Matemática

Exercício 01.
Dada à hipérbole de equação 5x2 – 4y2 – 20x – 8y – 4 = 0 determine os focos e as
equações das assintotas.
Escrevendo a hipérbole da maneira convencional teríamos 5[x2 – 4x + 4 – 4] – 4[y2 +
2y + 1] = 0 e daí, 5(x – 2)2 – 4(y + 1)2 = 20 e dividindo ambos os membros por 20
passamos a ter: (x – 2)2 / 4 – (y + 1)2 / 5 = 1. Então o centro é C(2,–1). Como a
incógnita x vem na parte positiva o eixo real está na horizontal, e os valores de a = 2 e
b=
. Como na hipérbole c2 = a2 + b2 vem que c2 = 4 + 5 = 9 e daí, c = 3.
Os focos são F1(2 – 3,–1) = (–1,–1) e F2(2 + 3,–1) = (5,–1).
As assíntotas são retas que passam no centro da hipérbole e tem coeficiente angular
m = b / a e m = – b / a, logo temos:
r1 : y – yo = m(x – xo) onde yo = k = –1 e xo = h = 2 e m = –
(x – 2) e;
r2 : y – yo = m(x – xo) é dada por: 2(y + 1) =
/ 2, logo 2(y + 1) = –
(x – 2).
Exercício 2.
Identifique a cônica de equação 25x² - 36y² - 100x - 72y - 836 = 0; seus elementos e
faça um esboço de seu gráfico.
Solução: Dada a equação 25x² - 36y² - 100x - 72y - 836 = 0; primeiro agrupamos os
termos em x e os termos em y: 25(x² - 4x) - 36(y² + 2y) - 836 = 0; completamos o
quadrado: 25[(x - 2)² - 4] - 36[(y + 1)² - 1] - 836 = 0; e reescrevemos: 25(x - 2)² - 100 36(y + 1)² + 36 - 836 = 0 ) 25(x - 2)² - 36(y + 1)² - 900 = 0;
finalizamos colocando no formato canônico: (x - 2)² / 62 - (y + 1)² / 52 = 1
Vemos, portanto (observe o sinal -), que se trata de uma hipérbole com a = 6; b = 5 e
61 ; pois c² = 36+25 = 61: Além disto, temos:c =
Elementos:
Centro: C = (2;_1)
Vértices: V1 = (_4;_1) e V2 = (8;_1)
Focos: F1 = (2 _ p61;_1) e F2 = (2+p61;_1)
Assíntotas: y = 5/6(x - 2) - 1 e y = - 5/6(x - 2) - 1
Excentricidade: e = √61/6
Exercício 3.
Identifique a cônica de equação -16x²2 + 9y² - 160x - 54y - 885 = 0; seus elementos e
faça um esboço de seu gráfico.
Solução: Dada a equação -16x² + 9y² - 160x - 54y - 885 = 0; primeiro agrupamos os
termos em x e os termos em y : -16(x² + 10x) + 9(y² - 6y) - 885 = 0; completamos o
quadrado: -16[(x + 5)² - 25] + 9[(y - 3)² - 9] - 885 = 0; e reescrevemos: -16(x + 5)² + 390
+ 9(y - 3)² - 81 - 885 = 0 # -16(x + 5)² + 9(y - 3)² - 576 = 0;
finalizamos colocando no formato canônico:
(y _ 3)² / 8² - (x + 5)² / 6² = 1: Vemos, portanto (observe o sinal -), que se trata de uma
hipérbole com a = 8; b = 6 e c = 10; pois c2 =
64 + 36 = 100: Além disto, temos:
Elementos:
Centro: C = (-5; 3)
Vértices:
V1 = (-5;-5) e V2 = (-5; 11)
Focos: F1 = (-5;-7) e F2 = (-5; 13)
Assíntotas: y =4/3 (x+5)+3 e y = -4/3 (x+5)+3
Excentricidade: e = 10/8 = 5/4
Referências Bibliográficas
4) A distância entre o centro da circunferência de equação x² + y² + 8x – 6y = 0 e o
foco de coordenadas positivas da elipse de equação x225+y216=1 é:
5) Encontre a equação da elipse que tem como eixo maior a distância entre as raízes
da parábola de equação y = x² - 25 e excentricidade e = 3/5.
6) Encontre a equação da parábola que passa pelo ponto P(0,10) e pelos focos da
hipérbole de equação 9x² - 16y² = 144
7) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto P(2,3) e é perpendicular à reta
que passa pelo centro da circunferência de equação x² + y² + 8x – 4y + 11 = 0 e pelo
foco de coordenadas positivas da hipérbole de equação x264−y236=1
8)Dado um triângulo cujos vértices são A(1,1), B(4,0) e C(3,4), determine:
a) O pé da altura relativa ao vértice C.
b) A área do triângulo ABC.
Solução:
Neste tipo de exercício, a primeira coisa e se fazer é encontrar as equações das retas
que unem os vértices do triângulo.
Faremos isso;
Reta AC:
Passa pelo ponto (1,1) e (3,4), logo, como é uma reta, tem a forma:
y = ax + b, substituindo os pontos:
1 = a*1 + b
4 = a*3 + b
a = 3/2
b = -1/2
A equação da reta AC:
y = (3/2)x - (1/2)
Analogamente, achamos que
A reta AB será:
y = (-1/3)x + (4/3)
A reta BC será:
y = -4x + 16
Agora vamos ao exercício:
a)
Para determinar este ponto, devemos encontrar a reta que passa por C e é
perpendicular à reta AB, pois a altura relativa a algum ponto de um triângulo é, por
definição, a reta que passa por esse ponto e é perpendicular à reta que une os outros
dois pontos.
Como retas perpendiculares tem coeficientes angulares com sinal trocado e inversas,
teremos:
Coeficiente angula da reta AB: -1/3
Logo, coeficiente angular da reta altura: 3
Logo, ela tem a forma:
y = 3x + b
Mas essa reta deve passar pelo ponto C (3,4)
4 = 3*3 + b
b = 4-9 = -5
Logo, a reta é:
y = 3x - 5
O pé dessa altura é o ponto que as retas AB e a reta altura se interceptam:
Reta AB: y = (-1/3)x + 4/3
Reta altura: y = 3x - 5
3x - 5 = (-1/3)x + 4/3
(10/3)x = 19/3
x = 19/10 = 1,9
y = 3*(19/10) - 5
y = 5,7 - 5 = 0,7
Ponto = (1,9 , 0,7)
b) Sabendo que a altura deste triângulo vai do ponto P(1,9 , 0,7) ao ponto C(3,4), a
distância 'd' entre esses pontos será o valor desta altura:
h² = (3 - 1,9)² + (4 - 0,7)²
h² = 1,1² + 3,3²
h² = 1,21 + 10,89 = 12,1
h = 3,479
O tamanho da base, é a distância do ponto A ao ponto B.
d² = (4 - 1)² + (0 - 1)²
d² = 3² + 1² = 10
d = 3,1623
A área será:
(3,1623 * 3479) / 2 = 5,5
9 – E.E. Lins/1968
Dados os vértices P(1,1) , Q(3,- 4) e R(- 5,2) de um triângulo, o comprimento da
mediana que tem extremidade no vértice Q é:
a) 12,32
b) 10,16
c) 15,08
d) 7,43
e) 4,65
Solução:
Seja o triângulo PQR abaixo:
Sendo M o ponto médio do lado PR, o
segmento de reta QM será a mediana
relativa ao lado PR.
Sendo os pontos P(1,1) e R(-5,2), o ponto
médio M será: M(-2, 3/2).
Observe que:
-2 = [1 + (- 5)]/2 e 3/2 = (1 + 2)/2.
Em caso de dúvida, reveja Geometria Analítica clicando AQUI.
O comprimento da mediana procurado, será obtido calculando-se a distancia entre os
pontos Q e M.
Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, vem:
Portanto, a alternativa correta é a letra D.
10 – EPUSP/1966
Os pontos do plano cartesiano que satisfazem à equação sen(x – y) = 0 constituem:
a) uma reta
b) uma senóide
c) uma elipse
d) um feixe de retas paralelas
e) nenhuma das respostas anteriores
Solução:
O seno é nulo para os arcos expressos em radianos: 0, p , 2p , 3p , 4p, ... , kp , onde k
é um número inteiro. Logo:
sen(x - y) = 0 Þ x – y = kp.
Daí, vem:
- y = - x + kp \ y = x - kp , k Î Z.
Fazendo k variar no conjunto Z, obteremos um número infinito de retas de mesmo
coeficiente angular m = 1 e, portanto, paralelas, ou seja:
...................................................................
k = - 1 reta: y = x + p
k = 0 reta: y = x
k = 1 reta: y = x - p , e assim sucessivamente.
...................................................................
Portanto, a alternativa correta é a letra D (um feixe de retas paralelas).
11 – A equação x2 – y2 + x + y = 0 representa no sistema de coordenadas cartesianas:
a) uma hipérbole
b) uma elipse
c) uma circunferência
d) uma parábola
e) duas retas
Solução:
Temos: x2 – y2 + x + y = 0 ; podemos escrever:
(x – y)(x + y) + (x + y) = 0;
Observe que (x-y)(x+y)= x2 - y2
Fatorando, fica:
(x + y) (x – y + 1) = 0
Para que o produto acima seja nulo, deveremos ter necessariamente:
x + y = 0 ou x – y + 1 = 0 ;
Logo,
y = - x ou y = x + 1, que são as equações de duas retas, o que nos leva à alternativa
E.
12) FEB- SP O valor de k, tal que a reta que passa por A(k,2) e B(6,k) forme um
angulo de 45° com o eixo Ox (no sentido positivo), é:
a) 45
b)1
c)4
d)nda
m (coeficiente angular) é igual à tangente do ângulo. tg45=1
y-yo=m(x-xo) —> m= (y-yo)/(x-xo)
1=(k-2)/(6-k) —-> k-2=6-k
logo k=4.
12)Escrever a equação da circunferência cujo centro é o ponto (–3,–5) e raio igual a 7.
13)Determinar a equação da circunferência cujo centro é o ponto P(2,–4) e é tangente
ao eixo Y. Solução: A distância entre o ponto central e o eixo y é a coordenada x do
ponto P, logo o raio r = 2.
yx P
Logo com centro (2,–4) e r = 2
15)Uma circunferência tem seu centro no ponto (0,–2) e é tangente a reta 5x–
12y+2=0. Encontrar a equação.
Solução: O raio pode ser determinado pela equação da distância entre um ponto e
uma reta:
Logo com centro (0,–2), e Raio r = 2:
r y reta cbyax dPR
16) A equação de uma circunferência é (x – 3)2 + (y + 4)2 = 36. Mostrar que o ponto (
2, – 5) se encontra no interior da circunferência e o ponto ( –4, 1), no exterior.
Solução:
Para descobrirmos de o ponto está dentro ou fora da circunferência, simplesmente
substituímos o valor dos pontos no x e no y da equanção da circunferência.
Se o resultado for menor que r2, está dentro. Se o resultado for maior que r2, está
fora. No nosso caso r = 6, ou seja, r2 = 36.
Ponto está dentroPonto está fora
17) Determinar a equação da circunferência cujo raio é 5 e cujo centro é a interseção
das retas 3x–2y–24 = 0 e 2x+7y+9 = 0
Solução:
O centro da circunferência está no ponto em comum entre as duas retas: Logo para
encontrar o ponto em comum O entre as retas, temos que resolver um sistema de
equações.
Substituímos o valor de y em I, temos:
yyyyyyyyyyxxyx
18) Determinar a equação da circunferência cujo centro se encontra sobre o eixo X e
que passa pelos dois pontos ( 1, 3 ) e ( 4, 6).
Solução:
Como o centro está na origem, então o ponto é do tipo: (x, 0). Como a distância AO é
igual a distância BO, logo podemos igualar a eq. da distância entre 2 pontos de AO e
BO.
IIyxxd Iyxxd
Elevando ambos ao(quadrado), temos:
xxxx
Logo o centro é (7,0)Então a eq. da circunferência com centro
Substituindo o x =7 em (I), temos: (7,0) e raio r = 45 , é:
19) Determinar os valores da constante k se a reta R : 2x + 3y + k = 0 é tangente à
circunferêcia x2 + y2 + 6x + 4y = 0.
Solução:
Para encontrar o ponto P que pertence a reta e a circunferência, devemos colocar
ambas as equações em um sistema.
IxII ky x
Iyxyx xIIkyx Iyxyx em substitui 2
Usando Báskara:
= 0. Logo:Para retas tangentes fazemos
(-1)0270716
kkkkk
4)(0439
kkyky kkykyy ykykkyy ykyyk kyy y kyy cab b y
20)A equação de uma circunferência é x2 + y2 – 8x – 6y = 0. Determinar a equaçãoda
reta que passa pelo ponto P ( 1, 4 ), e é tangente a esta circunferência ( duas
soluções).
Solução:
Sabemos que a derivada de uma função de 2º grau resulta em uma reta tangente a
curva em um certo ponto, logo:
derivando em relação a x.x2 + y2 + 8x – 6y = 0
Isolando y’:
Sabemos que y’é o coef. angular da reta R ou S, e pela definição, temos:
Esta equação é a condição para encontrar uma reta tangente à circunferência em
questão, para isto, devemos colocar esta equação junto com a eq. da circunferência
para encontrar os pontos em que as retas encostam na circunferência.
:Temos fazendo
:cadeia da regra a Usando yyyx dx dy dx dy yx y dx dy y dy dx dy dxd dx dx dx dx dy
dy dx dy dx dy2
)2(028)62(
x y xyy xyy xyy y my xy yx xyy x x y