Aula-03

UFSM-CTISM
Série de
Fourier
Formula de Euler
Série Exponencial de
Fourier
Relação entre a série
Exponencial e a
Série Trigonométrica
de Fourier
Teoria da comunicação
Série Exponencial de Fourier
Aula-03
Vantagens da Série
Exponencial de
Fourier
Exemplos
Professor:
Andrei Piccinini Legg
Santa Maria, 2012
Formula de Euler
Série de
Fourier
Formula de Euler
Série Exponencial de
Fourier
Relação entre a série
Exponencial e a
Série Trigonométrica
de Fourier
Vantagens da Série
Exponencial de
Fourier
Formula de Euler:
Leonhard Euler estabeleceu uma profunda relação entre as
funções trigonométricas e a função exponencial complexa.
Para qualquer numero real x a formula de Euler é dada por:
ejx = cos x + j · senx.
(1)
Exemplos
Então as funções trigonométricas podem ser escritas como:
cos x = Re{ejx } =
ejx + e−jx
2
(2)
senx = Im{ejx } =
ejx − e−jx
.
2j
(3)
Série Exponencial de Fourier
Série de
Fourier
Formula de Euler
Série Exponencial de
Fourier
Relação entre a série
Exponencial e a
Série Trigonométrica
de Fourier
Vantagens da Série
Exponencial de
Fourier
Exemplos
Pode-se mostrar que o conjunto de exponenciais:
ejnωo t , ∀ n = 0, ±1, ±2, ...
(4)
é ortogonal para qualquer intervalo de duração To = 2π/ωo .
Ou seja,
Z
Z
0 m 6= n
(5)
ej(m−n)ωo t dt =
ejmωo t (ejnωo t )∗ dt =
T
o m=n
To
To
A partir das equações 4 e 5, pode-se afirmar que um sinal
g(t) pode ser representado em um intervalo To segundos
pela soma de exponenciais complexas.
Série Exponencial de Fourier
Série de
Fourier
Portanto o sinal g(t) é dado por:
Formula de Euler
∞
X
Série Exponencial de
Fourier
g(t) =
Relação entre a série
Exponencial e a
Série Trigonométrica
de Fourier
Vantagens da Série
Exponencial de
Fourier
Exemplos
Dn ejnωo t
(6)
g(t)e−jnωo t dt
(7)
n=−∞
em que
Dn =
1
To
Z
To
A série exponencial de Fourier é equivalente a série
trigonométrica de Fourier.
Série Exponencial de Fourier
Série de
Fourier
Portanto o sinal g(t) é dado por:
Formula de Euler
∞
X
Série Exponencial de
Fourier
g(t) =
Relação entre a série
Exponencial e a
Série Trigonométrica
de Fourier
Vantagens da Série
Exponencial de
Fourier
Exemplos
Dn ejnωo t
(6)
g(t)e−jnωo t dt
(7)
n=−∞
em que
Dn =
1
To
Z
To
Os coeficientes da série trigonometrica de Fourier
podem ser obtidos a partir dos da série exponencial
utilizando a Formula de Euler.
Relação entre a série Exponencial e a Série
Trigonométrica de Fourier
Série de
Fourier
Agora, mostraremos a relação entre a série trigonométrica
de Fourier e a série exponencial de Fourier. Considerando
a fórmula de Euler temos que
Formula de Euler
Série Exponencial de
Fourier
Relação entre a série
Exponencial e a
Série Trigonométrica
de Fourier
i
Cn h j(nωo t+θo )
e
+ e−j(nωo t+θo )
2
Cn jθo
Cn −jθo
jnωo t
=
e
e
e
+
e−jnωo t
2
2
Cn cos(nωo t + θn ) =
Vantagens da Série
Exponencial de
Fourier
Exemplos
= Dn ejnωo t + D−n e−jnωo t
(8)
em que
Dn =
D−n =
1
Cn ejθn
2
1
Cn e−jθn
2
(9)
Relação entre a série Exponencial e a Série
Trigonométrica de Fourier
A forma compacta da série trigonométrica de Fourier de um
sinal periódico, g(t), é dada por
Série de
Fourier
Formula de Euler
Série Exponencial de
Fourier
g(t) = Co +
Relação entre a série
Exponencial e a
Série Trigonométrica
de Fourier
Vantagens da Série
Exponencial de
Fourier
Exemplos
∞
X
Cn cos(nωo t + θn )
(10)
n=1
Utilizando-se a Eq. 8, 9 e a equação mencionada
anteriormente, e considerando Co = Do , obtemos a forma
compacta da série exponencial de Fourier:
g(t) = Do +
∞
X
Dn ejnωo t + D−n e−jnωo t
n=1
= Do +
∞
X
n=−∞ (n6=0)
Dn ejnωo t
(11)
Vantagens da Série Exponencial de Fourier
Série de
Fourier
Formula de Euler
Série Exponencial de
Fourier
Relação entre a série
Exponencial e a
Série Trigonométrica
de Fourier
Vantagens da Série
Exponencial de
Fourier
Exemplos
A representação da série é mais compacta;
Em análises matemáticas é muito mais simples
(rápido) se trabalhar com exponenciais do que se
trabalhar com senos e cossenos.
Por essas razões trabalharemos com a representação
exponencial daqui para frente!
Vantagens da Série Exponencial de Fourier
Série de
Fourier
Formula de Euler
Série Exponencial de
Fourier
Relação entre a série
Exponencial e a
Série Trigonométrica
de Fourier
Vantagens da Série
Exponencial de
Fourier
Exemplos
A representação da série é mais compacta;
Em análises matemáticas é muito mais simples
(rápido) se trabalhar com exponenciais do que se
trabalhar com senos e cossenos.
Por essas razões trabalharemos com a representação
exponencial daqui para frente!
Vantagens da Série Exponencial de Fourier
Série de
Fourier
Formula de Euler
Série Exponencial de
Fourier
Relação entre a série
Exponencial e a
Série Trigonométrica
de Fourier
Vantagens da Série
Exponencial de
Fourier
Exemplos
A representação da série é mais compacta;
Em análises matemáticas é muito mais simples
(rápido) se trabalhar com exponenciais do que se
trabalhar com senos e cossenos.
Por essas razões trabalharemos com a representação
exponencial daqui para frente!
Exemplo 1
Encontre a série exponencial de Fourier para o sinal da
figura abaixo abaixo.
Série de
Fourier
Formula de Euler
Série Exponencial de
Fourier
Relação entre a série
Exponencial e a
Série Trigonométrica
de Fourier
Vantagens da Série
Exponencial de
Fourier
Exemplos
g(t) = Do +
∞
X
Dn ejnωo t + D−n e−jnωo t
n=1
∞
X
= Do +
Dn ejnωo t
n=−∞ (n6=0)
1
Dn =
To
Z
g(t)e−jnωo t dt
To