadrante de azimute de 3 metros, no centro o sextante de cerca de 1,8 metro e a grande armilar equatorial à direita, com cerca de 4,8 metros de altura. Em 1599, a convite do rei da Boêmia Rudolf II, Tycho Brahe mudou-se para Praga onde instalou seus instrumentos. Nesse período, ele recebe como ajudante o jovem astrônomo Johannes Kepler para o qual passaria suas observações. Tycho Brahe foi, sem dúvida alguma, um dos maiores observadores de todos os tempos, suas observações de alta precisão permitiram a Kepler deduzir as leis sobre as órbitas dos planetas. Aula 10 Astronomia Breve biografia de Johannes Kepler J FONTE: <http://wind.caspercollege.edu/~marquard/astronomy/ europe1.html> Acesso em: 06 set. 2007. ohannes Kepler (Figura 3) nasceu na atual Alemanha em 1571 de parto prematuro e teve várias enfermidades durante a infância, tendo sido uma criança fraca e doente. Mesmo assim, foi um menino brilhante e fez todos se surpreenderem com suas habilidades matemáticas. Na juventude, entrou num seminário protestante a fim de seguir a carreira de pastor, mas, pouco antes de ordenar-se sacerdote, recebeu o convite para ensinar Astronomia na escola protestante de Graz, na Áustria, e para lá partiu em 1594, aos 23 anos. Figura 3 - Johannes Kepler (1571-1630) Kepler era profundamente religioso e místico. Tinha uma visão pitagórica do Universo, ou seja, acreditava na natureza matemática da sua estrutura. Durante o período em que viveu em Graz, o primeiro trabalho de Kepler tratou de uma teoria para as órbitas dos planetas do Sistema Solar baseada nas idéias de Platão acerca da existência dos sólidos geométricos “perfeitos”. Esses sólidos são os únicos poliedros regulares: tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro e icosaedro. Kepler verificou que os cinco sólidos platônicos poderiam ser inscritos e circunscritos por esferas. Dispondo tais esferas de forma concêntrica, tendo cada uma delas um dos cinco sólidos inscrito, ele produziria seis camadas, correspondendo aos seis planetas conhecidos: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno. Se a ordem dos sólidos inscritos nas esferas concêntricas fosse (de dentro para fora) octaedro, icosaedro, dodecaedro, tetraedro e cubo seria possível as esferas serem dispostas em intervalos que corresponderiam aos tamanhos relativos das órbitas de cada planeta (Figura 4). Esse modelo supunha, naturalmente, que o Sistema Solar era heliocêntrico (de Copérnico) e que as órbitas planetárias eram circulares. Kepler publicou esse trabalho em 1596, sob o título de Mysterium Cosmographicum (O Mistério Cósmico), consolidando-se como um grande astrônomo. Aula 10 Astronomia FONTE: <http://cse.ssl.berkeley.edu/bmendez/ay10/2002/ notes/lec6.html> Acesso em: 06 set. 2007. Figura 4 - Modelo dos sólidos platônicos de Kepler para o sistema solar Em 1600, Kepler havia se tornado bastante conhecido como astrônomo e matemático e foi convidado por Tycho Brahe para trabalhar como seu assistente no seu observatório em Praga. Após a morte de Brahe, Kepler foi nomeado diretor do observatório, tendo também herdado todas as suas observações. Ali, desenvolveu o trabalho que o levaria mais tarde a descobrir as três leis sobre as órbitas planetárias. Em 1612, mudou-se de Praga para ser professor em uma pequena escola em Linz, na Áustria, e faleceu em novembro de 1630. As Leis de Kepler Q uando Kepler foi trabalhar em Praga no observatório de Tycho Brahe, este lhe sugeriu estudar o problema da órbita de Marte. Kepler logo iniciou esses estudos e continuou por mais de cinco anos. Como vimos nas aulas 8 (Sistemas cosmológicos) e 9 (Galileu e a nova Física), a idéia dominante na época era a de que os planetas deveriam descrever órbitas circulares. Isso estava de acordo com a concepção aristotélica da perfeição do círculo associada à perfeição que deveria existir no mundo astral. Além disso, Kepler era um defensor da teoria de Copérnico, o qual afirmava que as órbitas dos planetas eram circulares. Durante anos, Kepler tentou, sem sucesso, ajustar os dados das observações de Brahe da órbita de Marte a um círculo. No entanto, o ajuste sempre resultava numa diferença de alguns minutos de arco e ele sabia que as observações do grande astrônomo não poderiam estar tão incorretas. Assim, apesar de uma relutância inicial, Kepler começa a abandonar a idéia considerada intocável, há quase dois mil anos, da perfeição da forma circular. Ele verificou que se supusesse que a órbita de Marte era oval, ou seja, possuísse uma forma elíptica em vez de circular (Figura 5), as observações de Brahe sobre as posições do planeta concordavam muito bem com seus cálculos. Kepler imediatamente concluiu que as órbitas dos planetas eram elípticas com o Sol ocupando um dos focos. Aula 10 Astronomia FONTE: <http://csep10.phys.utk.edu/astr161/lect/ history/kepler.html> Acesso em: 07 set. 2007. Circulo Elípse C b A e a F1 F2 D B X Figura 6 - Características de uma elipse A elipse, como você pôde verificar na disciplina Álgebra Linear II, na aula 14 (Quadráticas), é uma figura geométrica plana (Figura 6) definida como uma curva cuja soma das distâncias (F1 X + F2 X) de qualquer um ponto (X) sobre a mesma a dois pontos fixos (F1 e F2 ), chamados focos, é constante. Ela possui as seguintes propriedades: a linha AB é chamada eixo maior; a linha CD é o eixo menor; e os pontos F1 e F2 são chamados focos da elipse. As distâncias a e b são o semi-eixo maior e o semi-eixo menor, respectivamente. Ela também é caracterizada por um número e, chamado excentricidade, que é igual à distância entre os focos F1 F2 dividida pelo eixo maior, ou seja, e= F1 F2 . AB A excentricidade é uma grandeza que varia de 0 a 1. Quando a excentricidade é igual a 0, a elipse torna-se um círculo, pois F1 coincide com F2 , sendo a distância F1 F2 igual a 0, e a distância AB o diâmetro do círculo. Quanto maior a excentricidade, mais alongada será a elipse (Figura 7). Aula 10 Astronomia FONTE: <http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d3/ Elipse.png> Acesso em: 06 set. 2007. Figura 5 - Diferença entre círculo e elipse FONTE: <http://csep10.phys.utk.edu/astr161/lect/ history/kepler.html> Acesso em: 07 set. 2007. Excentricidade crescente Figura 7 - Excentricidade de uma elipse Atividade 1 eixo maior eixo menor foco FONTE: <http://www.daviddarling.info/encyclopedia/E/ellipse.html> Acesso em: 06 set. 2007. Tome um pedaço de barbante e marque dois pontos (os focos da elipse) sobre uma reta (a distância entre os dois pontos deve ser menor que o comprimento do barbante). Fixe as extremidades do barbante nestes dois pontos e, tencionando o barbante com um lápis, desenhe uma curva fechada, como mostrado na Figura 8. Dessa forma, você deverá obter uma elipse. foco semi-eixo maior Figura 8 - Como construir uma elipse Com a descoberta de que a órbita de Marte não era circular e sim elíptica, Kepler fez imediatamente uma generalização e enunciou a sua primeira lei, como veremos a seguir. Aula 10 Astronomia Primeira Lei de Kepler do movimento planetário sol planeta xx x foco Figura 9 - Primeira Lei de Kepler Na Figura 9, vemos uma ilustração dessa lei. Como podemos observar, o Sol não está no centro da elipse e sim num dos focos. Como o planeta segue a elipse, a distância, por exemplo, da Terra ao Sol está sempre mudando. Numa órbita circular, essa distância seria constante, igual ao raio do círculo. Na ilustração anterior, mostramos uma órbita bastante excêntrica. As órbitas reais são muito menos excêntricas do que esta. Os cálculos realizados por Kepler levaram-no a descobrir duas outras leis as quais discutiremos a seguir. Segunda Lei de Kepler do movimento planetário Se traçarmos uma linha imaginária unindo o Sol a um planeta, ela varrerá áreas iguais em intervalos de tempo iguais enquanto o planeta viaja em torno do Sol sobre a elipse no seu movimento orbital. Aula 10 Astronomia FONTE: <http://csep10.phys.utk.edu/astr161/lect/history/kepler. html> Acesso em: 07 set. 2007. Os planetas descrevem elípticas em torno do Sol estando este situado em um dos focos da elipse. FONTE: <http://csep10.phys.utk.edu/astr161/lect/history/ kepler.html> Acesso em: 07 set. 2007. Figura 10 - Segunda Lei de Kepler A Figura 10 ilustra bem essa lei: o planeta executa o movimento elíptico mudando constantemente a sua velocidade angular enquanto se move sobre sua órbita. Quando está mais afastado do Sol, o planeta se move mais lentamente enquanto seu movimento será mais rápido ao se aproximar do Sol. O ponto de maior aproximação do planeta ao Sol é denominado periélio e o ponto de máxima separação é denominado afélio. Assim, de acordo com a Segunda Lei de Kepler, o planeta move-se mais rapidamente quando está no periélio e mais lentamente quando está próximo ao afélio. Terceira Lei de Kepler do movimento planetário A razão dos quadrados dos períodos P1 e P2 de revolução em torno do Sol de dois planetas é igual à razão dos cubos de seus semi-eixos maiores R1 e R2 . P12 R13 = P22 R23 Colocamos essa lei sob a forma de uma relação matemática simples. Outra forma de enunciá-la é dizer que P 2 é proporcional a R3 , em que P é o período orbital de um planeta e R, o semi-eixo maior da elipse que ele descreve. De acordo com a Terceira Lei de Kepler, o período de um planeta em torno do Sol aumenta rapidamente com o raio de sua órbita. Por exemplo, Mercúrio, que é o planeta mais próximo do Sol, leva somente 88 dias para completar uma órbita em torno do Sol, enquanto o planeta mais externo, Netuno, leva 60.190 dias, ou seja, 165 anos para fazer o mesmo, conforme você vai estudar na aula 11 – O Sistema Solar. Aula 10 Astronomia As Leis de Kepler representam uma grande realização e triunfo de uma Astronomia moderna que naquele momento dava seus primeiros passos. Kepler teve a coragem de formular leis que, de certo modo, iam de encontro às suas próprias crenças, pois sabia que mais importantes eram as evidências empíricas reveladas através dos dados observacionais. Contudo, a grande síntese das novas idéias da Mecânica de Galileu sobre o movimento dos corpos celestes e terrenos, contrárias aos antigos conceitos aristotélicos, e das leis de Kepler sobre o movimento dos planetas seria alcançada alguns anos depois por Isaac Newton. Atividade 2 Use a Terceira Lei de Kepler para calcular o período de rotação do planeta Júpiter, sabendo que sua distância média ao Sol é 7, 78 × 1011 m e que a distância média Terra-Sol é aproximadamente 150 milhões de quilômetros. Atividade 3 O período de rotação de Marte em torno do Sol é 687 dias. Use os dados da atividade 2 relativos à órbita da Terra e à Terceira Lei de Kepler para calcular a distância média entre Marte e o Sol. 10 Aula 10 Astronomia Isaac Newton I FONTE: <http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history//PictDisplay/ Newton.html> Acesso em: 07 set. 2007. saac Newton (Figura 11) foi um dos maiores cientistas de todos os tempos. A Física moderna tem ele e Einstein como seus dois grandes pilares de sustentação. Nasceu em 4 de janeiro de 1643, em Woolsthorpe, condado de Lincolnshire, Inglaterra. Segundo seus biógrafos, ele não revelou nenhum grande talento quando criança. Após completar os estudos secundários, foi enviado para estudar na Universidade de Cambridge. Ali, estudou Matemática e Física e em 1664 completou seus estudos ganhando o título de bacharel sem, mais uma vez, ter mostrado maiores habilidades. Figura 11 - Isaac Newton Em 1665, eclodiu uma epidemia de praga, a universidade foi fechada e ele foi obrigado a retornar para a sua cidade natal. Nesse período de dois anos, com apenas 25 anos, Newton iniciou estudos revolucionários sobre Física, Óptica, Matemática e Astronomia. Ele retornou a Cambridge em 1667 e em 1669, com apenas 27anos, tornou-se Professor Lucasiano, um dos mais altos postos na hierarquia acadêmica. Seus primeiros trabalhos versavam sobre Óptica e descobriu que a luz branca era uma mistura de todas as cores do arco-íris. Estudando o problema da aberração das imagens produzidas pelas lentes dos telescópios de refração, achou uma solução: inventou e construiu o telescópio refletor. Em 1672, Newton foi eleito membro da Royal Society (Sociedade Real inglesa) e em 1703 publicou os resultados de suas pesquisas no campo da Óptica sob o título Opticks. Sua realização mais importante foram suas descobertas na área da Física e da Mecânica celeste, culminando com a teoria da gravitação universal. Desde 1666, vinha pesquisando e já tinha uma versão preliminar das suas famosas três leis do movimento: a lei da inércia, a lei da força e a lei da ação e reação. Ao mesmo tempo, estudava o problema do movimento da Lua em torno da Terra e dos planetas em torno do Sol, procurando explicar as Leis de Kepler. Os resultados de anos de trabalho foram finalmente publicados em 1687 no famoso livro Philosophiae naturalis principia mathematica (Princípios matemáticos da filosofia natural) ou, simplesmente, Principia. Este é considerado o trabalho científico mais importante de todos os tempos. Nele, são analisados os movimentos dos corpos e aplicam-se os resultados a pêndulos, corpos em órbita, corpos em queda livre e projéteis balísticos. Finalmente, Newton Aula 10 Astronomia 11 cria a teoria da gravitação universal para explicar a atração entre todos os corpos materiais e o movimento dos astros. Famoso em todo o mundo como o maior matemático do seu tempo, Newton foi escolhido para ocupar uma cadeira no Parlamento em 1689. Mudou-se de Cambridge para Londres, onde passou a ocupar o cargo de Guardião e depois Mestre da Casa da Moeda. Foi feito cavaleiro do império britânico, em 1705, em 1703 foi eleito presidente da Royal Society (Sociedade Real inglesa), cargo que ocupou até a sua morte em 31 de março de 1727. A teoria da gravitação universal Q uando largamos uma pedra de uma dada altura, ela cai em direção ao chão. Sabemos que a pedra se encontra inicialmente em repouso. Mas, como você estudou na aula 9 – Galileu e a nova física –, segundo o princípio da inércia descoberto por Galileu e posteriormente sistematizado sob forma de lei por Isaac Newton, um corpo permanecerá em repouso se nenhuma força atuar sobre ele. Se a pedra começa a mover-se em direção à Terra, é sinal de que uma força de atração está agindo sobre ela. É essa força que denominamos força gravitacional ou de gravidade. Diz a lenda que um dia Newton observou a queda de uma maçã (Figura 12) e se perguntou se a força que fazia cair a maçã não seria o mesmo tipo de força que atraía a Lua para a Terra. Newton concluiu que as duas forças eram uma só: a força gravitacional. Concluiu ainda que ela não existe apenas na superfície da Terra, mas se estende por todo o Universo. Dessa forma, a Lua está sujeita à força gravitacional da Terra e é puxada para a Terra do mesmo modo que uma maçã. Ou seja, a Lua é como uma maçã, que está eternamente caindo em direção à Terra. Esta, por sua vez, está sempre caindo em direção ao Sol, já que está sujeita à atração gravitacional do mesmo. Figura 12 - Newton, a maçã e a força gravitacional 12 Aula 10 Astronomia FONTE: <http://courses.nnu.edu/ph106wj/Motions%20of%20 the%20planets.htm> Acesso em: 07 set. 2007. Mas, como pode a Lua estar caindo para a Terra, se nunca nos atinge? Para entender tal questionamento, analisemos a seguinte experiência imaginária. Figura 13 - Um corpo em órbita está sempre caindo Um super-canhão localizado no topo de uma montanha atira horizontalmente uma bala com certa velocidade, que cai a uma distância do mesmo (Figura 13). Atirada com uma velocidade ainda maior, a bala cairá bem mais longe. Agora, por indução, podemos concluir que, se o canhão for verdadeiramente potente e atirar a bala com uma velocidade apropriada, ela dará uma volta completa em torno da Terra sem nunca atingir o solo. A bala está sempre caindo para o centro da Terra, mas nunca atinge o solo. Nesse caso, dizemos que a bala entrou em órbita. Portanto, para que um corpo esteja em órbita em torno da Terra, é somente necessário que ele tenha uma velocidade mínima suficiente para descrever uma trajetória com raio maior que o raio da Terra. Este é o caso da Lua e dos satélites artificiais lançados pelo homem através de foguetes potentes o suficiente para imprimir aos mesmos a velocidade necessária. Uma vez atingida essa velocidade, o corpo permanecerá indefinidamente em órbita, desde que o atrito com a parte superior da atmosfera seja desprezível e não reduza sua velocidade. Por exemplo, a velocidade do ônibus espacial em órbita é aproximadamente 8 mil m/s ou 29.000 km/h. Ao estudar o movimento dos planetas, Kepler já tinha a compreensão de que algum tipo de força deveria atraí-los em direção ao Sol. Mas, coube a Newton intuir que essa força é a mesma que fazia um corpo cair na superfície da Terra, ou seja, ela tem um caráter universal. Ele foi capaz de enunciar então a lei da gravitação universal, descrita a seguir. A força de atração entre dois corpos é proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles. Aula 10 Astronomia 13 Podemos expressar essa lei numa forma matemática. Suponha que os dois corpos tenham massas m1 e m2 e que a distância que os separa seja d. De acordo com a lei da gravitação, a força F que um exerce sobre o outro é dada pela seguinte expressão: F =G m1 m2 , d2 em que G é uma constante denominada constante gravitacional e vale 6, 67 × 10−11 N.m2 /kg 2 . O grande triunfo de Newton é que ele conseguiu deduzir as três leis de Kepler fazendo uso da lei da gravitação e de suas leis do movimento. Dedução da Terceira Lei de Kepler V amos fazer uma dedução simples da Terceira Lei de Kepler usando a teoria gravitacional de Newton. Para tanto, façamos uma hipótese simplificadora de que a órbita do planeta é circular. O raio da órbita é r, a massa do planeta é m e a massa do Sol é M . Se o planeta se move num círculo com velocidade v, ele está sujeito a uma força F centrípeta igual a v2 Fc = m r e o seu período de rotação é P = 2π r . v Calculando a velocidade da última equação, ou seja, 2π r , P e substituindo na expressão para a força centrípeta, obtemos v= Fc = m 4π 2 r2 4π 2 r m = . 2 r P P2 A força responsável pela força centrípeta é a força gravitacional que o Sol exerce sobre o planeta, Mm Fg = G 2 . r Igualando essas duas forças, obtemos Fg = Fc , G 14 Aula 10 Astronomia Mm 4π 2 r m = . r2 P2 Podemos agora reescrever essa equação na seguinte forma P2 = 4π 2 GM r3 . Essa é exatamente a expressão da Terceira Lei de Kepler, ou seja, P 2 é proporcional a 4π 2 3 r . A constante de proporcionalidade é . GM Podemos fazer uma aplicação para o caso da Terra. A distância média Terra-Sol é 150 × 106 km = 1.5 × 1011 m e a massa do Sol é aproximadamente 2 × 1030 kg . Usando o valor da constante universal da gravitação G = 6, 67 × 10−11 N.m2 /kg 2 e a expressão que obtivemos anteriormente para o período, teremos 3 4π 2 r3 4 × 3.142 × (1, 5 × 1011 ) P = = . GM 6, 67 × 10−11 × 2 × 1030 Fazendo os cálculos, obtemos P = 3, 159 × 107 s. Dividindo esse valor pelo número de segundo em um dia, ou seja, 24 × 60 × 60 = 86.400, teremos P = 3, 159 × 107 ∼ = 365, 6 dias. 86.400 Esse é, com precisão razoável, o período de rotação da Terra em torno do Sol. O valor que encontramos não coincide com o valor real (365,3 dias) porque tomamos valores aproximados para o raio da órbita e para a massa do Sol. Atividade 4 Calcule o período de rotação da Lua em torno da Terra, sabendo que sua distância média é 384.000 km e a massa da Terra é igual a 5, 97 × 1024 kg. Aula 10 Astronomia 15 Atividade 5 Calcule a distância média de Vênus ao Sol, sabendo que seu período de rotação é igual a 224,7 dias e a massa do Sol é aproximadamente 2 × 1030 kg . Resumo Nesta aula, vimos a importância do trabalho cuidadoso de observação feito por Tycho Brahe, que forneceu dados de grande precisão levando Johannes Kepler a descobrir que as órbitas dos planetas não eram circulares, mas elípticas e, assim, enunciar as três leis que regem o movimento planetário. Estudamos também que Isaac Newton, através de um extraordinário trabalho de criação, descobriu que a força de atração que faz os corpos serem atraídos para o centro da Terra é a mesma que mantém a Lua girando na sua órbita. Ele encontrou a expressão matemática para a lei da gravitação e estabeleceu o seu caráter universal sendo capaz de explicar as Leis de Kepler. 16 Aula 10 Astronomia Auto-avaliação 1 2 3 Discuta a contribuição dada por Tycho Brahe à Astronomia moderna. O que levou Kepler a abandonar o conceito de órbitas circulares para o movimento dos planetas? Faça um breve resumo das três Leis de Kepler para o movimento planetário. 4 Qual a ligação que Newton fez entre a queda de uma maçã na superfície terrestre e o movimento de rotação da Lua em torno da Terra? 5 Faça uma comparação entre o enunciado da lei da gravitação universal de Newton e a sua expressão matemática. 6 Faça uma revisão detalhada da dedução da Terceira Lei de Kepler a partir da teoria da gravitação de Newton. Aula 10 Astronomia 17 Referências CENTRO DE DIVULGAÇÃO CIENTÍFICA E CULTURAL. O movimento gravitacional e as leis de Kepler. Disponível em: <http://educar.sc.usp.br/fisica/movgrav.html>. Acesso em: 18 jul. 2007. ______. Setor de Astronomia. Observatório. Disponível em: <http://www.cdcc.usp.br/cda/ index.html>. Acesso em: 02 jun. 2007. COHEN, B. O nascimento de uma nova Física. Lisboa: Gradiva, 1988. GLEISER, M. A dança do universo. São Paulo: Companhia das Letras, 2000. LAGEMANN, R.T. Ciência física: orígenes y princípios. 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