lista de relatividade - SOL

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE FÍSICA MODERNA I
Prof.: Dr. Clóves Gonçalves Rodrigues
DATA: 21/02/2017
Teoria da Relatividade Restrita
Os Postulados
3) Determine a velocidade de uma partícula que leva dois anos a mais do que a luz para viajar uma
distância de 6,0 anos-luz.
A Relatividade do Tempo
5) O tempo de vida média de múons encerrados numa caixa de chumbo num laboratório é de 2,2 s. O
tempo de vida média de múons de alta velocidade, na explosão de raios cósmicos observada da Terra,
é de 16 s. Determine a velocidade destes múons de raios cósmicos em relação à Terra.
7) Um píon é gerado na alta atmosfera da Terra quando partículas de alta energia de raios cósmicos
colidem com núcleos atômicos. Um píon assim formado desce em direção à Terra com uma velocidade
de 0,99c. Num sistema de referência em que ele está em repouso, um píon decai com uma vida média
de 26 ns. Determine, para um sistema fixo em relação à Terra, a distância percorrida por tal píon, que
se desloca através da atmosfera, antes do seu decaimento.
A Relatividade do Comprimento
9) Uma barra está colocada paralelamente no eixo x de um sistema de referência S, deslocando-se ao
longo deste eixo com velocidade de 0,63c. Seu comprimento de repouso é de 1,7 m. Qual será o comprimento medido no sistema S  ?
11) Um elétron de 100 MeV, para o qual  = 0,999987, desloca-se ao longo do eixo de um tubo vazio
de comprimento igual a 3,0 m, assim medido por um observador S no laboratório, em relação ao qual o
tubo está em repouso. Um observador deslocando-se juntamente com o elétron, entretanto, veria este
tubo se deslocar para trás, com uma velocidade v (=c). Que comprimento este observador encontraria
se medisse o tubo?
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Consequências das Equações de Lorentz
17) Um observador S determina as seguintes coordenadas de tempo e espaço para um evento:
x = 100 km,
t = 200 s.
Quais as coordenadas deste evento num sistema S  , que se desloca no sentido do aumento de x com
velocidade 0,95c? Suponha que x  x para t  t   0 .
19) Um sistema inercial S  desloca-se com uma velocidade de 0,60c em relação ao sistema S. Dois
eventos são registrados. No sistema S, o evento 1 ocorre na origem de x para t = 0 e o evento 2 ocorre
no eixo x para x = 3,0 km e para t = 4,0 s. Quais os tempos de ocorrência registrados pelo observador
S  para estes mesmos eventos? Explique a diferença na ordem do tempo.
21) As equações da transformação de Lorentz são
x ¢ = g(x - vt ) e t ¢ = g(t - vx / c 2 ) .
Deduza diretamente por manipulação algébrica dessas equações que
x = g(x ¢ + vt ¢) e t = g(t ¢ + vx ¢ / c 2 ) .
Transformação das Velocidades
25) Uma partícula desloca-se ao longo do eixo x’ de um sistema S  à velocidade de 0,40c. O sistema
S  desloca-se à velocidade de 0,60c em relação ao sistema S. Qual é a velocidade da partícula medida
no sistema S?
27) Uma partícula de raio cósmico aproxima-se da Terra ao longo do seu eixo com uma velocidade de
0,80c em direção ao pólo norte e uma outra, com velocidade de 0,60c, em direção ao pólo sul. Qual é a
velocidade relativa de aproximação entre as duas partículas? (Sugestão: é muito útil considerar a Terra
e uma das partículas como os dois sistemas de referência inerciais).
28) Observamos que a Galáxia A afasta-se de nós a uma velocidade de 0,35c. A Galáxia B, localizada
exatamente no sentido oposto, também está se afastando de nós com esta mesma velocidade escalar.
Qual é a velocidade de afastamento que um observador na Galáxia A determina: (a) para a nossa Galáxia? (b) para a Galáxia B?
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Efeito Doppler
33) Uma nave espacial, deslocando-se da Terra a uma velocidade de 0,90c, comunica-se por transmissão a uma freqüência (medida no sistema da nave) de 100 MHz. Para que freqüência deve a Terra ajustar seus receptores para receber este sinal?
35) Calcule a diferença de comprimento de onda de Doppler,   0 , caso exista, para a linha D2 do
sódio (589,00 nm), emitida por uma fonte que se desloca em círculo, com velocidade constante (=
0,10c), como seria medida por um observador fixo no centro do círculo.
36) Uma astronave afasta-se da Terra a uma velocidade de 0,20c. Uma luz na parte traseira da nave
parece azul ( = 450 nm) para um passageiro da nave. Qual a cor que um observador na Terra veria?
Uma Nova Visão da Energia
39) Um elétron desloca-se a uma velocidade tal que pode circunavegar a Terra, pelo equador, em um
segundo. (a) Qual é a sua velocidade em termos da velocidade da luz? (b) E a sua energia cinética K?
(c) Qual o erro percentual, se você usar a fórmula clássica para calcular K?
41) Determine o parâmetro de velocidade  e o fator de Lorentz  para uma partícula cuja energia
cinética é de 10 MeV, se a partícula for: (a) um elétron; (b) um próton; (c) uma partícula alfa.
43) Uma partícula tem uma velocidade de 0,99c no sistema de referência do laboratório. Quais são as
energias cinética e total e o seu momento linear se a partícula for: (a) um próton ou (b) um elétron?
45) Os quasares são considerados núcleos de galáxias ativas em estágio primitivo de formação. Um
quasar típico irradia energia a uma taxa de 1041 W. Para fornecer esta energia, a que taxa se reduz a
massa deste quasar? Expresse sua resposta em unidade de massa solar por ano, sabendo que uma unidade de massa solar (ums = 2 1030 kg) é a massa do sol.
47) Qual será a velocidade de uma partícula: (a) cuja energia cinética é igual ao dobro de sua energia
de repouso? (b) Cuja energia total é igual ao dobro de sua energia de repouso?
49) Uma partícula tem um momento linear igual a m0 c . (a) Qual a sua velocidade? (b) Qual a sua massa relativística? (c) Qual a sua energia cinética?
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51) Considere as partículas seguintes, todas elas deslocando-se no vácuo: um fóton de 2,0 eV, um elétron de 0,40 MeV e um próton de 10 MeV. (a) Qual delas se desloca mais rapidamente? (b) Qual delas
se move mais lentamente? (c) Qual delas tem o maior momento linear? (d) Qual delas tem o menor
momento linear? (nota: fóton é uma partícula da luz com massa de repouso zero).
53) (a) Se a energia cinética K e o momento linear p de uma partícula puderem ser medidos, será
possível determinarmos sua massa de repouso m 0 e assim identificarmos a partícula. Mostre que
m0 =
(pc)2 - K 2
.
2Kc 2
(b) Mostre que esta expressão se reduz ao resultado esperado quando v << c , no qual v é a velocidade da partícula. (c) Determine a massa de repouso da partícula cuja energia cinética é de 55,0 MeV e
cujo momento é de 121 MeV/c. Expresse sua resposta em termos da massa de repouso do elétron.
61) O síncroton do Fermilab acelera prótons com uma energia cinética de 500 GeV. Para esta energia,
calcule: (a) o Fator de Lorentz; (b) o parâmetro de velocidade; (c) o campo magnético, sabendo que a
órbita do próton tem um raio de curvatura de 750 m (o próton possui uma energia de repouso igual a
938,3 MeV).
Respostas
5) v  0,99c
7)  54, 74 m
9)  1,32 m
3) 0, 75c
4
17) x  137, 7 km , t   3, 7  10 s
19) 1: t   0 ,
2: t   2,5 106 s
25) 0,8c
27)  0,946c
28) a) 0,35c ; b)  -0, 62c
35) l  592 nm, l - l0  3 nm
36)  551,13nm (amarelo)
b)  4,599 keV
39) a)  0,134c
41) a) g  20, 57 , b  0, 9988
b) g  1, 01 , b  0,145
43) a) K  5, 71GeV , E  6, 65GeV , p  6,58GeV / c
b) K  3,11MeV , E  3, 62MeV , p  3,58MeV / c
45) dm 0 / dt = 17, 52 ums/a
47) a)  0, 9428c
49) a) c 2
b)  0, 866c
b) 2m 0
c) m 0c 2 ( 2 - 1)
51) a) o fóton
61) a) g  534
b) o próton
b) b  0, 999998
c) o próton
c) B  2,23 T
4
11)  0, 015 m
33)  2, 29 107 Hz
c)  0, 24%
c) g  1, 003 , b  0, 077
d) o fóton.
********************PROBLEMAS ADICIONAIS********************
13) Uma astronave com um comprimento de repouso igual a 130 m passa por uma estação de observação com uma velocidade de 0,74c. (a) Qual é o comprimento da astronave medido pela estação? (b)
Qual o intervalo de tempo registrado pelo monitor da estação, entre a passagem da parte frontal e da
parte traseira da nave?
RESPOSTA: a)  87, 4 m b)  3,94 107 s
29) Os físicos concluíram a partir de medida do deslocamento para o vermelho da luz emitida, que um
quasar Q1 afasta-se de nós com uma velocidade de 0,80c. O quasar Q2, que também se afasta de nós e
está na mesma direção no espaço, sendo-nos mais próximo que Q1, desloca-se a uma velocidade de
0,40c. Que velocidade para Q2 será medida por um observador em Q1?
RESPOSTA:  0,588c
30) Uma astronave, cujo comprimento de repouso mede 350 m, tem uma velocidade de 0,82c em relação a um certo sistema de referência. Um micrometeorito, também com velocidade de 0,82c neste sistema, passa pela astronave numa linha antiparalela. Quanto tempo leva este objeto para ultrapassar a
astronave?
RESPOSTA:  1,19 106 s
37) Um radar transmissor T está fixo em um referencial S  que se desloca em linha reta, com velocidade v em relação ao referencial S (Veja a Fig. 17). Um cronômetro mecânico (essencialmente um
relógio) no sistema S  , possui um período  0 (medido em S  ), causando no transmissor T a emissão
de pulsos de fradar que se propagam à velocidade da luz e são recebidos por R, um receptor fixo no
sistema S. (a) Qual seria o período  do cronômetro em relação ao observador A que está fixo no sistema S? (b) Mostre que o receptor R observaria o intervalo de tempo entre os pulsos que chegam de T
não como  ou como  0 , mas como
R  0
c v
.
c v
(c) Explique por que o observador em R mede um período do transmissor diferente daquele medido
pelo observador A, que está no mesmo sistema de referência. (Sugestão: um relógio e um pulso de
radar não são a mesma coisa).
42) Demonstre que um elétron com uma energia cinética de 100 MeV propaga-se com 99,9987% da
velocidade da luz.
5
52) Um tablete de aspirina contendo cinco grãos tem uma massa de 320 mg. Por quantos quilômetros a
energia equivalente a esta massa, em forma de gasolina, daria a potência necessária a um automóvel?
Suponha 13 km/litro e um calor de combustão para a gasolina de 3,5 107 J/litro.
54) Numa colisão de alta energia de uma partícula elementar de raios cósmicos, em uma região da atmosfera terrestre a 120 km acima do nível do mar, um píon é gerado com uma energia total E de
1,35 105 MeV, deslocando-se verticalmente para baixo. Em seu sistema próprio, este píon decai 35 ns
após ser gerado. A que altitude acima do nível do mar deve ocorrer este decaimento? A energia de repouso do píon é 139,6 MeV.
55) O tempo de vida médio de múons em repouso é de 2,2 s. Em medidas realizadas em laboratório
sobre o decaimento de múons em descarga de um feixe que emerge de um acelerador de partículas,
encontra-se um tempo de vida médio de 6,9 s para estes múons assim produzidos. Quais são: (a) a
velocidade deste múons no laboratório; (b) a massa relativística (em termos de me , a massa de repouso
de elétron); (c) a energia cinética; (d) o momento linear?
Dado: A massa de repouso do múon é 207 vezes maior que a do elétron.
57) Na seção 5 do Cap. 30, mostramos que uma partícula de carga q e massa m, deslocando-se com
velocidade v perpendicularmente a um campo magnético uniforme B, movia-se num círculo de raio r
dado por (veja a Eq. 16 do Cap. 30)
r
mv
.
qB
Foi demonstrado também que o período T do movimento circular é independente da velocidade da
partícula. Agora, estes resultados são válidos somente se v << c. Para partículas que se movem em
altas velocidades. O raio da trajetória circular pode ser demonstrado como
r
m0v
p m0 ( v )


.
qB
qB
qB 1   2
Esta equação é valida para todas as velocidades. Calcule o raio da trajetória de um elétron de 10 MeV
que se desloca perpendicularmente a um campo magnético uniforme de 2,2 T. Utilize (a) a fórmula
“clássica” e (b) a fórmula “relativística”. (c) Calcule o verdadeiro período do movimento circular. O
resultado é independente da velocidade do elétron?
58) Medidas de ionização mostram que uma determinada partícula nuclear transporta uma carga dupla
igual a 2e e desloca-se a uma velocidade de 0,71c. Sua trajetória num campo magnético de 1,00 T tem
um raio de curvatura igual a 6,28 m. Determine a massa de repouso da partícula e identifique-a (sugestão: partículas nucleares leves são constituídas por nêutrons, que não transportam carga, e por prótons
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cuja carga é igual a +e, em números aproximadamente iguais. Suponha a massa de repouso de cada
uma destas partículas igual a 1,00 u). (Veja problema 57).
59) Numa radiação cósmica, um próton de 10 GeV aproxima-se da Terra pelo seu equador geométrico,
por cima de uma região em que o campo magnético médio terrestre vale 55 T. Qual é o raio de curvatura da trajetória nesta região?
*****************FÓRMULAS*****************

v
c

1
1 
2
x   ( x  vt ) t    (t  v x / c 2 )


p   m0v
m   m0
f  f0
1 
1 
t  t0
v
L
L0

u  v
1  v u / c 2
K  m0 c 2 (  1)
f  f0 1   2
7
E   m0 c 2
E 2  ( pc) 2  (m0 c 2 ) 2